高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷理科附详细答案121460

2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。

A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。

所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。

根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。

故选A。

3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。

又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。

由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。

将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。

解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。

故选B。

二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。

再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。

5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。

【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。

三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。

高考复习试卷习题资料之高考数学试卷（理科）高考模拟卷 (12)一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A.{﹣2}B.{2}C.{﹣2，2}D.∅2.（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A.AB.BC.CD.D3.（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A. B. C. D.4.（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A.￢p：∀x∈A，2x∉BB.￢p：∀x∉A，2x∉BC.￢p：∃x∉A，2x∈BD.￢p：∃x∈A，2x∉B5.（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A. B. C. D.6.（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A. B. C.1 D.7.（5分）函数y=的图象大致是（）A. B. C.D.8.（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A.9B.10C.18D.209.（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. B. C. D.10.（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A.[1，e]B.[e﹣1﹣1，1]C.[1，e+1]D.[e﹣1﹣1，e+1]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.（5分）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是（用数字作答）.12.（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=.13.（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是.14.（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是.15.（5分）设P1，P2，…Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.（12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和.17.（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣.（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影.18.（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 14 6 10…………2100 1027 376 697 乙的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 12 11 7…………2100 1051 696 353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.19.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点.（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.20.（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点.（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程.21.（14分）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2.（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围.高考复习试卷习题资料之高考数学试卷（理科）高考模拟卷 (12)参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A.{﹣2}B.{2}C.{﹣2，2}D.∅【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集.【解答】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}.故选：A.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A.AB.BC.CD.D【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可.【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称.所以点A表示复数z的共轭复数的点是B.故选：B.【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查.3.（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A. B. C. D.【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项. 【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C.而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B.故选：D.【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题.4.（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A.￢p：∀x∈A，2x∉BB.￢p：∀x∉A，2x∉BC.￢p：∃x∉A，2x∈BD.￢p：∃x∈A，2x∉B【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B.故选：D.【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查.5.（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A. B. C. D.【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2.由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣.由此即可得到本题的答案.【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A.【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式.着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题.6.（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A. B. C.1 D.【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）.由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离.【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：.因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B.【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题.7.（5分）函数y=的图象大致是（）A. B. C.D.【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可.【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A.当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C.【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法.8.（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A.9B.10C.18D.20【分析】因为lga﹣lgb=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案.【解答】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18.故选：C.【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题.9.（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. B. C. D.【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案.【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选：C.【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题.10.（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A.[1，e]B.[e﹣1﹣1，1]C.[1，e+1]D.[e﹣1﹣1，e+1]【分析】考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f （f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确故选：A.【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.（5分）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）. 【分析】利用二项式（x+y）5的展开式的通项公式Tr+1=x5﹣r•yr，结合题意即可求得答案.【解答】解：设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为Tr+1，则Tr+1=x5﹣r•yr，令r=3，则含x2y3的项的系数是=10.故答案为：10.【点评】本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题.12.（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=.【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案.【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2.故答案为：2.【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.13.（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是.【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===.故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键.14.（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）.【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可.【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）.故答案为：（﹣7，3）.【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键.15.（5分）设P1，P2，…Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）.【分析】对于①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，正确；对于②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，据此进行判断即可；对于③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的中位点存在但不唯一；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.【解答】解：①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，①正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故③错误；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④正确.故答案为：①④.【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.（12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和.【分析】设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则利用a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，建立方程，即可求得数列{an}的首项，公差；利用等差数列的前n项和公式可求和.. 【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4，d=0或a1=1，d=3∴前n项和为Sn=4n或Sn=.【点评】本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算能力，考查分类与整合等数学思想，属于中档题.17.（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣.（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影.【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小.【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知.解得c=1，c=﹣7（舍去）.向量在方向上的投影：=ccosB=.【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想.18.（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 14 6 10…………2100 1027 376 697乙的频数统计图（部分）运行次数输出y的值为1的输出y的值为2的输出y的值为3的n 频数频数频数30 12 11 7…………2100 1051 696 353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.【分析】（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望.【解答】解：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1==；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：输出y值为2的频率输出y值为3的频率输出y值为1的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P （ξ=1）==P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以所求的数学期望Eξ==1【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及程序框图和数学期望的求解，属中档题.19.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点.（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.【分析】（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC，根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A1BC.由等腰三角形“三线合一”得到AD⊥BC，从而得到AD⊥l，结合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，证出直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF.根据面面垂直判定定理，证出平面A1MN⊥平面A1AE，从而得到AE⊥平面A1MN，结合EF⊥A1M，由三垂线定理得AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角.设AA1=1，分别在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的长，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值，结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值，从而得出二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.【解答】解：（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC∵直线l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴直线l∥平面A1BC，∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l∵AA1⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA1⊥l∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线∴直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=∴AE==，AF==∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于.【点评】本题在直三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的余弦值.着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了三垂线定理和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题.21.（14分）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2.（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围.【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣ 1.可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2.分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出.. 【解答】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增.（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1.∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立.∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1. （III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2. 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即.当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即.函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由①②得=.∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞.x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2.∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）.【点评】本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.20.（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点.（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程.【分析】（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N 两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程.【解答】解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点.∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=∴椭圆的离心率e===…4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q 的坐标为（0，2±）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则，，又|AQ|2=（1+k2）x2，∴，即=…①将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞由②知x1+x2=﹣，x1x2=，代入①中化简得x2=…③因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18由③及k2＞可知0＜x2＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈（，）且﹣1≤y≤1，则y∈[，2﹣]综上得，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈[，2﹣]…13分【点评】本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性.本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分.高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．【重点知识梳理】一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【高频考点突破】考点一判断函数的奇偶性例1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.。

