2019最新第八章近代平差理论数学

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第一章(近代平差理论简介)

1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了带随机性的未知参数的平差；根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）：最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性，最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法：假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f

平差(教学课件)-成晓倩-1-3协方差传播律01

X1 X X 2 , X Xn 1 E ( X 1 ) E ( X ) 2 2 E ( X ), DXX n E ( X n ) 12 21 n1
EK ( X )( X ) K KE( X )( X ) K
T T X X
11

E ( KX k0 K X k0 )(KX k0 K X k0 )T

T
T
X
X
2 DZZ Z KDXX K T
协方差传播律
解： L1、L2、L3 是独立观测值，故根据下式进行求解：
2 2 2 2 2 DZZ Z k12 12 k2 2 kn n
4 16 1 2 2 4 21 2 3 9 4 1 0.84(mm)2 X 12 2 49 49 49 7 7 7
X1 X n X2Xn 2 Xn
3. 方差—协方差阵
对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的方差—协方差阵表示为：
x1
x2 xn 1n 2n n2
x1 12 12 x2 21 22 xn n 1 n 2
如何计算待定点P坐标的方差和协方差
Questions
协方差传播律是研究函数与自变量之间的
协方差运算规律。
描述观测值方差与观测值函数方差之间的
关系式。
内容安排
一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用

[精品]高等(近代)测量平差复习资料.doc

第一章第一节绪论1、近代测量平差理论的主要内容⑴从独立观测值到相关观测值一相关平差⑵从函数模型和随机模型满秩到函数模型和随机模型奇异一秩亏自由网平差⑶从非随机参数到随机参数以及随机参数与非随机参数一并处理一最小二乘滤波、推估和配置⑷从先验定权到后验定权一随机模型的验后估计⑸从整体解算到分开解算——序贯平差⑹从处理静态数据到处理动态数据一动态测量平差⑺从线性模型的参数估计到非线性模型的参数估计一非线性平差⑻从确定性平差模型到不确定性平差模型一不确定性平差模型的处理⑼从偶然误差的处理到含有系统误差的处理一附加系统参数的平差(10) 从无偏估计到有偏估计(11) 从偶然误差的处理到含有粗差的处理——数据探测法与稳健估计第三节广义逆矩阵1、广义逆g逆：AGA=A解不唯一2、反射g逆：AGA=A, GAG=G解不唯一3、最小范数广义逆AGA=A, (GA T) =GA解不唯一「4、最小二乘广义逆AGA=A, (AG T) =AG解不唯一5、最小二乘最小范数广义逆AGA=A, GAG=G, (GA T) =GA, (AG T) =AG解唯一第二章秩亏自由网平差第一节概述1、平差时必要的起算个数称为基准2、基准数据：测角网d=4测边网、导线网、边角网d=3GPS 网d=5高程网d=l三维控制网d=73、没有足够起算数据的平差问题称为秩亏自由网平差4、秩亏自由网平差类型：普通秩亏自由网平差、拟稳平差、加权秩亏自由网平差例2-2-1课本19页例2-3-1课本27页例2-4-1课本30页第五节控制网附加阵G1 水准网：GT= (1 1 1 ........................ 1)2测边网、导线网、边角网GT=1010 ・・• (10)010 1 ・・• (01)-丫-Y2°X2°•••- -Y m°Xm°3二维测角网G T：第六节1、权逆阵奇异的原因⑴观测值向量中的一些分量是另一些分量的线性组合⑵观测值向量中的一些分量无误差2、权逆阵奇异的平差原则V T PV=V T P*V=V1T P1V1=min第三章最小二乘滤波推估和配置AA- -++-第一"P1、与观测值之间有函数关系的已测点参数称为滤波信号，求定滤波信号最佳估值的过程称为滤波2、与观测值之间没有函数关系的未测点参数称为推估信号，求定推估信号最佳估值的过程称为推估3、配置：最小二乘配置的函数模型L=BX+AY+A⑴当A=0或Y=0时模型变为L=BX+A,即高斯一马尔可夫模型⑵当B=0或X=0时模型变为L= AY+△即滤波和推估模型⑶当；=0时模型变为L=A1S + A即滤波模型第二节1、滤波的函数模型：L=AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A2、配置的函数模型：L=BX+AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A第五章1、卡尔曼滤波的基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新状态变量的估计，求出现时刻的估计值。

