全国高中数学 青年教师展评课 向量法教学设计(甘肃白银八中)

教材：人教A版高中数学必修4课题：2.1 平面对量的实际背景及基本概念授课老师：安徽省合肥市第一中学刘娟一. 教学内容解析向量是近代数学重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学学问结构起着重要的作用. 向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小, 又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过争辩，建立起完整的学问体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用.本课是“平面对量”的起始课，具有“统领全局”的作用. 本节概念课，更为重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让同学去体会生疏与争辩数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，分析问题，解决问题的力量.本节课主要内容包括向量的物理背景与概念，向量的表示，相等向量与共线向量.二.教学目标设置1. 了解向量的实际背景；2. 理解平面对量、平行向量、相等向量、共线向量的概念，把握向量的几何表示；3. 经受平面对量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路．三. 同学学情分析从同学已经学习过的学问中看，他们已经把握了数的抽象过程、实数的确定值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性. 还有同学在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习供应了学问预备.从同学现有的学习力量看，同学已经具备了肯定的抽象概括的力量，因此，可以尝试让同学从实际背景中抽象并概括出向量的概念.同学在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是同学生疏过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础. 同学的易混点是向量的几何表示（有向线段）与平面对量，同学的易错点是，在解决向量问题时，不能从向量的两个要素全面考虑，顾此失彼.四．教学策略分析本节课的难点是平面对量的概念，共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程，突破策略主要是：1. 创设问题情境，让同学从初步感悟生活中既有大小，又有方向的量开头，逐步增加信息，以期达到上升到理性生疏所需的信息量；2. 同学适度仿照抽象数量概念的过程，从同类事物中抽象概括得到向量的概念；3. 同学比较向量和数量的区分，进一步理解向量概念；4.引导类比思考，让同学将已学习过的直线（段）平行和共线与共线向量这一新知之间建立联系；5.类比数的表示引出向量几何表示的必要性，从特殊向量（浮力）的有向线段表示推广到一般向量的几何表示，用直观的有向线段表示抽象的向量.在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过老师引导、同学提问、师生沟通、同学合作举例，让同学自主建构向量和共线向量的概念．这样做可使同学经受新概念产生的过程，从总体上生疏新学问与原有学问的联系，在过程中感受学习新概念、解决新问题的方法．五．重点与难点1. 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；2. 难点：向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程．六．教学方法与教学手段问题引导教学法，启发式教学，小组合作学习．七．教学过程1.创设情境建构概念【引例】同学在老师节发来的一条祝愿短信：“刘老师您好，祝您老师节欢快！我考到了一个离合肥直线距离800公里的大城市读高校，目前在军训了，您猜我在哪个城市？”[设计意图] 通过同学生疏的问题情境，引发同学思考.只有大小，没有方向，并不能给出具体的位置，从而指出位移是一个既有大小, 又有方向的量.[教学片段]师：经过百度地图的搜寻，老师定位地图上离合肥800公里的大城市有天津、西安、厦门三个.你能否确定是哪个城市呢？生：不能.师：为什么不能确定呢？生：由于只知道从合肥到这个城市的位移的大小，并不知道方向.师：这么说位移不仅要求有大小，而且有方向.【问题1】你能否再举出一些既有大小，又有方向的量？[设计意图] 激活同学的已有相关阅历.进一步直观演示，加深印象. 再追问有没有只有大小，没有方向的量的问题，通过两相对比，突显向量的两大要素.[教学片段]生：重力、浮力、弹力...师：生活中有没有只有大小，没有方向的量？生：年龄、身高、面积、体积等.师：回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小,又有方向的量进行抽象，形成一种新的量.师：数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.向量在物理学中常称为矢量，数量在物理学中常称为标量.【本章简介】向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相像、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.[设计意图] 本节课是“平面对量”的起始课，具有“统领全局”的作用，有必要对本节内容在数学学习争辩中的地位做一个简要的介绍.回答平面对量这一章“是什么”、“为什么学”、“学什么”、“怎么学”，激发同学学习爱好，明确学习任务，指明向量的争辩对象及争辩方法.(板书：2.1 平面对量的实际背景及基本概念.)(板书：既有大小，又有方向的量叫做向量.)2.几何表示理解概念【问题2】实数在数轴上是如何表示的？