新人教版九年级数学《圆心角-弧-弦-(弦心距)的关系》

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系一. 本周教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。

（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。

已知其中两项，可推出其余三项。

注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。

”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。

2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。

（M点是两点重合的一点，代表两层意义）COA BMD3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。

无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。

4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。

四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。

源于圆的旋转不变性。

即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。

()()()()1234⇔⇔⇔O B'M'A' BMA6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。

7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。

【典型例题】例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高)(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证AD BC=或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴AB CD=．∴AB BD CD BD-=-，即AD BC=，∴ AD＝BC．证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，∵ AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：AC BD=．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵ OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴ Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴AC BD=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵ M是AO的中点，且CM⊥AB，∴ AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴ AC＝BD，∴AC BD=．类型二、圆周角定理及应用2.如图，100AOB∠=，点C在O上，且点C不与A、B重合，则ACB∠的度数为（）A．50 B．80或50C．130 D．50或130【思路点拨】分点C在优弧AB上和点C在劣弧AB上两种情况去求ACB∠的度数.【答案】D；【解析】当点C在优弧AB上时，ACB∠=50°；当点C在劣弧AB上时，ACB∠=130°，故选D.【总结升华】考查分类讨论思想.举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .【答案】40°或140°.3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.【答案】90°.【解析】如图，连接OE，则【总结升华】把圆周角转化到圆心角.举一反三：【变式】如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠1（所对的圆心角）和∠BAD的大小．【答案】∵∠BCD和∠2分别是所对的圆周角和圆心角∴∠2=2∠BCD=200°又∵∠2+∠1=360°，∴∠1=160°∵∠BAD和∠1分别是所对的圆周角和圆心角∴．4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.【答案与解析】如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B，则∠AC′B=∠C=60°又∵AC′是⊙O的直径，∴∠ABC′=90°即⊙O的直径为.【总结升华】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.举一反三：【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6-7】【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）．A．22 B．4 C．23 D．5【答案】A.。

