有限元法2011-应力张量
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基于有限元法的复合材料结构的应力分析复合材料是一种由两种或两种以上不同性质的材料组成的复合材料,具有优异的力学性能和轻质化的特点。
在现代工程设计中,复合材料广泛应用于航空航天、汽车、建筑等领域。
为了确保复合材料结构的可靠性和安全性,需要进行应力分析。
本文将介绍基于有限元法的复合材料结构的应力分析方法。
有限元法是一种数值分析方法,通过将结构离散为有限数量的单元,将结构的连续性问题转化为离散的代数方程组,从而求解结构的应力、位移等物理量。
在复合材料结构的应力分析中,有限元法是一种非常有效的工具。
首先,需要建立复合材料结构的有限元模型。
复合材料结构通常由多层纤维增强复合材料层和粘接剂层组成。
在有限元模型中,可以将复合材料层和粘接剂层分别建模为不同的单元类型。
对于复合材料层,可以采用壳单元或板单元进行建模,而对于粘接剂层,可以采用固体单元进行建模。
此外,还需要定义材料的力学性质,如弹性模量、剪切模量等。
其次,需要施加边界条件和加载条件。
边界条件是指结构的约束条件,用于限制结构的自由度。
加载条件是指施加在结构上的外部载荷。
在复合材料结构的应力分析中,边界条件和加载条件的选择对结果的准确性有重要影响。
需要根据实际情况选择合适的边界条件和加载条件。
然后,进行有限元分析。
有限元分析是通过求解离散的代数方程组来计算结构的应力和位移。
在复合材料结构的有限元分析中,通常采用迭代求解的方法,通过迭代计算得到结构的应力和位移。
在求解过程中,需要选择合适的求解方法和收敛准则,以确保结果的准确性和稳定性。
最后,对分析结果进行后处理。
分析结果包括结构的应力、位移等物理量。
可以通过可视化的方式将结果呈现出来,如应力云图、位移云图等。
此外,还可以通过对结果进行进一步的分析和评估,如应力分布的均匀性、结构的强度等。
综上所述,基于有限元法的复合材料结构的应力分析是一种有效的工具。
通过建立有限元模型、施加边界条件和加载条件、进行有限元分析以及对分析结果进行后处理,可以得到复合材料结构的应力分布情况,为工程设计提供有力支持。
构造应力场模拟——有限元理论、方法和研究进展张胜利【摘要】采用有限元数值模拟方法对构造地质问题进行描述和定量化求解是当前地质学领域的研究的一个热点,在近10年以来取得了重要进展,形成了比较完整的理论和技术体系,并在一些典型的地质构造带获得了重要的研究成果.本文以有限元数值模拟方法理论作为出发点,总结分析了国内外有限元数值模拟方法在构造应力场领域的研究进展情况和技术方法,并讨论了其目前存在的问题和未来发展方向.【期刊名称】《地震工程学报》【年(卷),期】2010(032)004【总页数】6页(P405-410)【关键词】构造应力场;数值模拟;有限单元法【作者】张胜利【作者单位】五邑大学信息学院,广东,江门,529020;中科院广州地化所,广东,广州,510640【正文语种】中文【中图分类】P315.12Abstract:The Finite Element Method(FEM)has been used in the study of tectonic stress field for a long time,and the essence of numerical modeling has been adopted to the well-established numerical methods of multidisciplinary acknowledge including mathematics,physics andmechanics for studing characters of geological tectonics.In the last decade,great advances have been made on the numerical simulation method,not only an integrated theory has been built up,but also some significant results have been born from several typical tectonic belts.So the FEM becomes one of the most important numerical methods in the study of tectonic stress field.In this paper,taking theory of FEM as a springboard,the new progress and methods in this field at home and abroad is summarized and analyzed.Some problems and prospect of the researching on the field is also given.Key words:Tectonic stress field;Numerical model;Finite element method地壳中的各种地质构造都是岩石受力发生变形的产物,它们的产生和发展必然也受力学规律的支配。