[设计意图] 类比实数的点表示，寻求向量的几何表示.[教学片段]生：可以用数轴上的点表示.师：同学们都知道实数经常可以用数轴上的一个点来表示，而且不同的点表示不同的实数.请同学们在数轴上画出表示实数0, 1的点，再画出表示实数a的点.生：在稿纸上画出数轴，并标注点的位置（如图1所示）.师：实数a 是一个数量，数轴上表示它的点是一个点A，一个点也是几何图形，这里实际上就是用几何图形（数轴上的一个点）来表示了实数a，数量可以这样，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平面对量呢？【师生互动】两回顾、一探究：回顾浮力在物理中如何表示，回顾实数中确定值符号的使用，探究向量的几何表示和字母表示以及向量的模的字母表示.[设计意图] ①用“带箭头的线段”表示浮力，是学校物理已学习过的内容，是同学的“最近进展区”，将这一内容再次进行条理化、系统化，是强化、固化新知的“停靠点”，让旧知自然地“生长”出新知.②在实数的两边画上两条平行、等长的竖线段表示“表示实数的点到原点的距离”，这是同学已经娴熟把握的确定值的几何意义，将这一符号表示方法类比到向量的模的字母表示上是自然的.[教学片段]师：如图2，有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是10N，另一个木块所受到的重力的大小为20N. 同学们试在练习纸中画出两个物体所受到的浮力，练习纸中已经给出了表示10N的线段长度.生：作图，并表示浮力(如图2所示).师：表示这两个木块所受浮力大小的线段哪个更长？生：表示浮力大小为20N的线段更长.师：一般地，可以按肯定比例画出一条线段，它的长短表示向量的大小.（板书设计：画一条线段，标注线段AB，也可记作线段a.）师：我们用线段的长短表示了浮力的大小，那浮力的方向同学们又是如何表示的呢？生：用箭头表示的.师：（板书设计：在已画的线段AB中，以A为起点，B为终点画一个箭头.）一般地，可以用箭头表示向量的方向，这个图形就是一条线段上带了一个箭头，有线段有箭头，假如给这个图形起一个形象点的名字，你会叫它什么？生：有向线段.师：带有方向的线段叫做有向线段.师：线段我们可以用AB、a来表示，有向线段该如何用字母表示呢？师：以A为起点，B为终点的有向线段记作AB，或者用,,a b⋅⋅⋅表示（板书：AB，,,a b⋅⋅⋅.）师：这样我们就用有向线段的长度表示向量的长度，用有向线段的方向表示图2图110N向量的方向，那我们就可以用有向线段表示向量了.师：AB表示向量的方向是由A指向B的，那向量的大小又该如何用字母来表示呢？师：如图1，在数轴上A点表示实数a，那A点到原点的距离该如何表示呢？生：||a.师：也就是在实数a的两边画两条平行、等长的竖线段（在实数中称为确定值）来表示A点到原点的距离.师：类似地，在AB两边画两条平行、等长的竖线段，来表示向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作||AB.师：这里需要强调，书上的向量用的是印刷体的黑体字母a表示向量，没有箭头. 但是我们书写的字母不是印刷体，在表示向量时，必需打上箭头.【问题3】在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？[设计意图] 挖掘结果背后的思维过程，引导同学把向量集合与实数集类比.通过0,1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念.[教学片段]师：现在我们已经建立起了一个向量的集合，就像实数可以构成实数集一样.如图1，在实数轴上有两个特殊的实数，请问是哪两个？生：0,1.师：类似地，在向量的集合中有两个向量很特殊，一个是长度为零的向量，叫做零向量，一个是长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.（板书：长度为零的向量，叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量叫做单位向量.）师：向量是既有大小,又有方向的量.争辩向量需要将代数形式和几何形式相结合.对实数的争辩阅历告知我们，引进一个新的数，就要争辩它的运算及运算律.可以预见，引进向量就要争辩向量的运算及其相应的运算律或运算法则.所以对于向量还有很多内容等待我们去争辩.3. 探究实例引出关系【探究互动】在坐标纸中画出如图3所示的向量.(1) 图中哪些向量是单位向量？(2) ,,AB CD EF三个向量的方向有何关系？(3) ,AB CD在大小和方向上有何关系？[设计意图] ①巩固单位向量的概念；②该探究将平行向量、相等向量、共线向量的概念的形成过程串在了一起，并让同学参与这些概念的形成过程，使得概念成为在老师引导下，同学观看、归纳、概括之后的自然产物.[教学片段]图3师：坐标纸中哪些向量是单位向量？生：,,,.AB CD MN GH师：为什么它们是单位向量？生：由于它们的模都等于1个单位.师：单位向量和它们的方向有关系吗？生：没有.师：坐标纸中哪些向量不是单位向量？生：.EF师：刚才我们从向量大小的角度找到了单位向量，向量不仅有大小，还有方向，同学们想一想EFCDAB,,这三个向量的方向有何关系？生：AB 与CD方向相同,AB与EF方向相反,CD与EF方向相反.师：,,AB CD EF中有零向量吗？生：没有.师：,,AB CD EF所在的线段之间的位置关系是什么？生：平行.师：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量，记作//AB CD.（板书：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量,记作//AB CD.）师：大家想不想知道零向量的方向？生：想.师：我们规定，零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0//a.（板书：0//a.)师：,AB CD在大小和方向上有何关系？生：长度相等，方向相同.