2019秋九年级数学上册 微专题 一元二次方程的解法课件冀教版

冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
小试牛刀
当m取何值时，方程（m-1）x3m+2+2mx+3=0 是关于x的一元二次方程？
解：由题意得，
3m+2=2, 解得m=0，且m-1≠0 所以，当m=0时此方程是一元二次方程
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方
程
解（根）：使一元二次方程两边相 等的未知数的值
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展提高
若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求 出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
课堂小结
一 元
定义：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数都是2的整式方程
二
次
一般形式：ax2 + bx + c =0（a≠0）
个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
a 12 b 1 c 0,
即a b c 0.
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拓展提高
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
解：由题意得
a b c 0,
即a 12 b 1 c 0.
பைடு நூலகம்x 1
• （4） x 2 4 (x 2)2
?
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例题讲解

x2 1 1 x,
x1
1 2
5,
即x2 x 1 0. 解这个方程, 得
x 1 5 . 2
x2
1 2
5 (不合题意,舍去).
黄金比 AC 1 5 0.618.
AB
2
源于生活,服务于生活
运用方程还能解决 什么问题
例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海
里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要
DF CF 2 CD 2
2 100 2 100海里.
2
小岛D和小岛F相距100海里.
A
北
东
D
BE F
C
例题欣赏 ☞
行家看门道
解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
一元二次方程的应用
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
x2 1002 300 2x2.
A
整理,得3x2 1200x 100000 0.
北 东
D
解这个方程, 得
100 6 x1 200 3 118.4,
BE F
C
x2

300(1-x)(1-2x)=144
解这个方程得： x1=0.2，x2=1.3(不合题意，舍掉) 答：第一年减少的百分率为20%，第二年减少的百分率为 40%。
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
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平均增长率问题：
例1随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高， 汽车已越来越多地进入普通家庭，据某市交通部门统计，2010年 底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达 到21.6万辆。若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长 率。
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1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每 月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元 时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每 月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
图形面积类问题：
如图，有一块长80cm，宽60cm的长方形硬纸片，在四角各剪 去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子。求剪去的小正方形的边长。
分析：设小正方形的边长为x，则长方体 盒底的长可表示为(80-2x)，宽可表示为 (60-2x)。这样我们就可以根据等量关系： 长×宽=面积列出所需方程了。
存车处
m，依题意得：
xm
x(90-2x)=700
整理得：2x2-90x+700=0
解之得：x1=35，x2=10 当x=10时，90-2x=70＞22，不合题意舍掉。
当x=35时，90-2x=20。
答：这个存车处的长为35m，宽为20m。

化简整理得 x2-5x+6=0，
解得 x1=3，x2=2. 所以这个两位数是32或23.

3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 21次，求参加聚会的人数.
解：设参加聚会的人数有x人
xx 1 21
2 解得：x1=7，x2=-6(舍去)
答：参加聚会的人数为7人.
课堂小结
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用 题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注 意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般 有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要 求．
2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把 这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的 积为736，求原数.
解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原 数表示为[10(5-x)+x],对调后新数表示为[10x+(5-x)], 根 据题意列方程得
[10(5-x)+x] [10x+(5-x)]=736.
问题2怎样用一元二次方程解决百分率问题？
讲授新课
一 列一元二次方程解决其他问题
问题引导
问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为___x_+_2_，__x_+_4___。
问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n， 其余的为__________n_+_2_，__n_+__1_，__n_-1_，。n-2
问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，
则这个两位是。
10a+b
问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z，
表示为。
100x+10y+z

图形面积类问题：
如图，有一块长80cm，宽60cm的长方形硬纸片，在四角各剪 去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子。求剪去的小正方形的边长。
分析：设小正方形的边长为x，则长方体 盒底的长可表示为(80-2x)，宽可表示为 (60-2x)。这样我们就可以根据等量关系： 长×宽=面积列出所需方程了。
23．（12分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每
件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，
为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降
价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，
如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售( )件，每件
盈利(
解：设第一年减少的百分率为x，根据题意得：
300(1-x)(1-2x)=144
解这个方程得： x1=0.2，x2=1.3(不合题意，舍掉) 答：第一年减少的百分率为20%，第二年减少的百分率为 40%。
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成都某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元， 按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经 过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售 可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每 天获利2240元，每千克核桃应降价多少元才能尽可能 让利于顾客，赢得市场？
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冀教版九上
第二十四章 一元二次方程
24.2解一元二次方程 第三课时 因式分解法
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
冀教版九上
学习目标
01理解用因式分解法解一元二次方程的合理性. 02 会熟练运用因式分解法解一元二次方程.
03 会灵活选择合适的方法解一元二次方程.
小红，你暑假读 了几本课外书？
嗯，那我来考考你， 我读的书的本数的平 方和我读的书的本数 的7倍相等，你知道 我读了几本书吗？
解：原方程可化为 3（x-1）2-2（x-1）=0
①利用移项，将方程右边化为0
（x-1)[3(x-1)-2]=0
②在方程的左边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解因式
即（x-1)(3x-5)=0 ∴x-1=0,或3x-5=0
③化简分解后的因式 ④转化为两个一次方程
x1
1,
x2
5 3
⑤得出方程的解
（1）3（x-1）2=2（x-1）
适 配方法
合
所
有 方
公式法
程
如：方程x2+2x=3 如：方程3x2-2x-2=0
1.用适当的方法解下列方程：
（1）(x+1)2=9
（2）x2-4x=6 (3)2x2-3x-1=0
(4)(x-1)2=(2x+1)2
x1 2, x2 4
直接开平方或因式分解
x1 2 10 , x2 2 10 配方法
x 7 47 7 7
21
2
x1 7, x2 0
配方法
方法二：移项得，x2 7x 0
配方得，x2 7x ( 7 )2 ( 7 )2 22
即
x
7
2
49

