广东省东莞市2020届高三下学期第二次统考6月模拟考试(最后一卷)文科数学试题

东莞市高三第二次模拟测试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i73i=+（ ） A ．37i 1616- B ．37i 1616+ C ．37i 1616-+ D ．37i 1616-- 2．已知集合()(){}2530A x x x =-+>，{}1,2,3,4,5B =，则()RA B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}13．某公司为了解该公司800名员工参加运动的情况，对公司员工半年来的运动时间进行统计得到如图所示的频率分布直方图，则运动时间超过100小时的员工有（ ）A ．360人B ．480人C ．600人D ．240人4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅同方升，其主体部分的三视图如图所示，则该量器的容积为（ ）A ．252B ．189C ．126D ．63 5．函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．1124x π=-B ．8x π=C ．4x π=D ．1124x π= 6．已知单位向量a 与b 的夹角为120︒，则3a b -=（ ） A ．3 B ．23 C ．13 D ．157．已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若2327log log 2a a +=，则9T 的值为（ ） A ．512± B ．512 C ．1024± D ．10248．运行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为13，则判断框中可以填（ ）A ．7?m >B ．7?m ≥C ．8?m >D ．9?m > 9．已知过原点的直线1l 与直线2l ：310x y ++=垂直，圆C 的方程为2222212x y ax ay a +--=-（0a >），若直线1l 与圆C 交于M ，N 两点，则当CMN的面积最大时，圆心C 的坐标为（ ） A ．5522⎛⎝⎭ B ．3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()1,1 10．已知函数()()22,20,11,02,x x x f x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，则关于x 的方程()0x f x -=在[]2,2-上的根的个数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，1l ，2l 为C 的两条渐近线，点A 在1l 上，且1FA l ⊥，点B 在2l 上，且1FB l ∥，若45FA FB =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．52或5 B ．52或352 C ．52D ．5 12．已知函数()2e 2x m f x x x mx =--，则函数()f x 在[]1,2上的最小值不可能．．．为（ ） A ．3e 2m -B ．21ln 2m m - C ．22e 4m - D ．2e 2m - 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x ，y 满足3,26,8,x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =-的最小值为 ．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3，7a ，5a 也成等差数列，则17S ． 15．从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字中有且仅有1个数能被2整除的概率为 ．16．如图所示，三棱锥P ABC -中，ABC 为边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DEPB E =，且DE AB ⊥，若120EDC ∠=︒，32PA =，332PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3A C =，7b =（Ⅰ）若6B π=，证明：sin sin B C =；（Ⅱ）若B 为钝角，1cos 22B =，求AC 边上的高. 18．为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示（x （吨）为买进蔬菜的质量，y （天）为销售天数）：x2 3 4 5 6 7 9 12 y12334568（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进25吨，则预计需要销售多少天.参考公式：()()()121ˆn iii ni i x x y y bx x==--=-∑∑1221niii ni i x ynx yx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. 19．已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，AD ⊥平面AEC ，且2AC =，1AE EC ==，2AD EF =，EF AD ∥.（Ⅰ）求证：平面FCE ⊥平面ADE ；（Ⅱ）若2AD =，求多面体ABCDEF 的体积.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，椭圆C 的右顶点为A .（Ⅰ）求椭圆的C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为R ，求直线AR 的斜率的取值范围.21．已知函数()ln x f x x=，()e xg x =. （Ⅰ）若关于x 的不等式()()f x mx g x ≤≤恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若120x x >>，求证：()()1122x f x x f x -⎡⎤⎣⎦()2212x x +()2122x x x >-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为33cos ,13sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线6πθ=（R ρ∈）与曲线1C 交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m . （Ⅰ）求m 的值以及此时的x 的取值范围；（Ⅱ）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明：()2q p r +≤.东莞市高三第二次模拟测试数学（理科）·答案一、选择题1-5:BCBAD 6-10:CBAAC 11、12：AD二、填空题13．2- 14．51 15．3516．13π 三、解答题17．解：（Ⅰ）依题意，由正弦定理可知3a c =.由余弦定理，得()2273cc =+()23cos c c B -⋅⋅，故27c =，7c b ==，故sin sin B C =.