经济数学微积分-经济数学微积分教案-无穷级数

第七章 无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。

（2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。

（3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

（4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。

（5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

（7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

（10） 掌握函数α)1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x+-的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

（11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。

二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．§7.1 常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞=1n n u 收敛于和s ，则级数∑∞=1n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞=+1n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明)性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞=1n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数∑∞=1n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即0lim =∞→n n u ．(证明)；一、概念定义:设已给定数列1u ,2u ,…, n u …,称形式加法1u +2u +…+n u +…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为∑∞=1n nu, 即∑∞=1n nu=1u +2u +…+n u +…, 其中称n u 为一般项.将其前n 项的和: n S =1u +2u +…+n u 称为级数的前n 项的部分和,或简称部分和. 注1: 由上我们便得到一个数列1S ,2S ,…, n S ,…,从形式上不难知道∑∞=1n nu=n n S ∞→lim ,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当∞→n 时,若部分和数列{}n S 有极限S ,即 S =n n S ∞→lim ,就称常数项级数∑∞=1n nu收敛,且称S 为其和,并记为: S =1u +2u +…+n u +… , 若数列{}n S 没有极限,就称∑∞=1n nu发散.注1: 当级数收敛时,其部分和n S 又可看成为S 的近似值. 两者之差n n S S r -==1+n u +2+n u +… 称为级数∑∞=1n n u 的余项.用n S 代替S 所产生的误差就是它的绝对值,即 n r .注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数∑∞=1n nu的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列{}n S 的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设{}n S 为一数列,令1u =1S ,2u =12S S -,…,n u =1--n n S S , 2,1=n , 则n nk k S u =∑=1这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数): +++++-12n aq aq aq a 的敛散性.其中0≠a解: 我们先考虑其部分和: n S =12-++++n aqaq aq a利用中学知识,得 n S =qq a n --1)1( (1≠q 时)(I)当1<q 时,由于 n n S ∞→lim =q q a n n --∞→11lim =qa-1, 故几何级数收敛,且收敛于qa-1. (II)当1>q 时,由于n n S ∞→lim =qq a nn --∞→11lim 不存在,故此时几何级数发散.(III) 当1=q 时,此时几何级数为:a a a a ++++,⇒n S =na ∞→(∞→n )此时级数发散.(IV)当1-=q 时,级数为 a a a a -+-,⇒n S =a n ])1(1[1---, n n S ∞→lim 不存在.故此时级数发散.∴ 综上所述,几何级数在1<q 时收敛,在1≥q 时发散.[例2] 证明级数+++⋅+⋅+⋅)2(1531421311n n 收敛. 证: 首先,由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+21121)2(1n n n n ⇒ n S =)2(1531421311++⋅+⋅+⋅n n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-412121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-513121+…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21121n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-++++)21514131()131211(21n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+211121121n n →)211(21+=43∴ 原级数收敛,且收敛于43. [例3] 证明调和级数 +++++n131211发散. 证: n S =n 131211++++=⎰21dx +⎰3221dx +…+dx n n n ⎰+11≥⎰211dx x +dx x ⎰321+…+dx x n n ⎰+11=dx xn ⎰+111=1ln +n n x =)1ln(+n 当∞→n 时,∞→n S .显然n n S ∞→lim 不存在. 故原级数发散.一、性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→n n u .证: 设∑∞=1n nu收敛于S . 即n n S ∞→lim =S .)(lim lim -∞→∞→-=n n n n n S S u 0lim lim 1=-=-=-∞→∞→S S S S n n n n注1: 若反之,则不一定成立.即0lim =∞→n n u , 原级数∑∞=1n n u 不一定收敛. 如调和级数∑∞=11n n发散,但01lim=∞→nn . 注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若0lim ≠∞→n n u ,则原级数∑∞=1n nu一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: 1u +2u +…+n u +…的部分和序列为{}n S1+k u +2+k u +…+n k u ++…的部分和序列为{}n σ. 则 k n k n S S -=+σ, 由于k 为有限数,则k S 为一个有限数. 则 n n σ∞→lim 与n k n S +∞→lim 同敛散.若原级数收敛,则n k n S +∞→lim =n n S ∞→lim =S . 则{}n σ收敛. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…收敛 若原级数发散,则n n S ∞→lim 不存在, 故n n σ∞→lim 也不存在. 则{}n σ发散. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…发散.性质3: 若级数∑∞=1n nu收敛于S ,则它的各项都乘以一常数k 所得的级数∑∞=1n nku收敛于kS .即∑∞=1n nku=k∑∞=1n nu性质4: 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nν分别收敛于S 和σ,则级数∑∞=±1)(n n nuν收敛于σ±S .注1:∑∞=±1)(n n nuν称为级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν的和与差.注2: 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nν之中有一个收敛,另一个发散,则∑∞=±1)(n n nuν发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某n 项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: +-++-+-111111是发散的,但 +-++-+-)11()11()11(是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.[例4] 判别级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n 的敛散性.解: 因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛131n n与级数∑∞=++1)2)(1(1n n n 均收敛,由性质4可知∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n =∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n +∑∞=++1)2)(1(1n n n 收敛.§7.2 常数项级数的审敛法一、内容要点正项级数及其审敛法： 1．正项级数的概念； 2．基本定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{s n}有界．(证明)3．比较审敛法：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且u n≤ v n(n = 1, 2, …)．若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛；反之，若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 发散．(证明) 推论：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，如果级数∑∞=1n n v 收敛，且存在自然数N ，使当n ≥ N 时有u n ≤ kv n (k > 0)成立，则级数∑∞=1n n u 收敛；如果级数∑∞=1n n v 发散，且当n ≥ N 时有u n ≥ kv n (k > 0)成立，则级数∑∞=1n n u 发散． 4．比较审敛法的极限形式：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数， (1) 如果)0( lim +∞<≤=∞→l l v u nnn ，且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛； (2) 如果0lim >=∞→l v u n n n 或+∞=∞→nnn v u lim ，且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．(证明)5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设∑∞=1n n u 为正项级数，如果 ρ=+∞→nn n u u 1lim，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；6．根值审敛法(柯西判别法)：设∑∞=1n n u 为正项级数，如果 ρ=∞→n n n u lim ，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；7．极限审敛法：设∑∞=1n n u 为正项级数， (1) 如果0lim >=∞→l nu n n (或+∞=∞→n n nu lim )，则级数∑∞=1n n u 发散； (2) 如果p >1，而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ，则级数∑∞=1n n u 收敛．(证明)交错级数及其审敛法: 1．交错级数的概念：2．莱布尼茨定理：如果交错级数∑∞=--11)1(n n u n 满足条件：(1) u n ≥ u n + 1 (n = 1, 2, 3, …)； (2) 0lim =∞→n n u则级数收敛，且其和s ≤ u 1，其余项r n 的绝对值| r n | ≤ u n + 1． (证明)绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念；2. 定理：如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n u 必定收敛．(证明) 一、 教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以1-后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设∑∞=1n nu为一正项级数, n S 为其部分和.显然部分和序列{}n S 是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理. 定理: 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔{}n S 有界.证: “⇒”∑∞=1n nu收敛⇒{}n S 收敛⇒{}n S 有界.“⇐” {}n S 有界,又{}n S 是一个单调上升数列⇒n n S ∞→lim 存在⇒∑∞=1n nu收敛.定理1(比较审敛法) 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nν是两个正项级数,且n n u ν≤ ),3,2,1( =n .那么1) 如果∑∞=1n nν收敛,则∑∞=1n nu收敛.2) 如果∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nν发散.证: 设n S 和n σ分别表示∑∞=1n nu和∑∞=1n nν的部分和,显然由n n u ν≤⇒n S ≤n σ(1)∑∞=1n nν收敛⇒n σ有界⇒n S 有界⇒∑∞=1n nu也收敛.(2)∑∞=1n nu发散⇒n S 无界⇒n σ无界⇒∑∞=1n nν也发散.推论: 设两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν,如果对于N n ≥(N 为某一自然数)的n ,恒成立不等式n n k u ν≤(0>k 的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论. [例1]: 讨论p -级数 +++++p p p n131211的敛散性.其中常数0>p . 解 (1) 当1≤p 时,因n n p 11≥,而∑∞=11n n 发散, ∴∑∞=11n p n= +++++p p p n 131211发散(2) 当1>p 时,对于任意实数),1[+∞∈x ,总存在自然数k ,使得k x k <≤-1),3,2( =k ,因此p p x k 11≤,⇒ dx x dx k k k k p k k p p ⎰⎰--≤=11111 ),3,2( =k , 于是 n S =p p p n 131211++++dx x dx x dx x n n pp p ⎰⎰⎰-++++≤132211111=⎰+npdx x111=1111--+-p n p <111-+p . 这表明n S 有上界,又{}n S 单调上升,故n n S ∞→lim 存在⇒p -级数 +++++pp p n 131211收敛.综上所述,当1≤p 时, p -级数发散;当1>p 时p -级数收敛.