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行程问题普通行程
基础行程路程=速度×时间
等距离平均速度v=2v₁v₂/(v₁+v₂)
比例行程
行程问题三定律
路程一定,速度和时间成反比
时间一定,路程和速度成正比
速度一定,路程和时间成正比
全程比例法确定不变重一找题眼一转化一份数思想
局部比例法
求V,找ST局部求时间
求T,找SV局部求时间(几乎没有)
求S,找VT全程求时间,局部求速度(绝大多数题目)相遇问题
基础公式路程和=(大速度+小速度)×时间
求V倍数比例法
多次相遇问题先整体一后部分一再局部一时间搭桥
追击问题
基础公式路程差=(大速度-小速度)×时间
解题思路根据“路程差”列式。
五年级奥数思维训练行程问题（二）
一、尝试练习
1.两辆汽车相距1500米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟660米，乙车追上甲车需几分钟？
2.一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车。
汽车每小时行48千米，摩托车每小时行60千米。
通讯员出发后2小时追上汽车。
通讯员出发的时候和部队乘的汽车相距多少千米？
二、训练营地
1. 速滑队以每分钟行500米的速度从基地出发进行野外训练。
16分钟后通信员骑摩托车以每分钟900米的速度从基地出发去追速滑队，问多少分钟后通信员可以追上速滑队？
2．老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千米/小时，先出发2小时后，老王后出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车速度。
3. 兄妹两人同时离家去上学。
哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校多远？
4. 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?。
四年级下册数学行程问题思维训练题(含答案)四年级下册数学行程问题思维训练题四年级下册数学行程问题思维训练题((含答案含答案) )1、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。
一个同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队之间不停地往返联络。
甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？2、甲乙两车从相距589千米的两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行64千米，两车行了多少小时后还相距93千米？在继续行几小时，又相距93千米？千米？3、甲、乙两人在环形跑到上以各自的速度跑步，如果两人同时从同地相背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，甲跑一周要6分钟，乙跑一周要多少分钟？分钟，乙跑一周要多少分钟？4、龟兔赛跑，全程2000米，龟每分钟爬25米，兔每分钟跑320米，兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果龟到了终点时，兔离终点还有400米，兔在途中睡了几分钟？分钟？5、甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，相对出发，丙遇到乙后，1010分钟后在遇到甲，求两镇相距多少米？距多少米？6、甲乙两站相距480千米，快车在上午5时从甲站开往乙站，慢车同时从乙站开往甲站，两车在上午11时相遇，下午3时快车到达乙站后，慢车还要继续行驶多少时间才能到达甲站？才能到达甲站？行程问题【提高篇答案】行程问题【提高篇答案】1、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。
一个同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队之间不停地往返联络。
甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？ 要求骑自行车的同学行了多少千米，必须知道两个条件：速度和时间。
速度和时间。
速度已经告诉我们每小时14千米，关键是时间，其实这位同学所用的时间就是甲乙两队学生从开始出发到相遇的时间，所以要先求出两队学生相遇需要多少时间：的时间，所以要先求出两队学生相遇需要多少时间：【路程÷速度和＝相遇时间】18÷（【路程÷速度和＝相遇时间】18÷（55＋4）＝）＝22（小时）14×2＝14×2＝282828（千米）（千米）（千米）答：骑自行车的同学共行28千米千米2、甲乙两车从相距589千米的两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行64千米，两车行了多少小时后还相距93千米？在继续行几小时，又相距93千米？千米？ 两车行了多少小时后还相距93千米，说明两车实际行车路程是：路程是：589589－－9393＝＝496496（千米）（千米）（千米）【路程÷速度和＝相遇时间】496÷（6060＋＋6464））＝4（小时）（小时） 答：两车行了4小时后还相距93千米。
两个思维行程相统一的思维方法
一种思维方法是"头脑风暴"(brainstorming)，它是一种聚集不同人的创造力和想象力寻找解决问题的方法。
这种方法尤其适合在需要快速决策和产生新点子的情况下使用。
在头脑风暴中，人们可以自由地自我表达、相互启发，发表不同的看法，鼓励不同角度的思考。
通过这种方式，可以在相对短的时间内得出创意丰富、多元化的解决方案。
另一种思维方法是"六顶思考帽"(six thinking hats)，这是一种以角色扮演的方式思考问题的方法。
它利用六种不同的思考角色，如正面思考、情感思考、创造性思考、逻辑思考、批判性思考和综合思考等，来促进不同角度的思考和讨论。
通过这种方式，人们可以更全面地考虑问题，避免单一思维和偏见的影响，使思考更加全面和客观。
这两种思维方法可以结合使用，既能够刺激和推进创意的发展，也能够在创意的过程中辩证地分析和评价不同的解决方案，有助于培养全面思维和创新能力。
