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⽆穷级数知识点⽆穷级数知识点⽆穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯⼀，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。
2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数⼀定条件收敛。
. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===∑∑。
②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。
③若⼆者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，⽽()1110k ∞=-=∑收敛。
4．三个必须记住的常⽤于⽐较判敛的参考级数：a) 等⽐级数：0111n n ar ar r ∞=?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数： 11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成⽴，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n na b n n∑∑或收6．常⽤收敛快慢正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常⽤技巧1.达朗贝尔⽐值法 11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l µµ+→∞→+∞=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法 1,1,1,n n n n l u l l n l µ=>??=?收发（当为某次⽅时）单独讨论3. ⽐阶法①代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散②极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
第七章 无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。
（2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。
（3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
（4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。
（5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
（6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
（7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
（8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
（10） 掌握函数α)1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x+-的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
（11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。
二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．§7.1 常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞=1n n u 收敛于和s ，则级数∑∞=1n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞=+1n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明)性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞=1n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数∑∞=1n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即0lim =∞→n n u ．(证明)；一、概念定义:设已给定数列1u ,2u ,…, n u …,称形式加法1u +2u +…+n u +…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为∑∞=1n nu, 即∑∞=1n nu=1u +2u +…+n u +…, 其中称n u 为一般项.将其前n 项的和: n S =1u +2u +…+n u 称为级数的前n 项的部分和,或简称部分和. 注1: 由上我们便得到一个数列1S ,2S ,…, n S ,…,从形式上不难知道∑∞=1n nu=n n S ∞→lim ,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当∞→n 时,若部分和数列{}n S 有极限S ,即 S =n n S ∞→lim ,就称常数项级数∑∞=1n nu收敛,且称S 为其和,并记为: S =1u +2u +…+n u +… , 若数列{}n S 没有极限,就称∑∞=1n nu发散.注1: 当级数收敛时,其部分和n S 又可看成为S 的近似值. 两者之差n n S S r -==1+n u +2+n u +… 称为级数∑∞=1n n u 的余项.用n S 代替S 所产生的误差就是它的绝对值,即 n r .注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数∑∞=1n nu的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列{}n S 的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设{}n S 为一数列,令1u =1S ,2u =12S S -,…,n u =1--n n S S , 2,1=n , 则n nk k S u =∑=1这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数): +++++-12n aq aq aq a 的敛散性.其中0≠a解: 我们先考虑其部分和: n S =12-++++n aqaq aq a利用中学知识,得 n S =qq a n --1)1( (1≠q 时)(I)当1<q 时,由于 n n S ∞→lim =q q a n n --∞→11lim =qa-1, 故几何级数收敛,且收敛于qa-1. (II)当1>q 时,由于n n S ∞→lim =qq a nn --∞→11lim 不存在,故此时几何级数发散.(III) 当1=q 时,此时几何级数为:a a a a ++++,⇒n S =na ∞→(∞→n )此时级数发散.(IV)当1-=q 时,级数为 a a a a -+-,⇒n S =a n ])1(1[1---, n n S ∞→lim 不存在.故此时级数发散.∴ 综上所述,几何级数在1<q 时收敛,在1≥q 时发散.[例2] 证明级数+++⋅+⋅+⋅)2(1531421311n n 收敛. 证: 首先,由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+21121)2(1n n n n ⇒ n S =)2(1531421311++⋅+⋅+⋅n n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-412121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-513121+…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21121n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-++++)21514131()131211(21n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+211121121n n →)211(21+=43∴ 原级数收敛,且收敛于43. [例3] 证明调和级数 +++++n131211发散. 证: n S =n 131211++++=⎰21dx +⎰3221dx +…+dx n n n ⎰+11≥⎰211dx x +dx x ⎰321+…+dx x n n ⎰+11=dx xn ⎰+111=1ln +n n x =)1ln(+n 当∞→n 时,∞→n S .显然n n S ∞→lim 不存在. 故原级数发散.一、性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→n n u .证: 设∑∞=1n nu收敛于S . 即n n S ∞→lim =S .)(lim lim -∞→∞→-=n n n n n S S u 0lim lim 1=-=-=-∞→∞→S S S S n n n n注1: 若反之,则不一定成立.即0lim =∞→n n u , 原级数∑∞=1n n u 不一定收敛. 如调和级数∑∞=11n n发散,但01lim=∞→nn . 