解：（1） (3x 3) 2 27（用直接开平方法）
3x 3 3 3
3x 3 3 3 或

x1

4 3
3，x2


2 3
3
3x 3 3 3
（2） (x 4)(x 4) 12 （用直接开平方法）
解：x 2 16 12 x 2 28 x1 2 7，x2 2 7
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程
一元二次方程的定义
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元 二
直接开平方法：适应于形如（x-k）²=h（h>0）型
次 方 程
一元二次方程的解法 配方法： 适应于任何一个一元二次方程 公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，
（2）(3x2-5x-1) – (2x2-4x-7)
= 3x2-5x-1– 2x2 + 4x+ 7
= x2-x+6
=（x 1）2 23
24
∵x不论为何实数，（x

1 ）2
总是非负数
∴
（x

1 ）2 2

23 4
>0
2
解答以下各题
若最简二次根式 x2 4x与 x 18 是被开方 数相同的，则x的值为多少？
右边是0的方程
一元二次方程的应用
一.一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程 （quadric equation with one unknown）。
一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)

二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程
是关于x的一元二次方程.
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
⑴ ⑵
⑶
?
分析
剪铁片的题目中，列得的方程为
为 (50-2x)cm .
x
根据方盒的底面积为3600cm2,得
3600
100㎝
50㎝
即
这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)
?
小试牛刀
下列方程中哪些是一元二次方程？
学.科.网
是一元二次方程的有：
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元
冀教版九年级数学上册 《一元二次方程》 (共20
张PPT)
2020/8/19
• 1.整式包括单项式和多项式，整式有哪些？ • 2.下列各式是一元一次方程的有哪些？

2
? 2 ? 100 2 ? 100?海里?.
2
? 小岛D和小岛F相距100海里.
A
北
东
D
B
C
EF
例题欣赏 ?
行家看门道
? 解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
? 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
解:设甲
,乙相遇时所用时间为 x,根据题意
(7x-10)2=(3x)2 +102.
A
,得
乙:3x
C
整理得 :2x2-7x=0.
10
解这个方程 ,得
∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). B
7x甲:10
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7 ×3.5=24.5.
答:甲走了 24.5走,乙走了 10.5走.
动脑筋
争先赛
? 2.绿苑小区住宅设计 ,准备在每两幢楼房之间 , 开辟面积为 900平方米的一块长方形绿地 ,并且
F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向 .一艘军舰沿
A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从 D出发,沿
南偏西方向匀速直线航行 ,欲将一批物品送达军舰 .
A
北
? (1).小岛D与小岛F相距多少海里 ?
东
? (2).已知军舰的速度是补给船的 2
D
倍,军舰在由 B到C的途中与补给船
相遇于 E处,那么相遇时补给船航行
?老师提示:
?1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解 ,而右 边等于零 ;
?2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; ?3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零 ,那么至少 有一个因式等于零 .”

感悟新知
例 3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
知3－练
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解： －1，2.
感悟新知
归纳
知3－讲
检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个 数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否 相等．在找解时注意使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值不一定只有一个．
感悟新知
知1－讲
如图，一个长为离为8 m. 如果梯子的顶端沿 墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距 离是多少米？
如果设梯子的底端 B在地面上滑动的距离 为xm，请列出方程， 并谈谈所列方程的特征.
感悟新知
在上面的问题中，我们得到方程： x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0， x2 ＋12x－15=0.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.
它们都是关于未知数x的整式方程，且x的最高
次数都为2. 像这样，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方
程(quadratic equation in one variable).
＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系
正确的为( B )
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
点拨：把x0代入方程ax2＋2x＋c＝0得ax02＋2x0＝－c，
再利用作差法比较可得．
类型 5 利用一元二次方程的根的定义解决探究性问题