四年级奥数思维训练专题-行程问题（一）专题简析：解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果.例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米.两人几小时后相遇？分析：这是一道相遇问题.两人每小时共走6＋4=10千米（这是他们的速度和）.求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个1 0千米.因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇.试一试1：一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米.8小时后两车相距多少千米？例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米.如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去.这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析：“人走狗跑，人相遇狗停”两人相遇的时间就是狗跑的时间.相遇时间=2000÷（110＋90）=10分钟狗共行：500×10=5000米.试一试2：甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米.一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络.两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？分析：这是一道相背问题.解答相背问题同相遇问题一样.甲乙两人共行54－18=36千米，每小时共行7＋5=12千米.要求几小时能行完36千米，就是求36千米里面有几个12千米.所以，36÷12=3小时.试一试3：东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍，3小时后两人相距56千米.两人的速度各是多少？例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米.几小时后甲可以追上乙？分析：这是一道追及问题.甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）.甲每小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即每小时两人间的路程缩短8千米，所以要求追上乙所用的时间，就是求24千米里面有几个8千米.因此，24÷8=3小时甲可以追上乙.试一试4：小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米.3分钟后两人相距多少米？（从相遇、背向、追及三种情况思考）例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米.如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？分析：这是一道封闭线路上的追及问题.甲和乙同时同地起跑，方向一致.因此，当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是400米.根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟.试一试5：光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑.亮亮每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？行程问题（二）专题简析：顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速（顺水速度－逆水速度）÷2=水速例1：货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，两车在距中点18千米处相遇.东西两地相距多少千米？分析：“距中点18千米处相遇”则货车比客车多行18×2=36km，货车每小时比客车多行48－42=6km，两车行了36÷6=6小时.路程=速度和×相遇时间=（48＋42）×6=540km.试一试1：甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇.东西两城相距多少千米？例2：甲、乙两港间的水路长286千米，一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达.求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）.分析：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度.因此，顺水速度是286÷11=26千米，逆水速度是286÷13=22千米.船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米.试一试2：甲、乙两港间水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港，需要24小时到达.求船在静水中的速度和水流速度.例3：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米，返回时逆流而上用了75小时.已知这段航道的水流是每小时5千米，求上海港与武汉港相距多少千米？分析：先根据顺水速度和水速，可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米.又已知“逆流而上用了75小时”，所以，上海港与武汉港相距15×75=1125千米.试一试3：一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行15千米，返回时顺流而下用了18小时.已知这段航道的水流是每小时3千米，求甲、乙两个码头间水路长多少千米？例4：A、B两个码头之间的水路长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时.如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少？分析：甲、乙两船都在同一条水路上行驶，所以水速相同.根据题意，甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米，因此，水速为每小时（20－8）÷2=6千米.又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米.所以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米.试一试4：A、B两个码头间的水路全长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时.如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静水中的速度是多少？。