[例2] 若正项级数∑∞=1n n a 收敛,则 (1) ∑∞=+11n n n a a 收敛, (2)∑∞=1n n na 收敛, (3)∑∞=12n na 收敛.证: (1)由n nn n a a a a =+≤+011, 由于正项级数∑∞=1n n a 收敛,则由比较审敛法, 知∑∞=+11n n n a a 收敛(2))1(21]1)[(21222na n a n a n n n +=+≤, 由于正项级数∑∞=1n na收敛,∑∞=121n n 收敛,则∑∞=1n n n a 收敛,(3)由于∑∞=1n na收敛,则0lim =∞→n n a ,则N ∃,当N n >时,1<n a ,从而n n a a <2,则由比较审敛法,则∑∞=12n na收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν,如果存在极限:l u nnn =∞→νlim(1) 当+∞<<l 0,则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν同时收敛或同时发散.(2) 当0=l 时,如果∑∞=1n nν收敛,则级数∑∞=1n nu必收敛.(3) 当+∞=l ,如果∑∞=1n nν发散,则∑∞=1n nu必发散.证: 1)因+∞<<l 0,根据极限的定义,对于2l=ε,必存在正整数N ,当N n ≥时,恒成立不等式2l l u nn<-ν, 即l l l u l l l n n 23222=+<<-=ν ⇒ n n n l u l νν2320<<< 由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散. 2) 0=l ,即0lim=∞→nnn u ν,则存在N ,当N n ≥时,1<nnu ν,得 n n u ν<,由比较审敛法知,如果级数∑∞=1n nν收敛,则级数∑∞=1n nu必收敛.3) +∞=l ,即+∞=∞→nnn u νlim,则存在N ,当N n ≥时,1>nnu ν,得 n n u ν>,比较审敛法知,当∑∞=1n nν发散,则∑∞=1n nu必发散.[例3] 证明∑∞=-121n nn 收敛.证: 由1211lim2121lim =-=-∞→∞→nn nnn n n,又 ∑∞=121n n 收敛,则由比较审敛法的极限形式⇒ ∑∞=-121n nn 收敛 定理2: (达朗贝尔D ’Alembert 判别法) 设正项级数∑∞=1n n u ,如果极限ρ=+∞→nn n u u 1lim,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=+∞→n n n u u 1lim 时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法. [例4] 证明∑∞=-+⋅⋅-+⋅⋅1))1(41(951))1(32(852n n n 收敛. 证: 1434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.[例5] 讨论∑∞=1n nnx(0>x )的敛散性.解: x x n n nx x n u u n n n n nn n =+=+=∞→+∞→+∞→1lim )1(lim lim 11 当10<<x 时, 由比值审敛法知,原级数收敛. 当1>x 时, 由比值审敛法知,原级数发散. 当1=x 时,判别法失效.但此时原级数∑∞=1n nnx =∑∞=1n n 发散.∴ 10<<x 时,原级数收敛.;1≥x 时,原级数发散.定理3: (Cauchy 判别法) 设∑∞=1n nu为正项级数,如果ρ=→n n n u 0lim ,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ(或为∞+)时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy 判别法为根值审敛法.[例6] 证明∑∞=-+12)1(3n nn收敛. 证: 1212)1(3lim lim 1<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→∞→nn nn n n n u ,故由根值审敛法知,原级数收敛. 任意项级数的敛散性一、 交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:+-+-4321u u u u 或 -+-+-4321u u u u ,其中0≥n u ),2,1( =n定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数 +-+-4321u u u u 满足:1) 1+≥n n u u , 2) 0lim =∞→n n u则级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛,其和1u S ≤,余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证: 先考察交错级数∑∞=--11)1(n n n u 前n 2项的和n S 2,并写成)()()(21243212n n n u u u u u u S -++-+-=- ,或 n n n n u u u u u u u u S 21222543212)()()(--------=--根据条件(1)可知:n S 2是单调增加的,且12u S n <,即n S 2有界,故 12lim u S S n n ≤=∞→再考察级数的前12+n 项的和12+n S ,显然12212+++=n n n u S S ,由条件(2),得S u S u S S n n n n n n n n n =+=+=+∞←∞→+∞→+∞→12212212lim lim )(lim lim最后,由于S S S n n n n ==+∞→∞→122lim lim ,得 S S n n =∞→lim ,即交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛于S ,且1u S ≤,其余项n r 的绝对值仍为收敛得交错级数,所以14321+++++≤+-+-=n n n n n n u u u u u r . [例1] 证明交错级数∑∞=+-111)1(n n n收敛. 证: (1) 1111+=+>=n n u n n u , (2) 01lim lim ==∞→∞→n u n n n .由上述定理知, 交错级数∑=+-11)1(n n n收敛.且其和1≤S . 一、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数∑∞=1n nu,其中n u ( ,2,1=n )为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设∑∞=1n nu为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数∑∞=1n nu收敛,就称∑∞=1n nu绝对收敛;若∑∞=1n nu收敛,但∑∞=1n nu不收敛,就称∑∞=1n nu为条件收敛.定理2: 若任意项级数∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛.证: 因n n n u u u 20≤+≤,且级数∑∞=12n nu收敛,由正项级数的比较判别法知,级数)(1n n nu u+∑∞=收敛,再由级数的性质4知级数 ∑∞=1n n u =])[(1n n n n u u u -+∑∞= 收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如: ∑∞=--111)1(n n n 收敛,但∑∑∞=∞=-=-11111)1(n n n n n 为调和级数是发散的. [例2] 证明∑∞=1!n nn α=+++!!22n nααα对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明∑∞=1!n nn α是收敛的.事实上,对α∀,!)!1(lim1n n nn n αα++∞→=101lim<=+∞→n n α.由比值判别法知,∑∞=1!n nn α是收敛的,所以∑∞=1!n nn α对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.[例3] 证明∑∞=--111)1(n pn n 在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛. 证: 首先,我们知道∑∞=--111)1(n p n n 为一个莱布尼兹级数,且有当∞→n 时,pn1单调下降趋于零.故对0>∀p ,原级数∑=--11)1(n p n n总是收敛的. 其次,考虑其绝对值级数∑∞=11n p n ,也就是p -级数.由上一节的例1的结果知,当10≤<p 时发散, 1>p 时收敛.综上所述,∑∞=--111)1(n p n n在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛. 绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如∑∞=+-111)1(n n n=2ln , 而2ln 214124112181613141211=+----++--+-- k k k注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛111n n n n n n u τν 其中123121νννντn n n n n u u u u ++++=-- .如果两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数∑∞=1n nτ也绝对收敛.且当A un n=∑∞=1,B n n =∑∞=1ν时, AB n n =∑∞=1τ.若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.§7.3 幂级数一、内容要点函数项级数的概念：函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数． 幂级数及其收敛性： 1．幂级数的概念； 2．幂级数的收敛性：(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数∑∞=0n n x n a 当x = x 0(x 0≠ 0)时收敛，则适合不等式| x | < | x 0 |的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数∑∞=0n n x n a 当x = x 0时发散，则适合不等式| x | > | x 0 |的一切x 使这幂级数发散．(证明)推论：如果幂级数∑∞=0n n x n a 不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得 当| x | < R 时，幂级数绝对收敛; 当| x | > R 时，幂级数发散；当x = R 或x = -R 时，幂级数可能收敛也可能发散． (2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念； (3) 幂级数的收敛半径的求法: 定理２：如果ρ=+∞→nn n a a 1lim，其中a n 、a n + 1 是幂级数∑∞=0n n x n a 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=.,0,0,,0,1ρρρρR(证明).3．幂级数的运算：幂级数的加法、减法、乘法、除法； 4．幂级数的和函数的性质： 性质1：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续．性质2：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式I x x n a x x a x x a x x s n n n xn xnn n nn x∈+===∑⎰∑⎰∑⎰∞=+∞=∞= ,1d d ][d )(01．逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径． 性质3：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导，并有逐项求导公式),( )()(1100R x x na x a x a x s n n n n nn n n n <='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∑∑∑∞=-∞=∞=逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．二、 教学要求和注意点一、 函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I 上的一个函数,便为函数项级数.设 )(x u n , ,2,1=n 是定义在区间I 上的函数,序列)(1x u ,)(2x u , ),(x u n 是一个函数列,对于I 上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:)(1x u ++)(2x u ++)(x u n , (1)简记为∑∞=1)(n nx u.称为定义在I 上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如p -级数∑∞=11n pn ,∑∞=1n n nx ,∑∞=1!n nn α等等. 对于∈=0x x I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:∑∞=1)(n nx u =)(01x u ++)(02x u ++)(0x u n(2)若级数(2)收敛,就称0x x =是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称0x x =是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于I x ∈∀,x 不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I 中的每一点0x ,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I 上收敛.对于收敛域中的每一个点x ,函数项级数∑∞=n nx u)(为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点x 的函数.记为)(x S .则∑∞=n nx u)(=)(x S . )(x S 又称为和函数.若将其部分和函数记为)(x S n ,则)()(lim x S x S n n =∞→.同理,称)()(x S x S r n n -=为∑∞=1)(n nx u的余项.n r 为)(x S n 代替)(x S 时的误差.显然,也有0)(lim =∞→x r n n (x 为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式: +++++nn x a x a x a a 2210(3) ,其中 ,,,,,210n a a a a 叫做幂级数的系数.显然,幂级数在),(∞-∞上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在0=x 处总是收敛的.而对0≠∀x 的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel 定理) 设幂级数∑∞=0n nn xa = +++++nn x a x a x a a 2210 (3)若幂级数(3)在0x x =)0(0≠x 处收敛,则对于满足条件0x x <的一切x ,级数(3)绝对收敛.反之,若它在0x x =时发散,则对一切适合不等式0x x >的x ,级数(3)发散.证: +++++n n x a x a x a a 0202010收敛 ⇒nn n x a 0lim ∞→=0∴ 0>∃M , 对 ,2,1,0=∀n ,有M x a nn ≤0又 nnnnn n n nn nn x x M x x x a x x x a x a 00000≤⋅=⋅= 当0x x <时,10<x x , ∴ ∑∞=00n nx x M收敛. ⇒∑∞=0n nn x a 收敛. ∴∑∞=0n n n x a 绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证)由定理1不难知: 设α为任一收敛点,β为任一发散点.则必有βα≤。