（Ⅱ）因为1cos 22B =，故523B π=，故56B π=. 由余弦定理可得()2273c c =+-()23cos c c B ⋅⋅，解得1c =，3a =.由正弦定理可得175sin sin 6C π=，解得7sin 14C =，故213sin 14h C ==. 18．解：（Ⅰ）散点图如图所示：（Ⅱ）依题意，(123458x =++++)679126+++=，(112348y =+++)5684+++=，821491625ii x==+++∑364981144364++++=，8126121524i ii x y==++++∑355496244+++=，818218ˆi ii ii x y x ybx==-==∑∑2244864133648619-⨯⨯=-⨯，132ˆ461919a ∴=-⨯=-， ∴回归直线方程为132ˆ1919yx =-. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当25x =时，132519y =⨯-21719=. 即若一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售17天. 19．解：（Ⅰ）AD ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，AD EC ∴⊥.又2AC =1AE EC ==，222AC AE EC ∴=+，AE EC ∴⊥. 又AEAD A =，EC ∴⊥平面ADE .EC ⊂平面FCE ，∴平面FCE ⊥平面ADE .（Ⅱ）易知AE AD ⊥，又EF AD ∥，AE EF ∴⊥，由（Ⅰ）知AE EC ⊥， 又EFEC E =，AE ∴⊥平面BCEF ，又2AD =，1EF ∴=.ABCDEF A BCEF D AEC V V V --∴=+=()1132EF BC ⨯⨯+EC EA ⨯⨯+1132AE ⨯⨯EC AD ⨯⨯ ()111232=⨯⨯+111132⨯⨯+⨯112⨯⨯⨯56=. 20．解：（Ⅰ）依题意，221914a b +=，12c a =，222a b c =+，解得2a =，3b =1c =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，直线PQ 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.①当直线PQ 的斜率不为0时，可设其方程为12x my =+，联立221,21,43x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得()2243412450m y my ++-=， 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,R x y ，直线AR 的斜率为k ， 故122334m y y m +=-+，()023234my m =-+， 当0m =时，0k =， 当0m ≠时，144k m m=+，因为444m m m +=48m +≥，故110484m m<≤+， 当且仅当44m m=，即1m =时等号成立. 故108k <≤，故1188k ≤≤且0k ≠. ②当直线PQ 的斜率为0时，线段PQ 的中点R 与坐标原点重合，AR 的斜率为0.综上所述，直线AR 的斜率的取值范围为11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21．解：（Ⅰ）对任意0x >，不等于()()f x mx g x ≤≤恒成立，2ln e x x m x x ∴≤≤在0x >上恒成立，进一步转化为2max minln e x x m x x ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()2ln x h x x =，()312ln xh x x-'=，当(e x ∈时，()0h x '>，当)e,x ∈+∞时，()0h x '<，∴当e x =()max12eh x =⎡⎤⎣⎦. 设()e x t x x =，则()2e e x x x t x x-'=()2e 1xx x -=，当()0,1x ∈时，()0t x '<， 当()1,x ∈+∞时，()0t x '>，所以1x =时，()mine t x =⎡⎤⎣⎦，综上知1e 2e m ≤≤，所以实数m 的取值范围为1,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）当120x x >>时，要证明()()1122x f x x f x -⎡⎤⎣⎦()2212x x +()2122x x x >-，即证12ln ln x x ->()21222122x x x x x -+，即证112221222ln 01x x x x x x ⋅-->⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令121x t x =>，设()222ln 1t u t t t -=-+，则()()()()22221211t t t u t t t -+-'=+， 当()1,t ∈+∞时，210t ->，2210t t +->，()0u t '∴>，()u t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10u t u ∴>=，故112221222ln01x x x x x x ⋅-->⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 即()()1122x f x x f x -⎡⎤⎣⎦()2212x x +()2122x x x >-. 22．解：（Ⅰ）因为33cos ,13sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩故(()22319x y -++=，故2223x y x +-250y +-=，故曲线1C 的极坐标方程为223cos ρρθ-+2sin 50ρθ-=.因为2cos ρθ=，故22cos ρρθ=，故2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=（或写成()2211x y -+=）.（Ⅱ）设P ，Q 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将6πθ=（R θ∈）代入223cos ρρθ- 2sin 50ρθ+-=中，整理得2250ρρ--=，故122ρρ+=，125ρρ=-，故12PQ ρρ=-=()212124ρρρρ+-26=.23．解：（Ⅰ）依题意，得()31f x x x =++-314x x ≥+-+=，故m 的值为4. 当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，即x 的取值范围为[]3,1-. （Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()22224p q q r +++=.因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立，222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立，所以()()22224p q q r +++=22pq qr ≥+，故()2q p r +≤，当且仅当p q r ==时等号成立.。