张老师(近代平差理论简介)

V PV min, (V min)
T 2
1.2 测量平差数学模型
平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质的模型。
高斯——马尔柯夫模型：
马尔柯夫（1912）测量平差模型： L 函数模型： AX EL AX
平差的最优化准则：从最小二乘 → 极大似然估计、极大验后
估计、最小方差估计、贝叶斯估计；产生了不少新平差方法：非线性平差、半参数法
静态→动态：数据采集的自动化
g s h
平差模型为：
L AX BS
S为附加参数向量 ②剔除粗差的平差方法；测量中除了有偶然误差，还有粗差，导致平差结果失真、不可靠。传统中采用在测量工作中剔除粗差。例如，增加多余观测，闭合差检验。检验方法，统计检验粗差，仅说明有无粗差。无法剔除粗差。 1968年，巴尔达提出“数据探测”法和可靠性理论。可靠性（理论上研究）外可靠性：平差系统发现观测值最小粗差的能力。
A列满秩奇异阵经典平差要求：必要的起算数据（基准）；使平差结果强制附加在起算数据上（A列满秩) (最小二乘）唯一解；系数A奇异阵最小二乘，无唯一解；增加新的求解条件唯一解；
① 普通秩亏自由网平差：
V T PV min 在 X T X min 最小二乘，最小范数条件下 ˆ ˆ
参数估计准则：最小二乘估计；
参数估计理论发展：极大似然估计、极大验后估计、最有无偏估计、贝叶斯估计、P-范估计、信息扩展估计、半参数估计等

近代测量平差的特点
测量平差理论：从以代数为主→概率统计为主+近代数学；形成：概率统计学、近代数学与测量数据处理融合为一体数据采集方法：以现代手段为主，信息+干扰（偶然误差、粗差、系统误差），扩展了系统误差和粗差理论

02 平差计算的基本理论

0 ρ ′′∆ Y jk
(S )
jk
0 2
ˆ xk +
ρ ′′∆ X 0 jk
(S )
jk
0 2
ˆ y k − l jk
或
″ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v jk ＝ − z j + a jk x j + b jk y j − a jk x k − b jk y k − l jk
ajk、bjk称j、k方向的方向系数。
ˆ = − Z 0 − z j + α 0 + δ α JK j jk
ˆ ⇒ L jk + V jk = − Z 0 − z j + α 0 + δ α jk j jk
l jk = L jk − ( − Z 0 + α 0 ) j jk −−
ˆ ⇒ V jk = − z j + δ α JK − l jk
常数项
其中
α
0 jk
= arctan
Y k0 − Y j0 X k0 − X
0 j
主讲人：王华
11
ˆ ″ ∂ α jk δ α jk ＝ ˆ ∂X j = =
ˆ xj +
ˆ X =X
0
ˆ ∂α
jk ˆ X =X
0
∂ Yˆ j
X
0 jk
ˆ ∂ α jk ˆ yj + ˆ ∂X
k
0 jk
ˆ X =X
ˆ ˆ X ＝ X 0＋ x
ˆ V＝ Bx − l
主讲人：王华
ˆ L＝ L＋ V
5
4.精度评定
验后单位权方差：
V PV ˆ σ0 ＝ r
2
T
平差参数的协方差矩阵：

新测量平差知识大全

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

平差数学模型与最小二乘原理

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而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而且要考虑以它的类型.由此可知, 而且要考虑以它的类型.由此可知,当某个几何模型给定之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 只与几何模型有关,与实际观测量无关. t只与几何模型有关,与实际观测量无关. 对于任一几何模型,它的t 对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余( 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素 ~ ~ 的函数.例如,对于( 中的情况, 的函数.例如,对于(1)中的情况,若以L和 L作为必要 2 ~ ~ 1 元素, 元素,则 L1 L2间无函数关系;又如在(2)情况中, 与间无函数关系;又如在( 情况中, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 选 L , , ,则 L+ L L =180 ,三者之间存在函数关系, + 三者之间存在函数关系, L2 L3 3 1 1 2 就不能说t=3 实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. t=3, 就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 在一个几何模型中,除了t个独立量以外, 在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个则必然产生一个相应的函数关系式.仍以( 量,则必然产生一个相应的函数关系式.仍以(2)情况 ~~ ~ ~ ~ ~ 中,必要量选为 L1 L2 S1 若增加一个量L3,则存在 L+ L2 ,,, 1 ~=180 ,若再增加一个量 ~,则有 + L3 S2 ~ ~ ~ sin L2 S2 = S1 ~ 返回目录 sin L1