微积分第七章无穷级数第七章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。

（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。

（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

（10）掌握函数«Skip Record If...»的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在«Skip Record If...»上的函数展开成傅氏级数，会将定义在«SkipRecord If...»上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。

二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．§7.1常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质1：若级数«Skip Record If...»收敛于和s，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为ks．(证明)性质2：若级数«Skip Record If...»、«Skip Record If...»分别收敛于和s、σ，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为s±σ．(证明)性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数«Skip Record If...»收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数«Skip Record If...»收敛，则它的一般项u n趋于零，即«Skip Record If...»．(证明)；一、概念定义:设已给定数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…,«Skip Record If...»…,称形式加法«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…, 其中称«Skip Record If...»为一般项.将其前«Skip Record If...»项的和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»称为级数的前«Skip Record If...»项的部分和,或简称部分和.注1: 由上我们便得到一个数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…, «Skip Record If...»,…,从形式上不难知道«Skip Rec ord If...»=«Skip Record If...»,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当«Skip Record If...»时,若部分和数列«Skip Record If...»有极限«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,就称常数项级数«Skip Record If...»收敛,且称«Skip Record If...»为其和,并记为: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip RecordIf...»+…+«Skip Record If...»+… , 若数列«Skip Record If...»没有极限,就称«Skip Record If...»发散.注1: 当级数收敛时,其部分和«Skip Record If...»又可看成为«Skip Record If...»的近似值. 两者之差«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…称为级数«Skip Record If...»的余项.用«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»所产生的误差就是它的绝对值,即«Skip Record If...».注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数«Skip Record If...»的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列«Skip Record If...»的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设«Skip Record If...»为一数列,令«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»=«Skip Rec ordIf...»,…,«Skip Record If...»=«Skip Record If...», «Skip Record If...», 则«Skip Record If...»这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数):«Skip Record If...»的敛散性.其中«Skip Record If...»解: 我们先考虑其部分和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»利用中学知识,得«Skip Record If...»=«Skip Record If...» («Skip Record If...»时)(I)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»=«Skip Record If...», 故几何级数收敛,且收敛于«Skip Record If...».(II)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«Skip Record If...»不存在,故此时几何级数发散.(III)当«Skip Record If...»时,此时几何级数为: «Ski p Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)此时级数发散.(IV)当«Skip Record If...»时,级数为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»不存在.故此时级数发散.«Skip Record If...»综上所述,几何级数在«Skip Record If...»时收敛,在«Skip Record If...»时发散.[例2] 证明级数«Skip Record If...»收敛.证: 首先,由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...» =«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»原级数收敛,且收敛于«Skip Record If...». [例3] 证明调和级数«Skip Record If...»发散.证: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip RecordIf...»+…+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»不存在. 故原级数发散.一、性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...».证: 设«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...». 即«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...»注1: 若反之,则不一定成立.即«Skip Record If...», 原级数«Skip Record If...»不一定收敛. 如调和级数«Skip Record If...»发散,但«Skip Record If...».注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若«Skip Record If...»,则原级数«Skip Record If...»一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: «Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...».则«Skip Record If...», 由于«Skip Record If...»为有限数,则«Skip Record If...»为一个有限数.则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同敛散.若原级数收敛,则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»收敛. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…收敛若原级数发散,则«Skip Record If...»不存在, 故«Skip Record If...»也不存在. 则«Skip Record If...»发散. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…发散.性质3: 若级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»,则它的各项都乘以一常数«Skip Record If...»所得的级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...».即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»性质4: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别收敛于«Skip Record If...»和«Skip Record If...»,则级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...».注1: «Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的和与差.注2: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之中有一个收敛,另一个发散,则«Skip Record If...»发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某«Skip Record If...»项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: «Skip Record If...»是发散的,但«Skip Record If...»是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.[例4] 判别级数«Skip Record If...»的敛散性.解: 因级数«Skip Record If...»与级数«Skip Record If...»均收敛,由性质4可知«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»收敛.§7.2常数项级数的审敛法一、内容要点正项级数及其审敛法：1．正项级数的概念；2．基本定理：正项级数«Skip Record If...»收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{s n}有界．(证明)3．比较审敛法：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，且u n≤v n (n = 1, 2, …)．若级数«Skip Record If...»收敛，则级数«Skip Record If...»收敛；反之，若级数«Skip Record If...»发散，则级数«Skip Record If...»发散．(证明)推论：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，如果级数«Skip Record If...»收敛，且存在自然数N，使当n≥N时有u n≤kv n (k > 0)成立，则级数«Skip Record If...»收敛；如果级数«Skip Record If...»发散，且当n≥N时有u n≥kv n (k > 0)成立，则级数«Skip Record If...»发散．4．比较审敛法的极限形式：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，(1) 如果«Skip Record If...»，且级数«Skip Record If...»收敛，则级数«Skip Record If...»收敛；(2) 如果«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，且级数«Skip Record If...»发散，则级数«Skip Record If...»发散．(证明)5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或«Skip Record If...»)时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；6．根值审敛法(柯西判别法)：设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或«Skip Record If...»)时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；7．极限审敛法：设«Skip Record If...»为正项级数，(1) 如果«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)，则级数«Skip Record If...»发散；(2) 如果p>1，而«Skip Record If...»，则级数«Skip Record If...»收敛．(证明)交错级数及其审敛法:1．交错级数的概念：2．莱布尼茨定理：如果交错级数«Skip Record If...»满足条件：(1) u n≥u n + 1 (n = 1, 2, 3, …)；(2) «Skip Record If...»则级数收敛，且其和s≤u1，其余项r n的绝对值|r n |≤u n + 1． (证明)绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念；2. 定理：如果级数«Skip Record If...»绝对收敛，则级数«Skip Record If...»必定收敛．(证明)一、教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以«Skip Record If...»后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设«Skip Record If...»为一正项级数, «Skip Record If...»为其部分和.显然部分和序列«Skip Record If...»是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理.定理: 正项级数«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界.证: “«Skip Record If...»” «Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界.“«Skip Record If...»” «Skip Record If...»有界,又«Skip Record If...»是一个单调上升数列«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛.定理1(比较审敛法) 设«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是两个正项级数,且«Skip Record If...»«Skip Record If...».那么1)如果«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...»收敛.2)如果«Skip Record If...»发散,则«Skip Record If...»发散. 证: 设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的部分和,显然由«Skip Record If...»«SkipRecord If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(1) «Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界«Skip Record If...»«Skip Record If...»也收敛.(2) «Skip Record If...»发散«Skip Record If...»«Skip Record If...»无界«Skip Record If...»«Skip Record If...»无界«Skip Record If...»«Skip Record If...»也发散.推论: 设两个正项级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»,如果对于«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为某一自然数)的«Skip RecordIf...»,恒成立不等式«Skip Record If...»(«Skip Record If...»的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论.[例1]: 讨论«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»的敛散性.其中常数«Skip Record If...».解 (1) 当«Skip Record If...»时,因«Skip Record If...»,而«Skip Record If...»发散, «Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»发散(2) 当«Skip Record If...»时,对于任意实数«Skip Record If...»,总存在自然数«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»«Skip Record If...»,因此«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»,于是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»<«Skip Record If...».这表明«Skip Record If...»有上界,又«Skip Record If...»单调上升,故«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»收敛.综上所述,当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»-级数发散;当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»-级数收敛.[例2] 若正项级数«Skip Record If...»收敛,则 (1) «Skip Record If...»收敛, (2)«Skip Record If...»收敛, (3)«Skip Record If...»收敛. 