应力张量的定义什么是应力张量应力是物体内部的力对单位面积的分布情况。
在固体力学中,应力张量是一个描述物质内部应力状态的重要工具。
应力张量是一个二阶的张量,用于描述各个方向的应力分量。
构成应力张量的分量应力张量由9个分量组成,它们分别是X方向上的正应力、Y方向上的正应力、Z 方向上的正应力以及XY平面上的剪应力、YZ平面上的剪应力和ZX平面上的剪应力。
这些分量可以用一个3x3的矩阵表示,矩阵的每个元素代表相应的应力分量。
应力张量的矩阵表示如下:[ σ11 σ12 σ13 ][ σ21 σ22 σ23 ][ σ31 σ32 σ33 ]其中,σ11、σ22和σ33分别代表X、Y和Z方向上的正应力,σ12、σ21代表XY平面上的剪应力,σ13、σ31代表XZ平面上的剪应力,σ23、σ32代表YZ平面上的剪应力。
应力张量的物理意义应力张量的物理意义是它能够给出物体内部应力状态的详细信息。
通过应力张量,我们可以了解到不同方向上的应力分量的大小和方向。
应力张量可以用来计算物体的应力分布、应力变化以及应力的大小。
在材料工程、土木工程和机械工程等领域中,应力张量是非常重要的。
应力张量的计算方法计算应力张量的方法可以通过实验测定和数值模拟两种方式进行。
实验测定方法实验测定方法需要使用一些仪器设备来测量物体内部的应力情况。
常用的实验测定方法有:1.应变计法:通过在物体表面安装应变计,测量应变分布从而计算得到应力分布。
2.简支梁法:通过在梁上进行弯曲试验,测量不同位置上的弯矩和曲率来计算得到应力分布。
3.角度测量法:通过在物体表面安装角度测量仪,测量不同位置上的角度变化来计算得到应力分布。
数值模拟方法数值模拟方法是利用计算机进行模拟计算,通过输入物体的几何形状、材料力学性质和加载条件等参数,通过数学计算得到应力分布。
常用的数值模拟方法有:1.有限元法:将物体分割为有限个小单元,利用力学原理和数学方法建立方程组,通过求解方程组得到应力分布。
第一章测试1.下列不属于弹性力学研究对象的是()。
A:板壳B:刚体C:杆件D:实体结构答案:B2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是()。
A:位移分量B:应力分量C:面力分量D:应变分量答案:C3.在工程强度校核中起着重要作用的是()。
A:应力分量B:主应力C:正应力D:切应力答案:B4.已知物体内某点的应力张量(单位:Pa),则沿方向的正应力大小为()。
A:222.22 PaB:888.89 PaC:666.67 PaD:444.44 Pa答案:D5.下列关于应力分量的说法,正确的有()。
A:坐标面上的应力B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态C:应力分量与面力分量的正负号规定相同D:正截面上的应力E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE6.理想弹性体满足的假设有()。
A:无初始应力假设B:均匀性假设C:连续性假设D:完全弹性假设E:各向同性假设答案:BCDE7.建立在基本假设上的弹性力学,也称为()。
A:弹性理论B:线性弹性力学C:应用弹性力学D:数学弹性力学答案:ABD8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题,这些问题包括()。
A:稳定B:刚度C:强度D:动力答案:ABC9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件,建立三套基本方程,这三方面条件包括()。
A:几何学B:物理学C:静力学D:动力学答案:ABC10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。
()A:错B:对答案:B11.物体内任意一点的应力分量、应变分量和位移分量,都不随该点的位置而变化,它们与位置坐标无关。
()A:对B:错答案:B12.在最大正应力的作用面上切应力为零,在最大切应力的作用面上正应力为零。
()A:对B:错答案:B13.应力张量的三个不变量是与坐标选择无关的标量。
()A:错B:对答案:B14.弹性力学与材料力学在研究方法上是完全相同的。
超弹性仿真计算公式超弹性材料是一类具有非线性、大变形和大应变能力的材料,常见于橡胶、聚合物等材料中。
超弹性材料的力学行为与普通材料存在很大的差异,因此需要特殊的计算方法来描述其力学性能。
超弹性仿真计算公式是描述超弹性材料力学行为的重要工具,本文将介绍超弹性仿真计算公式的基本原理和应用。
超弹性材料的力学行为可以用应力-应变关系来描述,而超弹性材料的应力-应变关系通常不遵循胡克定律,因此需要使用特殊的公式来描述。
在超弹性仿真计算中,常用的描述超弹性材料力学行为的公式包括Mooney-Rivlin模型、Ogden模型、Yeoh模型等。