师：也就是AB和CD在向量的两个基本要素上完全相同，数学上将长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作AB CD=.（板书：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,记作AB CD=.）师：如图4，OK与AB之间什么关系？那OK与CD之间什么关系？生：都是相等的.师：既然相等，那就意味着可以用同一条有向线段OK来表示两个相等的非零向量AB和CD，并且与有向线段的起点无关.换句话说，就是可以将两个相等的非零向量AB和CD在平面内都平移到向量OK的位置，平移后的向量与原来的向量相等. 类似地，也可以作向量OP与向量EF相等. 此时，我们将一组平行向量,,AB CD EF都平移到了同一条直线上.因此，平行向量也叫做共线向量.图4（板书：共线向量⇔平行向量.）【自主探究】争辩有向线段与向量之间的区分与联系？[设计意图] 在上一个探究题目同学分组争辩，通过小组合作学习，体会向量可以在平面内可以任意平移，与表示向量的有向线段的起点无关. [教学片段]生：我们小组争辩的结果是有向线段有三要素，即起点、长度、方向, 而向量完全由它的方向和模打算，与起点无关.4. 辨析概念 例题互动【例1】 推断下面的说法是否正确.(1) 向量的模的取值范围是(0,)+∞. （×） (2) 若a 与b 都是单位向量，则||||a b =. （√） (3) 若//a b ，则a 与b 的方向相同. （×） (4) 物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量. （×） (5) 若||0AB ≠，则AB BA =. （×）[设计意图] 本节内容概念较多，简洁混淆，这5个概念辨析题的设置基本上涵盖了本节中全部的新概念以及易错点，在辨析过程中加强同学对概念的理解与记忆. [解法点评] 紧扣向量的相关概念，同时关注零向量.【例2】如图5, 设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图5中与OA OB OC、、相等的向量.[设计意图] 让同学在查找相等向量的过程中，进一步体会相等向量的概念. [教学片段] 同学板书：;OA CB DO == ;OB DC EO == .OC AB ED FO === [解法点评] 抓住相等向量的两大要素，即长度相等和方向相同.【变式】 如图6，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，请在图中作出与OA 共线的向量. [设计意图] 同学分小组争辩，通过同学合作学习，进一步体会共线向量的概念以及共线向量和相等向量的区分.[解法点评] ①怎么作？在图中找与线段OA 平行或共线的线段，可以先找与之平行的线段，再找与之共线的线段；②从对比与向量OA 相等和共线向量的结果看，可以得出怎样的结论？相等必共线，共线未必相等. [教学片段] 同学争辩.5. 课堂小结 作业布置【课堂小结】 有哪位同学能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？模平面对量的概念表示法平行向量（共线向量）相等向量单位向量 零向量[设计意图] 由同学总结概括本节课所学习的主要内容，老师加以提炼. 并总结学习新概念的基本思路，即：【作业布置】(1) 习题2.1：第1题，第3题.(2) 思考题：平行向量与平行线段的区分与联系？(3) 阅读课本78页《向量及向量符号的由来》.[设计意图] 布置作业面对全体同学，①旨在学习巩固向量及其相关概念；②通过自学阅读材料，让同学了解向量的历史背景及其符号的来源，从历史的角度生疏向量及其符号，让同学体会高度抽象的数学概念不是凭空消灭的，激发同学的学习爱好．【同学质疑】给同学一点时间让同学思考一下有没有什么问题需要提出质疑的？[设计意图] 培育同学质疑探究的力量.[教学片段]师：小结完成了，作业也布置了，同学们是否有什么怀疑的地方，可以提出来.师：（假如没有同学回应）那同学们也可以课下思考一下，假如有怀疑，下一节课提出来一起探讨.6. 引例再探前后呼应【引例再探】大家想不想知道你们的学长到底在哪个城市读高校呢？[短信内容]学长：“刘老师您好，祝您老师节欢快！我考到了一个离合肥直线距离800公里的大城市读高校，目前在军训了，您猜我在哪个城市？”老师：“天津? 西安? 厦门?”学长：“孔雀东南飞！”[设计意图] 呼应引例教学，强化向量的两大要素，并再次体会向量在实际生活中的应用.八．教学设计说明本节课是“平面对量”的第一课时，兼有介绍本课学习内容、目的和重要性的学习任务. 本课概念多，内在联系紧密，概念的获得，应符合同学认知规律．在本堂课的概念教学中，从特殊到一般的思想、类比思想是很重要的. 在向量概念的形成过程中，老师可引导同学举出类似的例子，归纳共同特征，获得向量概念. 在争辩向量的几何表示和字母表示、定义零向量与单位向量、争辩向量之间的关系时，主要是引导同学将已有的阅历，即实数的几何表示（数轴上的点）、力的几何表示、线段的字母表示、方向的“箭头表示”、实数的确定值、0和1的特殊性、线段的平行和共线等，一一类比到向量的几何表示、向量的字母表示、向量的模的字母表示、零向量和单位向量的特殊性、平行向量和共线向量等概念中. 这些类比将为同学自觉、有序、有效的认知向量相关概念供应“固着点”，也为老师与同学一起探究新概念的形成过程供应了自然的思路.在本堂课的概念教学后，要引导同学从中体会生疏一个数学新概念的基本思路：从同类事物中抽象本质特征定义表示特殊对象特殊关系.在课堂教学中，应充分引导同学进行举例、争辩、相互评判、探究等活动，供应同学充分呈现思维的机会，主要强调“让同学参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断同学的思维和活动．在作业的设计上，增加了课外阅读材料的布置，挂念同学从历史的角度生疏向量及其符号，让同学从中体会抽象的数学概念不是凭空消灭的，也是有历史渊源的，增加向量与实际的联系，脱去奇特的外衣．通过引例的再探呼应引例教学，突出向量的本质属性，并再次体会向量在实际生活中的应用.。