注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若0lim ≠∞→n n u ,则原级数∑∞=1n nu一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: 1u +2u +…+n u +…的部分和序列为{}n S1+k u +2+k u +…+n k u ++…的部分和序列为{}n σ. 则 k n k n S S -=+σ, 由于k 为有限数,则k S 为一个有限数. 则 n n σ∞→lim 与n k n S +∞→lim 同敛散.若原级数收敛,则n k n S +∞→lim =n n S ∞→lim =S . 则{}n σ收敛. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…收敛 若原级数发散,则n n S ∞→lim 不存在, 故n n σ∞→lim 也不存在. 则{}n σ发散. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…发散.性质3: 若级数∑∞=1n nu收敛于S ,则它的各项都乘以一常数k 所得的级数∑∞=1n nku收敛于kS .即∑∞=1n nku=k∑∞=1n nu性质4: 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nν分别收敛于S 和σ,则级数∑∞=±1)(n n nuν收敛于σ±S .注1:∑∞=±1)(n n nuν称为级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν的和与差.注2: 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nν之中有一个收敛,另一个发散,则∑∞=±1)(n n nuν发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某n 项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: +-++-+-111111是发散的,但 +-++-+-)11()11()11(是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.[例4] 判别级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n 的敛散性.解: 因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛131n n与级数∑∞=++1)2)(1(1n n n 均收敛,由性质4可知∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n =∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n +∑∞=++1)2)(1(1n n n 收敛.§7.2 常数项级数的审敛法一、内容要点正项级数及其审敛法： 1．正项级数的概念； 2．基本定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{s n}有界．(证明)3．比较审敛法：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且u n≤ v n(n = 1, 2, …)．若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛；反之，若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 发散．(证明) 推论：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，如果级数∑∞=1n n v 收敛，且存在自然数N ，使当n ≥ N 时有u n ≤ kv n (k > 0)成立，则级数∑∞=1n n u 收敛；如果级数∑∞=1n n v 发散，且当n ≥ N 时有u n ≥ kv n (k > 0)成立，则级数∑∞=1n n u 发散． 4．比较审敛法的极限形式：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数， (1) 如果)0( lim +∞<≤=∞→l l v u nnn ，且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛； (2) 如果0lim >=∞→l v u n n n 或+∞=∞→nnn v u lim ，且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．(证明)5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设∑∞=1n n u 为正项级数，如果 ρ=+∞→nn n u u 1lim，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；6．根值审敛法(柯西判别法)：设∑∞=1n n u 为正项级数，如果 ρ=∞→n n n u lim ，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；7．极限审敛法：设∑∞=1n n u 为正项级数， (1) 如果0lim >=∞→l nu n n (或+∞=∞→n n nu lim )，则级数∑∞=1n n u 发散； (2) 如果p >1，而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ，则级数∑∞=1n n u 收敛．(证明)交错级数及其审敛法: 1．交错级数的概念：2．莱布尼茨定理：如果交错级数∑∞=--11)1(n n u n 满足条件：(1) u n ≥ u n + 1 (n = 1, 2, 3, …)； (2) 0lim =∞→n n u则级数收敛，且其和s ≤ u 1，其余项r n 的绝对值| r n | ≤ u n + 1． (证明)绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念；2. 定理：如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n u 必定收敛．(证明) 一、 教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以1-后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设∑∞=1n nu为一正项级数, n S 为其部分和.显然部分和序列{}n S 是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理. 定理: 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔{}n S 有界.证: “⇒”∑∞=1n nu收敛⇒{}n S 收敛⇒{}n S 有界.“⇐” {}n S 有界,又{}n S 是一个单调上升数列⇒n n S ∞→lim 存在⇒∑∞=1n nu收敛.定理1(比较审敛法) 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nν是两个正项级数,且n n u ν≤ ),3,2,1( =n .那么1) 如果∑∞=1n nν收敛,则∑∞=1n nu收敛.2) 如果∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nν发散.证: 设n S 和n σ分别表示∑∞=1n nu和∑∞=1n nν的部分和,显然由n n u ν≤⇒n S ≤n σ(1)∑∞=1n nν收敛⇒n σ有界⇒n S 有界⇒∑∞=1n nu也收敛.(2)∑∞=1n nu发散⇒n S 无界⇒n σ无界⇒∑∞=1n nν也发散.推论: 设两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν,如果对于N n ≥(N 为某一自然数)的n ,恒成立不等式n n k u ν≤(0>k 的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论. [例1]: 讨论p -级数 +++++p p p n131211的敛散性.其中常数0>p . 解 (1) 当1≤p 时,因n n p 11≥,而∑∞=11n n 发散, ∴∑∞=11n p n= +++++p p p n 131211发散(2) 当1>p 时,对于任意实数),1[+∞∈x ,总存在自然数k ,使得k x k <≤-1),3,2( =k ,因此p p x k 11≤,⇒ dx x dx k k k k p k k p p ⎰⎰--≤=11111 ),3,2( =k , 于是 n S =p p p n 131211++++dx x dx x dx x n n pp p ⎰⎰⎰-++++≤132211111=⎰+npdx x111=1111--+-p n p <111-+p . 这表明n S 有上界,又{}n S 单调上升,故n n S ∞→lim 存在⇒p -级数 +++++pp p n 131211收敛.综上所述,当1≤p 时, p -级数发散;当1>p 时p -级数收敛.[例2] 若正项级数∑∞=1n n a 收敛,则 (1) ∑∞=+11n n n a a 收敛, (2)∑∞=1n n na 收敛, (3)∑∞=12n na 收敛.