证: (1)由«Skip Record If...», 由于正项级数«Skip Record If...»收敛,则由比较审敛法, 知«Skip Record If...»收敛(2)«Skip Record If...», 由于正项级数«Skip RecordIf...»收敛,«Skip Record If...»收敛,则«Skip RecordIf...»收敛,(3)由于«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»,从而«Skip Record If...»,则由比较审敛法,则«Skip Record If...»收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»,如果存在极限:«Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...»,则级数«Skip Record If...»与«Skip RecordIf...»同时收敛或同时发散.(2)当«Skip Record If...»时,如果«Skip Record If...»收敛,则级数«SkipRecord If...»必收敛.(3)当«Skip Record If...»,如果«Skip Record If...»发散,则«Skip RecordIf...»必发散.证: 1)因«Skip Record If...»,根据极限的定义,对于«Skip Record If...»,必存在正整数«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,恒成立不等式«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散.2) «Skip Record If...»,即«Skip Record If...»,则存在«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»,得«Skip RecordIf...»,由比较审敛法知,如果级数«Skip Record If...»收敛,则级数«Skip Record If...»必收敛.3) «Skip Record If...»,即«Skip Record If...»,则存在«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»,得«Skip Record If...»,比较审敛法知,当«Skip Record If...»发散,则«Skip Record If...»必发散.[例3] 证明«Skip Record If...»收敛.证: 由«Skip Record If...»,又«Skip Record If...»收敛,则由比较审敛法的极限形式«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛定理2: (达朗贝尔D’Alembert判别法) 设正项级数«Skip Record If...»,如果极限«Skip Record If...»,则1)当«Skip Record If...»时,级数收敛;2)当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时,级数发散.3)当«Skip Record If...»时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.[例4] 证明«Skip Record If...»收敛.证: «Skip Record If...» , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.[例5] 讨论«Skip Record If...» («Skip Record If...»)的敛散性.解: «Skip Record If...»当«Skip Record If...»时, 由比值审敛法知,原级数收敛.当«Skip Record If...»时, 由比值审敛法知,原级数发散.当«Skip Record If...»时,判别法失效.但此时原级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...»发散.«Skip Record If...»«Skip Record If...»时,原级数收敛.;«Skip Record If...»时,原级数发散.定理3: (Cauchy判别法) 设«Skip Record If...»为正项级数,如果«Skip Record If...»,则1)当«Skip Record If...»时,级数收敛;2)当«Skip Record If...»(或为«Skip Record If...»)时,级数发散.3)当«Skip Record If...»时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy判别法为根值审敛法.[例6] 证明«Skip Record If...»收敛.证: «Skip Record If...»,故由根值审敛法知,原级数收敛.任意项级数的敛散性一、交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:«Skip Record If...»或«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数«Skip Record If...»满足:1) «Skip Record If...» , 2) «Skip Record If...»则级数«Skip Record If...»收敛,其和«Skip Record If...»,余项«Skip Record If...»的绝对值«Skip Record If...».证: 先考察交错级数«Skip Record If...»前«Skip Record If...»项的和«Skip Record If...»,并写成«Skip Record If...»,或«Skip Record If...»根据条件(1)可知:«Skip Record If...»是单调增加的,且«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»有界,故«Skip Record If...»再考察级数的前«Skip Record If...»项的和«Skip Record If...»,显然«Skip Record If...»,由条件(2),得«Skip Record If...»最后,由于«Skip Record If...»,得«Skip Record If...»,即交错级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»,且«Skip Record If...»,其余项«Skip Record If...»的绝对值仍为收敛得交错级数,所以«Skip Record If...».[例1] 证明交错级数«Skip Record If...»收敛.证: (1) «Skip Record If...», (2) «Skip Record If...».由上述定理知, 交错级数«Skip Record If...»收敛.且其和«Skip Record If...».一、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设«Skip Record If...»为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数«Skip Record If...»收敛,就称«Skip Record If...»绝对收敛;若«Skip Record If...»收敛,但«Skip Record If...»不收敛,就称«Skip Record If...»为条件收敛.定理2: 若任意项级数«Skip Record If...»绝对收敛,则«Skip Record If...»收敛.证: 因«Skip Record If...»,且级数«Skip Record If...»收敛,由正项级数的比较判别法知,级数«Skip Record If...»收敛,再由级数的性质4知级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...»收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如: «Skip Record If...»收敛,但«Skip Record If...»为调和级数是发散的.[例2] 证明«Skip Record If...»=«Skip Record If...»对«Skip Record If...»都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明«Skip Record If...»是收敛的.事实上,对«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»=«Skip Record If...».由比值判别法知, «Skip Record If...»是收敛的,所以«Skip Record If...»对«Skip Record If...»都是绝对收敛的.[例3] 证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»时为条件收敛,而在«Skip Record If...»时为绝对收敛.证: 首先,我们知道«Skip Record If...»为一个莱布尼兹级数,且有当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»单调下降趋于零.故对«Skip Record If...»,原级数«Skip Record If...»总是收敛的.其次,考虑其绝对值级数«Skip Record If...»,也就是«Skip Record If...»-级数.由上一节的例1的结果知,当«Skip Record If...»时发散, «Skip Record If...»时收敛.综上所述, «Skip Record If...»在«Skip Record If...»时为条件收敛,而在«Skip Record If...»时为绝对收敛.绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如«Skip Record If...»=«Skip Record If...», 而«Skip Record If...»注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:«Skip Record If...»其中«Skip Record If...».如果两个级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数«Skip Record If...»也绝对收敛.且当«Skip Record If...»,«Skip Record If...»时, «Skip Record If...».若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.§7.3幂级数一、内容要点函数项级数的概念：函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数．幂级数及其收敛性：1．幂级数的概念；2．幂级数的收敛性：(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数«Skip Record If...»当x = x(x0≠ 0)时收敛，则适合不等式|x | < |x0 |的一切x使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数«Skip Record If...»当x = x0时发散，则适合不等式|x | > |x0 |的一切x使这幂级数发散．(证明)推论：如果幂级数«Skip Record If...»不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得当|x | < R时，幂级数绝对收敛;当|x | > R时，幂级数发散；当x = R或x = -R时，幂级数可能收敛也可能发散．(2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念；(3) 幂级数的收敛半径的求法:定理２：如果«Skip Record If...»，其中a n、a n + 1是幂级数«Skip Record If...»的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径«Skip Record If...»(证明).3．幂级数的运算：幂级数的加法、减法、乘法、除法；4．幂级数的和函数的性质：性质1：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛域I上连续．性质2：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式«Skip Record If...»．逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．性质3：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛区间( R , R)内可导，并有逐项求导公式«Skip Record If...»逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．二、教学要求和注意点一、函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数.设«Skip Record If...», «Skip Record If...»是定义在区间I上的函数,序列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»是一个函数列,对于I上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...», (1)简记为«Skip Record If...».称为定义在I上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»等等.对于«Skip Record If...»I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...» (2)若级数(2)收敛,就称«Skip Record If...»是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称«Skip Record If...»是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于«Skip Record If...»,«Skip Record If...»不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I中的每一点«Skip Record If...»,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I上收敛.对于收敛域中的每一个点«Skip Record If...»,函数项级数«Skip Record If...»为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点«Skip Record If...»的函数.记为«Skip Record If...».则«Skip Record If...»=«Skip Record If...». «Skip Record If...»又称为和函数.若将其部分和函数记为«Skip Record If...», 则«Skip Record If...».同理,称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的余项.«Skip Record If...»为«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»时的误差.显然,也有«Skip Record If...» («Skip Record If...»为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式:«Skip Record If...»(3) ,其中«Skip Record If...»叫做幂级数的系数.显然,幂级数在«Skip Record If...»上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在«Skip Record If...»处总是收敛的.而对«Skip Record If...»的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel定理) 设幂级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...» (3)若幂级数(3)在«Skip Record If...»«Skip Record If...»处收敛,则对于满足条件«Skip Record If...»的一切«Skip Record If...»,级数(3)绝对收敛.反之,若它在«Skip Record If...»时发散,则对一切适合不等式«Skip Record If...»的«Skip Record If...»,级数(3)发散.证: «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...», 对«Skip Record If...»,有«Skip Record If...»又«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...», «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛. «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛.«Skip Record If...»«Skip Record If...»绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证)由定理1不难知: 设«Skip Record If...»为任一收敛点,«Skip Record If...»为任一发散点.则必有«Skip Record If...»。

《经济数学微积分》课程教学设计第1章函数、极限与连续（18课时）1.1函数的概念和性质（1课时）一、教学内容1.1.1区间和邻域1.1.2函数的概念1.1.3函数的表示法1.1.4函数的几何特性二、教学要求理解函数的概念，掌握函数的几何性质，会求函数的定义域，会建立应用问题的函数关系。

三、教学重点函数的概念、函数的几何性质四、教学过程（一）基本内容（视频1-1-1,1-1-2）1、区间和邻域邻域的概念与表示2、函数的概念函数的概念与表示、函数的定义域的求法（5个方面）【例1.1】3、函数的表示法几种特殊的函数的解析与图形表示【例1.2】——【例1.5】4、函数的几何特性单调性、奇偶性、周期性、有界性（重点单调性和有界性的判断方法）【例1.6】——【例1.7】（二）引导问题1、什么是邻域？怎样表示？2、什么是函数？函数的表示方法有哪几种？3、怎样确定函数定义域？4、函数的几何特性有哪些？怎样判断函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性？（三）练习习题1.11（1）—（4）， 2（1）（3），3，4（1）（3）（5）,5（1）（3），6（1）（四）解疑答问由学生提出疑问，师生共同解答（五）作业2（2）（4），4（2）（4）（6），5（2）（4），6（2），7一、教学内容1.2.1反函数1.2.2三角函数与反三角函数1.2.3复合函数1.2.4基本初等函数与初等函数二、教学要求理解反函数、复合函数的概念，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解基本初等函数、初等函数的概念。