广东省东莞市2020届高三数学下学期第二次统考6月模拟考试（最后一卷）试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项： 2020.6 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}3,2,1,1,32-=<=B x x x A ，则AB =A. {}2,1,1-B. {}2,1-C.{}32,1， D. {}2,1 2．已知复数12i34iz +=+，i 为虚数单位，则||z = A ．15 B ．5 C ．12 D ．2 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心。

若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为A.π3B. π4C.π5D. π6 4.设等差数列{}n a 前n 项和n S ，满足92,6543==+a a a ，则7S =A.235 B. 21 C.249 D. 28 5.某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在3195±内，则称这批轮胎基本合格。

已知这批轮胎的宽度分别为200194190196195，，，，，则这批轮胎基本合格的概率为A.52 B. 53 C.54 D. 107 6.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法。

如右图将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线E 的一部分，且双曲线E 的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线E 的离心率为A.4 B. 3D. 7.已知α为锐角，53cos =α，则=-)24tan(απA. 21B. 31C.2D. 38.已知函数()xx a f x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为A B ．ln 2 C ．2 D ．2ln 2 9.已知C B A ,,三点不共线，且点O 满足031216=--，则A.312+=B.312+-=C.312-=D.312--=10.已知ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，C B c B c C b 2,3,6cos cos ===+， 则C cos 的值为A.53 B.43 C.33 D.2311.在三棱锥BCD A -中,ABD △与CBD △均为边长为2的等边三角形,且二面角C BD A --的平面角为︒120,则该三棱锥的外接球的表面积为A.π316 B.π7C.π328D.π812.已知函数()2xf x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是A.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,02e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为14.设等比数列{}n a 前n 项和n S ，满足87,4132==S a ，则公比q 为 15.若非零向量b a,满足a b 4=，a b a ⊥)2(-，则a 与b 的夹角为 16．在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，2,AB AD ==，CB CD ==，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

绝密★启用前广东省高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i（B ）4i - （C ）4（D ）4-（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =I（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2)（D ）[1,2]（3）已知向量(0,1),(a b c k ==-=r r r，若（2a b -r r ）与c r 互相垂直，则k的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为（A（B ）43（C或2 （D ）4 （6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94（D ）98（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n + （8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）3（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）1 cm（B ）2cm （C ）3cm（D ）4cm（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为(A)(622)12π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(122)π+（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为 图2 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=o,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +u u u r u u u r的最小值为 .图3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.bkg0.0.ABCD （17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为 图5年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg. （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o，AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B左边），AB=2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲OP‘AB D CE图75如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC=3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（7）由142a a a =，得公差d=1，n a n =；故选C.（10）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.(12)PACB S PA AC PA =⋅=四边形=，可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP =由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.二、填空题：解析：（15）依题意知函数()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++，AB CDE201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=． （16）如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ +=u u u r u u u r u u u r 2PE =u u u r，要||PQ uuu r 取最小值，只需||PE u u u r取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE u u u r取最小值，这时PE 为梯形的 中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+=u u u r ,故min ||3PQ =u u u r.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 7AB BACACD BC⨯∠∠===----------------------------------------9分∵090ACD <∠<oo∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分 因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分(19)解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由2，AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=o 知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分 ∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分 （Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由D PAC P ADC V V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分 ∵23234ADC S ∆==，22117()22PAC S PA PC PA ∆=-=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=3221772==，即点D 到平面APC 的距离为221.-------12分 （20）解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB=2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分 联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=， 则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242M k y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=， 由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>u u u u r u u u r [0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>u u u u r u u u r ，又(1,0)A -，∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+u u u u r u u u r 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+， 解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞U U .-----------------------------12分（21）解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分 记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥） 则211'()(1)1g x x x =---22(1)xx -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】(Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1a x a +=， 1201a a a +>⇔<<， （1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)a x a +∀∈，'()0h x >， 此时函数()h x 在1(2,)a a+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分（3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB =，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分 （Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a=1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a=1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