证: (1)由n nn n a a a a =+≤+011, 由于正项级数∑∞=1n n a 收敛,则由比较审敛法, 知∑∞=+11n n n a a 收敛(2))1(21]1)[(21222na n a n a n n n +=+≤, 由于正项级数∑∞=1n na收敛,∑∞=121n n 收敛,则∑∞=1n n n a 收敛,(3)由于∑∞=1n na收敛,则0lim =∞→n n a ,则N ∃,当N n >时,1<n a ,从而n n a a <2,则由比较审敛法,则∑∞=12n na收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν,如果存在极限:l u nnn =∞→νlim(1) 当+∞<<l 0,则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν同时收敛或同时发散.(2) 当0=l 时,如果∑∞=1n nν收敛,则级数∑∞=1n nu必收敛.(3) 当+∞=l ,如果∑∞=1n nν发散,则∑∞=1n nu必发散.证: 1)因+∞<<l 0,根据极限的定义,对于2l=ε,必存在正整数N ,当N n ≥时,恒成立不等式2l l u nn<-ν, 即l l l u l l l n n 23222=+<<-=ν ⇒ n n n l u l νν2320<<< 由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散. 2) 0=l ,即0lim=∞→nnn u ν,则存在N ,当N n ≥时,1<nnu ν,得 n n u ν<,由比较审敛法知,如果级数∑∞=1n nν收敛,则级数∑∞=1n nu必收敛.3) +∞=l ,即+∞=∞→nnn u νlim,则存在N ,当N n ≥时,1>nnu ν,得 n n u ν>,比较审敛法知,当∑∞=1n nν发散,则∑∞=1n nu必发散.[例3] 证明∑∞=-121n nn 收敛.证: 由1211lim2121lim =-=-∞→∞→nn nnn n n,又 ∑∞=121n n 收敛,则由比较审敛法的极限形式⇒ ∑∞=-121n nn 收敛 定理2: (达朗贝尔D ’Alembert 判别法) 设正项级数∑∞=1n n u ,如果极限ρ=+∞→nn n u u 1lim,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=+∞→n n n u u 1lim 时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法. [例4] 证明∑∞=-+⋅⋅-+⋅⋅1))1(41(951))1(32(852n n n 收敛. 证: 1434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.[例5] 讨论∑∞=1n nnx(0>x )的敛散性.解: x x n n nx x n u u n n n n nn n =+=+=∞→+∞→+∞→1lim )1(lim lim 11 当10<<x 时, 由比值审敛法知,原级数收敛. 当1>x 时, 由比值审敛法知,原级数发散. 当1=x 时,判别法失效.但此时原级数∑∞=1n nnx =∑∞=1n n 发散.∴ 10<<x 时,原级数收敛.;1≥x 时,原级数发散.定理3: (Cauchy 判别法) 设∑∞=1n nu为正项级数,如果ρ=→n n n u 0lim ,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ(或为∞+)时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy 判别法为根值审敛法.[例6] 证明∑∞=-+12)1(3n nn收敛. 证: 1212)1(3lim lim 1<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→∞→nn nn n n n u ,故由根值审敛法知,原级数收敛. 任意项级数的敛散性一、 交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:+-+-4321u u u u 或 -+-+-4321u u u u ,其中0≥n u ),2,1( =n定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数 +-+-4321u u u u 满足:1) 1+≥n n u u , 2) 0lim =∞→n n u则级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛,其和1u S ≤,余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证: 先考察交错级数∑∞=--11)1(n n n u 前n 2项的和n S 2,并写成)()()(21243212n n n u u u u u u S -++-+-=- ,或 n n n n u u u u u u u u S 21222543212)()()(--------=--根据条件(1)可知:n S 2是单调增加的,且12u S n <,即n S 2有界,故 12lim u S S n n ≤=∞→再考察级数的前12+n 项的和12+n S ,显然12212+++=n n n u S S ,由条件(2),得S u S u S S n n n n n n n n n =+=+=+∞←∞→+∞→+∞→12212212lim lim )(lim lim最后,由于S S S n n n n ==+∞→∞→122lim lim ,得 S S n n =∞→lim ,即交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛于S ,且1u S ≤,其余项n r 的绝对值仍为收敛得交错级数,所以14321+++++≤+-+-=n n n n n n u u u u u r . [例1] 证明交错级数∑∞=+-111)1(n n n收敛. 证: (1) 1111+=+>=n n u n n u , (2) 01lim lim ==∞→∞→n u n n n .由上述定理知, 交错级数∑=+-11)1(n n n收敛.且其和1≤S . 一、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数∑∞=1n nu,其中n u ( ,2,1=n )为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设∑∞=1n nu为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数∑∞=1n nu收敛,就称∑∞=1n nu绝对收敛;若∑∞=1n nu收敛,但∑∞=1n nu不收敛,就称∑∞=1n nu为条件收敛.定理2: 若任意项级数∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛.证: 因n n n u u u 20≤+≤,且级数∑∞=12n nu收敛,由正项级数的比较判别法知,级数)(1n n nu u+∑∞=收敛,再由级数的性质4知级数 ∑∞=1n n u =])[(1n n n n u u u -+∑∞= 收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如: ∑∞=--111)1(n n n 收敛,但∑∑∞=∞=-=-11111)1(n n n n n 为调和级数是发散的. [例2] 证明∑∞=1!n nn α=+++!!22n nααα对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明∑∞=1!n nn α是收敛的.事实上,对α∀,!)!1(lim1n n nn n αα++∞→=101lim<=+∞→n n α.由比值判别法知,∑∞=1!n nn α是收敛的,所以∑∞=1!n nn α对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.[例3] 证明∑∞=--111)1(n pn n 在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛. 证: 首先,我们知道∑∞=--111)1(n p n n 为一个莱布尼兹级数,且有当∞→n 时,pn1单调下降趋于零.故对0>∀p ,原级数∑=--11)1(n p n n总是收敛的. 其次,考虑其绝对值级数∑∞=11n p n ,也就是p -级数.由上一节的例1的结果知,当10≤<p 时发散, 1>p 时收敛.综上所述,∑∞=--111)1(n p n n在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛. 绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如∑∞=+-111)1(n n n=2ln , 而2ln 214124112181613141211=+----++--+-- k k k注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛111n n n n n n u τν 其中123121νννντn n n n n u u u u ++++=-- .如果两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数∑∞=1n nτ也绝对收敛.且当A un n=∑∞=1,B n n =∑∞=1ν时, AB n n =∑∞=1τ.若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.§7.3 幂级数一、内容要点函数项级数的概念：函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数． 