三、教学重点复合函数的概念、函数的复合与分解，基本初等函数的解析式、定义域和值域、图形和性质。

四、教学过程（一）基本内容（视频1-2-1,1-2-2）1、反函数的概念、互为反函数的图形的性质【例1.8】2、三角函数与反三角函数正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的表示、定义域、值域和图形。

【例1.9】3、复合函数复合函数的概念、复合函数的合成与分解。

第6章无穷级数本章知识结构导图一、教学要求1、理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念；了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.2、掌握几何级数与p -级数的敛散性；掌握正项级数的比较和比值审敛法，了解正项级数的根值审敛法.3、了解交错级数的莱布尼茨定理；了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系.4、掌握简单幂级数收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单的幂级数的和函数.5、会用xe ，x sin ，x cos ，)1ln(x +与α)1(x +的麦克劳林（Maclaurin ）展开式将一些简单的函数展开成幂级数.6、了解一些无穷级数在经济中的应用.二、教学重难点1、教学重点：正数项级数及其审敛法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数的收敛半径及收敛域.2、教学难点：泰勒公式与泰勒级数；幂级数的展开.三、教学内容与课时划分5.1 常数项级数的概念与性质 2课时 5.2 正项级数及其审敛法 3课时 5.3 任意项级数敛散性的判别 1课时 5.4 幂级数 3课时 5.5 函数的幂级数展开 3课时 习题课 2课时 共计14课时§6.1 常数项级数的概念和性质教学目的: 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念；了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件. 教学重难点:1、教学重点：常数项级数收敛和发散的概念，几何级数和调和级数的敛散性.2、教学难点：无穷级数的性质. 教学课时：2一、常数项级数的概念《庄子•天下篇》中提到“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”2311112222n+++++这就是一个“无限个数相加”的例子. 从直观上可以看到, 它的和是1.再如下面由“无限个数相加”的表达式:1(1)1(1)+-++-+中, 如果将它写作 (11)(11)(11)000-+-+-+=+++,其结果无疑是0, 如写作()()11111100+-++-++=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦其结果就是1.“无限个数相加”是否存在“和”？如果存在, “和”等于什么？设有一个无穷数列 12,,,,n u u u , 则称12n u u u ++++(1)为常数项级数或无穷级数（也常简称级数）, 其中n u 称为常数项级数(1)的通项. 常数项级数(1)也常写作1nn u∞=∑或简单写作nu∑.作常数项级数(1)的前n 项之和121nn n k k S u u u u ==+++=∑n S 称为级数(1)的第n 个部分和, 也简称部分和. 当n 依次取1,2,3,时, 它们构成一个新的数列：11212312312,,,,,n n S u S u u S u u u S u u u ==+=++=+++【定义1】 若常数项级数(1)的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=）, 则称常数项级数(1)收敛, 称S 为常数项级数(1)的和, 即12n S u u u =++++或nu∑; 若部分和数列{}n S 是发散的, 则称常数项级数(1)发散.如果级数1nn u∞=∑收敛于s ，其部分和n s 是s 的近似值，它们之间的差12n n n n r s s u u ++=-=++称为级数1nn u∞=∑的余项. 显然有lim 0n n r →∞=，而n r 就是用n s 近似代替s 所产生的误差.【例1】 判断以下级数是否收敛, 若收敛求出其和. (1) 2462n +++++(2)231232222nn +++++【解】 (1) 这个级数的部分和为 (22)24622n n n S n +=++++=, 显然有lim n n S →∞=+∞, 因此所给级数是发散的.(2) 由于这个级数的部分和为这个级数的部分和为231232222n n n s =++++ 2341112322222n n ns +=++++23111111222222n n n n ns s +-=++++-111(1)221212n n n +-=-- 于是 112(1)22n n n ns +=--由于 11lim lim 2(1)222n n n n n ns +→∞→∞=--=所以该级数收敛，且它的和为2.【例2】 讨论几何级数（也称为等比级数）:20(0)nn n aqa aq aq aq a ∞==+++++≠∑的敛散性.【解】 作20nin n i S aqa aq aq aq ===++++∑,若1q ≠, 则(1)111n nn a q a aq S q q q-==----.下面考虑lim n n S →∞的问题:若1q <, 即当n →∞时, 0nq →, 则lim lim 111n n n n a aq aS q q q →∞→∞⎛⎫=-= ⎪---⎝⎭; 若1q >, 即当n →∞时, nq →∞, 故lim n n S →∞不存在;若1q =, 当n →∞时, n S na =→∞, 故lim n n S →∞不存在;若1q =-, 当n →∞时, n S =0,,n a n ⎧⎨⎩为偶数为奇数, 故lim n n S →∞不存在;综上所述,二、常数项级数的基本性质性质1 如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，那么级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks .性质2 如果级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑分别收敛于s 和σ, 那么级数()1nn n uv ∞=±∑也收敛, 且其和为s σ±.性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性. 性质4 如果级数1nn u∞=∑收敛，那么对级数的项任意加括号后所成的新级数仍收敛于原来的和.性质5 （收敛级数的必要条件）: 若级数1nn u∞=∑收敛, 则有lim 0n n u →∞=.【证】 设级数1nn u∞=∑收敛, 其和为u , 显然 1n n n u S S -=- (2)n ≥于是()1lim lim 0n n n n n u S S u u -→∞→∞=-=-=.性质5的逆命题是不成立的. 即有些级数虽然通项趋于零, 但仍然是发散的.⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=∑∞=1,1,11q q qaaq n n 不存在推论 如果lim 0n n u →∞≠, 则1nn u∞=∑必定发散.例如, 级数11n n n ∞=+∑, 它的通项()101n n n →≠→∞+, 因此该级数发散.【例3】 证明调和级数111123n+++++ (2) 是发散的.【证】 用反证法来证明.假设级数(2)收敛, 设它的第n 个部分和为n S , 且n S S → ()n →∞, 显然, 对级数(2)的第2n 个部分和为2n S , 也有()2n S Sn →→∞.于是 20n n S S S S -→-= ()n →∞. (3) 但是211111111222222n n S S n n n n nn -=+++>+++=++. 故与(3)式矛盾, 则假设不成立, 说明原级数发散.三、作业习题6.1 2、3（2）（4）、4（1）（3）（4）（5）§6.2 正项级数及其审敛法教学目的:了解正项级数收敛的充要条件;掌握正项级数的比较和比值审敛法;了解正项级数的根值判别法; 掌握p -级数的敛散性结果. 教学重难点：1、教学重点：正项级数的比较和比值判别法.2、教学难点：正项级数的比较判别法. 教学课时：3 教学过程：一、正项级数敛散性判别法121nn n uu u u ∞==++++∑, 其中0n u ≥称为正项级数.设正项级数121nn n uu u u ∞==++++∑其中0n u ≥，其部分和为n s , 显然部分和数列{}n s 是单调增加的, 即12n s s s ≤≤≤≤一方面，如果级数1nn u∞=∑收敛，则有lim n n s s →∞=，根据存在极限的数列是有界的，可知数列{}n s 是有界的.另一方面，如果数列{}n s 有界，根据单调有界数列必存在极限，可知lim n n s s →∞=，所以级数1nn u∞=∑收敛.因此，有定理：【定理1】 正项级数1nn u∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}n s 有界.性质 如果正项级数1nn u∞=∑任意加括号后级数收敛，那么级数1nn u∞=∑收敛.【证】设正项级数1nn u∞=∑的部分和为()s n ，加括号后的部分和为()k σ，其中n u 包含在()k σ中，显然有()()s n k σ≤由于加括号后的级数收敛，由定理 6.1可得部分和数列{}()k σ有界，从而部分和数列{}()s n 有界，正项级数1n n u ∞=∑收敛.结合本章6.1.2级数性质4可得，正项级数如果收敛，那么加括号或去括号后都收敛.【定理2】(比较审敛法)设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数, 且有 n n u v ≤(1,2,)n =，若1nn v∞=∑收敛, 则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散, 则1nn v∞=∑发散.【例1】 判断以下正项级数的敛散性.(1) 1121n n ∞=+∑(2) 1n ∞=【解】 (1) 由于11212nn <+, 而几何级数12n ∑是收敛的, 则由比较审敛法，1121n n ∞=+∑收敛.(2)12n>, 11122n n =∑∑, 而调和级数1n ∑是发散的, 则12n ∑也发散.则由比较判别法知1n ∞=也发散.【例2】 讨论p -级数111123p ppn +++++ 的敛散性.【解】 当 1p ≤时, p n 1≥n 1, 由于调和级数∑∞=11n n发散.由比较判别法, 当≤p 1时, 该级数是发散的.当1>p 时, 按顺序把该级数的1项、2项、4项、8项……括在一起.111111111234567815p p p p p p p p⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4)它的各项显然小于下列级数的各项.111111111()()22444488p pp p p p pp ⎛⎫++++++++++ ⎪⎝⎭即1111111248p p p ---++++(5)而后一个级数是等比级数, 其比1112p q -⎛⎫=< ⎪⎝⎭, 所以级数(5)收敛.于是根据级数收敛的比较判别法, 当1>p 时, 级数(4)收敛, 而级数(4)是正项级数, 所以加括号不影响其敛散性, 故原p -级数收敛.综上所述, p -级数当1p ≤时, 发散; 当1>p 时, 收敛. 【定理3】(极限形式的比较判别法) 设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且limnn nu l v →∞=（1） 当0l ≤<+∞时，若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛； （2） 当0l <≤+∞时，若1nn v∞=∑发散，则1nn u∞=∑发散.【例3】 判断下列级数的敛散性.(1)112n n n∞=-∑ (2)11sin n n ∞=∑【解】 (1) 由于1212lim lim lim 112122n n n n n n n nn n n →∞→∞→∞-===--, 而112n n ∞=∑是收敛的, 故112nn n∞=-∑也收敛. (2)11sinn n ∞=∑11sin1sin sin 2n=+++ 由于1sinlim 11n n n→∞=. 而11n n ∞=∑发散, 故11sinn n ∞=∑也发散.【定理4】(比值审敛法)若1n n u ∞=∑为正项级数, 且 1limn n nu q u +→∞=，则:(1) 当1q <时, 级数1nn u∞=∑收敛;(2) 当1q >或q =+∞时, 级数1nn u∞=∑发散;(3) 当1q =时, 级数1nn u∞=∑可能收敛也可能发散.