平差

停止
返回
误差的分类
偶然误差/随机误差：在相同的观测条件
下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。不可避免，测量平差研究的内容
粗差：错误
停止
返回
测量平差的任务：
♠对一系列带有观测误差的观测值，运用
0 ⋯ 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯⋮⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann ⋮ 0 0 ⋯ 1 a12 ⋯ a1n ⋮ 1 0 ⋯ 0 ⋮b b ⋯ b n 11 12 1 1 ⋯ 0 ⋮b21 b22 ⋯ b2n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 1 ⋮bn1 bn2 ⋯ bnn
−1
停止
返回
矩阵求逆方法
（2）初等变换法：
a11 a 21 A = n×n ⋯ an1 a11 a 21 ⋯ an1 1 0 ⋯ b n 0 1 b2n ⋯ bnn
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann
停止返回
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 m× n 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A= m×n ⋯ ⋯ am1 am2 ⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ amn
停止
返回
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。 (3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。 (4)对于 n× n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：

《误差理论与测量平差基础》第八章

ˆ) ˆ Φ( X
dΦ ˆ ˆ ˆ d F T dX ˆ dX dX 0
—— 权函数式！
Φ FT ˆ X 1 Φ Φ ˆ ˆ X X 2 u 0
其中：
1 1 T 1 1 QX ˆX ˆ N BB N BBC NCC CN BB
u ,u u ,1 u ,s s ,1 u ,1
代入 ④ 得：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
④ ⑤
ˆ l B x 代入 ① 得：V n ,u u ,1 n ,1 n ,1
二、示例
n = 18 t = 2 × 5 – 2 = 8 u = 2×5 = 10 限制条件方程个数： s = u – t = 2
方程总数 C = r + u = n + s = 20
误差方程数：n = 18 = c – s 详见课本 P165-169
1
1 1
§8.3 公式汇编和示例
一、公式汇编 1.函数模型：
ˆl VB x
n ,1 n ,u u ,1 n ,1
3.参数的解：
u ,1 1 1 T 1 1 1 T 1 ˆ ( N BB x N BB C N CC CN BB )Wl N BB C N CC Wx
1 T 1 QX ˆLeabharlann ˆ Wl N BBC NCCWx
§8.3 公式汇编和示例
ˆ) ˆ Φ( X
ˆ ˆ F T dX d
Φ Φ Φ FT ˆ X ˆ ˆ 1,u X X 2 u 0 1
T Q ˆ ˆ F QX ˆX ˆF

第8章__测量误差与平差

• 有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。
• 测量平差采用的原理是“最小二乘法”。
• 测量平差是德国数学家高斯于1821～1823年在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次提出并应用的。以后经过许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之一。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某类数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号，则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电测距中的加常数、剩余常数，传统的“五入”等。
2. 偶然误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对同类数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在大小及符号上均没有表现出一致的倾向，即从表面看没有任何规律性，则这种误差叫偶然误差。比如：水准读数估读、照准偏左或偏右等。
测值的函数，将观测值代入后便都是常数。
例如，h = S×sinα，则
f sin,
S
f Sco s
•上述一般函数形式的误差传播定律可以用于各种函数。
•几种常用函数形式的误差传播律
1、和差函数:
2、倍乘函数：
函数表达式：
zx1x2 xn
函数表达式：
z kx
函数中误差为：
• 一般函数形式的误差传播定律：
• 设有一般函数:
Zf(x1 ,x2 , ,xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：

