天津市南开中学2015届高三第一次月考数学(理)试题

天津市南开中学2015届高三第三次月考数学（理）试题I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．)1. 某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为A.180B.240C.276D.3002. 已知,m n 是两条不同直线,,αβ是两个不同平面,给出四个命题:①若,,m n n m αβα=⊂⊥,则αβ⊥ ②若,则//αβ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥ ④若//m α，//n β，//m n ,则//αβ 其中正确的命题是 ( ). A. ②③ B. ①②C. ②④D.①④3. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ).A.512πB.3πC.4πD.6π 4. 在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ).A.2B.1C.13-D.12-5. 已知1F 和2F 分别是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的两个焦点,A 和B 是以O为圆心,以1||OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2F AB ∆是等边三角俯视图形,则该双曲线的离心率为 ( ).1 1 D.2 6. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的离心率为2,若抛物线)0(2:22>=p py x C 的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为( ).A.y x 3382=B.y x 33162=C.y x 82=D.y x 162= 7. 已知抛物线1C ：212y x p=()0p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p = ( ).A.16 B. 8C. 3D. 38. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。

天津市南开中学2015届高三第三次月考试题（理）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．)1. 某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为A.180B.240C.276D.3002. 已知,m n 是两条不同直线,,αβ是两个不同平面,给出四个命题:①若,,m n n m αβα=⊂⊥,则αβ⊥ ②若,则//αβ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥ ④若//m α，//n β，//m n ,则//αβ 其中正确的命题是 ( ).A. ②③B. ①②C. ②④D.①④3. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ). A.512π B.3π C.4π D.6π 4. 在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ).A.2B.1C.13-D.12-5. 已知1F 和2F 分别是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1||OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2F AB ∆是等边俯视图三角形,则该双曲线的离心率为 ( ).1 1 D.2 6. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的离心率为2,若抛物线)0(2:22>=p py x C 的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为 ( ). A.y x 3382=B.y x 33162=C.y x 82=D.y x 162= 7. 已知抛物线1C ：212y x p=()0p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p = ( ).A.16 B. 8C. 3D. 38. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。