第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《向量的加法》教学设计说明第一篇：第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《向量的加法》教学设计说明《向量的加法》教学设计说明《向量的加法》是人教版高一下第五章第二节第一课时《向量的加法》。

下面，我从三个方面来对本节课的设计进行说明：1.教材分析教材的地位和作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它在学生已学物理知识后，以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算．向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––画图求和法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，因此我认为，向量的加法在这里起着承上启下的作用。

教学目标根据学生已有的知识结构及本节课教材的作用和地位，依据新课程标准的具体要求，我从三方面确定本节课的教学目标:（1）知识与技能方面：使是学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算，养成敢高于探索勇于创新的良好习惯，以及善于用数学方法解决实际问题的能力（2）能力目标在具体的分析过程中，使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。

（3）情感目标注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。

教学重点和难点重点：向量加法的两个法则及其应用；难点：对向量加法定义的理解。

《空间向量的正交分解及其坐标表示》p浙江省温州中学陈巴尔各位专家评委、老师们：大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.本章知识结构《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带来的影响.”“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考 向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广．．为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广．．．．.” 而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图．．．．，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．．的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一．．．．．．．．．．，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构．．的认识的升华过程，巧妙至极！（二）学生学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度空间坐标的定义是容易．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性是模糊．．的.因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．二、教学目标设置依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：1、通过类比．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积．．．问题的意义．．所在；4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维．．，培养学．．作简单的推广．．空间．．向量生的类比归纳能力.三、教学策略分析鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构．．特点上的统一性．．．，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明. （一）引入问题1：如图，已知a ，b 是给定的向量，对于任意的p ，请问p 能用a ，b 表示吗？【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p 可能与a ，b 不共面.【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比．．得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.（二）温故知新，建立定理问题2：如果a ，b ，p 是共面的，那该怎么表示呢？ 【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到''OP OA OB xOA yOB =+=+,所以x y =+p a b .并回顾了平面向量基本定理的表述：平面向量基本定理：如果向量a ，b 不共线，那么对于平面中的任一向量p ，存．在唯一．．．有序实数组{,}x y ，使得x y =+p a b ，其中{a ,}b 称为平面的一组基底. 【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我OO们知道这个分解不但存在．．，而且唯一．．！ 【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫. 问题3：如果a ，b ，p 是不共面的，那该怎么办呢？ 【学生活动】学生思考提出应该再给出一个向量 问题4：随便再给出一个向量都行吗？【学生活动】学生提出新给出的向量应该与a ，b 不共面.问题5：如果再给出一个与a ，b 不共面的c ，现在该怎么表示p ？ 【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点P 作OC 的平行线，交a ，b 所在的平面于点M ，连接OM ,可以得到OP OM MP =+由平面向量基本定理可知OM x y =+a b ，再作'PC 平行于OM 交直线OC 于点'C ，则'MP OC z ==c ，所以x y z =+p a b+c .【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理.问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？【学生活动】可以，只需要作出以下修改：空间向量基本定理：如果向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间中的任一向量p ，存在唯一．．．．有序实数组{,,}x y z ，使得x y z =++p a b c ，其中{,a ,}b c 称为空间的一组基底.【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质．．上体会空间向量在类似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改．．平面向量基本定理的方法来得到空间向量基本定理的表述，让学生再从形式．．上体会两个定理的相似之处，从而体现了类比．．的思想方法. （三）严格论证，完善定理问题7：我们在平面向量基本定理中知道，p 在基底{a ,}b 下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本定理中的分解也唯一吗？【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明. 【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将p 按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底{,a ,}b c 下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？．【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考．．．．．．．，然后在有自己的想法之后，分成4人小组讨论．．这个问题，并且最后邀请一位学生上台通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：证明：假设存在两种分解，即111x y z =+p a b+c ，且222x y z =+p a b+c ，则有121212()()()x x y y z z =-+--0a b+c（i ）若120z z -=，则1212()()x x y y =-+-0a b ，由平面向量基本定理分解的唯一．．．．．．．．．．．．．性．可知12120x x y y -=-=，所以是同一种分解； （ii ）若120z z -≠，则12122121x x y yz z z z --=+--c a b ， 那就会有c 与a ，b 共面，矛盾！ 