高考数学（全国卷）模拟试题（理科）试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x>-2},则下列选项正确的是A．{0}∈M B．Φ∈M C.{0}⊆M D．0 ⊆M2．已知复数1izi+=，其中i为虚数单位，则z=A.12B.23．已知向量(1,2)a =，(,2)b x=-，且a b⊥，则||a b+=A．5 B．4．如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为A．685B．695C．14 D．7155．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现，书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为A．829尺 B．1629尺 C．3229尺 D．12尺6．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为A．12B．32C．1 D．137．已知函数()(0)2(0)α⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩x xf xx x,且()()22-=f f则()4=fA．2 B．4 C．8 D．168．已知实数[]1,10x∈，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于63的概率为A．49B．13C．25D．3109．若“1,22x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x xλ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为A．(-∞ B．⎡⎤⎣⎦ C．⎡⎤-⎣⎦ D．3λ=10．已知函数()x xf x e ae-=+为偶函数，若曲线()y f x=的一条切线的斜率为32，在切点的横坐标等于A．ln2 B．2ln2 C．2 D11．设BA,在圆122=+yx上运动，且3=AB，点P在直线01243=-+yx上运动，则+的最小值为A．3 B．4 C．517D．51912．设函数()f x在R上存在导函数()f x'，对任意的实数x都有()()24f x x f x=--，当(),0x∈-∞时，()142f x x'+<.若()()3132f m f m m+≤-++，则实数m的取值范围是A.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.[)1,-+∞ D.[)2,-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知),2(ππα∈，且55sin=α，则tan()4πα+=14．若实数,x y满足20240230x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则yx的最大值是．15．若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________．16．对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤恒成立；②()()()*22f x kf x k k N =+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m =，(cos ,sin )n A A =-，记()f A m n =⋅.（1）求()f A 的取值范围；（2）若m 与n 的夹角为3π，3C π=，c =b 的值．18．（本小题满分12分）已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形，且3π=∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，11=AA ，设E 为CD 的中点（1）求证：⊥E D 1平面1BEC（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．19．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对14-号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．（1）写出22⨯列联表：判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？ 说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（2）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为45，34，23，13，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是12，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长为2，点M 为椭圆E 上一个动点，且||MF1. （1）求椭圆E 的方程； （2）若点M的坐标为(1,2，点,A B 为椭圆E 上异于点M 的不同两点，且直线1x =平分AMB ∠，求直线AB 的斜率.21．（本小题满分12分） 已知函数122)21ln()(+++=x ax x f （1）若0>a ，且)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