平差的ppt课件

E( XY) E( X )E(Y )
当X和Y相互独立时： xy E(X )E(Y ) E(X )E(Y ) 0 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着相互独立。只有当和服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。
式中： x E( X ) X X和Y的真误差。
和 y E(Y ) Y
分别是
设是观测值的真误差，是观测值的真误差，而协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即
实用上总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为
协方差与相关
xy E( X E( X ))(Y E(Y )) E[ XY XE(Y ) E( X )Y E( X )E(Y )]
协方差与相关
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
偶然误差的规律性
1. 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定
的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。
2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的概率大。
3. 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4. 偶然误差的数学期望为零，即：
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
衡量精度的指标--平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。

平差教案

测量平差绪论说在学习前面的话：测量平差是测绘专业一门重要的技术基础课，主要讲授数据处理的基本理论和方法，为今后专业学习打基础。

测量过程是由我们测量人员使用测量仪器在野外完成的，测量不可避免存在误差。

为了检验测量成果的准确性和提高可靠性，还需要进行多余观测。

一、平差的任务和内容任务：处理有观测误差的数据，估计带求量的最佳估值并评定精度。

内容：建立观测误差的统计理论，研究误差的统计分布；研究衡量观测成果质量的精度指标；建立观测值和待求值的函数模型；结合实践研究平差的各种方法；研究预报和质量控制问题。

二、平差的理论支撑和学好的方法理论支撑：数理统计，线性代数，高等数学。

方法：上课认真听讲，理解老师讲解的内容，做笔记，做习题。

三、误差的来源水准测量中架设偶数站是为了消除什么误差？水准尺零点误差水准测量中前后视距相等是为了消除什么误差？i角误差、大气折光差、地球曲率影响1、测量仪器：由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制。

例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本受制造工艺的限制也有一定的误差，因此，使用这样的水准仪和水准尺进行观测，就会使水准测量的结果产生误差。

同样，经纬仪、测距仪、接收机等仪器的观测结果也会有误差的存在。

2、观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都会产生误差。

同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。

3、外界环境：观测时所处的外界条件，如温度、湿度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然的。

反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会相对低一些。

如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。

但是，不管观测条件如何，观测的结果都会产生这样或那样的误差，测量中产生误差是不可避免的。

误差平差：平差数学模型与最小二乘原理

1 3 5
思考：以下是否可行？为什么？
h2 h4 h5 0 h h h 0
1 3 5
H A h3 h4 H B 0
h1 h2 h3 h4 0
二、间接平差的函数模型
1、间接平差的函数模型观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，这种函数关系式称为“观测方程”。 2、间接平差以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称为参数平差）。
由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物理的约束方程，即函数模型；而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存在闭合差而并不满足；如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？首先要由观测值和未知量间组成函数模型；然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
则为：AL A0 0
则为：L BX d
三.附有参数的条件平差的函数模型
1、先仍然按条件平差列r个条件方程；
L1 L2 L3 1800 0
2、然后再增选一个参数，则就会增加一个条件方程，即
L1 X 0
3、则上式可写成：
X
1 1 1 0 180 A ，B ，A0 1 0 0 1 0
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差； 3、附有参数的条件平差； 4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
1、条件平差的函数模型观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 2、条件平差以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。

《平差基础》课件

异常值和缺失值的影响：可能导致模型预测不准确，需要谨慎处理
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
缺失值处理：通过插值、填充、删除等方式处理缺失值
异常值和缺失值的检测方法：箱线图、散点图、直方图等可视化方法，以及统计方法如t检验、卡方检验等
数据插值：根据已知数据点，估计未知数据点的值插值方法：线性插值、多项式插值、样条插值等外推：根据已知数据点，预测未来数据点的值外推方法：趋势外推、季节性外推、指数外推等
模型选择：根据实际需求选择合适的模型模型确定：根据实际数据确定模型的参数模型验证：通过实验验证模型的准确性和稳定性模型优化：根据实验结果对模型进行优化和改进
模型参数：包括观测值、观测误差、观测方程等
参数估计方法：最小二乘法、最大似然估计等
参数估计步骤：选择模型、设定参数、求解参数等
平差结果在科学研究中的应用
案例背景：某公司需要进行地形测量，但地形复杂，需要采用平差技术平差方法：采用GPS测量和地形测量相结合的方法平差结果：经过平差处理后，地形测量结果更加精确案例总结：平差技术在实际地形测量中具有重要意义，可以提高测量精度和效率
案例背景：某工程测量项目
平差方法：采用最小二乘法进行数据处理
启示3：平差方法需要掌握一定的数学和计算机知识，需要不断学习和实践
基本思想：最小化误差平方和
数学模型：线性方程组
求解方法：迭代法、最小二乘法
应用领域：测量学、统计学、工程学等
点估计：通过样本数据计算得到总体参数的一个估计值
估计方法：包括点估计和区间估计
基本概念：参数估计就是通过样本数据来估计总体参数的过程
区间估计：通过样本数据计算得到总体参数的一个置信