所以，只存在一种分解.【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理.【设计意图】分解的唯一性．．．在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑到以下两点原因：1、在必修．．4．平面向量基本定理的表述中提到．．了唯一性；2、教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间向量基本定理的类比．．过程，那么唯一性的证明就无法回避了. 事实上唯一性的证明，既保持了两个定理的一致性，能够更完整．．地让学生体会到其中的类比过程，又让学生体会了反证法的意义及应用，以及作图过程不能作为唯一性的证明，只能作为直观上的验证，提高了学生思维的严密．．性，最后分解的唯一性保证了空间向量与三元有序数组之间能够建立一一对应．．．．关系，为本节课后续的坐标定义．．．．的合理．．性．做下重要铺垫；（四）实例探究，应用定理 问题8：例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（1）试用AC ，AO ，AB 表示CG ； 【学生活动】学生通过计算得到11=33CG AO AB AC +-【设计意图】空间向量基本定理的简单应用，即给定一组空间的基底，就可以将任意一个向量分解成基向量的组合.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（2）你能选择另外一个基底来表示CG ？ 【学生活动】学生经过讨论，选择，提出了不同基底的选择方案，其中选择最多的是{}OA OB OC ，，，此时11=33CG OA OB OC +-；但是有一个男生轻声说了一句：“选CG .”即选择CG 作为一个基向量，如{}CG CA CB ，，，此时=CG CG ！【设计意图】让学生熟悉向量在不同基底下的分解，并体会基底的选择并不唯一，课堂上绝大部分学生选择了{}OA OB OC ，，，回答理由是因为两两垂直，但AA是垂直条件在这个问题中，并没有为解题过程带来方便，而{}CG CA CB ，，却使得问题的解决更加简单， 因此可以看出，学生对于基底的选择很多时候是盲目的. 所以这个问题的设置主要目的．．．．是让学生初步体会在问题解决中需要根据具体问题．．．．选择合理的基底，为后面的寻找单位正交基并得出空间向量坐标定义做下了铺垫．．； 例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（3）试求AB CG ⋅；【学生活动】学生经过对比，容易发现选择{}OA OB OC ，，作为基底，在这个问题中具有很大的优势，因为两两垂直的单位向量之间的数量积运算结果非常简单！学生通过简单计算，得到221111=()()=03333AB CG OB OA OA OB OC OB OA ⋅-⋅+--=.【教师总结】通过这个问题的解决我们可以发现，在处理向量的数量积问题时，选择两两垂直的单位向量作为基底，会为问题的解决带来很大的方便，因此我们有理由对于这样的基底产生足够的重视.我们不妨设OA =i ，OB =j ，OC =k ，且把这种基底称作单位正交基底. 特别的，如果我们以i ，j ，k 作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么由空间向量基本定理，我们知道对于空间的任意p ，都能表示为x y z =+p a b+c ，而且这种表示是唯一．．的，所以空间的任意p ，都与有序实数组{}x y z ，，之间形成了一一对应．．．．的关系，我们就称x ，y ，z 是p 在单位正交基底{}，，i j k 下的坐标，记为()x y z =，，p .【设计意图】通过具体事例，体会到单位正交基底的选择对于处理数量积问题所带来的方便．．，然后又由之前已经证明的空间向量定理中分解的存在性．．．和唯一．．性．，强调突出我们成功让向量和数组形成了一一对应．．．．，进而很自然地得到了空A间向量的坐标定义.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，O B O C ，两两垂直；（4）在如图所示的坐标系下，请写出OC ，OG ,CG 的坐标；【学生活动】学生通过空间向量坐标的定义，容易得出=001(0,0,1)OC ++=i j k ，同理有11(,,0)33OG =，11(,,1)33CG =-.【设计意图】巩固空间向量坐标的定义，以及空间向量坐标的得出，为后续的空间向量的坐标运算，与立体几何问题中的几何元素如何用向量坐标表示作下铺垫．．．（五）回顾历程，审视定理问题9：请同学们现在回顾一下，我们通过推广平面向量基本定理，得到了空间向量基本定理，而且我们发现两个定理本质上是一样的，只不过是同一个定理在二维空间推广到三维空间的不同表述而已，简单地说就是给我两个（不共线的）向量，就能表示出平面中的任意一个向量；给我三个（不共面的）向量，就能表示出空间中的任意一个向量. 那么如果将二维空间往后退化，那会是什么情况呢？【学生活动】学生很快反应过来，比二维空间更加简单的是一维空间，也就是直线，从而只需要给出一个非零向量，就可以表示出直线上的所有向量.平面向量基本定理空间向量基本定理abpp =x a +y ba bcp =x a +y b +z capp =x a【教师总结】这就是我们之前学习过的向量共线定理，原来这三个定理，本质．．上都是一样的，只是同一个定理，在不同维度．．空间下的不同表述形式而已.【设计意图】揭示了高中阶段三个有关向量空间分解定理的内在本质，让学生以一种联系．．的观点来重新审视．．自己学习过的知识，将旧知识与新知识加以联系,更重要的是，为下面的高维向量的推广作下自然的铺垫．．.（六）大胆猜想，推广定理问题10：那么，请同学们思考一下，空间向量基本定理还可以推广吗？ 【学生活动】学生认为可以推广，但也有所犹豫，因为至于什么是四维空间，将向量推广到比三维更高的维度，是否具有意义，都存在着疑惑，因此引导学生阅读选修2-1教材p99的“阅读与思考．．．．．””——“向量概念的推广与应用”. 【教师总结】通过课本的阅读，相信同学们知道了，向量不但可以推广到四维，甚至可以是任意的n维，都是具有实际意义的. 那么现在你们认为可以将空间向量基本定理进一步推广吗？【学生活动】学生认为可以，那就是给定四个不在同一个（三维）空间的向量，就可以用它们来表示四维空间内的任意一个向量！【设计意图】通过学生的大胆猜测，培养学生的合理猜想．．．．与类比推理．．．．的能力是非常重要的，同时选取合适的内容，让学生采取自行阅读学习的方式，又在课堂上很好地培养了学生的阅读与自学能力.这样一来，在一节课中既利用了教向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理app =x aabpp =x a +y ba bcp =x a +y b +zc材的丰富教学资源，又让学生从课堂知识起步，通过猜想与类比去思索未知的高维空间，最后又回到课本中的“阅读与思考”材料走向疑问的解答，完成了一次源于．．课本，高于．．课本，最后又回归．．课本的教学过程，合理地利用教材，对课堂教学知识进行了重组与提高.（七）小结这节课我们通过推广平面向量基本定理，建立了空间向量基本定理，类似于我们由平面向量基本定理得到了平面向量的坐标的概念，我们也通过空间向量基本定理，得到了空间向量坐标的概念.同时我们发现共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理，只不过是同一个定理在不同维度空间下的不同表述而已，简单地说就是这样三句话：给我一个（非零）向量，我就得到了直线； 给我两个（不共线）向量，我就掌握了平面； 给我三个（不共面）向量，我就拥有了空间！像我们今天这种将复杂的空间结构分解为有限个要素的表示的想法，并不是我们独有的，很荣幸，有一位伟大的数学家和我们的想法是一样的.数学家柯西曾经说过这样一句话：向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理a p p =x a ab p p =x a +y b a bc p =x a +y b +z c 平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示请同学们课后思考一下，柯西的这句话和我们今天的课堂内容有什么联系.好的，今天的课就上到这里，下课！【设计意图】通过空间向量基本定理的建立与三个向量定理的类比与推广的思考，既让学生经历了从一维，到二维，到三维，再到四维的从低维空间到高维空间的类比．．研究过程，同时也让学生体会我们可以用有限个向量去研究无限个向量，这是一种从无限到有限的转化思想.最后以数学家柯西的一句话来结束课堂的讨论，留给学生一些进一步思考的余地，引导学生进入课后更加深入的学习中去.五、教学特点及反思（1）类比与猜想的紧密结合本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.（2）课堂与教材的有机整合教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.以上就是我的课堂教学设计，真诚地希望得到各位专家的批评指正，谢谢！。