2020年广东省高考文科数学考前最后一卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）若复数z 满足（1﹣2i ）z ＝2+i ，则|z |＝（ ） A ．25B ．1C ．√415D ．√412．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |﹣2≤x ≤2，x ∈Z }，B ＝{﹣1，1}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 3．（5分）若a =212，b =ln2，c =lg 12，则有（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．（5分）将函数y =2cos(2x +π6)的图象向左平移π6个单位得到函数f （x ），则函数y =f(x)xsinx 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查，将1221名同学按1，2，3，4，…，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间[496，825]的人数有（ ） A ．12人B ．11人C ．10人D ．9人7．（5分）tan255°＝（ ） A ．﹣2−√3B ．﹣2+√3C ．2−√3D ．2+√38．（5分）已知O 、A 、B 为平面内三点，满足|OA →|=|OB →|＝5，点C 在直线AB 上，且|OC →|min =3，则|tOA →+OB →|(t ∈R)的最小值为（ ） A ．245B ．4C ．165D ．1259．（5分）明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n 的结果为（ ）。

2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届广东省东莞市高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则AB =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}1,2,3答案：B先求得集合{}|03A x x =<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 解：由题意，集合{}{}{}2|3|(3)0|03A x x x x x x x x =<=-<=<<，又有{}1,1,2,3B =-，则A B ={}1,2.故选：B . 点评：本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数1234+=+iz i，i 为虚数单位，则||z ＝（ ） A ．15BC ．12D．2答案：B利用复数模的性质z z =，以及乘除法的模的性质计算． 解：12123434i i z z i i ++=====++．故选：B ． 点评：本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷． 复数模的性质：z z =，1212z z z z =，1122z z z z =． 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )ABC ．3πD ．4π答案：A由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积． 解：2π的扇形，其面积11(222S l r π=⋅=⋅=.点评：本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S =（ ） A ．352B ．21C ．492D ．28答案：C设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得341512562289a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，71761497721222S a d ⨯=+=⨯+=. 故选：C. 点评：本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．710答案：D可知轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,190,200、()195,194,200、()196,190,194、()196,190,200、()196,194,200、()190,194,200，其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,194,200、()196,190,194、()196,194,200，共7个，因此，这批轮胎基本合格的概率为710P =. 故选：D. 点评：本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．324B ．233C 2D ．22答案：A求得圆锥的高，可得矩形ABCD 的对角线长，即有AC ，BD 的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为24y x =±，由24=ba，得离心率222223214+===+=c a b bea a a.故选：A.点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．7．已知α为锐角，3cos5α=，则tan42πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2 D．3答案：A由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 解： 解：3cos 5α=，22cos 2cos112sin 22ααα=-=-，且α为锐角cos2α∴=sin 2α=sin12tan 22cos 2ααα∴=== 1tantan11422tan 14231tan tan 11422παπαπα--⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭++⨯ 故选：A 点评：本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题. 8．已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） AB ．2C ．2ln 2D ．ln 2答案：D先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 解：()f x 为偶函数，则()()(1)0x xx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D 点评：本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（ ） A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =- D ．123OA AB AO =--答案：A由向量的线性运算化简． 解：∵161230--=OA OB OC ，∴1612()3()0OA OA AB OA AC -+-+=，整理得123OA AB AC =+．故选：A ． 点评：本题考查向量的线性运算，解题关键是把,OB OC 用,,OA AB AC 表示．10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A B ．4C ．3D ．2答案：D由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 解： 解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，由正弦定理sin sin bcBC ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =，cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R=⇒=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =，c a <，则C 为锐角，解得cos 2C =．故选：D ． 点评：本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π答案：D如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值． 解：解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D点评：本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,]2e -∞ B ．(,]2e -∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：A根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2xea x≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()xe g x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 解：根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 可得函数()f x 在区间(,0)-∞为单调递减函数， 由||2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，当(0,)x ∈+∞时，函数2()x f x e ax =-，可得()2x f x e ax '=-，根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即20xe ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，则()2(1)x e x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2e-∞. 故选：A . 点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.答案：3根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B 点时，z 最大，代入求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩得：()1,1B max 213z ∴=+= 本题正确结果：3 点评：本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在y 轴截距最大值的问题，属于常规题型.14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____． 答案：3π 设a 与b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥得出()20a b a -⋅=，结合平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，再结合角θ的取值范围可求得角θ的值，即可得解. 解：设a 与b 的夹角为θ，4b a =，()2a b a -⊥，则()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即2222cos 24cos 0a a b a a θθ-⋅=-=，可得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 点评：本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.16．