幂级数及其收敛性： 1．幂级数的概念； 2．幂级数的收敛性：(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数∑∞=0n n x n a 当x = x 0(x 0≠ 0)时收敛，则适合不等式| x | < | x 0 |的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数∑∞=0n n x n a 当x = x 0时发散，则适合不等式| x | > | x 0 |的一切x 使这幂级数发散．(证明)推论：如果幂级数∑∞=0n n x n a 不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得 当| x | < R 时，幂级数绝对收敛; 当| x | > R 时，幂级数发散；当x = R 或x = -R 时，幂级数可能收敛也可能发散． (2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念； (3) 幂级数的收敛半径的求法: 定理２：如果ρ=+∞→nn n a a 1lim，其中a n 、a n + 1 是幂级数∑∞=0n n x n a 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=.,0,0,,0,1ρρρρR(证明).3．幂级数的运算：幂级数的加法、减法、乘法、除法； 4．幂级数的和函数的性质： 性质1：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续．性质2：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式I x x n a x x a x x a x x s n n n xn xnn n nn x∈+===∑⎰∑⎰∑⎰∞=+∞=∞= ,1d d ][d )(01．逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径． 性质3：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导，并有逐项求导公式),( )()(1100R x x na x a x a x s n n n n nn n n n <='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∑∑∑∞=-∞=∞=逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．二、 教学要求和注意点一、 函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I 上的一个函数,便为函数项级数.设 )(x u n , ,2,1=n 是定义在区间I 上的函数,序列)(1x u ,)(2x u , ),(x u n 是一个函数列,对于I 上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:)(1x u ++)(2x u ++)(x u n , (1)简记为∑∞=1)(n nx u.称为定义在I 上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如p -级数∑∞=11n pn ,∑∞=1n n nx ,∑∞=1!n nn α等等. 对于∈=0x x I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:∑∞=1)(n nx u =)(01x u ++)(02x u ++)(0x u n(2)若级数(2)收敛,就称0x x =是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称0x x =是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于I x ∈∀,x 不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I 中的每一点0x ,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I 上收敛.对于收敛域中的每一个点x ,函数项级数∑∞=n nx u)(为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点x 的函数.记为)(x S .则∑∞=n nx u)(=)(x S . )(x S 又称为和函数.若将其部分和函数记为)(x S n ,则)()(lim x S x S n n =∞→.同理,称)()(x S x S r n n -=为∑∞=1)(n nx u的余项.n r 为)(x S n 代替)(x S 时的误差.显然,也有0)(lim =∞→x r n n (x 为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式: +++++nn x a x a x a a 2210(3) ,其中 ,,,,,210n a a a a 叫做幂级数的系数.显然,幂级数在),(∞-∞上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在0=x 处总是收敛的.而对0≠∀x 的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel 定理) 设幂级数∑∞=0n nn xa = +++++nn x a x a x a a 2210 (3)若幂级数(3)在0x x =)0(0≠x 处收敛,则对于满足条件0x x <的一切x ,级数(3)绝对收敛.反之,若它在0x x =时发散,则对一切适合不等式0x x >的x ,级数(3)发散.证: +++++n n x a x a x a a 0202010收敛 ⇒nn n x a 0lim ∞→=0∴ 0>∃M , 对 ,2,1,0=∀n ,有M x a nn ≤0又 nnnnn n n nn nn x x M x x x a x x x a x a 00000≤⋅=⋅= 当0x x <时,10<x x , ∴ ∑∞=00n nx x M收敛. ⇒∑∞=0n nn x a 收敛. ∴∑∞=0n n n x a 绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证)由定理1不难知: 设α为任一收敛点,β为任一发散点.则必有βα≤。
微积分第七章无穷级数第七章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。
（2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。
（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。
（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
（10）掌握函数«Skip Record If...»的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在«Skip Record If...»上的函数展开成傅氏级数，会将定义在«SkipRecord If...»上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。
二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．§7.1常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质1：若级数«Skip Record If...»收敛于和s，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为ks．(证明)性质2：若级数«Skip Record If...»、«Skip Record If...»分别收敛于和s、σ，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为s±σ．(证明)性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数«Skip Record If...»收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数«Skip Record If...»收敛，则它的一般项u n趋于零，即«Skip Record If...»．(证明)；一、概念定义:设已给定数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…,«Skip Record If...»…,称形式加法«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…, 其中称«Skip Record If...»为一般项.将其前«Skip Record If...»项的和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»称为级数的前«Skip Record If...»项的部分和,或简称部分和.注1: 由上我们便得到一个数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…, «Skip Record If...»,…,从形式上不难知道«Skip Rec ord If...»=«Skip Record If...»,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当«Skip Record If...»