《向量加法运算及其几何意义》一、教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．二、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．四、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了5个教学环节：一、创设情境引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，首先，请看课件．（出示）师：他是谁？生：丁俊晖．师：对，著名的台球神童——丁俊晖？大家请看他好像遇到了难题？（出示）你能不能帮助他解决啊？活动设计：学生参与讨论（教师提问，学生回答：翻袋进球）再来看另一个问题：在两岸通航之前，要从我们郑州到达祖国的宝岛台湾，我们需要从新郑机场乘飞机抵达香港，然后转机才能到达，如今通航后呢？我们可以直接到达，节省了大量的时间和金钱．无论是台球还是飞机，从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和．同学们，请思考问题1：【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？ ——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．学生活动：学生讨论，自主探究位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的——向量．那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：二、实践探究 总结规律我首先提出了问题2：【问题2】如图所示，对于向量a 和b 如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢？对于这个问题我没有急于给出问题的答案，而是鼓励学生大胆试验和探究，我深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，帮助他们突破思维的障碍，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．最终，由他们自己得出问题的答案：生：“在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点”．此时，教师鼓励学生自己给出定义：加法的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b OA AB OB +=+=．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征． a b a b a b +O A B至此，已经了解了加法定义与三角形法则，同时，我们也应该注意到在物理中矢量合成时的平行四边形法则．我创设了情景：“观察小猴过河的动画短片”．对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系与区别，于是，我提出了问题4．【问题3】平行四边形法则有何特点？生：是平移两个向量至共起点．【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切．完成了这个探究，接着，我进入第三个环节．三、 类比联想 探究性质首先我设计了问题5：【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论． 活动设计：师生探究、课件演示通过和实数加法性质进行类比，学生很容易得出向量加法的性质，对于交换律的验证我让学生通过画图自己动手验证，而对于结合律的验证，则由师生借助于多媒体共同完成．至此，本节课的概念教学已经完成，于是我引导学生进入第四环节：四、 数学运用 深化认识在这个环节，我设置了2道例题和2道练习．接下来，为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念：例1：如图，已知a 、b ，作出a b +通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性． a b b a +=+ )()c a b c +=++abb a a b例2：根据图示填空（1）a b += ； （2）c d += ；（3）a d b ++= ；（4）DE CD AC ++= ；（5）AB BC CD DE +++= ．在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n 个向量相加的形式．即n n n A A A A A A A A A A 01322110=++++-例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A 点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时3公里．（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有效数字）（2） 求船实际航行的速度大小与方向．（用与江水速度间的夹角表示，精确到度） 五、 回顾反思 拓展延伸本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：课堂小结：【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．作业布置：在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．（1）作业：P66 习题2．2的1．2．3．（2）拓展探究：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？E。