高考理科数学模拟试题卷（附答案）注意事项：1. 本科考试分试題卷和答題卷，考生须在答題卷上作答.答题前，请在答題卷的密 封线内填写学校、班级、学号、姓名；2. 本试題卷分为第1卷（选择題）和第π卷（非选择題）两部分，共6页，全卷满 分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. OB. -14. 已知α,β是空间中两个不同平面，m , n 是空间中两条不 同直线，则下列命题中错误的是A. 若m//n m 丄α, 则n 丄αB. 若m//α α ⋂β, 则m//nC. 若m 丄α , m 丄β， 则α//βD. 若m 丄α, m ⊂ β 则 α 丄β5. 已知函数⎩⎨⎧>≤0),(0),(21x x f x x f 下列命题正确的是A. 若)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数，则)(x f 存在最大值B. 若)(x f 存在最大值，则)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数C. 若)(1x f ,)(2x f 均为减函数，则)(x f 是减函数D. 若)(x f 是减函数，则)(1x f ,)(2x f 均为减函数A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知双曲线c: )0(12222>>=-b a by a x ,以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O),若|MN|=a 32,则双曲线C 的离心率 是x sin 1xsin 1<9. 如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1)组成的 正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶 点构成的正三角形的个数是A. 13B. 14C. 15D. 1710. 已知函数f(x)=x 2+bx+c,(b,c∈R),集合A = {x 丨f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若≠⋂BA 且存在x 0∈B，x 0∈A则实数b 的取值范围是A 0≠bB b<0或4≥bC 40<≤bD 44≥≤b b 或非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.14. 设(x-2)6=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2+…+a 6(x+1)6,则a 0+a 1+a 2+…+a 6 的值为15. 一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放 回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数X 的均值E(X) =__16. 若b a ,是两个非零向量，且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ，则b 与b a -的夹角的17. 己知抛物线y 2=4x 的焦点为F,若点A, B 是该抛物线上的点，=∠AFB的中点M 三、解答题:本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟• 18. (本题满分14分）在ΔABC 中，a,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边，且a=(I )求角B 的大小(II)若3=∆ABC S ，求b 的最小值.19. (本题满分14分）已知等差数列{a n }的公差不为零，且a 3 =5, a 1 , a 2.a 5 成等比数列 (I )求数列{a n }的通项公式：(II)若数列{b n }满足b 1+2b 2+4b 3+…+2n -1b n =a n 且数列{b n }的前n 项和T n20. (本题满分15分）EC 丄底面ABCD, FD 丄底面ABCD 且有E C =F D =2. (I )求证：AD 丄B F :(II )若线段EC 上一点M 在平面BDF 上的射影恰好是BF 的中点N ,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.21 (本题满分15分）已知椭圆C: 1222=+y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2, O 为原点.(I)如图①，点M 为椭圆C 上的一点，N 是MF 1的中点，且NF 2丄MF 1,求点M 到y 轴的距离；(II)如图②，直线l: ：y=k + m 与椭圆C 上相交于P,G 两点，若在椭圆C 上存 在点R,使OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围.22. (本题满分14分） 已知函数x a x a x x f ln )12()22(21)(2+++-=(I )求f(x)的单调区间；(II)对任意的]2,1[,],25,23[21∈∈x x a ，恒有|211|)(|)(|121x x x f x f -≤-λ，求正实数λ的取值范围.三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分） 18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：C B C A cos sin sin 21sin +=，…2分 又因为)(C B A +-=π，所以)sin(sin C B A +=，…4分可得C B C C B C B cos sin sin 21sin cos cos sin +=+，…6分即21cos =B .