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但是
V1T P1B1xˆ (B1xˆ l1 )T P1B1xˆ (B1T P1B1xˆ B1T P1l1T )xˆ 0
并顾及则有 PXˆ
Q1 Xˆ ' Xˆ '
B1T P1B1
，
V T PV V1T P1V1 V2T P2V2 xˆ T PXˆ xˆ
由上式知 xˆ xˆ xˆ
其中 xˆ 称为参数的第二次改正数。
联合第二组误差方程。即：
V2 B2xˆ l2 B2(xˆ xˆ) l2 B2xˆ l2 （8-1-9）
其中 l2 (B2 xˆ l2 ) 或 l2 (B2 Xˆ d2 L2 )
一、序惯平差原理
设某平差问题，观测向量
L
n1
，现把它分为 L1 、L2 n11 n2 1
两
组，组内相关，组间互不相关，即：
L1
P1
L
n1

nL121，nPn

n1n1 0
n21

0
P2 n2 n2

Q0111
0
Q 1 22

（8-1-1）
按间接平差原理选取参数 Xˆ ，取近似 Xˆ 0 ，改正
xˆ t1
t1
数为，分组后两组的误差方程分别为
V1 B1xˆ l1 权阵 P1
（8-1-2a）
V2 B2 xˆ l2 权阵 P2
（8-1-2b）
li Bi X 0 di Li （i=1、2）
PXˆ a A1T P1 A1
Xˆ

a

X
0 a

xˆa
第二次平差的误差方程为
V xˆ Xˆ a
a 权阵 PXˆa A1T P1 A1
V2 A2 xˆa Bxˆb l2 权阵 P2
式中： l2 (A2 xˆa l2 )
或
l2

(A2 Xˆ a

xˆ1 xˆ2

026

0
⑦求解参数的第二次改正数及平差值

xˆ1 xˆ2

93..7255(mm)
Xˆ X 0 xˆ xˆ Xˆ xˆ 9993..231895(mm)
⑧计算第二期观测值的改正数
1．第二次平差增加新的参数
设两组的误差方程为
V1 A1xˆa l1 权阵 P1 V2 A2 xˆa Bxˆb l2 权阵 P2
（8-1-21）（8-1-22）
式中 xˆa是共同的未知参数，xˆb 是新增加的未知参数。
第一次平差可得：
xˆa ( A1T P1 A1 )1 A1T P1l1
①列立第一期误差方程
V1 xˆ1
V2 xˆ2 4 权阵 P I
V3 xˆ1 xˆ2 17
写成 V1 B1xˆ l1 的形式为
h4 D
图8-1
1 V1 0
1
101
xˆ1 xˆ 2

ˆ0
V T PV
nt
160.5 7.3(mm) 3
⑩计算C点高程平差值中误差，即参数的中误差
QXˆXˆ
(PXˆ
B2T P2 B2 )1

1 8
13
13
ˆ X1 ˆ0
QXˆ1Xˆ1 7.3
3 4.5(mm) 8
二、序惯平差的三种特殊情况
(V1 V1 ) B1 (xˆ xˆ) l1
因为经过第一次平差后，已使 V1 B1xˆ L1 V1 V1 L1 V1
Lˆ2 L2 V2
（8-1-12）
（8-1-13）（8-1-14）
BX
0 b

d2

L2 )
（8-1-23）（8-1-24）（8-1-25）
（8-1-26）（8-1-27）
（8-1-28）
组成法方程为
(
PXˆ
' a

A2T P2 A2 )xa

A2T P2 Bxˆb

A2T P2l2
0
BT P2 A2 xˆa BT P2 Bxˆb BT P2l2 0
，h5 11.886 m，试按逐次间接平差法求 C、D 两点高程的平差值及 C 点高程的中误差 ?
解：本题 n 5，t 2 ，选C、D 两点高程平差值为未
知参数Xˆ 1、Xˆ 2，并取其近似值为：
X
0 1