高中数学第五届全国青年教师观摩与评比活动《向量的加法》教学设计.doc5.2 向量的加法教学目标1．知识目标掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算。

2．能力目标使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。

3．情感目标注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。

教学重点、难点重点：向量加法的两个法则及其应用；难点：对向量加法定义的理解。

突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识。

教学方法结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。

通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟” ，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。

采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提高教学质量。

教学过程教学教学内容师生互动设计意图环节一、复习旧知：我们已经学过向量。

（1）什么是向量？教师提问，学生重温旧知，为学习新既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表思考回答。

知识做铺垫。

复示习（2）什么是平行向量？引方向相同或相反的非零向量叫平行向量，零向量与入任意向量平行（3）如果两个向量要相等，必须具备什么条件？长度相等且方向相同的向量叫相等向量（4）向量和数的区别在哪里？二、新课讲授：1. 设置情境，提出问题向量和数有区别吗？数可以做加法，而且对于任意两个数 x y y x ；( x y) z x ( y z) 即使学生对本节课所必备的基础知识有一个学生回答求合交换律和结合律。

2021年新教材高中数学必修第二册：6.4.1 平面几何中的向量方法本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用，本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。

本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.课程目标学科素养A.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；B.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；C.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示；4. 直观想象：向量在处理平面几何问题中的优越性；5. 数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。

1.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.多媒体一、复习回顾，情境引入1.向量的三角形法则AB=+。

BCAC特点:首尾相接，连首尾。

向量的平行四边形法则+OA=OBOC特点:同一起点,对角线。

2.向量减法的三角形法则-a==-。

OABAOBb特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。

高中数学思想方法课——向量法一.向量法在平面几何中的应用问题1：（必修四P109例1）证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.解：变式：在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,BD⊥CE,2AD AB,试求∠A .二.知识重构：如果不用向量法，你能证明上述问题吗？可参见必修二P105三．向量法在立体几何中的应用猜一猜：类比问题1，平行六面体的的对角线的平方和和各棱长平方和有何关系？已知：求证：证明：变式：（选修2-1P119 B组T1改编）在上述平行六面体中，如果11AB AD AA===，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60︒，（1）求1BD（2）求直线1BD和AC所成角的余弦值.问题3：（2012 福建理）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，E 为CD 中点在棱1AA 上是否存在一点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；四.归纳总结向量法解决几何问题的一般步骤：常见的数学思想方法：五.课后巩固必做：问题情境：点P是正方形ABCD所在平面外一点,点M,N分别在PA,BD上,1.若PM︰MA=BN︰ND=2︰1,若PD⊥平面ABCD,且DP=DA(Ⅰ)求异面直线MN与PC成角的余弦值;(Ⅱ)求平面AMN与平面PBC所成锐二面角.2.若PM︰MA=2︰1，N为BD上动点，DP=DA=3，（Ⅰ）试求MN的最小值，并求此时MN与平面ABCD成角的正弦值3.若PM︰MA=BN︰ND=2︰1,（Ⅰ）求证：MN∥平面PBC;4.若PM︰MA=BN︰ND=2︰1，∠PAB=∠ PA D=60°,PA=AD=3,（Ⅰ）试求MN5.如图，等边三角形ABC中，D，E分别是AB,BC上的一个三等分点，且AE和CD交于点P，求证：BP⊥DC选做：1.请同学们根据学案上向量的知识结构框图，整理相关知识点；2.有兴趣的同学请参阅《绕来绕去的向量法》张景中彭翕成/著.。