所以3π=B …7分 （Ⅱ） 因为 3=∆ABC S ，所以 33sin 21=πac ，所以4=ac …10分 由余弦定理可知：ac ac ac ac c a b =-≥-+=2222…12分所以42≥b ，即2≥b ，所以b 的最小值为2．…14分19．解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为)0(≠d d ，由题⎪⎩⎪⎨⎧==532251a a a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+52)()4(12111d a d a d a a ，…3分解得：⎩⎨⎧==211d a .…4分 122)1(1)1(1-=-+=-+=∴n n d n a a n .…5分（Ⅱ）n n n a b b b b =++++-1321242 ①20．解：（Ⅰ）证明：∵DC BC ⊥，且2==CD BC ，∴2=BD 且45=∠=∠BDC CBD ； …1分又由DC AB //，可知45=∠=∠CBD DBA∵2=AD ，∴ADB ∆是等腰三角形，且45=∠=∠DBA DAB ， ∴90=∠ADB ，即DB AD ⊥；…3分∵⊥FD 底面ABCD 于D ，⊂AD 平面ABCD ，∴DF AD ⊥， …4分 ∴⊥AD 平面DBF.又∵⊂BF 平面DBF ，∴可得BF AD ⊥. …6分 （Ⅱ）解：如图，以点C 为原点，直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系. 可得)0,2,22(),2,0,2(),0,2,0(),0,0,2(A F B D ， …8分 又∵ N 恰好为BF 的中点，∴ )1,22,22(N 设),0,0(0z M ，∴)1,22,22(0z MN -=.又∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF MN BD MN ，∴可得10=z .故M 为线段CE 的中点. …11分 设平面BMF 的一个法向量为),,(1111z y x n =， 且)2,2,2(--=BF ，)1,2,0(-=BM ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n 可得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--02022211111z y z y x ， 取⎪⎩⎪⎨⎧===213111z y x 得)2,1,3(1=n .…13分又∵平面MFC 的一个法向量为)0,1,0(2=n ， …14分∴63,cos 21=<n n .故所求二面角B-MF-C 的余弦值为63.…15分 21．解（Ⅰ）)0,1(1-F ，…1分 设),(00y x M ，则1MF 的中点为)2,21(0y x N -， …2分∵21NF MF ⊥，∴021=⋅NF MF ，即0)2,23(),1(0000=-⋅+y x y x ， …3分 ∴03220020=+--y x x （1） …4分 又有122020=+y x， （2）由（1）、（2）解得2220-=x （2220+=x 舍去） …5分 所以点M 到y 轴的距离为222-.…6分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q ，∵OPRQ 为平行四边形，∴R x x x =+21，R y y y =+21． …8分∵R 点在椭圆上，∴1)(2)(221221=+++y y x x ，即1]2)([2)(221221=++++m x x k x x ，…9分化简得，28)(8))(21(2212212=+++++m x x km x x k ．…（1） …10分 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1222得0224)21(222=-+++m km x x k ． 由0>∆，得2212m k >+…（2）， …11分 且221214k km x x +-=+．…12分代入（1）式，得282132)21()21(16222222222=++-++m k m k k m k k ，化简得22214k m +=，代入（2）式，得0≠m ． …14分 又121422≥+=k m ， ∴21-≤m 或21≥m ．…15分22．解：（Ⅰ）x a a x x f 12)22()(+++-='=x x a x )1)(12(--- （0>x ）令0)(='x f ，1,1221=+=x a x …1分① 0=a 时，0)1()(2≥-='x x x f ，所以)(x f 增区间是()+∞,0；② 0>a 时，112>+a ，所以)(x f 增区间是)1,0(与),12(+∞+a ，减区间是)12,1(+a③021<<-a 时，1120<+<a ，所以)(x f 增区间是)12,0(+a 与),1(+∞，减区间是)1,12(+a④21-≤a 时，012≤+a ，所以)(x f 增区间是),1(+∞，减区间是)1,0(…5分（Ⅰ）因为]25,23[∈a ，所以]6,4[)12(∈+a ，由（1）知)(x f 在]2,1[上为减函数. …6分 若21x x =，则原不等式恒成立，∴),0(∞+∈λ…7分第11页 若21x x ≠，不妨设2121≤<≤x x ，则)()(21x f x f >，2111x x >， 所以原不等式即为：)11()()(2121x x x f x f -≤-λ，即22111)(1)(x x f x x f λλ-≤-对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 恒成立 令x x f x g λ-=)()(，所以对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 有)()(21x g x g <恒成立，所以x x f x g λ-=)()(在闭区间]2,1[上为增函数 …9分所以0)(≥'x g 对任意的]25,23[∈a ，]2,1[∈x 恒成立。