火车问题教学目标1、会熟练解决基本的火车过桥问题.2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系.3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题知识精讲火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程=速度⨯时间总路程=平均速度⨯总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和⨯相遇时间=相遇路程速度差⨯追及时间=追及路程；（三）、火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间；2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间；（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝(快车速度＋慢车速度) ×错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝(快车速度—慢车速度) ×错车时间；老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。
模块一、火车过桥（隧道、树）问题【例 1】一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【解析】分析：（1）如右图所示，学生们可以发现火车走过的路程为：200+220=420（米），所以用时420÷60=7（秒）.【答案】7秒【巩固】一列火车长360米，每秒钟行驶16米，全车通过一条隧道需要90秒钟，求这条隧道长多少米？【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【解析】已知列车速度是每秒钟行驶16米和全车通过隧道需要90秒钟．根据速度⨯时间=路程的关系，可以求出列车行驶的全路程．全路程正好是列车本身长度与隧道长度之和，即可求出隧道的长度．列车90秒钟行驶：16901440-=(米)．⨯=(米)，隧道长：14403601080【答案】1080米【巩固】一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？火车行驶路程火车火车桥【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【解析】建议教师帮助学生画图分析．从火车头上桥，到火车尾离桥，这是火车通过这座大桥的全过程，也就是过桥的路程=桥长+车长．通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间．所以过桥路程为：67001006800+=(米)，过桥时间为：680040017÷=(分钟)．【答案】17分钟【巩固】长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道．那么火车穿越隧道(进入隧道直至完全离开)要多长时间？【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【解析】火车穿越隧道经过的路程为300150450+=(米)，已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为4501825÷=(秒)．【答案】25秒【巩固】一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【解析】火车过桥时间为1分钟60⨯=(米)，即桥长为=秒，所走路程为桥长加上火车长为60301800-=(米)．180********【答案】1560米【巩固】一列火车长160米，全车通过一座桥需要30秒钟，这列火车每秒行20米，求这座桥的长度．【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【解析】建议教师帮助学生画图分析．由图知，全车通过桥是指从火车车头上桥直到火车车尾离桥，即火车行驶的路程是桥的长度与火车的长度之和，已知火车的速度以及过桥时间，所以这列车30秒钟走过:2030600-=(米)．⨯=(米)，桥的长度为：600160440【答案】440米【例 2】四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2列(竖排)并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米，年级之间相距5米．他们每分钟都行走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长米．【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【关键词】希望杯，六年级，一试【解析】100名学生分成2列，每列50人，应该产生49个间距，所以队伍长为⨯-=(米)．⨯+⨯+⨯+⨯=(米)，那么桥长为9043045649149249352304【答案】56米【巩固】一个车队以6米/秒的速度缓缓通过一座长250 米的大桥，共用152秒．已知每辆车长6米，两车间隔10米．问：这个车队共有多少辆车？【考点】行程问题之火车问题【难度】2星【题型】解答【解析】由“路程=时间⨯速度”可求出车队152 秒行的路程为 6 152 912=⨯ (米)，故车队长度为912－250= 662(米)．再由植树问题可得车队共有车(662 －6) ÷(6 ＋10) ＋1 =42(辆)．【答案】42辆【巩固】一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。
四年级数学思维训练行程问题（二）例1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行。
甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米，两车在离中点9千米处相遇，求A、B两地距离多少千米？巩固练习11.甲乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行21千米，乙每小时行19千米。
两人相遇时距全程中点2千米。
求全程长多少千米？2.甲乙两车同时从东西两城相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行70千米，两车距两城中点15千米处相遇。