向量的加法授课教师：江苏省盐城中学 侯爱娟教材：普通高中课程标准实验教科书（必修4）（苏教版）一．教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．二．重点难点重点：向量加法运算的意义和法则． 难点：向量加法法则的理解．三．教学方法采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．四．教学过程Ⅰ．创设情境 直观感知A以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？问题2：这是大桥南端的A 型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与1F 2F F 1F 2F的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）Ⅱ．抽象概括 形成定义 （一）建立数学模型若记则向量OB 叫做向量,OA a AB b ==a 与b 的和，记为a b += OA AB OB += ．问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——AB BO AO +=，即向量AO 为向量与AB BO的和（二）抽象数学概念问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量a 与b和的定义吗？学生活动：在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．a b（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；（3）和向量又是什么？——连接向量a 的起点与向量b 的终点，并指向b 的终点，得到的向量OB 即为向量与的和；a b（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 ．和的定义：已知向量，在平面内任取一点O ，作,a b ,OA a AB b == ，则向量叫做向量的和．记作：．即a ．OB,a b a b + b AB OB +=+=OA 向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连． 问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则． 问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．（三）尝试运用法则试一试：如图，已知a 、b ，作出a b +向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性． Ⅲ．类比猜想 探究性质问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？实数的加法向量的加法 性 质0a a +=()0a a +-=a b b a +=+()(a b c a b c ++=++)0a a +=()a a 0+-=a b b a +=+()(a b c a b c )++=++交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．Ⅳ．数学运用 深化认识abba abba例1．如图，O为正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的中心，作出下列向量：（1） （2） （3）13O A O A +36OA A A + 52365A A A A +（4）134634A A A A A A ++ （5）1223344556A A A A A A A A A A ++++A3推广1：1223341n n 1n AA A A A A A A AA -++++=推广2：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++0=墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥北东BV 船A DD分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设AB 表示水流速度，AD表示游谁度？艇的速度，那是游艇的实际速AC ，三个向量应满足什么关系？AC AB AD =+．，设表示游艇的速度，解：如图B 表示水流速度， A AD AC表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．在AC AB AD =+ ABCDRt ACD ∆中，， 5090ACD ∠=|= |||12.5DC AB =||2AD = ，的方向由南向北航行，其航向应为北偏西． 展延伸 一、课时小结：留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步． 我们今天所学习的向量随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学 二、拓展延伸：同学后完成（所以030CAD ∠=30答 若艇要沿着与桥平行Ⅴ．回顾反思 拓1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，工具被越来越广泛的应用．（1）作业：P66 习题2．2的1，2，3（2）拓展探究：请们课下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？,a b是任意两个向量，则a b + 与a b 之间有什么关系？ 并根据自己感兴趣的话+题进行拓展探究．关于“向量的加法教案”的说明数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．这是新课程理念中特别强调的，也是我备课过程始终如一的追求．说明一：关于目标定位景抽象出的一种数学运算．在《课程标准》中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，算，并理解其几何意义．根据课标的要求结合学生的认知特点，确定了本节课的多元化教学目标（详见教案）．说明二：关于地位作用“旧”，一方面，在物理中学生已经学习了力、位移等矢量的合成，并且通过上节课的学习，学生已掌握另一方面，数的加法运算为向量的加法运算提供了可类比的对象，这些都是学习本节内容的基础．矩阵的运算等等）创造了条件，起着承上启下的作用，并加强了代数、几何、三角的联系，体现了近现代向量还是重要的物理模型，体现了数学与物理的完美结合，为解决实际问题提供了有效的工具．说明三：关于学情诊断本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大．因为学生在物理中已经认识了矢量与标量则．通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律．示不是很规范．有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难．对向量式的化简过程中，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它以位移的合成、力的合成等物理模型为背理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力． 对本节内容的具体要求是通过实例，掌握向量加法的运向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––图上作业法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．但在“新”中又有了向量的相关概念及表示方法，知道向量可以自由移动的；向量的加法运算是继实数运算、集合运算之后，学生学习的另一种形式的运算，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、数学的一些重要思想．同时，的区别，在生活中对位移与路程也有了一定的体验．所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的．并能够从物理的矢量合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法但是由于学生对向量的理解还没有根深蒂固，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表情况灵活地选择起点．对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题．这些都需要教师在课堂教学过程中具备灵活的教学机智，给学生以适时的点拨与提醒．说明四：关于教法设计基于以上对教材内容的认识和学生客观情况的分析，结合新课标的教学理念，本课主要采用“启发探究式”教学法，遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则．并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识．具体表现为如下几个方面：（1）讲背景、重过程、强调本质本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，以杭州湾大桥为背景创设问题情境，从而让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”．（2）讲方法、重能力、渗透思想向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证．这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想．（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲．并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力．总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观．通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题．。

芯衣州星海市涌泉学校向量减法运算及其几何意义一、教学内容解析向量减法运算及几何意义是高中数学必修4第二章平面向量第二单元第二节的内容。

向量是近代数学中重要和根本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的根本概念、相等向量，一一共线向量的特点，以及向量加法运算的根底上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进展研究。

类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，表达了加法运算与减法运算的内部联络。

向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是运算认识的又一次质的飞跃。

根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受向量减法的形成过程是这节课的打破口。

向量的减法运算及其几何意义，及向量减法与向量加法的类比作为本节课的教学重点。

本节课的学习在开展学生运算才能的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述和解决实际问题的才能。

另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的“向量数乘运算及几何意义〞都有着密不可分的关系，因此本节的内容起到了承前启后的重要作用；并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理才能和浸透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材。

二、教学目的设置新课标指出教学目的应表达学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程。

新课标要求：借助向量加法运算及相反向量的概念，理解向量减法的运算其几何意义。

根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目的：1.掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法。

2.掌握向量减法的几何意义并体会向量加减法的内在联络，从而浸透转化的数学思想方法。

3.通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时向量是研究图形的重要工具，从而深化体会数形结合的思想方法。

4.通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，进步分析实际问题的才能，增强数学应用意识。