这些模型都是基于应变能密度函数来描述超弹性材料的应力-应变关系,其基本形式如下:Mooney-Rivlin模型:$$W = C_1(I_1-3) + C_2(I_2-3)$$。
Ogden模型:$$W = \sum_{i=1}^{N} \frac{\mu_i}{\alpha_i}(\lambda_1^{\alpha_i} +\lambda_2^{\alpha_i} + \lambda_3^{\alpha_i} 3)$$。
Yeoh模型:$$W = \sum_{i=0}^{N} C_i(I_1-3)^i$$。
其中,W表示应变能密度函数,C1、C2、μi、αi、Ci等参数是需要通过实验或拟合得到的材料参数,I1、I2、I3分别是应变张量的主应变,λ1、λ2、λ3分别是应变张量的主应变比。
这些公式通过描述应变能密度函数来描述超弹性材料的应力-应变关系,可以很好地描述超弹性材料的非线性和大变形行为。
超弹性仿真计算公式的应用可以帮助工程师和科研人员更好地理解和预测超弹性材料的力学行为。
在工程设计中,超弹性仿真计算可以用来预测超弹性材料在复杂加载条件下的应力分布和变形情况,从而指导材料选择和结构设计。
在科学研究中,超弹性仿真计算可以用来研究超弹性材料的力学行为和性能,为新材料的设计和开发提供重要参考。
应力张量的认识(二)本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考,也许并不深刻,但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。
相关还有:Levy-Mises理论的思考应力张量的基础知识参见应力张量的认识(一)这一部分主要是对应力张量本质的理解。
相似矩阵通过基础知识我们已经认识到,应力张量代表点的应力状态,它不依赖于坐标系的选取,并且对应着同一主应力状态。
用矩阵的观点理解为:同一点的应力张量矩阵是相似矩阵,并且可以对角化。
然而问题是为什么会这样?我们可以这么理解,同一点不同截面下的应力张量描述的都是相同的应力状态,因此他们有着内在的联系(例如满足静力平衡方程)。
由切应力互等定律可知应力张量矩阵是实对称矩阵,由矩阵论可知实对称矩阵必定可以对角化,即不同截面应力张量对相似于一个主应力张量;而同一点的主应力状态是确定的。
于是由相似矩阵的传递性可知,不同截面下的应力张量矩阵是相似的。
线性变换从应力张量是相似矩阵再进一步——相似矩阵的本质是同一线性变换在不同基下表示的矩阵,我们就可以从更根本的角度看待应力张量了:应力张量代表一个线性变换!这是一个抽象的认识,或者说是从相似矩阵推论出来的。
那么接下来让他具体化:从前面已经知道,利用三个相互垂直的截面截取一点P,将各个截面上的所有应力分量组成一个整体的物理量——应力张量。
以这三个截面的法线方向为正方向建立笛卡尔坐标系,如下图所示。
那么对于任意法向为n=(n1,n2,n3)截面,可以得到面上作用的应力分量将上式改写成矩阵表达式其中,根据线性变换与矩阵的一一对应的关系,可知应力张量代表一个线性变换(确切的说是线性映射)——应力张量将截面位置映射到截面应力。
数学表述为:U是截面方向余弦组成的线性空间,V是截面应力作成的线性空间。
举例说明下面说明这个线性映射是如何与力学描述相一致的。
前面多次提到,用三个互相垂直的截面截取P点,并以其法向建立笛卡尔坐标系。
这样的截面有无数多对,这样的坐标系也有无数多个。
河 北 水 利 电 力 学 院 学 报JournalofHebeiUniversityof WaterResourcesandElectricEngineering2021 年3 月第31卷第1期Mar2021Vol31 No1文章编号:2096 — 5680(2021)01 — 0075 — 06用张量分析方法推导含偶应力弹性力学有限元理论孙晓勇1 2 ,宋兴海2,侯娜娜12,付建航2,刘立悦1,2(1.河北省数据中心相变热管理技术创新中心,河北省沧州市重庆路1号061001;2.河北水利电力学院土木工程学院,河北省沧州市重庆路1号061001)摘要:经典弹性力学理论用位移梯度表示无限小变形,不考虑旋转变形,把微元体的旋转视为刚体旋转。
含偶应力弹性力学理论将旋转变形以旋转张量表示,微元体旋转和微元体平动位移同量级,而旋转张量和应变张量同量级,旋转张量与旋转矢量一一对应,用旋转矢量的梯度表示旋转变形。
含偶应力弹性力学理论本构关系包括应力-应变关系和偶应力-曲率张量关 系,用等参变换方法离散单元位移到节点上,从虚功原理出发,增加罚函数项以降低有限元方程对高阶单元的需求,推导了拟 解决三维及二维问题的含偶应力弹性线力学有限元理论,可得三维及二维问题中位移、应力、应变等分布情况,对结构进行力 学评价。
关键词:偶应力;旋转变形;旋转张量;张量分析中图分类号:O343文献标识码:A DOI : 10. 16046/j. cnki. issn2096-5680. 2021. 01. 0151经典线弹性理论与考虑偶应力线弹 性理论在经典弹塑性力学理论中,物体内任意一点的 应力状态只和应变或应变的历史有关,其基本变量为位移,对位移求梯度得到应变张量,用位移梯度描述无限小的变形,然后再由一点的应变张量分析得 到应力张量[1]。