在三棱锥A BCD -中，,2,AB AD AB AD BC CD ⊥====锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________.答案：8:3π根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 解： 如图所示：当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==， 所以4BD =，OA=2， 22BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2， V 球343233R ππ==，11432232323A BCD V -=⨯⨯⨯=， 三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为83π故答案为：8:3π点评：本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121n n n n a b b ++=+．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．答案：（1）2n n a =；（2）222nn +-. （1）分别令1n =、2n =可分别求得2a 、3a ，进而可求得等比数列{}n a 的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）由已知条件得出数列{}2nn b 是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列{}2n nb 的通项公式，进一步可求得数列{}nb 的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+． 当1n =时，则221212a b b =+=，即2122a =，可得24a =；当2n =时，则332413a b b =+=，即3338a =，可得38a =.322a q a ∴==，212aa q==，111222n n n n a a q --∴==⨯=； （2）1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，所以，数列{}2nn b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111nn b n n =+-⨯=，2n n n b ∴=. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n nnS =++++，① 231112122222n n n n nS +-∴=++++，② ①-②得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，222n nn S +∴=-. 点评：本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；（2）求点B 到平面ECD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（22.（1）由FC ⊥平面ABCD ，可得BD FC ⊥，并推导出BD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出BD ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥E BCD -的体积，并计算出ECD 的面积，利用等体积法可计算出点B 到平面ECD 的距离． 解： （1）//FC EA 且AE ⊥面ABCD ，FC ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD FC ∴⊥，AB AD ⊥且2AB AD ==，由勾股定理得222BD AB AD =+=45ABD ∠=，//AB CD ，45BDC ∴∠=，由余弦定理得2222cos 458BC BD CD BD CD =+-⋅=，22BC ∴=222BC BD CD ∴+=，90CBD ∴∠=，BC BD ∴⊥，FCBC C =，BD ∴⊥平面BCF ，BD ⊂平面BDF ，平面BCF ⊥平面BDF ；（2）AE平面ABCD ，BC BD ⊥，且22BC BD ==142BCD S BC BD ∴=⋅=△， 11842333E BCDBCD V S AE -∴=⋅=⨯⨯=△， AE 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AE ∴⊥，AD AB ⊥，//AB CD ，CD AD ∴⊥，AE AD A =，CD平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，CD DE ∴⊥，又2222DE AE AD =+=，114224222CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△， 设点B 到平面ECD 的距离为h ，则B CDEE BCD V V --=，即1833CDE S h ⋅=，8242CDEh S∴===.因此，点B 到平面ECD 的距离为2. 点评：本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值 频数(]15,202 (]20,258（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为2,30451,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471. （1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本. 解：（1）估计新设备所生产的产品优质品率为302515100%70%100++⨯=，估计旧设备所生产的产品优质品率为()50.060.030.02100%55%⨯++⨯=； （2）根据题中所给数据可得到如下22⨯列联表：()22220030557045 4.8 3.84110075125K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯， 因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”； （3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质产品，有300件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）， 8000001700471÷≈（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本. 点评：本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题. 20．已知点()0,0O 、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程； （2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）240x y ++=或240x y -+=；（2）存在，且点M 的坐标为()4,0. （1）要使得OPQ ∠最大，则过P 的直线与抛物线相切，设过点P 的直线方程为4x my =-，与抛物线的方程联立，由0∆=求得m 的值，由此可得出直线l 的方程；（2）由题意可知，直线AP 、BP 的斜率互为相反数，设点(),0M m ，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m 的值，由此可得出结论. 解：（1）如下图所示，当过点P 的直线l 与抛物线相切时，即当点Q 为切点时，OPQ ∠最大.当直线l 与x 轴重合时，则点P 与点Q 重合，不合乎题意； 当直线l 与x 轴不重合时，可设直线l 的方程为4x my =-，联立244x my y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得24160y my -+=，则216640m ∆=-=，解得2m =±. 因此，当OPQ ∠最大时，直线l 的方程为240x y ++=或240x y -+=； （2）假设存在这样的点M 满足条件，设点(),0M m ，因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等，则MP 为APB ∠的角平分线，所以APM BPM ∠=∠，可得0AP BP k k +=，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty m --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y m =-.()()()()1221121212444444AP BP y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++()()()()()()()()122112121212442404545y ty m y ty m ty y m y y x x x x ++++++++===++++，()()1212240ty y m y y ∴+++=，即()()24440t m t m ⨯-++=，整理得()1640t m -=，由题意可知，等式()1640t m -=对任意的t R ∈恒成立，所以，4m =. 因此，在x 轴上存在点()4,0M ，使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等. 点评：本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．答案：（1）见解析；（2）1[,)e+∞. （1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．答案：（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. （1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 解：（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，曲线2C 是以点()1,2P -，圆心P 到直线MN 的距离为d =，MN ∴===， 原点到直线MN 的距离为h =因此，OMN 的面积为1132255OMN S MN h =⋅=⨯=△.点评：本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．答案：（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. （1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围． 解：（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-． 35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩ 解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立；当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立， 当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立， 当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立， 即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-． 点评：本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。