弧、弦、圆心角的关系人教九上初中数学试卷24-4一、学习目标理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变形；掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明．二、知识回顾1．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是任何一条条直径所在的直线，对称中心是圆心．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．3．垂径定理及其推论是什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．1．利用弧、弦、圆心角的关系求角的度数【例1】（2014秋•安次区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°练1．（2014•贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°2．利用弧、弦、圆心角的关系证线段相等【例2】如图，已知AB、CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，且=．求证：BD=DE．练2．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD．3．利用弧、弦、圆心角的关系证弧相等．【例3】（2014秋•营口期末）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：BD BE练3．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=．一、选择题1．（2015•奉贤区一模）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等2．（2015•宝山区一模）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条线弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等3．（2013秋•泉港区期末）如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°4．（2013秋•嘉兴期中）如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°5．（2013秋•武昌区校级期中）如图：=2，则下列正确的是（）A．AB=2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定6．（2011•宁波模拟）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°二、填空题7．（2014秋•海宁市校级月考）在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为4cm．8．（2012•天津模拟）一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为2cm．9．（2011•安庆一模）如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为2﹣3．10．（2015春•盐城校级期中）如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为35°．三、解答题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且AB=CD，求证：AC=BD．12．（2014秋•莱州市期末）如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，点C在圆上，CD=CE．求证：=．13．（2014秋•武夷山市期中）已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．14．（2012•常州模拟）如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．15．（1999•广州）某部队在灯塔A的周围进行爆炸作业，A的周围3千米内的水域为危险区域，有一渔船误入离A只有2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿什么方向航行？为什么？更多练习>>典例探究答案：【例1】（2014秋•安次区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°分析：根据圆心角、弧、弦的关系，由=得到∠BOD=∠AOE=32°，然后利用对顶角相等得∠BOD=∠AOC=32°，易得∠COE=64°．解答：解：∵=，∴∠BOD=∠AOE=32°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°∴∠COE=32°+32°=64°．故选D．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．练1．（2014•贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°分析：由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．解答：解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故选：A．点评：此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【例2】如图，已知AB、CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，且=．求证：BD=DE．分析：根据圆心角、弧、弦之间的关系和已知求出弧BD=弧DE，再根据圆心角、弧、弦之间的关系求出即可．解答：证明：∵圆心角∠AOC=∠BOD，∴弧AC=弧BD，∵=，∴弧DE=弧BD，∴BD=DE．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．练2．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD．分析：连结OD，如图，根据平行线的性质得∠2=∠3，∠2=∠B，加上∠B=∠3，则∠1=∠2，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到=，则AC=CD．解答：证明：连结OD，如图，∵OC∥BD，∴∠2=∠3，∠2=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴=，∴AC=CD．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了平行线的性质．【例3】（2014秋•营口期末）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求=．证：BD BE分析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，然后由OC=OE，可=．得∠C=∠E，继而证得∠DOB=∠BOE，则可证得：BD BE解答：证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，∵OC=OE，∴∠C=∠E，∴∠DOB=∠BOE，．∴BD BE点评：此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．练3．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=．分析：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG=∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知=；然后根据垂径定理可知=；最后根据图形易证得结论．解答：证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．∵OE=OF，OG⊥EF于点G，∴∠EOG=∠FOG，∴=．又∵OG⊥AB于点G，∴=，∴﹣=﹣，即=．点评：本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（=；=）来证明结论．课后小测答案：一、选择题1．（2015•奉贤区一模）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．2．（2015•宝山区一模）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条线弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等解答：解：A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；故选C．3．（2013秋•泉港区期末）如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°解：∵，=，∴∠AOB=∠AOC=122°．故选A．4．（2013秋•嘉兴期中）如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°解：∵==，∠BOC=40°，∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=60°．故选B．5．（2013秋•武昌区校级期中）如图：=2，则下列正确的是（）A．AB=2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定解：如图，取弧AB的中点E，则弧AE=弧BE，则弧AB=2弧AE，∵=2，∴弧AE=弧EB=弧CD，∴AE=BE=CD，在△AEB中，由三角形的三边关系得：AB＜AE+BE，∴AB＜2CD．故选：C．6．（2011•宁波模拟）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过A作AE ∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°解：∵AE∥CD，∴=，∴∠AOC=∠DOE，∵∠AOC=50°，∴∠DOE=50°，∴∠AOE=180°﹣∠AOC﹣∠DOE=180°﹣50°﹣50°=80°．故选D．二、填空题7．（2014秋•海宁市校级月考）在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为4cm．解：如图所示，∵在⊙O中AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2cm，∴⊙O的直径=2OA=4cm．故答案为：4．8．（2012•天津模拟）一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为2cm．解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB．∵一条弦把圆分成5：1两部分，∴∠AOB=60°，∴∠2=∠1=30°；又∵OD⊥AB，OA=2cm，∴AD=OA=1cm，∴AB=2AD=2cm．故答案是：2cm．9．（2011•安庆一模）如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为2﹣3．解：∵∠BOP=60°，OP=OB，∴△OPB为等边三角形，而∠BOQ=30°，∴OM为等边三角形OPB的高，∴OM=OB，而AB=，∴OM=×2=3，∴QM=2﹣3．故答案为2﹣3．10．（2015春•盐城校级期中）如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为35°．解：∵OC=OD，∴∠C=∠D，∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，∵CD∥AB，∴∠AOC=∠C=35°，∴的度数为35°．故答案为35°．三、解答题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且AB=CD，求证：AC=BD．证明：∵AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，∴=，∴AC=BD．12．（2014秋•莱州市期末）如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，点C在圆上，CD=CE．求证：=．证明：∵D，E分别是半径OA，OB的中点，∴OD=OE．在△ODC与△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，∴=．13．（2014秋•武夷山市期中）已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，那么∠AOC和∠BOD 相等吗？请说明理由．解：∠AOC和∠BOD相等．利用如下：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠COB=∠COD﹣∠COB，即∠AOC=∠BOD．14．（2012•常州模拟）如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．解：连接AC，∵=30°，∴∠1=∠2==15°，∵∠APC=30°，∠ADC是△APD的外角，∴∠ADC=∠1+∠APC=15°+30°=45°，∴=2∠ADC=90°；∵∠AEC是△CDE的外角，∴∠AEC=∠ADC+∠2=45°+15°=60°．故答案为：90°，60°．15．（1999•广州）某部队在灯塔A的周围进行爆炸作业，A的周围3千米内的水域为危险区域，有一渔船误入离A只有2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿什么方向航行？为什么？解：沿射线AB的方向航行，因为能最快脱离危险区域．证明：设射线AB与⊙A相交于点C．在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点），连接AD，BD，在△ABD中，AB+BD＞AD．∵AD=AC=AB+BC，∴AB+BD＞AB+BC，∴BD＞BC．。

圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

教学设计活动四：课堂总结反思【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的过程中，让学生通过观察、猜想、证明、归纳的学习过程，轻松直观地学习新的知识，在应用提高的过程中，让数学充满趣味，提高课堂效率．②[讲授效果反思]教师引导学生注意：(1)应用定理的前提条件是“在同圆或等圆中”；(2)证明弦相等，可以考虑证明弦所对的圆心角或弧相等的思维方法．③[师生互动反思]从课堂学生发言和表现来看，课堂设计合理，问题有层次性，学生经过思考后能够独立解答相应的问题，形象化的演示给学生带来很大帮助．④[习题反思]好题题号__________________________________________错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间关系(一)学习目标：1．知道圆的旋转不变性；2．熟记圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及其推论，并能应用它们解决一些问题．学习重点：圆心角、弧、弦、弦心距关系定理．预设难点：对圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解．☆预习导航☆一、链接1．弧、弦、等弧的定义．2．一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形互相重合，因此我们说圆是____________，同时圆还具有一条特殊性质——旋转不变性．二、导读阅读教材内容，回答问题．1．什么叫圆心角、弦心距？2.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系(1)指出图24－2－94中圆心角∠AOB 所对的弧是________，所对的弦是________，所对弦的弦心距是________．图24－2－943.⎭⎪⎬⎪⎫在同圆或等圆中得到①两个圆心角相等⇨⎩⎪⎨⎪⎧②两条 相等③两条 相等④两条弦的 相等由前面定理的推理过程不难发现，若将上面的①与②、③、④中的任意一个调换位置，得到的新的命题都是真命题．因此有该定理的推论：______________________________________________________. ☆ 合作探究 ☆1．如图24－2－95，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A ，B 和C ，D.求证：AB ＝CD.图24－2－952.如果将1题中的∠EPF 的顶点P 看成是沿着PO 这条直线运动，(1)当顶点P 在⊙O 上时；(2)当顶点P 在⊙O 内部时，是否还能得到AB ＝CD?图24－2－96☆ 归纳反思 ☆1．这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是________图形，得到圆的特性——圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，________、________、________、________之间的关系定理及推论．这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．2．在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或________中”这一前提条件． ☆ 达标检测 ☆1．如图24－2－97，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OE ，OF 分别为AB ，CD 的弦心距．根据本节定理填空：(1)若AB ＝CD ，则________，________，________； (2)若OE ＝OF ，则________，________，________；(3)若AB ︵＝CD ︵，则________，________，________；(4)若∠AOB ＝∠COD ，则________，________，________．图24－2－97 图24－2－982. 判断题：下列说明正确吗？为什么？(1)如图24－2－98，因为∠AOB ＝∠A′OB′，所以AB ︵＝A ′B ′︵. (2)在⊙O 和⊙O′中，如果弦AB ＝A′B′.那么AB ︵＝A ′B ′︵.第3课时 圆心角、弦、弧、弦心距间关系(二)学习目标：1．进一步运用垂径定理及其推论，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理进行有关的计算和证明．2．了解1°的弧的概念并能进行有关圆心角和弧的度数的计算． 学习重点：垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距关系定理的应用．预设难点：垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距关系定理的应用． ☆ 预习导航 ☆ 一、链接1.垂直于弦的直径________，并且平分弦所对的________． 2．平分弦(________)的直径________，并且平分________．3．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的__________，所对的__________，所对弦的________也相等．4．在________中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等． 二、导读阅读教材内容，回答问题．1．把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，根据定理整个圆周也被等分成360份，每一份这样的弧叫做________．2．一般的，n °的圆心角对着________，____________________． 也就是说，__________________________． ☆ 合作探究 ☆ 1．在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别是3和2，求∠BAC 的度数．2．如图24－2－99，AB ，AC ，BC 都是⊙O 的弦，∠AOC ＝∠BOC.∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？图24－2－99☆ 归纳反思 ☆1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________、________、________．2．在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或________中”这一前提条件． 3．圆心角的度数和它所对的________的度数相等． ☆ 达标检测 ☆ 1．判断正误：(1)等弧的度数相等．( )(2)相等的圆心角所对的弧相等．( )(3)两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等．( )2．同圆中，若AB ︵＝2CD ︵，则AB 与2CD 的大小关系是( ) A ．AB>2CD B ．AB<2CD C ．AB ＝2CD D ．不能确定3．(1)度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少？为什么？ (2)5°的圆心角对着多少度的弧？5°的弧对着多少度的圆心角？ (3)n °的圆心角对着多少度的弧？n °的弧对着多少度的圆心角？。