HA

h1

99.220 m
C h1
X
0 2

HA

h4

93.376 m
A
h3
0 4 17

h2 B
h5
②组成法方程
B1T P1B1xˆ B1T P1l1 0

3 1
11
xˆ1 xˆ2

1173

0
③解得参数的第一次改正数及其权阵
xˆ

xˆ1 xˆ 2

129 (mm)
由（8-1-8）、（8-1-9）联合组成法方程为
I B2

T

PXˆ 0

0 P2

I B2

xˆ

I B2

T

PXˆ 0

0 0
P2

l2

0
即
(PXˆ B2T P2 B2 )xˆ B2T P2l2 0 （8-1-10）
数 V1，而 V2 0 。
L1的第一次改正
再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应
把第一次平差后求得的参数 Xˆ X 0 xˆ 作为虚
拟观测值参与平差，其权阵为
PXˆ

Q1 Xˆ Xˆ

B1T
P1B1
误差方程为：
VXˆ Xˆ Xˆ (X 0 xˆ) (X 0 xˆ) xˆ xˆ xˆ （8-1-8）
（8-1-29）（8-1-30）
解算法方程可得 xˆa和xˆb ，代入（8-1-27）可求得 V2 。最后得参数平差值为
由上式可得参数的第二次改正数为
xˆ (PXˆ B2T P2 B2 )1 B2T P2l2 （8-1-11）
将上式代入（8-1-9）即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求呢？我们可以用 (V1 V1)和(xˆ xˆ) 分别代替（8-1-2) 的 V1和xˆ ，即：
T

P1 0
0 P2

l1 l2

0
即
(B1T P1B1 B2T P2 B2 )xˆ (B1T P1l1 B2T P2l2 ) 0
由上式可得
xˆ (B1T P1B1 B2T P2 B2 )1(B1T P1l1 B2T P2l2 )
列立第二期误差方程 V2 B2 xˆ l2，可用第一期平差后的参数平差值直接列立，此时误差方程常
数项就是 l2 ，即
V4 xˆ2 19 权阵 P I
V5 xˆ2 7
写成矩阵形式
VV54

0 0
11
xˆ1 xˆ2
Xˆ X 0 xˆ 9993..232925(mm)
3 PXˆ 1
11
④求第一期观测值的第一次改正数
V1
2
V1 V2 B1xˆ l1 2(mm)
V3
0
按分组平差，先对第一组误差方程行第一
次一平次差平（差因只未能顾得及到第xˆ二的组第观一测次值近L似2 ，值所，以用第xˆ
表示）。函数模型可改写为
V1 B1xˆ l1 权阵 P1
（8-1-3）
按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为
B1T P1B1xˆ B1T P1l1 0 （8-1-4）
未知参数的第一次改正数
xˆ (B1T P1B1)1 B1T P1l1
（8-1-5）
未知参数的第一次平差值
Xˆ X 0 xˆ （8-1-6）
第一次平差后未知参数 Xˆ 的权阵为
PXˆ

Q1 Xˆ Xˆ

B1T P1B1
（8-1-7）
将 xˆ代入（8-1-3）式，得观测值

19 7

也可以用参数的初始近似值列出，此时的误差方程常数项
为 l2，即
V4 xˆ2 V5 xˆ2 12
其中 l2 (B2 xˆ l2 ) 00 11129 012 719
Xˆ X 0 xˆ xˆ Xˆ xˆ
（8-1-15）
下面给出精度评定公式。
单位权中误差估值：
ˆ
2 0

V T PV nt
（8-1-16）
其中 V T PV V1T P1V1 V2T P2V2 xˆ T PXˆ xˆ ，推证如下：
V T PV (V1T
则误差方程可写为结果一样。
VV54

0 0
11
xˆ1 xˆ2

19 7

⑥顾及第一次平差结果，组成法方程
(PXˆ B2T P2 B2 )xˆ B2T P2l2 0