高考数学模拟试卷(理科)【附答案】本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数ii4332-+-（是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=xx N ，则N C M R ⋂等于A ．[]1,1-B ．)0,1(-C ．[)3,1D ．)1,0(3.61(2)x x-的展开式中2x 的系数为A.240-B. 240C. 60-D. 60 4．“2πϕ=”是“函数()x x f cos =与函数()()ϕ+=x x g sin 的图像重合”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 设m 、n 为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④6．数列{}n a 满足11=a ， 11++=+n a a n n (*N n ∈)，则201321111a a a +++ 等于 A. 20132012 B. 20134024 C. 10072013 D. 100710067. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是A . 403k ≤≤B . <0k 或4>3kC . 3443k ≤≤D . 0k ≤或4>3k8.对数函数x y a log =（10≠>a a 且）与二次函数()x x a y --=21在同一坐标系内的图象可能是9. 已知函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()a x x f =+22有六个不同的实根，则实数a 的取值范围是A ．(]2,8B ．(]2,9C ．()9,8D ．(]8,910. 记集合{}8,6,4,2,0=P ,{}P a a a a a a m m Q ∈++==321321,,,10100，将集合Q 中的所有元素排成一个递增数列，则此数列第68项是 A ．68 B ．464 C ．468 D ．666第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ 12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲13.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{n a }的公比为___▲ __14．若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02，且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为__▲15.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲16．已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为▲17. 如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y轴正半轴上移动，则OB OC ⋅的最大值是 ▲ (第17题图)三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. （本题满分14分）已知函数()21)cos sin 3(cos +-=x x x x f ωωω（0>ω）的周期为π2.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=，求)(B f 的值．19. 某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为21，答对每道选择题的概率为31，且每位参与者答题互不影响.(Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得3分的概率；(Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.20.如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC （点D 与点P 重合），使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；(Ⅱ)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求二面角C AB P --的大小.21.（本题满分15分） 已知点M 到定点()0,1F 的距离和它到定直线4:=x l 的距离的比是常数21,设点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程;（Ⅱ）已知曲线C 与x 轴的两交点为A 、B ,P 是曲线C 上异于A ，B 的动点,直线AP 与曲线C 在点B 处的切线交于点D ，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．22. 已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）.(Ⅰ)当0=a 时，求函数的单调区间；(Ⅱ) 当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<.证明：ex x 231>+.数学试卷(理科)参考答案二、填空题(4×7=28分) 11.16 12.3 13.31 14. 4915. 3 16. 1- 17. 2 三、解答题(共72分) 18．解：（Ⅰ）()2122cos 12sin 2321cos cos sin 32++-=+-=x x x x x x f ωωωωω x x ωω2cos 212sin 23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62s i n πωx 21=∴ω ——7分（Ⅱ）解法（一）a c A b 32cos 2-=a c bca cb b 3222222-=-+⋅⇒ 整理得ac b c a 3222=-+，故232cos 222=-+=ac b c a B 6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分解法（二）a c A b 32cos 2-=A C A B sin 3sin 2cos sin 2-=⇒A B A A B sin 3)sin(2cos sin 2-+=⇒0sin 3cos sin 2=-⇒A B A 0)3cos 2(sin =-⇒B A0sin ,0≠∴<<A A π 23c o s =∴B 又6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分19解：(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为9231)32(21223=⨯⨯⨯C ， 答错填空题且答对三道选择题的概率为541)31(213=⨯（对一个4分）∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为541354192=+； ………………… 7分 (Ⅱ)由题意知随机变量ξ的取值有0，1,2，3，4.又某位参与竞猜活动者得4分的概率为9132)31(21223=⨯⨯⨯C 某位参与竞猜活动者得5分的概率为541)31(213=⨯ ∴参与者获得纪念品的概率为547……………………… 11分 ∴)547,4(~B ξ，分布列为kk k C k P -==44)5447()547()(ξ，4,3,2,1,0=k∴随机变量ξ的数学期望ξE =27145474=⨯. ……………………… 14分 20解：(Ⅰ)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中，∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠, ∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ……… 6分(Ⅱ)如图，以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴，平面PAC 内过O 且垂直于直线AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，可设点),0,(z x P 又)0,0,32(A ，)0,2,0(B ，)0,0,3(-C ，)0,1,3(-E ，且由2=PE ，7=PC 有⎩⎨⎧=++=++-7)3(41)3(2222z x z x ，解得332==z x ，∴)332,0,332(P ………… 9分 则有)332,0,334(-=AP ，设平面PAB 的法向量为),,(c b a n =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==x y x z 32，故可取)2,3,1(= ……… 12分又易取得平面ABC 的法向量为)1,0,0(，并设二面角C AB P --的大小为θ，∴2281)2,3,1()1,0,0(cos =⋅⋅=θ，∴4πθ=∴二面角C AB P --的大小为4π. …………………14分 21．解：（Ⅰ）设点M ()y x ,，则据题意有()214122=-+-x y x ∴化简得22143x y += 故曲线C 的方程为22143x y +=，…………5分 （Ⅱ）如图由曲线C 方程知()()0,2,0,2B A -,在点B 处的切线方程为2=x .以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+． 所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………7分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切．当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF 的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………15分 22解：(Ⅰ) xx x x f 2ln )1ln 2()('-= 令0)('=x f 可得e x =.列表如下:单调减区间为()1,0,e ,1;增区间为(+∞,e .------------5分(Ⅱ)由题，xx a x a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=对于函数1ln 2)(-+=x a x x h ，有22)('x ax x h -= ∴函数)(x h 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a上单调递增∵函数)(x f 有3个极值点321x x x <<， 从而012ln2)2()(min <+==a a h x h ，所以ea 2<， 当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，————9分即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+01ln 201ln 23311x ax x ax ，消去a 有333111ln 2ln 2x x x x x x -=-令x x x x g -=ln 2)(，1ln 2)('+=x x g 有零点ex 1=，且311x ex <<∴函数x x x x g -=ln 2)(在)1,0(e上递减，在),1(+∞e上递增要证明 ex x 231>+⇔132x e x ->⇔)2()(13x e g x g ->()()31x g x g = ∴即证0)2()()2()(1111>--⇔->x eg x g x eg x g构造函数())2()(x e g x g x F --=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛e F 1 =0 只需要证明]1,0(ex ∈单调递减即可.而()2)2ln(2ln 2+-+='x ex x F ，()0)2()22(2''>--=x ex x ex F ()x F '∴在]1,0(e 上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+.————————15分。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)． 其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。