第1页/共5页南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合2|230Axxx

，1,2,3,4B，则ABRð（ ）

A. 1,2B. 1,2,3C. 3,4D. 4

2. “sin0x”是“cos1x”的（ ）

A 充要条件B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件

3. 函数()||sin2fxxx的部分图象可能是（ ）

A B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在0,上单调递减的是（ ）

A. 2yB. sinxy

x

C. 2lg412yxxD. ee2xx

y





5. 计算：0ln228241.1elog1lg10lnelog的值（ ）

A. 0B. 152C. 2D. 3

6. 已知1sin3a，0.913b，271log92c，则（ ）

A. acbB. abcC. bacD. cab7. 已知

π23coscos63，则πsin2

6



（ ）

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A. 19B. 19C. 13D. 89

8. 将函数

π3sin26fxx



的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为ygx，有

下列命题： ①函数gx的图象关于直线πx对称

②函数gx图象关于点π,012对称③函数gx在π5π,2424上单调递增

④函数gx在0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4

9. 设函数

ln2,0()π1sin,π042xxxfxxx





2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．2 B．4 C．8 D．166．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S k﹣1=﹣3，S k=0，S k+1=4，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，点P为△ABC内一点，若∠BPC=90°，PB=1，则PA=（）A．4﹣B．C．D．18．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为．10．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为．12．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．13．（5分）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．14．（5分）已知函数f（x）=，，＞，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．16．（13分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．17．（13分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（Ⅲ）求四面体B﹣DEF的体积．18．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．19．（14分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为T n=n2+2n，求数列{a n•b n}的前n项和；（Ⅲ）若a2＞﹣1，求证：S n≤（a1+a n），并给出等号成立的条件．20．（14分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．（Ⅰ）讨论f（x）的极值；（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣2，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【解答】解：复数==，故选：A．2．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．（5分）设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于p：x2﹣3x+2＞0，解得：x＞2或x＜1，关于q：＞0，解得：x＞2或x＜﹣2或﹣1＜x＜1，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）【解答】解：令t=x2﹣4＞0，求得x＞2或x＜﹣2，故函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且y=log0.5t，故本题即求函数t在定义域内的单调增区间．由于函数t在定义域内的单调增区间为（2，+∞），故函数f（x）的减区间为（2，+∞），故选：D．5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：模拟执行程序，可得k=0，S=1满足条件k＜3，S=1，k=1满足条件k＜3，S=2，k=2满足条件k＜3，S=8，k=3不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S k﹣1=﹣3，S k=0，S k+1=4，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵S k=﹣3，S k=0，S k+1=4，﹣1∴a k=S k﹣S k﹣1=3，a k+1=S k+1﹣S k=4，﹣a k=4﹣3=1．∴公差d=a k+1∴a k=a1+（k﹣1）=3，∴a1=4﹣k，S k=ka1+=0，化为k（4﹣k）+=0，解得k=7．故选：C．7．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，点P为△ABC内一点，若∠BPC=90°，PB=1，则PA=（）A．4﹣B．C．D．1【解答】解：在△ABC中，由已知得∠PBC=60°，∴∠PBA=30°，在△PBA中，由余弦定理得PA2=3+1﹣2×=1，∴PA=1．故选：D．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=++ +=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S==（）=，边长为1的正方形的面积为1，所以所求概率P=．故答案为：．10．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是10．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，10显然面积的最大值为10故答案为：1011．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为．【解答】解：因为抛物线y2=20x的准线方程为x=﹣5，所以由题意知，点F（﹣5，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=25，①又双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，所以=2，②由①②解得a2=5，b2=20，所以双曲线的方程为．故答案为：．12．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．13．（5分）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=，，＞，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．【解答】解：f（x）=cos2x+sin2（x+）．⇔f（x）=cos2x+⇔f（x）=cos2x+sin2x+⇔f（x）=sin（2x+）+，（1）最小正周期，∵sinx单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）∴2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）解得：x∈[，]，（k∈Z）∴f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[，]，（k∈Z）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+∵x∈[﹣，），∴2x∈[，]，由三角函数的图象和性质：可知：当2x=时，f（x）取得最小值，即=0．当2x=时，f（x）取得最大值，即．∴x∈[﹣，）时，f（x）的取值范围在，．16．（13分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B++根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P （）+P（）P（）P（D）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=P（X=3）=P（BC）+P（B）=××（1﹣）+×（1﹣）×=P（X=4）=P（）=（1﹣）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列为所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=17．（13分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（Ⅲ）求四面体B﹣DEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GH∥AB，GH=，又EF AB，EF=，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FH∥平面EDB；（Ⅱ）解：∵FH⊥平面ABCD，∴平面BFC⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴AB⊥平面BFC，则AB⊥BF，则EF⊥FB，又∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则∠FKB为二面角B﹣DE﹣C的一个平面角，∵EF=1，AB=2，∴FC=，DE=，又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，∴sin∠EDC=sin∠KEF=，∴FK=EFsin∠KEF=，tan∠FKB==，∴∠FKB=60°，∴二面角B﹣DE﹣C为60°；（Ⅲ）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，∴BF为四面体B﹣DEF的高，又BC=AB=2，∴BF=FC=，S=EF•FC=×1×，四面体B ﹣DEF 的体积．V B ﹣DEF = =．18．（13分）如图，椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，其左焦点到点P （2，1）的距离为 ，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求△APB 面积取最大值时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意 ，解得：． ∴所求椭圆C 的方程为：． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M 当AB ⊥x 轴时，直线AB 的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB 的方程为y=kx +m （m ≠0）由，消元可得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12=0① ∴ ，∴线段AB的中点M，∵M在直线OP上，∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，∴△＞0，x1+x2=m，∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0），令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则∴m=1﹣，u（m）取到最大值∴m=1﹣时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：19．（14分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为T n=n2+2n，求数列{a n•b n}的前n项和；（Ⅲ）若a2＞﹣1，求证：S n≤（a1+a n），并给出等号成立的条件．【解答】解：（I）当n=1时，a1+a2=a2a1+a1，∴a1=1．=S n+1﹣S n=a2S n+a1﹣（a2S n﹣1+a1）=a2（S n﹣S n﹣1）=a2a n，∵a n+1∴=a2≠0．∴{a n}是以1为首项，以a2为共比的等比数列．（II）当n=1时，b1=3，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，当n=1时，上式仍成立，∴b n=2n+1．又a n=a2n﹣1，∴a n b n=a2n﹣1（2n+1）．设数列{a n•b n}的前n项和为R n，若a2=1，则a n=a1=1，∴R n=T n=n2+2n．若a2≠1，则R n=3a20+5a2+7a22+…+（2n+1）a2n﹣1，∴a2R n=3a2+5a22+7a23+…（2n+1）a2n，∴（1﹣a2）R n=3+2a2+2a22+2a23+…+2a2n﹣1﹣（2n+1）a2n，=1+﹣（2n+1）a2n∴R n=+﹣．（III）当a=1时，a n=1，∴S n=n，=n，故S n=．当a2≠1时，当n=1或n=2时，显然S n=成立，当n≥3时，若﹣1＜a2＜0或0＜a2＜1，则a n=a2n﹣1＜1，若a2＞1，则a n=a2n﹣1＞1．∴（a r+1﹣1）（a n﹣r+1﹣1）＞0，即a r+1+a n﹣r+1＜1+a r+1a n﹣r+1，（r=1，2，3…n﹣1）∴a2r+a2n﹣r＜1+a2n．上面不等式对r从1到n﹣1累加求和得：∴2a2+2a22+2a23+…+2a2n﹣1＜（n﹣1）（1+a2n），∴a2+a3+a+…+a n＜（1+a2n）∴1+a2+a3+a+…+a n+a n+1＜（1+a2n），∴1+a2+a3+a+…+a n＜（1+a2n﹣1），即S n＜（a1+a n）．综上，S n≤（a1+a n），当且仅当a2=1或n=1或n=2时取等号．20．（14分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．（Ⅰ）讨论f（x）的极值；（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣2，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+a，a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，无极值，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）的极大值是f（﹣）=﹣，f（x）的极小值是f（）=．（Ⅱ）f′（x）=3x2+a，g′（x）=2x+b，由题得f′（x）g′（x）≥0在[﹣2，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣2，+∞）上恒成立，所以b≥4，故实数b的取值范围是[4，+∞）；（Ⅲ）令f′（x）=0，得x=±．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f′（0）g′（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）g′（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b≤0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f′（x）g′（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f′（x）g′（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．。