求东西两城相距多少千米？3.快车和慢车同时从A、B两地相对开出。
已知快车每小时行40千米，经过3小时后，快车已驶过中点25千米，这时与慢车还相距7千米。
慢车平均每小时行多少千米？例2．A、B、C三人行的速度分别是每分钟40米、50米、60米，A、B在甲地，而C在乙地同时相向而行，C遇B后10分钟和A相遇。
求甲、乙两地间的路长多少米？巩固练习21．有三辆客车，甲、乙两车从东站，丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000米，乙车每分钟行800米，丙车每分钟表行700米，丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。
求东、西两站的距离。
2．甲每分钟走75米，乙每分钟走80米，丙每分钟走100米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲，求两镇之间相距多少千米？3．甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走67米，丙每分钟走73米，甲、乙从南镇，丙从北镇同时相向而行，丙遇到乙后10分钟遇到甲。
求两镇相距多少千米？例3．A、B两港间的水路长360千米，一只船从A港开往B港顺水10小时到达；从B港返回A港，逆水12小时到达。
求船地静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）？巩固练习31．A、B两港间的水路长208千米，一只船从A港开往B港，顺水8小时到达；从B港返回A港，逆水13小时到达。
求船在静水中的速度和水流速度。
2．甲、乙两港间水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙返回甲港，需要24小时到达。
行程问题专题专练★1 甲乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：两人几小时后相遇？★2 一列货车早晨6点从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比甲车快15千米，已知客车比货车晚发车2小时，中午12点时两车同时经过中途的某站，然后不停地继续前进。
问：当客车到达甲地时，货车距离乙地还有多少千米？★3 甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东西两地相距多少千米？★4 汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？★5 甲乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。
中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。
求东西两村相距多少千米？★6 甲乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米。
上午11时到达B地后立即返回，在距离B地24千米处相遇。
求A、B两地相距多少千米？【环形跑道问题】同向跑：追及问题背向跑：相遇问题★7 在400米的环形跑道上，甲乙两人同时起跑，如果同向跑3分20秒相遇，如果背向跑25秒相遇，已知甲比乙跑得快，求甲乙两人的速度各是多少？※作业1、小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点120米处相遇，学校到少年宫有多少米？2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米。
当摩托车行到两地中点处，与汽车相距75千米。
甲乙两地相距多少千米？3、小轿车每小时行60千米，比客车每小时多行5千米，两车同时从甲乙两地相向而行，在距中点20千米处相遇，求甲乙两地之间的路程。
4、甲乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。
甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处相遇。
四年级奥数题-行程问题1.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。
然后，爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？2.自行车队出发24分钟后，通信员骑摩托车去追他们。
在距出发点9千米处追上自行车队。
通信员立即返回出发点，然后又返回去追自行车队，在追上时恰离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度。
3.某学校与某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车到工厂接劳模作报告，往返需要1小时，这位劳模在下午1点钟便离厂步行去学校，途中遇到接他的车就立即上车驶往学校，于下午2点40分到达学校，汽车的速度是劳模步行速度的几倍？4.家住郊外的工程师，每天在同一时候乘火车到达某站，这时工厂接工程师的汽车也同时到达，他乘车准时到达工厂。
有一天，工程师提前55分钟到某站，接他的汽车还未到，他就步行向工厂走去，在路上遇到接他的车，他再坐车，结果比平时提前10分钟到达工厂，问汽车的速度是工程师的几倍？5.甲、乙两人在相距50米的A、B两端的水池里沿直线来回有用，甲的速度是1米/秒，乙的速度是2米/秒。
他们同时分别从水池的两端出发，来回游了10分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间内他们共相遇了多少次？6.甲、乙两人在相距120米的直路上来回跑步，甲的速度为4米/秒，乙的速为5米/秒。
如果他们同时分别从两个端点出发，且每人跑10分钟，问他们共相遇了多少次？7.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？8.甲、乙两个港口之间的水路长300千米，一只船从甲港到乙港，顺水5小时到达，从乙港返回甲港，逆水6小时到达。
求船在静水中的速度和水流速度？参考答案1.解：8点32分2.解：自行车速度15米/秒，摩托车速度45米/秒。
3.解：8倍人速4.解：10倍5.解：19次6.解：23次7.解：顺水速度是15+3=18千米/小时，从甲地到乙地的路程是18×8=144千米，从乙地返回甲地时是逆水，逆水速度是15-3=12千米/小时，行驶时间为144÷12=12小时。