2020年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x(3−x)>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. (0,1)B. (1,3)C. (3,+∞)D. (1,+∞)2.若复数z=i1+i(i为虚数单位)，则z⋅z=()A. 12i B. −14C. 14D. 123.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为()A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3=3+a1，则S9的值为()A. 15B. 27C. 30D. 405.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为()A. 25B. 35C. 710D. 456.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为√2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线E的一部分，且双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线E的离心率为()．A. 2√33B. √2C. √3D. 27.已知α为锐角，cosα=√55，则tan(π4+2α)=()A. −17B. −43C. −3D. −28.已知函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，若曲线在点T(x0,f(x0))处的切线斜率为32，则x0的值为()A. ln2B. 2ln2C. 2D. √29. 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则( )．A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c =2a ，bsinB −asinA =12asinC ，则cos B 等于( )A. 34B. 23C. 13D. 1211. 在三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2√3的等边三角形，PA =PB =√7，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 16πB.49π4C.65π16D.65π412. 曲线f (x )=xe x (a <b <1)，则( )A. f(a)=f(b)B. f(a)<f(b)C. f(a)>f(b)D. f(a),f(b)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知变量x 、y 满足{x −y −2⩽0x +2y −5⩾0y −2⩽0，则2x +y 的最大值为_________．14. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 15. 若|a ⃗ |=√2,|b ⃗ |=2且(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a⃗ 与b ⃗ 的夹角是______ ． 16. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =4，AB =AC =2√3，BC =6，PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的半径为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +1，(1)证明：数列{a n +12}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2n−12a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n18.已知：梯形ABCD，AB//DC，AB=AD=2，DC=4，∠A=60°，将△ABD沿BD折起至△PBD的位置，使PC=4．(1)求证：平面PBD⊥平面BCD；(2)求点B到平面PCD的距离，19.为全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知斜率为1的直线与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，当直线过焦点F时，△AOB的面积为2√2．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C上任意一点M做切线交抛物线C的准线于点N，问y轴上是否存在定点P，使得PM⊥PN？若存在，求出P；若不存在，说明理由．21.已知f(x)=e x+alnx−ax．x(1)若a<0，讨论函数f(x)的单调性；)e x−x≥0在上恒成立，求b的取值范围．(2)当a=−1时，若不等式f(x)+(bx−b−1x22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知f(x)=|ax+1|，a∈R．(1)若关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x≤1}，求实数a的值；)时，不等式f(x)≤2−|2x−1|恒成立．求实数a的取值范围．(2)若x∈(0,12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={x|x(3−x)>0}={x|0<x <3}， B ={x|x >1}，∴A ∩B ={x|1<x <3}，故A ∩B =(1,3)． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴z ⋅z −=|z|2=(√(12)2+(−12)2)2=12． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由z ⋅z −=|z|2求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 则该圆锥的底面圆半径为r =1，母线长为l =2， ∴它的侧面积为S 侧面=πrl =2π． 故选：A ．由题意知圆锥的底面圆半径和母线长，计算它的侧面积即可． 本题考查了圆锥的侧面积公式应用问题，是基础题．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a3=3+a1，∴2(a1+2d)=3+a1，可得a1+4d=3=a5．=9a5=27．则S9=9(a1+a9)2故选B．5.答案：C解析：本题考查古典概型，列出基本事件，找出满足题意的即可．本题的基本事件有(195,196，190)，(195,196，194)，(195,196，200)，(195,190，194)，(195,190，200)，(195,194，200)(196,190，194)，(196,190，200)，(196,194，200)，(190,194，200)十种情况，．满足轮胎基本合格的事件有7个，故这批轮胎基本合格的概率为710故选C．6.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于一般题．求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：两个圆锥的底面半径为r=1，母线长均为l=√2，可得圆锥的高为ℎ=√l2−r2=1，四边形ABCD为矩形，对角线AC，DB的长为√4+4=2√2,ABCD为正方形，可得直线AC，BD的夹角为45°，由双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，由双曲线的渐近线方程为y=±bax，即有ba=1，则e=ca=√1+1=√2．故选B．7.答案：A解析：解：∵α为锐角，cosα=√55，∴sinα=2√55∴tanα=sinαcosα=2∴tan2α=2tanα1−tan2α=−43∴tan(π4+2α)=1+tan2α1−tan2α=1−431+43=−17故选A．先利用同角三角函数关系，计算sinα，tanα，从而可得tan2α，即可求得结论．本题考查同角三角函数关系，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：本题考查了导数的几何意义和函数的奇偶性性质，属于中档题．由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，可得a=1，求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．解：∵函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e−x+ae x=e x+ae−x，∴(e x−e−x)(a−1)=0，∴a=1，。

