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弯曲变形的强度条件和强度计算当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。
如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。
如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。
本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。
图1 平面弯曲一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。
为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。
图2 剪力的正负图3 弯矩的正负例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力=∑C M：0310126=⨯--⋅AyF，kN7=AyF=∑Y：010=-+ByAyFF，kN3=ByF（2）列内力方程剪力：⎩⎨⎧<<-<<=63kN33kN7)(S xxxF弯矩：⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=633mkN)6(3mkN127)(xxxxxM（3）作剪力图和弯矩图二、梁弯曲时的正应力在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。
若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。
本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。
梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。
图4 梁弯曲时的正应力分布图即有yIxMz)(=σ（1）中性轴把截面分成受拉区和受压区两部分，且最大拉应力和最大压应力发生在上下边缘处，其值为max max y I Mz=σ。
令max y I W z z=，即有：zW M =max σ （2）式中，W z 称为抗弯截面系数，它与横截面的几何尺寸和形状有关，量纲为[长度]3，常用单位为mm 3或m 3。
任务十九斜弯曲的强度计算一、填空题1. 梁的挠曲线不是在形心主惯性平面内的一条平面曲线就称为 ( 斜弯曲 )。
2. 梁的斜弯曲是两个互相垂直平面内 ( 平面弯曲 )的组合，该变形最主要的特点是( 挠曲面与弯矩作用面不重合 )。
3.斜弯曲梁的强度是由 ( 最大主应力 )控制的。
4.悬臂梁的自由端受垂直于梁轴线的力F作用，力作用方向与梁横截面形状分别如图所示，则图(a)的变形为 ( 斜弯曲 )；图(b)的变形为 ( 平面弯曲 ) ；图(c)的变形为 ( 斜弯曲+扭转 ) 。
二、选择题1.悬臂梁AB的横截面为等边三角形，形心在C点，承受均布载荷q，其作用方向及位置如图所示，该梁的变形：（ A ）A．平面弯曲 B．斜弯曲C．纯弯曲 D．弯扭组合2.开口薄壁管一端固定一端自由，自由端受集中力F作用，梁的横截面和力F的作用线如图所示，C为横截面形心，该梁的变形：（ D ）A．平面弯曲 B．斜弯曲C．平面弯曲+扭转 D．斜弯曲+扭转三、简答题1.平面弯曲与斜弯曲的区别是什么？答：项目平面弯曲斜弯曲受力特点F P平面与过y轴的纵平面重合FP平面过形心但不与过y轴的纵平面重合。
中性轴特点中性轴与F P平面垂直中性轴与F P平面不垂直变形特点挠曲平面与中性轴垂直，且在F P平面内。
挠曲平面与中性轴垂直，但偏离F P平面内。
A BlqCqFC(c)(b)正方形(a)长方形FFF四、计算题1.图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,已知F1=800N, F2=1.6KN,l=1m,许用应力〔σ〕=180Mpa,试分别在下列两种情况下，校核梁的强度。
截面为矩形，h=2b=80mm ； 截面为圆形,d=60mm 。
分析：此梁受到两个集中力作用，两个力分别作用于梁的不同方位的纵向对称面内，此类弯曲也属斜弯曲 。
解：内力分析梁在F1、F2作用下，分别在水平方位及铅垂方位产生对称弯曲，其各自的弯矩图如图 a 、b 所示。
由此可见，梁的危险面在固定端处。
（2）求危险面上的最大正应力，校核强度A ．梁横截面为矩形，危险面上的最大正应力发生在E 、F 两点处，其值为B ．梁横截面为圆形，梁在水平方位弯曲时，最大弯曲正应力发生在危险面的A 、B 两点处；铅垂方位弯曲时，最大弯曲正应力则发生在C 、D 两点处，可见，两个方位弯yzF 2 l2 F 1 lxy图 a图 b[]σσ<=⨯⨯+⨯=⋅⋅+⋅⋅=+=Mpa b b b h lF h b l F W l F W l F Z X 1693106.12321080062623633212212maxbhdF 1F 2ll ABC DEF曲所产生的最大弯曲正应力并不发生于同一点处，因此，不能应用式8—18计算危险面上的最大正应力。
而另一方面，圆截面梁有无数个纵向对称面，所以，只要载荷过截面圆心且垂直于梁轴线，梁就会产生对称弯曲。
所以，可以将危险面上两个相互垂直的弯矩合成，进而求在合弯矩作用下的最大弯曲正应力，此即为该面上的最大正应力。
可见，矩形截面梁及圆形截面梁均满足强度要求。
2.一长2m 的矩形截面木制悬臂梁，弹性模量41.010MPa E =⨯，梁上作用有两个集中荷载1 1.3kN F =和2 2.5kN F =，如图 (a)所示，设截面0.6b h =，[]10MPa σ=。
试选择梁的截面尺寸，并计算自由端的挠度。
解：1）选择梁的截面尺寸。
将自由端的作用荷载1F 分解11sin150.336kNy F F ==，11cos15 1.256kN z F F ==此梁的斜弯曲可分解为在xy 平面内及xz 平面内的两个平面弯曲，如图 (c)所示。