时,若部分和数列«Skip Record If...»有极限«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,就称常数项级数«Skip Record If...»收敛,且称«Skip Record If...»为其和,并记为: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip RecordIf...»+…+«Skip Record If...»+… , 若数列«Skip Record If...»没有极限,就称«Skip Record If...»发散.注1: 当级数收敛时,其部分和«Skip Record If...»又可看成为«Skip Record If...»的近似值. 两者之差«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…称为级数«Skip Record If...»的余项.用«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»所产生的误差就是它的绝对值,即«Skip Record If...».注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数«Skip Record If...»的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列«Skip Record If...»的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设«Skip Record If...»为一数列,令«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»=«Skip Rec ordIf...»,…,«Skip Record If...»=«Skip Record If...», «Skip Record If...», 则«Skip Record If...»这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数):«Skip Record If...»的敛散性.其中«Skip Record If...»解: 我们先考虑其部分和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»利用中学知识,得«Skip Record If...»=«Skip Record If...» («Skip Record If...»时)(I)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»=«Skip Record If...», 故几何级数收敛,且收敛于«Skip Record If...».(II)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«Skip Record If...»不存在,故此时几何级数发散.(III)当«Skip Record If...»时,此时几何级数为: «Ski p Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)此时级数发散.(IV)当«Skip Record If...»时,级数为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»不存在.故此时级数发散.«Skip Record If...»综上所述,几何级数在«Skip Record If...»时收敛,在«Skip Record If...»时发散.[例2] 证明级数«Skip Record If...»收敛.证: 首先,由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...» =«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»原级数收敛,且收敛于«Skip Record If...». [例3] 证明调和级数«Skip Record If...»发散.证: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip RecordIf...»+…+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»不存在. 故原级数发散.一、性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...».证: 设«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...». 即«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...»注1: 若反之,则不一定成立.即«Skip Record If...», 原级数«Skip Record If...»不一定收敛. 如调和级数«Skip Record If...»发散,但«Skip Record If...».注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若«Skip Record If...»,则原级数«Skip Record If...»一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: «Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...».则«Skip Record If...», 由于«Skip Record If...»为有限数,则«Skip Record If...»为一个有限数.则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同敛散.若原级数收敛,则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»收敛. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…收敛若原级数发散,则«Skip Record If...»不存在, 故«Skip Record If...»也不存在. 则«Skip Record If...»发散. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…发散.性质3: 若级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»,则它的各项都乘以一常数«Skip Record If...»所得的级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...».即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»性质4: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别收敛于«Skip Record If...»和«Skip Record If...»,则级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...».注1: «Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的和与差.注2: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之中有一个收敛,另一个发散,则«Skip Record If...»发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某«Skip Record If...»项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: «Skip Record If...»是发散的,但«Skip Record If...»是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.[例4] 判别级数«Skip Record If...»的敛散性.解: 因级数«Skip Record If...»与级数«Skip Record If...»均收敛,由性质4可知«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»收敛.§7.2常数项级数的审敛法一、内容要点正项级数及其审敛法：1．正项级数的概念；2．基本定理：正项级数«Skip Record If...»收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{s n}有界．(证明)3．比较审敛法：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，且u n≤v n (n = 1, 2, …)．若级数«Skip Record If...»收敛，则级数«Skip Record If...»收敛；反之，若级数«Skip Record If...»发散，则级数«Skip Record If...»发散．(证明)推论：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，如果级数«Skip Record If...»收敛，且存在自然数N，使当n≥N时有u n≤kv n (k > 0)成立，则级数«Skip Record If...»收敛；如果级数«Skip Record If...»