第六章近代平差简介

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

第一章第一节绪论1、近代测量平差理论的主要内容⑴从独立观测值到相关观测值一相关平差⑵从函数模型和随机模型满秩到函数模型和随机模型奇异一秩亏自由网平差⑶从非随机参数到随机参数以及随机参数与非随机参数一并处理一最小二乘滤波、推估和配置⑷从先验定权到后验定权一随机模型的验后估计⑸从整体解算到分开解算——序贯平差⑹从处理静态数据到处理动态数据一动态测量平差⑺从线性模型的参数估计到非线性模型的参数估计一非线性平差⑻从确定性平差模型到不确定性平差模型一不确定性平差模型的处理⑼从偶然误差的处理到含有系统误差的处理一附加系统参数的平差(10) 从无偏估计到有偏估计(11) 从偶然误差的处理到含有粗差的处理——数据探测法与稳健估计第三节广义逆矩阵1、广义逆g逆：AGA=A解不唯一2、反射g逆：AGA=A, GAG=G解不唯一3、最小范数广义逆AGA=A, (GA T) =GA解不唯一「4、最小二乘广义逆AGA=A, (AG T) =AG解不唯一5、最小二乘最小范数广义逆AGA=A, GAG=G, (GA T) =GA, (AG T) =AG解唯一第二章秩亏自由网平差第一节概述1、平差时必要的起算个数称为基准2、基准数据：测角网d=4测边网、导线网、边角网d=3GPS 网d=5高程网d=l三维控制网d=73、没有足够起算数据的平差问题称为秩亏自由网平差4、秩亏自由网平差类型：普通秩亏自由网平差、拟稳平差、加权秩亏自由网平差例2-2-1课本19页例2-3-1课本27页例2-4-1课本30页第五节控制网附加阵G1 水准网：GT= (1 1 1 ........................ 1)2测边网、导线网、边角网GT=1010 ・・• (10)010 1 ・・• (01)-丫-Y2°X2°•••- -Y m°Xm°3二维测角网G T：第六节1、权逆阵奇异的原因⑴观测值向量中的一些分量是另一些分量的线性组合⑵观测值向量中的一些分量无误差2、权逆阵奇异的平差原则V T PV=V T P*V=V1T P1V1=min第三章最小二乘滤波推估和配置AA- -++-第一"P1、与观测值之间有函数关系的已测点参数称为滤波信号，求定滤波信号最佳估值的过程称为滤波2、与观测值之间没有函数关系的未测点参数称为推估信号，求定推估信号最佳估值的过程称为推估3、配置：最小二乘配置的函数模型L=BX+AY+A⑴当A=0或Y=0时模型变为L=BX+A,即高斯一马尔可夫模型⑵当B=0或X=0时模型变为L= AY+△即滤波和推估模型⑶当；=0时模型变为L=A1S + A即滤波模型第二节1、滤波的函数模型：L=AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A2、配置的函数模型：L=BX+AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A第五章1、卡尔曼滤波的基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新状态变量的估计，求出现时刻的估计值。

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论➢✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

§4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。

例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。

求此三角形各内角的最或然值。

若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=+=+=+2133222111ˆˆ180ˆˆX X v L Xv L X v L（4-1-1）可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=-=3213222111ˆˆ180ˆˆL X X v L Xv L Xv （4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 x X X ˆˆ0+=，则（4-1-2）式可写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L xv （4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。

单纯为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T可求得唯一解。

因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。

对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得60313132ˆ60313231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][32113212321232213121321222321111+--+=⇒+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv代入误差方程式，得到观测值的最或然值603231316031323160313132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧L L L L L L L L L L L L此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。

误差理论与测量平差基础一、课程说明课程编号：010405Z10课程名称（中/英文）：误差理论与测量平差基础/The Fundamental of Error Theory and Surveying Adjustment课程类别：必修学时/学分：56/3.5先修课程：测绘学概论、测量学基础适用专业：测绘工程、遥感科学与技术教材、教学参考书：1.朱建军，左廷英，宋迎春主编.误差理论与测量平差基础，北京：测绘出版社，2013.2.武汉大学测绘学院测量平差学科组编著.误差理论与测量平差基，武汉：武汉大学出版社,2003.3.武汉大学测绘学院测量平差学科组编著.误差理论与测量平差基础习题集，武汉：武汉大学出版社，2005.二、课程设置的目的意义“误差理论与测量平差基础”是测绘工程专业必修的主干课、特色课。

主要讲授测量数据处理的基本理论与方法，是理论与实践并重课程。

通过讨论误差来源、性质及其分布特征等，研究带有偶然误差的观测值的数据处理问题，完成测量平差两大任务，即求待定量的最佳估值，并评定测量成果的精度。

为后续专业课程的数据处理奠定扎实的理论基础。

三、课程的基本要求对应的专业培养要求1.4.1专业知识（3）熟悉误差的来源和性质，了解系统误差和粗差处理的方法（4）掌握偶然误差的统计特性、衡量精度的数字指标；（5）熟练各种基本平差方法的原理和方法、以及精度评定的方法；2.1.3能理解工程应用要求，掌握外业施测和内业数据处理方法，严格贯彻专业设计规范和专业设计流程，选用合适仪器、布设与施测方案、数据处理方法及软件。

2.2.1具有一定的测绘数据处理软件编制能力，对一些特殊的应用和新的仪器或技术方法，能够根据要求编写程序进行数据处理。

2.2.2具有较强的创新意识和技术改造与创新的初步能力。

针对测绘产品的质量要求和生产技术问题能提出技术改造、工艺设计或者技术创新初步方案。

3.1.1能够控制自我并了解、理解他人需求和意愿；既能独立工作，又具有团队合作精神，适应竞争学会合作。

绪论第一节观测误差本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义及测量中常用的定权方法等例子回顾：导线计算表一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。

有观测就有误差的结论。

测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。

通常把这三方面的因素合起来称为观测条件。

观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。

二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。

三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。

◆系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。

简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。

◆偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。

简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。

2、处理在测量学里，偶然误差处理是按照边长比例分配或直接平均分配。

平差里则用平差的方法来处理，所处理的是一系列带有偶然误差的观测值，不包括系统误差的影响。

四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。

第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。

举例说明。

第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展１、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。

２、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。

二、平差计算方法的发展１、手算阶段２、半自动平差阶段３、全自动平差阶段第四节测量平差的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。