【例4】 判断下列级数的敛散性.(1) ()()258231225258115159159141n n ⋅⋅+-⎡⎤⋅⋅⋅⎣⎦+++++⋅⋅⋅⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦(2)11n n nx∞-=∑ ()0x > (3) 15!n n n n n∞=∑【解】 (1) 由于1233limlim 1144n n n nu n u n +→∞→∞+==<+, 由比值审敛法知, 原级数收敛.(2) 由于()1111lim lim lim n n n n n n nn x u n x x u nx n +-→∞→∞→∞++==⋅=, 故由比值审敛法知: 当01x <<时,11n n nx∞-=∑收敛; 当 1x ≥时,11n n nx∞-=∑发散.(3) 考虑其绝对值级数()()11151!115lim lim lim 5lim 515!111n n nn n n n n n n nnn n un n u n e n n +++→∞→∞→∞→∞++⎛⎫==⋅=⋅=> ⎪⋅+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故原级数发散.【定理5】 （根值判别法）设nu∑为正项级数, 如果n q =, 则有(1) 当1q <时, 级数收敛; (2) 当1q >时, 级数发散;(3) 当1q =时, 级数可能收敛也可能发散.【例5】 讨论级数()1212nnn ∞=+-∑的敛散性. 【解】由于12n n == ()1<, 所以原级数是收敛的. 例如, 级数()212nn +-∑, 由于222121332limlim 122m mm m m m u u →∞→∞--== ()1>, 而 212122112lim lim 362m m m m mm u u ++→∞→∞== ()1<,故由比值判别法无法判别此级数的敛散性. 但可以用根值判别法.一般地, 当n u 为乘积式时多用比值判别法, 当n u 为乘方形式时多用根值判别法. 以上是判别正项级数敛散性的几种常用方法.在实际运用时，常先检查一般项的极限是否为零.若不为零，则级数发散；若为零，再根据一般项的特点，选择适当的审敛法判别其敛散性.二、作业习题6.2 1（1）（3）（5）（7）（9）§6.3 任意项级数敛散性的判别教学目的：了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系，会判断任意项级数的绝对收敛和条件收敛；掌握交错级数的莱布尼兹判别法. 教学重难点：1、教学重点：任意项级数的绝对收敛和条件收敛2、教学难点：条件收敛的判别 教学课时：1 教学过程：对n u 的取值符号不加限制的常数项级数1nn u∞=∑，称为任意项级数.一、交错级数若级数的各项符号正负相间, 即1112341(1)(1)(0,1,2,)n n n n n n u u u u u u u n ∞--=-=-+-++-+>=∑则称之为交错级数.例如, 111111(1)234n n--+-++-+和11ln 2ln 3ln 4(1)ln n n --+-++-+等都是交错级数.【定理1】(莱布尼兹判别法)设交错项级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件:(1) 1n n u u +≥ 即数列{}n u 单调递减; (2) lim 0n n u →∞=;则交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑是收敛的, 且它的和1S u ≤.【例2】 判断下列级数是否收敛.(1)()1111n n n ∞-=-∑; (2) 11114916-+-+.【解】 (1) 为交错级数, 1n u n =, 111n u n +=+, 故1n n u u +≥且lim 0n n u →∞=由莱布尼兹判别法知原级数收敛. (2) 21n u n =, lim 0n n u →∞=, 且 122110(1)n n u u n n+-=-<+ 故1n n u u +≥, 根据莱布尼兹判别法, 知原级数收敛.【例3】判别交错级数11ln (1)n n nn ∞-=-∑的敛散性. 【解】级数的一般项满足（1）ln lim0n nn→∞=（2）要说明ln ln(1)1n n n n +>+，即要说明数列ln n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调减少.于是设ln x y x =，则 21ln xy x-'= 当x e >时，0y '<，即当3n ≥时，数列ln n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调减少，满足ln ln(1)1n n n n +>+.由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛【定义】 若级数121nn n uu u u ∞==++++∑的各项的绝对值所组成的级数121nn n uu u u ∞==++++∑收敛, 则称原级数1nn u∞=∑绝对收敛; 若级数1nn u∞=∑收敛, 而级数1nn u∞=∑发散, 则称原级数1nn u∞=∑条件收敛.【定理2】 如果正项级数1nn u∞=∑收敛,则原级数1nn u∞=∑收敛.【证】 令 1(),1,2,2n n n v u u n =+=则有0,1,2,n n v u n ≤≤=于是，由级数1nn u∞=∑收敛，可知1nn v∞=∑收敛.又因为2(1,2,)n n n u v u n =-=，所以，1nn u∞=∑收敛.由级数的条件收敛可知: 若级数1nn u∞=∑发散, 则1nn u∞=∑未必发散.【例4】 判别级数的收敛性，如收敛，指出绝对收敛还是条件收敛.（1）21cos nnx n ∞=∑ （2）()111n n ∞-=-∑（3）11(1)!(1)10n n n n ∞-=+-∑ 【解】 （1） 由2cos n nxu n =得 22cos 1nnx u n n =≤. 而级数211n n ∞=∑收敛, 故由比较原则知1n n u ∞=∑收敛, 再由定理2知原级数21cos n nx n ∞=∑收敛,并且为绝对收敛. (2) 由于()1111n n n ∞∞-==-=∑,而1n ∞=∑p-级数,发散； 又原级数为交错级数，满足莱布尼兹审敛法的两个条件，故原级数条件收敛. （3）该级数的绝对值级数为1(1)!10nn n ∞=+∑，由于 1(2)!210lim lim (1)!1010n n n nn n n +→∞→∞++==+∞+于是1n n u u +> 可知lim 0n n u →∞≠，从而lim 0n n u →∞≠，所以级数11(1)!(1)10n nn n ∞-=+-∑发散. 一般情况下，从1nn u∞=∑发散是不能判别1nn u∞=∑发散的.但从例6.11（3）可以看出，若利用比值审敛法或级数收敛的必要条件判别1nn u∞=∑发散，则1nn u∞=∑也发散.三、作业习题6.3 1（1）（3）（5）（7）（9）、2（1）§6.4 幂级数教学目的：掌握简单幂级数收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单的幂级数的和函数.教学重难点：1、 教学重点：幂级数的收敛半径与收敛域.2、 教学难点：利用幂级数的在收敛区间内的性质求和函数 教学课时：3 教学过程：一、函数项级数的概念设()(1,2,)n u x n =为定义在实数集合X 上的函数序列，则称1()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑为定义在X 上的函数项无穷级数，简称函数项级数或函数级数.若有0x X ∈，使得()nn u x ∞=∑收敛，则称函数项级数0()nn u x ∞=∑在0x点收敛，0x 为级数的收敛点；若()nn u x ∞=∑发散，则称函数项级数0()nn u x ∞=∑在0x点发散，0x 为级数的发散点.级数所有收敛（发散）点构成的集合称为收敛（发散）域.对于收敛域中的每一个x ，有()()n n u x s x ∞==∑，则称()s x 为级数的和函数；称12()()()()n n s x u x u x u x =+++为级数的部分和.在收敛域内，有lim ()()n n s x s x →∞= 【例 1】求下列函数项级数的收敛域. （1）n n x ∞=∑ （2）21cos n nxn ∞=∑【解】（1）函数项级数nn x∞=∑的收敛域为(1,1)-，和函数为1(),(1,1)1n n x s x x x∞===∈--∑ （2）该级数为任意项级数，考虑其绝对值级数21cos n nxn ∞=∑，由于22cos 1nx n n ≤级数211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法，级数21cos n nx n ∞=∑收敛，故21cos n nxn ∞=∑绝对收敛.所以对任意的x ，级数21cos n nxn ∞=∑都是收敛的，即级数的收敛域为(,)-∞+∞. 二、幂级数()()()()200102001n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑（1）称为x 在0x 处的幂级数, 我们将着重讨论00x =的情形.010nn n n n a xa a x a x ∞==++++∑ （2）其中01,,,,n a a a 都是常数, 称为幂级数的系数, n n a x 称为幂级数的通项,在(1)中, 只要令0t x x =-, 就可把(1)转化成(2)式, 所以不失一般性, 我们着重讨论幂级数(2)的收敛性问题.观察发现, 任何一个幂级数在0x =处肯定是收敛的.对于每一个确定的实数0x , 幂级数(2)成为常数项级数. 对于一个给定的幂级数, 它的收敛域的发散域的结构如何?【定理1】 （阿贝尔定理）（1） 如果幂级数0nn n a x∞=∑在00(0)x x ≠处收敛, 则对于满足不等式0||x x <的一切点x 处绝对收敛；（2）如果幂级数0n n n a x ∞=∑在11(0)x x ≠处发散, 则对于满足不等式1||x x >的一切点x 处级数发散.推论 如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =处收敛, 也不是在整个R 上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在. 使得(1) 当||x R <时, 幂级数收敛;(2) 当||x R >时, 幂级数发散;(3) 当x R =和x R =-时, 幂级数可能收敛, 也可能发散. 这里的正数R 通常叫做幂级数(1)的收敛半径, 开区间(,)R R -叫做幂级数(1)的收敛区间, 再由幂级数在x R =±处是否收敛来决定它的收敛域.如果幂级数(1)只在0x =处收敛, 此时收敛域只有一点0x =, 为方便起见, 规定它的收敛半径为0R =; 如果幂级数(1)对一切x R ∈都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 此时收敛域是(),-∞+∞.【例 2】 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.(1) 232!3!!n x x x x n +++++（2）211(1)3n nn n x +∞=-∑ 【解】 (1) 1limlim 011n n n n u xu n +→∞→∞==<+, 故收敛半径R =+∞.因此收敛域为(,)-∞+∞. （2）考虑其绝对值级数2113n nn x +∞=∑，由比值审敛法 23211213limlim 33n n n n n n n nu x x u x ++++→∞→∞== 当213x <时，级数211(1)3n n n n x +∞=-∑绝对收敛,所以收敛半径R =当x =.所以，收敛域为(.【例 3】 求幂级数1(1)2n n n x n∞=-⋅∑的收敛域.【解】 令1t x =-, 则原幂级数变为12nn n t n ∞=⋅∑.考虑其绝对值级数12n n n t n ∞=⋅∑，由比值审敛法111122(1)limlim lim 2(1)22n n n n n n n n n nn t t u n n t t u n n++++→∞→∞→∞⋅⋅+===⋅+⋅ 当12t<时，级数12nn n t n∞=⋅∑绝对收敛.所以收敛半径为2R =, 收敛点满足12x -<, 即13x -<<，所以收敛区间为(1,3)-.当3x =时, 原级数成为11n n ∞=∑, 发散；当1x =-时, 原级数成为1(1)n n n ∞=-∑, 收敛.因此，原级数的收敛域为[)1,3-.2．幂级数的性质 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛区域为()11,R R -, 和函数为()1s x , 即()110() nn n s x a x x R ∞==<∑, 又设幂级数0n n n b x ∞=∑的收敛区域为()22,R R -, 和函数为()2s x ,即()22()n nn s x b x x R ∞==<∑. 