发散，且当n≥N时有u n≥kv n (k > 0)成立，则级数«Skip Record If...»发散．4．比较审敛法的极限形式：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，(1) 如果«Skip Record If...»，且级数«Skip Record If...»收敛，则级数«Skip Record If...»收敛；(2) 如果«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，且级数«Skip Record If...»发散，则级数«Skip Record If...»发散．(证明)5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或«Skip Record If...»)时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；6．根值审敛法(柯西判别法)：设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或«Skip Record If...»)时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；7．极限审敛法：设«Skip Record If...»为正项级数，(1) 如果«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)，则级数«Skip Record If...»发散；(2) 如果p>1，而«Skip Record If...»，则级数«Skip Record If...»收敛．(证明)交错级数及其审敛法:1．交错级数的概念：2．莱布尼茨定理：如果交错级数«Skip Record If...»满足条件：(1) u n≥u n + 1 (n = 1, 2, 3, …)；(2) «Skip Record If...»则级数收敛，且其和s≤u1，其余项r n的绝对值|r n |≤u n + 1． (证明)绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念；2. 定理：如果级数«Skip Record If...»绝对收敛，则级数«Skip Record If...»必定收敛．(证明)一、教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以«Skip Record If...»后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设«Skip Record If...»为一正项级数, «Skip Record If...»为其部分和.显然部分和序列«Skip Record If...»是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理.定理: 正项级数«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界.证: “«Skip Record If...»” «Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界.“«Skip Record If...»” «Skip Record If...»有界,又«Skip Record If...»是一个单调上升数列«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛.定理1(比较审敛法) 设«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是两个正项级数,且«Skip Record If...»«Skip Record If...».那么1)如果«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...»收敛.2)如果«Skip Record If...»发散,则«Skip Record If...»发散. 证: 设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的部分和,显然由«Skip Record If...»«SkipRecord If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(1) «Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界«Skip Record If...»«Skip Record If...»也收敛.(2) «Skip Record If...»发散«Skip Record If...»«Skip Record If...»无界«Skip Record If...»«Skip Record If...»无界«Skip Record If...»«Skip Record If...»也发散.推论: 设两个正项级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»,如果对于«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为某一自然数)的«Skip RecordIf...»,恒成立不等式«Skip Record If...»(«Skip Record If...»的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论.[例1]: 讨论«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»的敛散性.其中常数«Skip Record If...».解 (1) 当«Skip Record If...»时,因«Skip Record If...»,而«Skip Record If...»发散, «Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»发散(2) 当«Skip Record If...»时,对于任意实数«Skip Record If...»,总存在自然数«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»«Skip Record If...»,因此«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»,于是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»<«Skip Record If...».这表明«Skip Record If...»有上界,又«Skip Record If...»单调上升,故«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»收敛.综上所述,当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»-级数发散;当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»-级数收敛.[例2] 若正项级数«Skip Record If...»收敛,则 (1) «Skip Record If...»收敛, (2)«Skip Record If...»收敛, (3)«Skip Record If...»收敛. 证: (1)由«Skip Record If...», 由于正项级数«Skip Record If...»收敛,则由比较审敛法, 知«Skip Record If...»收敛(2)«Skip Record If...», 由于正项级数«Skip RecordIf...»收敛,«Skip Record If...»收敛,则«Skip RecordIf...»收敛,(3)由于«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»,从而«Skip Record If...»,则由比较审敛法,则«Skip Record If...»收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»,如果存在极限:«Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...»,则级数«Skip Record If...»与«Skip RecordIf...»同时收敛或同时发散.(2)当«Skip Record If...»时,如果«Skip Record If...»收敛,则级数«SkipRecord If...»必收敛.(3)当«Skip Record If...»,如果«Skip Record If...»发散,则«Skip RecordIf...»必发散.证: 1)因«Skip Record If...»,根据极限的定义,对于«Skip Record If...»,必存在正整数«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,恒成立不等式«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散.2) «Skip Record If...»,即«Skip Record If...»,则存在«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»,得«Skip RecordIf...»,由比较审敛法知,如果级数«Skip Record If...»收敛,则级数«Skip Record If...»