东莞市2020届高三第二学期第二次统考（6月）高考冲刺试题（最后一卷）文科综合历史试题参考答案及阅卷评分细则题号242526272829303132333435答案C C D D A C B B A C B D41.（25分）（1）不同之处：①（产生条件不同）欧洲行会产生时城市自主性较强，市场狭小；中国行会产生于专制性较强、受儒家思想影响较深的社会。

②（成立条件不同）欧洲行会主要是民间自发产生；中国行会是奉政府之命成立。

③欧洲的商业行会与手工业行会存在较大矛盾，有着较为激烈的行业竞争；中国的商业行会与手工业行会关系相对融洽，共生性较强。

④欧洲行会的自主和自治明显，在城市管理中的地位较高或作用较大；中国行会的自主性和独立性较差，在城市管理中的作用有限。

⑤（影响不同）欧洲行会在一定程度上推动了资本主义经济的发展或推动了欧洲社会转型；中国行会对近代中国社会转型方面的推动作用有限。

（若使用对比式答题方式，答对一点3分，两点5分，三点8分，四点10分其他方面言之成理可酌情给分，不超过10分；若没有对比过程，每点2分，5点10分）（2）变化：在地方和城市中享有较大的自治权（或参与城市管理）；以独立社会力量的身份积极参与社会政治活动。

（2分，任意一点即可）原因：民族资本主义的发展，民族产阶级力量壮大；民族危机的不断加深；清政府调整经济政策；实业救国思潮的推动；西方社会文化的影响；清末新政的推行。

（一点2分，两点3分，三点5分，四点7分；其他方面言之成理可酌情给分不超过7分）影响：推动民族资本主义经济发展，民资产阶级壮大；促进了中国社会的发展和近代化程；为新文化运动提供了一定的经经济基础；推动了一系列政治运动的发生（辛亥革命、五四运动等）；为以后的城市管理、地方建设提供了一的借鉴和参考。

（补充不利影响2分：中国行会对近代中国社会转型方面的推动作用有限/没有过多的推进近代化历程；有利影响4分，不利影响2分；其中有利影响一点1分，两点3分，三点4分；只答有利影响最多4分）42．（12分）示例一：人与环境应和谐相处（论题2分）环境是人类发展的依托，人类不应为生存而破坏环境，更不能转嫁环境污染。