【老师寄语】：解行程问题要会读题，一遍快速归类浏览；二遍逐句解读整理；三遍回头寻找误解。
最终要学会“纸上谈兵”。
思维调查卷时间：30分钟 总分：100分（基分20） 姓名：________ 得分：________试卷说明：本卷共6题，要求简单明了写出解答过程，最后的结果请填在试题的横线上。
1. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环行跑道匀速跑步，如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高14，而乙的速度立即减少15，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距（较短距离）100米，那么这条环行跑道的周长是______米；解：设甲原来的速度是1个单位，则乙原来的速度是2.5个单位，甲后来的速度是1.25个单位，乙后来的速度是2个单位。
设第一次甲跑了x 圈时被乙追上，则此时乙跑了(x +1)圈；被追上后甲又跑了y 圈再次被乙追上，则乙又跑了(y +1)圈。
利用两次甲乙跑的时间相等列方程： 5.211+=x x 2125.1+=y y 解得：321,32==y x 如图，若两人从A 出发逆时针跑，则第一次乙在B 点追上甲，第二次在C 点追上甲（A 、B 、C 是圆周的三等分点）。
因为B 、C 相距100米，所以环形跑道的周长为3003100=⨯米。
2. 两块手表走时一快一慢，快表每9小时比标准表快3分钟，慢表每7小时比标准表慢3分钟。
现在把快表指示时间调成是8:15，慢表指示时间调成8:31，那么两表第一次指示的相同时刻是___:___；答案：5：223. 一艘船在一条河里5个小时往返2次，第一小时比第二小时多行4千米，水速为2千米／小时，那么第三小时船行了_____千米；解：首先判断出开始是顺流。
在第1小时和第2小时这两个相等的时间内，速差是4，路程差也是4，那么得到第1小时正好是走一个顺流的长度。
由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时肯定是逆水。
具体行驶情况如图。
再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小时的最终时刻到全长的中点。
最后，比较第3小时和第3小时行驶的情况：设全长为2a 千米，船在静水中的速度为每小时x 千米。
42422222a a a x x x x -+==+--+， 解得a ＝10千米。
4. 小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有310的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。
这样，小明就比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步A C B4 4行需要______分钟；解：小明走71210210-=，与小明的爸爸走710的时间相同，所以他们的速度比是710：210＝7：2，接下来如果小明步行，爸爸骑车都走310的路程，那么小明就多用5分钟，设速度的一份为x ，则333275,1010140x x x ÷-÷==，所以小明的速度是33214070⨯=，从家到学校的路程是1，所用时间是31123703÷=分钟。
一、环行运动：1. 男、女两名运动员同时同向从环形跑道上A 点出发跑步，每人每跑完一圈后到达A 点会立即调头跑下一圈。
跑第一圈时，男运动员平均每秒跑5米，女运动员平均每秒跑3米。
此后男运动员平均每秒跑3米，女运动员平均每秒跑2米。
已知二人前两次相遇点相距88米（按跑道上最短距离），那么这条跑道长______米；解：因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的53倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚刚跑到35全长的位置。
这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行，所以第一次相遇点在距A 点15全长处。
下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与女运动员第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第二圈时，女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，而女运动员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的25，所以女运动员刚好跑到距A 点25的位置，此时男女运动员相向运动，男运动员的速度为3m/s ，女运动员的速度为2m/s 。
这样第二次相遇点距A 点925。
两次相遇点间的距离为总全长的191452525+=。
所以两点在跑道上的最短距离为全长的111412525=-。
而这段距离又为88米。
所以88÷1125＝200米。
2. 在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙3人同时从起跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是6千米/小时，乙的速度是307千米/小时，丙的速度是3.6千米/小时，_____分钟后3人跑到一起，_____小时后三人同时回到出发点； 分析：我们注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差应是300的整数倍；如果都同时回到出发点，那么每人跑的路程都是300的整数倍。
同时注意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的最小公倍数的方法可以解决问题。
解：（1）先换算单位：甲的速度是600010060=米/分钟；乙的速度是300005007607=⨯米/分钟；丙的速度是1800060560=⨯米/分钟。
（2）设t 分钟3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分别是100t 米、5007t 米、60t 米。
路程差2008040,,77t t t 都是300的整数倍。
而 300300730071537157105[,,][,,]40200802242t ⨯⨯⨯⨯===，所以第一次3人跑到一起的时间是1052分钟。
（3）设k 分钟3人同时回到起点，那么3人跑的路程分别是100t 米、5007t 米、60t 米。
每个路程都是300的整数倍。