必收敛.3) «Skip Record If...»,即«Skip Record If...»,则存在«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»,得«Skip Record If...»,比较审敛法知,当«Skip Record If...»发散,则«Skip Record If...»必发散.[例3] 证明«Skip Record If...»收敛.证: 由«Skip Record If...»,又«Skip Record If...»收敛,则由比较审敛法的极限形式«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛定理2: (达朗贝尔D’Alembert判别法) 设正项级数«Skip Record If...»,如果极限«Skip Record If...»,则1)当«Skip Record If...»时,级数收敛;2)当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时,级数发散.3)当«Skip Record If...»时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.[例4] 证明«Skip Record If...»收敛.证: «Skip Record If...» , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.[例5] 讨论«Skip Record If...» («Skip Record If...»)的敛散性.解: «Skip Record If...»当«Skip Record If...»时, 由比值审敛法知,原级数收敛.当«Skip Record If...»时, 由比值审敛法知,原级数发散.当«Skip Record If...»时,判别法失效.但此时原级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...»发散.«Skip Record If...»«Skip Record If...»时,原级数收敛.;«Skip Record If...»时,原级数发散.定理3: (Cauchy判别法) 设«Skip Record If...»为正项级数,如果«Skip Record If...»,则1)当«Skip Record If...»时,级数收敛;2)当«Skip Record If...»(或为«Skip Record If...»)时,级数发散.3)当«Skip Record If...»时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy判别法为根值审敛法.[例6] 证明«Skip Record If...»收敛.证: «Skip Record If...»,故由根值审敛法知,原级数收敛.任意项级数的敛散性一、交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:«Skip Record If...»或«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数«Skip Record If...»满足:1) «Skip Record If...» , 2) «Skip Record If...»则级数«Skip Record If...»收敛,其和«Skip Record If...»,余项«Skip Record If...»的绝对值«Skip Record If...».证: 先考察交错级数«Skip Record If...»前«Skip Record If...»项的和«Skip Record If...»,并写成«Skip Record If...»,或«Skip Record If...»根据条件(1)可知:«Skip Record If...»是单调增加的,且«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»有界,故«Skip Record If...»再考察级数的前«Skip Record If...»项的和«Skip Record If...»,显然«Skip Record If...»,由条件(2),得«Skip Record If...»最后,由于«Skip Record If...»,得«Skip Record If...»,即交错级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»,且«Skip Record If...»,其余项«Skip Record If...»的绝对值仍为收敛得交错级数,所以«Skip Record If...».[例1] 证明交错级数«Skip Record If...»收敛.证: (1) «Skip Record If...», (2) «Skip Record If...».由上述定理知, 交错级数«Skip Record If...»收敛.且其和«Skip Record If...».一、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设«Skip Record If...»为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数«Skip Record If...»收敛,就称«Skip Record If...»绝对收敛;若«Skip Record If...»收敛,但«Skip Record If...»不收敛,就称«Skip Record If...»为条件收敛.定理2: 若任意项级数«Skip Record If...»绝对收敛,则«Skip Record If...»收敛.证: 因«Skip Record If...»,且级数«Skip Record If...»收敛,由正项级数的比较判别法知,级数«Skip Record If...»收敛,再由级数的性质4知级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...»收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如: «Skip Record If...»收敛,但«Skip Record If...»为调和级数是发散的.[例2] 证明«Skip Record If...»=«Skip Record If...»对«Skip Record If...»都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明«Skip Record If...»是收敛的.事实上,对«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»=«Skip Record If...».由比值判别法知, «Skip Record If...»是收敛的,所以«Skip Record If...»对«Skip Record If...»都是绝对收敛的.[例3] 证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»时为条件收敛,而在«Skip Record If...»时为绝对收敛.证: 首先,我们知道«Skip Record If...»为一个莱布尼兹级数,且有当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»单调下降趋于零.故对«Skip Record If...»,原级数«Skip Record If...»总是收敛的.其次,考虑其绝对值级数«Skip Record If...»,也就是«Skip Record If...»-级数.由上一节的例1的结果知,当«Skip Record If...»时发散, «Skip Record If...»时收敛.综上所述, «Skip Record If...»在«Skip Record If...»时为条件收敛,而在«Skip Record If...»时为绝对收敛.绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如«Skip Record If...»=«Skip Record If...», 而«Skip Record If...»注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:«Skip Record If...»其中«Skip Record If...».如果两个级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数«Skip Record If...»也绝对收敛.且当«Skip Record If...»,«Skip Record If...»时, «Skip Record If...».若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.§7.3幂级数一、内容要点函数项级数的概念：函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数．幂级数及其收敛性：1．幂级数的概念；2．幂级数的收敛性：(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数«Skip Record If...»当x = x(x0≠ 0)时收敛，则适合不等式|x | < |x0 |的一切x使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数«Skip Record If...»当x = x0时发散，则适合不等式|x | > |x0 |的一切x使这幂级数发散．(证明)推论：如果幂级数«Skip Record If...»