含偶应力的线弹性力学理论认为, 物体内任意一点的微元体,除有各个方向的位移外,还有本身的旋转变形,而这种旋转变形并非单纯的 以旋转角表达,而是用和应变张量一个量级的旋转张量来表示[]。
有限元三大方程有限元方法(Finite Element Method, FEM)是一种将连续介质离散为有限数量的小单元来求解力学问题的数值方法。
有限元方法通过三大方程来描述系统的力学行为:平衡方程、运动方程和本构关系。
1. 平衡方程:平衡方程是描述系统在受力平衡状态下的行为。
对于一个连续体,平衡方程可以用微分形式表示为:∇·σ + f = 0其中,∇·表示散度算子,σ是应力张量,f是体力。
在有限元方法中,将连续体离散为小单元后,平衡方程可以用积分形式表示为:∫(∇·σ)dV + ∫fdV = 0这里积分是对整个区域求和,dV表示体积元。
有限元方法的目标是通过对小单元的离散近似求解平衡方程来得到连续体的应力分布。
2. 运动方程:运动方程描述了系统的运动行为。
对于一个静力学问题,运动方程为:ρ∂²u/∂t² + ∇·(ρv) = 0其中,ρ是介质的密度,u是位移场,v是速度场。
在有限元方法中,将连续体离散为小单元后,运动方程可以写为:∑(∫(ρN∂²u/∂t²)dV) + ∑(∫(N∇u·ρvdV)) = 0这里,∑表示对所有小单元求和,N是形状函数。
有限元方法的目标是通过对小单元的离散近似求解运动方程来得到连续体的位移场。
3. 本构关系:本构关系描述了物质的力学性质。
对于一个线弹性材料,本构关系为:σ = Eε其中,σ是应力张量,E是弹性模量,ε是应变张量。
在有限元方法中,将连续体离散为小单元后,本构关系可以写为:∑(∫(NσdV)) = ∑(∫(B∇u)dV)这里,B是形状函数的导数矩阵。
有限元方法的目标是通过对小单元的离散近似求解本构关系来得到连续体的应力分布。
有限元方法通过将连续体离散为小单元,并在每个小单元内近似求解平衡方程、运动方程和本构关系,来得到连续体的力学行为。
通过不断迭代小单元的解,最终可以得到整个体系的力学行为。
应力张量的认识(一)本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考,也许并不深刻,但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。
相关还有:Levy-Mises理论的思考从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量,然后一直出现在我们的视野里。
初始,以一个基本定义记住了它,进而有过疑惑,随着矩阵论的学习又有了新的认识。
曾经就有记录下对其理解的想法,但因思路尚未完善而一再搁置;直到今天重新想起,完成了方向余弦作为线性空间的证明,才终于开始详细记录。
我将这部分思考分为以下三部分:应力张量的认识(一)应力张量的认识(二)应力张量的认识(三)本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。
应力初中物理就已知道,因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。
单位面积上的内力即是应力,表征内力的强度。
为了研究某一点P处的应力,用某个截面在P点处切开物体,如下图所示。
根据定义可以得到P点的正应力σ、切应力τ,他们的合成即为全应力T。
需要注意的是,一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。
但是过P点有无数的截面,那么如何才能真正描述P点的应力状态呢?应力状态点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。
上面已经意识到过一点点有无数的截面,只有任意截面上的应力分量都可以确定,才可以说应力状态是确定的。
通常在无数的截面中,任意取三个互相垂直的截面,并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。
也即在P点截取一个无限小的平行六面体,称为单元体。
单元体无限小,视为一点,因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面,也即他俩的应力是相同的。
这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。
由于单元体处于静力平衡状态,由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。
问题:既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面,那为什么上图平行的平面上应力是相反的?单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面,但是分别是被截开的的两部分的平面,截开前他们是重合的,截开后成为了两部分各自的表面,而外表面是有方向的。