则幂级数的主要性质:【性质1】 两个幂级数在公共的收敛区域内, 其和或差也是收敛的, 并和函数为相对应的两个和函数的和与差. 即设1,2min{}R R R =, 则120()()()nnn nnnn n n n oa xb x ab x s x s x ∞∞∞===±=±=±∑∑∑, x R <.【性质2】 幂级数nn n a x∞=∑在其收敛域11(,)R R -内可以逐项求导, 而且求导后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即()11000()n n n n n n n n n a x a x na x s x ∞∞∞-===''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑∑, 1||x R <【性质3】 幂级数nn n a x∞=∑在收敛区域1,1()R R -内可以逐项积分, 而且积分后所得的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同, 即110000001(),||1xx x n n n n n n n n n a x dx a x dx a x s x dx x R n ∞∞∞+===⎛⎫===< ⎪+⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰.【例5】 求幂级数11(1)n nn x n -∞=-∑的和函数.【解】 由比值审敛法 1limlim 1n n n n u n x x u n +→∞→∞==+ 当1x <时，级数11(1)n nn x n -∞=-∑绝对收敛，故幂级数的收敛区间为(1,1)-.设11(1)()n nn s x x n -∞=-=∑，从而(0)0s =.两边对x 求导, 得211()11n n s x x x x --'=-+-+-+（）右边级数是公比为x -的几何级数, 所以1()1s x x'=+. 两边同时从0到x 积分得:01()()ln(1),(1,1]1xxs x s t dt dt x x t'===+∈-+⎰⎰即11(1)ln(1),(1,1]n nn x x x n -∞=-=+∈-∑.【例6】求幂级数1nn nx∞=∑的和函数.由比值审敛法1(1)lim lim nn n n n nu n x x u nx +→∞→∞+==当1x <时，级数1nn nx∞=∑绝对收敛，故幂级数的收敛区间为(1,1)-.设111()nn n n s x nxx nx∞∞-====∑∑，当0x ≠时，11()n n s x nx x ∞-==∑两边同时积分，由逐项积分公式，得1100111()d d d 1xx x n n n n n n s x x x nx x nx x x x x ∞∞∞--=======-∑∑∑⎰⎰⎰，(1,0)(0,1)x ∈- 两边同时求导，得2()1(1)s x x x =- 即 2()(1)xs x x =-，(1,0)(0,1)x ∈- 当0x =时，(0)0s =，2()(1)xs x x =-也成立，所以，幂级数的和函数为2()(1)xs x x =-，(1,1)x ∈- 【例7】 在(1,1)-内求幂级数10(1)2n n n n x ∞-=+∑的和函数，并求数项级数0(1)2nn n n ∞=+∑的和. 【解】设1(1)()2n n n n s x x ∞-=+=∑，则11000111()(1)(1)()()222n nn n n n s x n n x n x x ∞∞∞-+==='''=+=+=∑∑∑130111()221(1)n n x x x x ∞+=''⎛⎫''==⋅= ⎪--⎝⎭∑，(1,1)x ∈-当12x =时，幂级数10(1)2n n n n x ∞-=+∑即为级数0(1)2nn n n ∞=+∑，所以 30(1)1812(1)2nn n n ∞=+==-∑ 三、作业习题6.4 1（1）（3）（5）（7）、2（1）（3）、3§6.5 函数的幂级数展开教学目的：了解泰勒公式，理解泰勒级数和麦克劳林级数的概念；掌握初等函数的麦克劳林展开式；会间接展开比较简单的函数.教学重难点：1、 教学重点：初等函数的幂级数展开式2、 教学难点：函数的间接展开法 教学课时：3 教学过程：一、泰勒公式对于一些较复杂的函数, 为了研究方便, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 设函数()f x 在含有0x 的开区间内具有直到(1)n 阶导数, 试找出一个关于0()x x 的n 次多项式2010200()()()()n n n P x a a x x a x x a x x来近似表达()f x ，要求()n P x 与()f x 在0x 的直到(1)n 阶导数都相等，()n P x 与()f x 之差是比0()n xx 高阶的无穷小,并给出误差|()()|n f x p x 的具体表达式.由210200()()()()n n n P x a a xx a xx a xx ，求其各阶导数，得11200()2()()n n n P x a a x x na x x -'=+-++-22300()232()(1)()n n n P x a a x x n n a x x -''=+⋅-++⋅--()()!n n n P x n a于是()0001020(),(),()2!,()!n n n n n n P x a P x a P x a P x n a '''====,因为()n P x 与()f x 在0x 的函数值和直到(1)n阶导数都相等，即 000001002()(),()(),()()2!,,n n n f x P x a f x P x a f x P x a ''''''======()()00()()!n n n n f x P x n a从而有00()a f x =，10()a f x '=，201()2!a f x ''=，，()01()!n na f x n 所以()20000000()()()()()()() ()2!!n n n f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 该多项式称为函数()f x 按0()x x 的幂展开的n 次泰勒（Taylor ）多项式.下面的定理表明，该多项式就是要找的满足条件的多项式.定理 （泰勒中值定理）如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n 阶导数，则当(,)x a b ∈时，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与0x 之间).该公式称为()f x 按0()x x 的幂展开的n阶泰勒公式，()n R x 称为拉格朗日型余项.当0n =时，泰勒公式就变成拉格朗日公式00()()()()f x f x f x x ξ (ξ介于x 与0x 之间) 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果在泰勒公式中取00x ，即()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++ 其中(1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+(01θ<<)，该公式称为麦克劳林（Maclaurin ）公式.由此可以得到几个常用初等函数的麦克劳林公式：231e e 1,(01)2!3!!(1)!n x n x x x x x x n n θθ+=++++++<<+ 213521121sin 2sin (1),(01)3!5!(21)!(21)!m m m m x x x x x x x m m θπθ+--+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+-+-+<<-+ 24222cos[(1)]cos 1(1),(01)2!4!(2)!(22)!m m nx x x x m x x m m θπθ+++=-+-+-+<<+2311+1(1)ln(1)(1),(01)23(1)(1)n n n n n x x x x x x n n x θθ+--+=-+-+-+<<++二、泰勒级数幂级数在其收敛域上收敛到其和函数，考虑一个相反的问题，对于给定的函数()f x ，是否能找到这样一个幂级数，它在某个区间内收敛, 且其和函数恰好就是给定的函数()f x ？如果能找到这样的幂级数，我们就称函数()f x 在该区间内能展开成幂级数，而此幂级数在收敛区间内就表达了函数()f x .在泰勒公式中，函数()f x 的条件是在含有0x 的某个开区间内具有直到(1)n 阶导数，现将函数()f x 的条件放宽：函数()f x 在含有0x 的某个开区间内具有任意阶导数，当n →∞时，泰勒多项式就成为幂级数()23000000000()()()()()()()()() 2!3!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ''''''+-+-+-++-+ 称该幂级数为函数()f x 的泰勒级数.显然，该幂级数的前1n +项的和即为函数()f x 在点0x 的n 阶泰勒多项式()n P x ，如果当x 在点0x 的某一邻域0()U x 内时，总有 0lim ()() (())n n P x f x x U x →∞=∈则称函数()f x 的泰勒级数收敛于()f x 或()f x 在0x x =处可以展开成泰勒级数.如果函数()f x 的泰勒级数收敛于()f x ，则 0lim ()() (())n n P x f x x U x →∞=∈又由泰勒公式可知()()()n n f x P x R x =+ 所以当n →∞时lim ()lim ()()n n n n P x R x f x →∞→∞+=于是，得 ))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→另一方面，如果))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→，则有0lim ()() (())n n P x f x x U x →∞=∈所以，函数()f x 的泰勒级数收敛于()f x .于是，有如下定理：定理 设函数()f x 在点0x 的某一邻域0()U x 内具有各阶导数, 则()f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是()f x 的泰勒公式中的余项()n R x 当n 时的极限为零，即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→如果在泰勒级数中取00x , 得()2(0)(0)(0)(0) 2!!n n f f f f x x x n '''+++++此级数称为函数()f x 的麦克劳林级数.三、函数的幂级数展开式为方便起见, 我们仅讨论麦克劳林展开式, 即00x =时的情况, 以下是几个基本初等函数的麦克劳林展开式.1.直接展开法函数展开成幂级数的步骤:（1）计算()000(),(),,(),n f x f x f x '''；（2) 写出对应的()000()()!n n n f x x x n ∞=-∑, 并求出收敛半径R ； (3) 验证在0x x R -<内，lim ()0 n n R x →∞=；（4）用泰勒级数表示()f x ()000()()()!n n n f x f x x x n 0()x x R .【例1】求函数()e xf x 的麦克劳林公式和麦克劳林级数.【解】 所给函数的各阶导数为()()e (1,2,)n x fx n ==, 因此()()1(1,2,)n f x n ==，所以，()e xf x 的麦克劳林公式为211e 1()2!!x nn x x x R x n其中 11()e ,01(1)!x n n R x x n θθ 于是11()e (1)!n xn R x xn考虑正项级数111e (1)!n xn x n ∞+=+∑，有 211(1)!()lim lim lim 01()(2)(2)!n n n n n n nn x x u x u x n n x +++→∞→∞→∞+===<++ 于是，由比值审敛法可知，级数111e(1)!n xn xn ∞+=+∑收敛，故有11lim e 0(1)!n xn x n +→∞=+，(,)x ∈-∞+∞从而有lim ()0 n n R x →∞=因此，由定理，()e x f x 能展开成麦克劳林级数211e12!!!nxnn x xx x n n ，(,)x ∈-∞+∞ 由此可以得到几个常用初等函数的麦克劳林级数：23e 1,()2!3!!nxx x x x x n =++++++-∞<<+∞3521sin (1),()3!5!(21)!m mx x x x x x m +=-+-+-+-∞<<+∞+231ln(1)(1),()23nn x x x x x x n -+=-+-+-+-∞<<+∞ ()()()()2111112!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x 2.间接展开法。