由图可知M z 和M y 在固定端的截面上达到最大值，故危险截面上的弯矩2232232.510.33623.172kN m, 1.2562 2.215kN m 11110.60.1,(0.6)0.066666z y z y M M W bh h h h W hb h h h =⨯+⨯=⋅=⨯=⋅==⨯⋅===⨯⋅=上式中M z 与M y 只取绝对值，且截面上的最大拉压应力相等，故66max333.17210 2.512100.10.06y z z y M M W W h h σ⨯⨯=+=+6373.58710[]h σ⨯=≤()()()()[]σππσ<=⋅⨯⨯+⨯=⋅⋅+⋅=+==MPa d dl F l F WM M WMZX 6.15532106.1210800322326233212222max max6373.58710194.5(mm)10h ⨯=≥ 可取h =200mm ，b =120mm 。
2）计算自由端的挠度。
分别计算f y 与f z ，如图9-15(c)所示，则232123362y y z z l F F l l f l EI EI ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭ 333346310.336102 2.5101(321)213 1.010100.120.212⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =3.72mm33314631.256102133 1.010100.20.1212z z y F l f EI ⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11.6mm =2222(3.72)(11.6)12.18mmz yf f f =+=+=，11.6arctan 72.453.7β⎛⎫==⎪⎝⎭３．矩形截面悬臂梁如图所示，已知F1=0.5kN ，F2=0.8kN ，b=100mm ，h=150mm 。
试计算梁的最大拉应力及所在位置。
解 (1)内力的计算m 1.2kN m kN 238.02m 1.5kN m kN 35.02max 1max ⋅=⋅⨯=⨯=⋅=⋅⨯==l F M l F M y z(2) 应力的计算σmax=z z W M max + yy W M max = 2max6bh M z + 2max 6hb M y= MPa100150102.16150100105.162626⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 8.8MPa(3) 根据实际变形情况，F1单独作用，最大拉应力位于固定端截面上边缘ad ，F2单独作用，最大拉应力位于固定端截面后边缘cd ，叠加后，角点d 拉应力最大。
上述计算的σmax= 8.8MPa ，也正是d 点的应力。
4.图示跨度为4m 的简支梁，拟用工字钢制成，跨中作用集中力F=7kN ，其与横截面铅垂对称轴的夹角ϕ=20°（图b ），已知[σ]= 160MPa ，试选择工字钢的型号（提示：先假定Wz ∕Wy 的比值，试选后再进行校核。
）解 ：（1）外力的分解Fy= Fcos20°=7×0.940 kN =6.578kN Fz= Fsin20°=7×0.342 kN =2.394kN(2) 内力的计算44578.64⨯==l F M y z kN ·m =6.578 kN ·m44394.24⨯==l F M z y kN ·m=2.394kN ·m(3) 强度计算 设Wz ∕Wy=6，代入[]σσ≤+=+=zy z z y y z z W M W M W M W M 6max得[]33336cm 9.130mm 109.130mm 16010)394.26578.6(6=⨯=⨯⨯+=+≥σyz z M M W试选16号工字钢，查得Wz=141cm3，Wy=21.2cm3。
再校核其强度σmax=zz W M max+yy W M max=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯3636102.2110394.21014110578.6MPa=159.6 MPa ＜[σ]=160 MPa满足强度要求。
于是，该梁选16号工字钢即可。
5.有一屋桁架结构如图 (a)所示。
已知屋面坡度为1：2，二桁架之间的距离为4m ，木檩条的间距为1.5m ，屋面重（包括檩条）为1.4kN/m 2。
若木檩条采用120 mm×180mm 的矩形截面，所用松木的弹性模量为E=10GPa ，许用应力[]σ=10MPa ，许可挠度 [f ]=l /200，试校核木檩条的强度和刚度。
解：1）确定计算简图屋面的重量是通过檩条传给桁架的。
檩条简支在桁架上，其计算跨度等于二桁架间的距离l =4m ，檩条上承受的均布荷载q =1.4×1.5=2.1kN/m，其计算简图如图9-16(b)和(c)所示。
2）内力及有关数据的计算232max2.1104420088ql M ⨯⨯===N·m 2.4=kN·m（发生在跨中截面） 屋面坡度为1：2，即1tan 2ϕ=或4326'︒=ϕ。
故4472.0sin =ϕ，8944.0cos =ϕ 另外有3381201800.5832101212z bh I ⨯===⨯mm 44105832.0-⨯=m 43381801200.2592101212y hb I ⨯===⨯mm 44102592.0-⨯=m 4max 902h y ==mm ，max 602bz ==mm3）强度校核 将上列数据代入可得max maxmaxmax sin cos y zz y M I I σϕϕ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭33446010901042000.44720.89440.2592100.583210----⎛⎫⨯⨯=⨯⨯+⨯ ⎪⨯⨯⎝⎭14.10=MPa max σ虽稍大于[]σ=10MPa ，但所超过的数值小于[]σ的5%，故满足强度要求。
4）刚度校核最大挠度发生在跨中，有434945(cos )5 2.1100.8944438438410100.583210y z q l f EI ϕ-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯7.10=mm 434945(sin )5 2.1100.4472438438410100.259210z y q l f EI ϕ-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯1.12= mm 总挠度222210.712.116.2y z f f f =+=+= mm ＜[]f =20 mm ，满足刚度要求。
