高二数学 《直线的参数方程2》(课件)

(4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点 和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程. ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
【例 1】
已知圆的渐开线的参数方程为
������ = 3cos������ + 3������sin������, ������ = 3sin������-3������cos������
是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数).分别把
φ=π3和
φ=π2代入,可得
A,B
两点的坐标分别为
3+√3π 6
,
3√3-π 6
,
π 2
,1
.根据两点间的距离公式可
得 A,B 两点间的距离为
|AB|=
为参数).
答案：
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
为参数)
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线 的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开角度的大小.
探究一
探究二
思维辨析
������ = ������-sin������, 变式训练3 设摆线 ������ = 1-cos������ (t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相 交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
解：由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0,∵0≤t≤2π,

数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。

解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
x＝3＋ 22t，
解：设直线的参数方程为
y＝4＋
2 2t
(t 为参数)，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0 得 3(3＋ 22t)＋ 24＋ 22t＝6，解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
[迁移探究] (变换条件，改变问法)过抛物线 y2＝4x
的焦点 F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于 A，B 两点，求这两点之间的距离．
4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线 l 的参数方程是________________．
x＝2＋tcos56π，
解析：直线
l
的参数方程为 y＝－4＋tsin
5 (t 6π
为参
x＝2－ 23t， 数)，即y＝－4＋12t (t 为参数)．
x＝2－ 23t，
答案： y＝－4＋12t
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线 y＝2x＋1 的参数方程是xy＝＝2t－t－11，(t 为参 数)．( )
x＝－1＋2t ，
(2)直线的参数方程为 y＝2＋
23t
(t 为参数)，M0(－
1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意

为参数)
做一做3
经过点Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( )
A.
������ = ������
2+3������ , 1+������ 1+7������ (λ = 1+������
为参数,λ≠-1)
B.
������ = ������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ = 1+������ 1−3������ , 1+������ 2−7������ (λ 1+������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ 1+������
������������ ,则直线 ������������
为参数,λ≠-1).
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究一直线的参数方程与参数的几何意义
对于一般的参数方程 ,其中的参数可能不具有一定的几何意义 ,但是 直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点 M0(x0,y0)、 倾斜角 ������ = ������0 + ������cos������, 为 α 的直线 l 的参数方程都可以写成 ������ = ������ + ������sin������ (t 为参数),其 0 中直线上的动点 M(x,y)到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当点 M 在点 M0 的上方时,t>0;当点 M 在点 M0 的下方时,t<0;当点 M 与点 M0 重合时,t=0.很多与线段长度有关的问题,我们可以考虑应用直线 参数方程中 t 的几何意义去求解.
§2