经济数学微积分----教学大纲一．函数极限与连续1.理解函数地概念,掌握函数地表示法,会建立应用问题地函数关系.2.了解函数地有界性,单调性,周期性与奇偶性.3.理解复合函数与分段函数地概念,了解反函数与隐函数地概念.4.掌握基本初等函数地性质与其图形,了解初等函数地概念.5.理解极限地概念,理解函数左极限与右极限地概念以与函数极限存在与左极限,右极限之间地关系.6.了解极限地性质与极限存在地两个准则,掌握极限地四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限地方法.7.理解无穷小量,无穷大量地概念,掌握无穷小量地比较方法会用等价无穷小量求极限.8.理解函数连续性地概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点地类型.9.了解连续函数地性质与初等函数地连续性,理解闭区间上连续函数地性质（有界性,最大值与最小值定理,介值定理),并会应用这些性质.二．一元函数微分学1.理解导数地概念与可导性与连续性之间地关系,了解导数地几何意义与经济意义（含边际与弹性地概念）,会求平面曲线地切线方程与法线方程.2.掌握基本初等函数地导数公式,导数地四则运算法则与复合函数地求导法则,会求分段函数地导数,会求反函数与隐函数地导数.3.了解高阶导数地概念,会求简单函数地高阶导数.4.了解微分地概念,导数与微分之间地关系以与一阶微分形式地不变性,会求函数地微分.5.理解并会用罗尔（Rolle ）定理,拉格朗日( Lagrange)中值定理与泰勒（Taylor ）定理,了解并会用柯西（Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限地方法.7.掌握函数单调性地判别方法,了解函数极值地概念,掌握函数极值,最大值与最小值地求法与其应用.8.会用导数判断函数图形地凹凸性（注：在区间(,)a b 内,设函数()f x 具有二阶导数.当()0f x ''>时,()f x 地图形是凹地;当()0f x ''<时,()f x 地图形是凸地）,会求函数图形地拐点以与水平,铅直与斜渐近线,会描绘函数地图形.三．一元函数积分学1.理解原函数与不定积分地概念,掌握不定积分地基本性质与基本积分公式,掌握计算不定积分地换元积分法与分部积分法.2.了解定积分地概念与基本性质,了解定积分中值定理,理解积分上限地函数并会求它地导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式以与定积分地换元积分法与分部积分法.3.会利用定积分计算平面图形地面积,旋转体地体积与函数地平均值,会利用定积分求解简单地经济应用问题.4.理解反常积分地概念,了解反常积分收敛地比较判别法,会计算反常积分.四．多元函数微积分学1.了解多元函数地概念,了解二元函数地几何意义.2.了解二元函数地极限与连续地概念,了解有界闭区域上二元连续函数地性质.3.了解多元函数偏导数与全微分地概念,会求多元复合函数一阶,二阶偏导数,会求全微分,了解隐函数存在定理,会求多元隐函数地偏导数.4.了解多元函数极值与条件极值地概念,掌握多元函数极值存在地必要条件,了解二元函数极值存在地充分条件,会求二元函数地极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数地最大值与最小值,并会解决一些简单地应用问题.5.理解二重积分地概念,了解二重积分地基本性质,了解二重积分地中值定理,掌握二重积分地计算方法（直角坐标,极坐标）.了解无界区域上较简单地反常二重积分并会计算.五．无穷级数1.理解常数项级数收敛,发散以与收敛级数地与地概念,掌握级数地基本性质与收敛地必要条件.2.掌握几何级数与p 级数地收敛与发散地条件.3.掌握正项级数收敛性地比较判别法,比值判别法,根值判别法,会用积分判别法.4.掌握交错级数地莱布尼茨判别法5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛地概念以与绝对收敛与收敛地关系.6.理解幂级数地收敛半径地概念,并掌握幂级数地收敛半径,收敛区间与收敛域地求法.7.了解幂级数在其收敛区间内地基本性质（与函数地连续性,逐项求导与逐项积分）,会求一些幂级数在收敛区间内地与函数,并会由此求出某些数项级数地与.8.掌握e x ,sin x ,cos x ,ln(1)x +与(1)x α+地麦克劳林（Maclaurin ）展开式,会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.六．常微分方程与差分方程1.了解微分方程与其阶,解,通解,初始条件与特解等概念.2.掌握变量可分离地微分方程,齐次微分方程与一阶线性微分方程地求解方法.3.理解线性微分方程解地性质与解地结构4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程地解法,并会解某些高于二阶地常系数齐次线性微分方程.5.会解自由项为多项式,指数函数,正弦函数,余弦函数以与它们地与与积地二阶常系数非齐次线性微分方程.6.了解差分与差分方程与其通解与特解等概念.7.掌握一阶常系数线性差分方程地求解方法.8.会用微分方程求解简单地经济应用问题.。