高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论.【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，co sα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴.由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1.【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(13)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列2.（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.44.（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A.﹣B.0C.3D.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞6.（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q7.（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.728.（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.39.（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.16810.（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc（b+c）＞8B.ab（a+b）＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B=.12.（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为.13.（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=.三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=.15.（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值.18.（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数.）19.（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP.（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.20.（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c.（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围.21.（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.22.（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(13)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可.【解答】解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，故选：D.【点评】本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断.2.（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案.【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A.【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键.3.（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A.【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.4.（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A.﹣B.0C.3D.【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可.【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3.故选：C.【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件.【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键.6.（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题.而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答.【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D.【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断.7.（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60.故选：B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率.【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==.故选：B.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题.9.（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B.【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便.10.（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc（b+c）＞8B.ab（a+b）＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=.设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A.bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B.ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A.【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B={7，9}.【分析】由条件利用补集的定义求得∁UA，再根据两个集合的交集的定义求得（∁UA）∩B.【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁UA）={4，6，7，9 }，∴（∁UA）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}.【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.12.（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为.【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值. 【解答】解：∵f（x）=log2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是.故答案为：﹣【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题.13.（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±.【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键.三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4.【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论.【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4.【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题.15.（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径.【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==.故答案为：.【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，].【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可.【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，].故答案为：[﹣1，].【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值.【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2.再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值.（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=.再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2.再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z.结合﹣≤φ＜可得φ=﹣.（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=.再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=.【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题.18.（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数.）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现.【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：X 1 2 3P所以E（X）=.【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题. 19.（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP.（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到•=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴•=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ===﹣故sinθ==【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.20.（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c.（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围.【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案.【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档.22.（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论.【分析】（Ⅰ）若b=1，利用an+1=+b，可求a2，a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可.【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（an﹣1）2=n﹣1，∴an=+1（n∈N*）；（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1.n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，∴1＞c＞a2k+2＞a2，∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，∴c＜a2k+3＜1，∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立.【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大.21.（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径.【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1.从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0.当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题.高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。