不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得当|x | < R时，幂级数绝对收敛;当|x | > R时，幂级数发散；当x = R或x = -R时，幂级数可能收敛也可能发散．(2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念；(3) 幂级数的收敛半径的求法:定理２：如果«Skip Record If...»，其中a n、a n + 1是幂级数«Skip Record If...»的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径«Skip Record If...»(证明).3．幂级数的运算：幂级数的加法、减法、乘法、除法；4．幂级数的和函数的性质：性质1：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛域I上连续．性质2：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式«Skip Record If...»．逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．性质3：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛区间( R , R)内可导，并有逐项求导公式«Skip Record If...»逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．二、教学要求和注意点一、函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数.设«Skip Record If...», «Skip Record If...»是定义在区间I上的函数,序列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»是一个函数列,对于I上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...», (1)简记为«Skip Record If...».称为定义在I上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»等等.对于«Skip Record If...»I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...» (2)若级数(2)收敛,就称«Skip Record If...»是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称«Skip Record If...»是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于«Skip Record If...»,«Skip Record If...»不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I中的每一点«Skip Record If...»,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I上收敛.对于收敛域中的每一个点«Skip Record If...»,函数项级数«Skip Record If...»为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点«Skip Record If...»的函数.记为«Skip Record If...».则«Skip Record If...»=«Skip Record If...». «Skip Record If...»又称为和函数.若将其部分和函数记为«Skip Record If...», 则«Skip Record If...».同理,称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的余项.«Skip Record If...»为«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»时的误差.显然,也有«Skip Record If...» («Skip Record If...»为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式:«Skip Record If...»(3) ,其中«Skip Record If...»叫做幂级数的系数.显然,幂级数在«Skip Record If...»上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在«Skip Record If...»处总是收敛的.而对«Skip Record If...»的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel定理) 设幂级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...» (3)若幂级数(3)在«Skip Record If...»«Skip Record If...»处收敛,则对于满足条件«Skip Record If...»的一切«Skip Record If...»,级数(3)绝对收敛.反之,若它在«Skip Record If...»时发散,则对一切适合不等式«Skip Record If...»的«Skip Record If...»,级数(3)发散.证: «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...», 对«Skip Record If...»,有«Skip Record If...»又«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...», «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛. «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛.«Skip Record If...»«Skip Record If...»绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证)由定理1不难知: 设«Skip Record If...»为任一收敛点,«Skip Record If...»为任一发散点.则必有«Skip Record If...»。
第十一章 无穷级数 §11.3将函数展开成幂级数一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念 1． 基本概念()00000()f(x)x ()!n nn f x x x x x n δ∞=-<-∑设函数在点的某一领域内具有任意阶导数,则级数0().(:?()f x x f x 称为函数在处的泰勒级数注这里泰勒级数是否收敛是否收敛于都不知0),,0,x =道特别地当则级数()0(0)()!n nn f x f x n ∞=∑称为的麦克劳林级数 2.函数展成幂级数的条件0(),f x x x R -<设在内有任意阶导数它的泰勒公式()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+(),n R x n 其中为阶余项它的拉格朗日型为[](1)0010()()()(01)(1)!n n n f x x x R x x x n θθ+++-=-<<+()00000()()()lim ()0,!n nn n n f x f x x x x x R R x x x R n ∞→∞==--<=-<∑则的充要条件为0().f x x 而且在处幂级数展开式是唯一的0,0.x =特别地时得到函数展成麦克劳林级数的充分必要条件二、函数展成幂级数的方法 1．套公式000()(),n n n f x a x x x x R ∞==--<∑()0()(0,1,2,)!n n f x a n n ==01,!xnn e x x n ∞==<+∞∑例210sin (1),(21)!n n n xx x n +∞==-<+∞+∑1(1)(1)(1)1,1,()!nn n x x x n ααααα∞=--++=+<∑为实常数2.逐项求导20:cos (sin )(1),(2)!n n n xx x x n ∞='==-<+∞∑例120111()(),1(1)1n n n n x nx x x x ∞∞-==''===<--∑∑3.变量替换法220011:,!!x tn nn n e e t x x n n ∞∞=====<+∞∑∑例22220011()(1),111()n n nn n x x x x x ∞∞====-=-<+--∑∑4.逐项积分法001:ln(1)()1xxn n x dt t dt t ∞=+==-+∑⎰⎰例1(1)(11)1n n n x x n +∞=-=-<≤+∑0(1)ln 21nn n ∞=-=+∑由此可得21220001(1)arctan ()121xxn n nn n x x dt t dt t n +∞∞==-==-=++∑∑⎰⎰ 0(1)arctan1214n n n π∞=-==+∑由此可得01cos25.cos22()()(),.xx x x x x +=-2其它方法 例 cos 把用变量替换法展开，代入化简即可上面都是把函数展成的幂级数麦克劳林级数如果要展成的幂级数泰勒级数一般经过适当处理后可利用麦克劳林级数的结果。
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