而300300730021[,,][3,,5]105100500605t ⨯===，所以3人同时回到起点的时间是105分钟。
评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有分子的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母得到的分数。
3. 某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙俩个运动员分别从两条跑道相距最远的两个端点A 、B 两点同时出发，当跑到两圆的交汇点C 时，就会转入到另一个圆形跑道，且在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。
甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与甲相遇时，所用时间是______秒。
分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没有细心的计算是很难解决问题的。
现在我们注意到在小圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，如果这两个圆能“拧开”就是一个在周长400米的大圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变得非常简单了。
解：根据分析，甲在A 处，乙在B 处，相距200米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑400×4+200＝1800米，需要的时间是1800÷（5－4）＝1800秒。
评注：当一个问题按试题指引的方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实质上的变化，这是解决数学问题经常用到的“转化”的数学思想。
4. 如图，正方形ABCD 是一条环行公路。
已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是60千米，在DA 上的时速是80千米。
从CD 上一点P ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 中点相遇。
如果从PC 的中点M ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 上一点N 相遇。
那么AN NB =______； 分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反向开出的两辆车，不管走什么样的路况，到相遇的时候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转化成时间来解题。
解：设正方形的边长为720千米，那么AB 上行驶的时间是720÷90=8小时，BC 上行驶的时间是720÷120=6小时，CD 上行驶的时间是720÷60=12小时，DA 上行驶的时间是720÷80=9小时。
那么行驶一周的总时间是8+6+12+9=35小时。
A C B B A A B C D N P M 8 612 9从CD 上一点P ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 中点相遇，相当于从AB 中点同时反向各发出一辆汽车，它们在CD 上一点P 相遇，每辆车都行驶35÷2＝17.5小时，DP 上的时间为17.5-4-9=4.5小时，PM 上的时间为（12-4.5）÷2=3.75小时。
同样得到AN 上的时间为17.5-3.75-4.5-9=0.25小时，NB 上的时间为8－0.25＝7.75小时。
AN 、NB 上的速度相同，故路程比就等于时间比。
即0.2517.7531AN NB ==。
评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到起点的时间相同，很容易求得DP 上的时间。
同时注意到把边长设成速度的最小公倍数解题可以简化计算。
三、流水行船问题：5. 某人乘坐观光游船沿河流方向从A 港到B 港前行。
发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过。
已知A 、B 两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中的速度相同，均是水速的7倍。
那么货船的发出间隔是_____分钟；分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的不同。
解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，游船的速度为x ，时间间隔为t ，那么在追及的情况下的间隔为30×[(6+1)-(x +1)]=(6+1)×t ，迎面相遇情况下的间隔为20×[(6-1)+(x +1)]=(6-1)×t ，解得t ＝720/29分钟。
评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时间间隔相同时候，在顺水与逆水的间隔路程就不同了，就是这样出错的。
6. 有一地区，从A 到B 为河流，从B 到C 为湖。
正常情况下，A 到B 有水流，B 到C 为静水。
有一人游泳，他从A 游到B ，再从B 游到C 用3小时；回来时，从C 游到B ，再从B 到A 用6小时。
特殊情况下，从A 到B 、从B 到C 水速一样，他从A 到B ，再到C 用2.5小时，在在这种情况下，从C 到B 再到A 用______小时； 解：设BC 为1份，AB 为x 份，则AB 占总体的1x x +，BC 占总体的11x +，根据特殊情况下，从A 到B 、从B 到C 水速一样，他从A 到B ，再到C 用2.5小时，速度相同，时间的比等于路程的比，得到关于时间的等式2.5 2.5 2.511x x x +=++. 这样得到其它两个条件的等式：2.50.53 5.530.533,6,1111x x x x x x x x ++++=+=++++ 而要求的算式是 5.535.53?11x x x x x +++=++ 这样知道在BC 上逆水时的时间为5.531x x x ++，静水时所用时间为0.531x x ++，顺水时所用时间为2.51x +，所以在BC 上逆水、静水、顺水时的速度比为5.53x x +：10.53x +：12.5，由于三者是公差为水速的等差数列，所以得到等式：20.53x +=5.53x x ++12.5，32x =. 所以 5.535.53 4.537.511x x x x x +++=+=++.答：在特殊情况下，从C 到B 再到A 用7.5小时。