天津市南开中学2019届高三下第一次月考数学试卷（理科）（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，，．故选：C．先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.已知命题p：，，命题q：，，则下列说法中正确的是A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：，，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，命题是假命题，命题￢是真命题，命题￢是真命题，故选：C．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题等知识点，难度中档．3.已知函数，则A. 4B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，，故排除C，D，，，故排除A，故选：B当时，，，故选：B．利用特殊值排排除即可本题考了函数的图象的识别，排除是关键，属于基础题5.在下列那个区间必有零点A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，，，，，在单调递减，在单调递增．，，在内存在零点，故选：C．求解，运用导数判断在单调递减，在单调递增，根据零点存在性定理得出，，在内存在零点．本题考查了函数的单调性，运用导数判断，零点问题，属于中档题，难度不大．6.已知函数，，则的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为，所以，，则，即．则函数的值域为，故选：B．根据对数函数的性质结合函数值域的对应进行求解即可．本題考查函数的值域，考查运算求解能力结合对数函数的运算性质是解决本题的关键．7.已知函数在处的切线倾斜角为，则A. B. C. 0 D. 3【答案】C【解析】解：函数的导数，又在处的切线倾斜角为，可得，即，故选：C．求得的导数，可得切线的斜率，由斜率的几何意义，可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，时，显然不成立，时，只需，解得：或，因为题目要求充分不必要，因此只有D选项符合要求，故选：D．求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．9.如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：矩形，，，阴影故豆子落在图中阴影部分的概率为，故选：A．分别求出矩形和阴影部分的面积即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．10.已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则A. 45B. 15C. 10D. 0【答案】A【解析】解：根据题意，函数为定义域R上的奇函数，则有，，若，即，即，，又由为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，是9项的和且和为0，必有，则有，即，在等差数列中，，即，则；故选：A．根据题意，由奇函数的性质可得，又由且，可得，结合等差数列的性质可得，进而可得，即，进而计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．11.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：构造，则，，，在定义域内单调递增，又，则不等式，化为，即，，则，得，综上，不等式的解集为．故选：A．由题意，构造函数，利用导数可得在定义域内单调递增，把不等式转化为，利用单调性求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．12.对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”若函数与互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C的零点为．设的零点为，若函数与互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则，，如图．由于必过点，故要使其零点在区间上，则或，解得，故选：C．先得出函数的零点为再设的零点为，根据函数与互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有，从而得出的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合2，，，若，则非零实数m的数值是______．【答案】2【解析】解：集合2，，，，或或，解得．非零实数m的数值是2．故答案为：2．利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：例如，尽管对任意的都成立，当上为增函数，在为减函数，故答案为：．本题答案不唯一，符合要求即可．本题考查了函数的单调性，属于基础题．15.设函数在区间上的值域是，则的取值的范围是______．【答案】【解析】解：令解得或，令得．又在上单调递增，在上单调递减，当，时，取得最小值0，当，时，取得最大值4．故答案为．分别求出和的解，根据的单调性得出的最值．本题考查了二次函数的性质，属于中档题．16.若函数在处取得极小值，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：，由于函数在处取得极小值，则显然成立，令，由于是函数的极小值点，则左边附近，，即；在右边附近，，即．则，则，解得，故答案为：．令，将函数在处取得极小值，转化为，从而实数m 的取值范围．本题考察导数与函数的极值，将极小值点进行转化，是解本题的关键，属于中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，集合．求集合A；若，求实数a的取值范围．【答案】解：由，得，．，，，由，得，所以或所以a的范围为，．【解析】通过解分式不等式求得集合A；求得，根据，则，利用数轴确定a满足的条件，从而求出a 的取值范围．本题主要考查了集合的运算，考查了集合的包含关系中参数的取值范围，体现了数形结合思想．18.已知命题p：，．若p为真命题，求实数m的取值范围；若有命题q：，，当为真命题且为假命题时，求实数m的取值范围．【答案】解：，，时不成立．且，解得．为真命题时，．对于命题q：，，，又时，，．为真命题且为假命题时，真q假或p假q真，当p假q真，有，解得；当p真q假，有，解得；为真命题且为假命题时，或．【解析】根据二次函数的性质求出p为真时m的范围即可；，，时不成立可得且，解得m范围对于命题q：，，根据时，利用函数的单调性即可得出由为真命题且为假命题时，可得p 真q假或p假q真．本题考查了函数与不等式的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数在处有极值．求常数a、b；求曲线与x轴所包围的面积．【答案】解：，由及得：，解得；由知当或时，，当或时，，曲线与x轴所包围的面积：．【解析】求导函数，利用函数在处有极值，建立方程组，即可求得a，b的值；确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查利用定积分求面积，正确求导是关键．20.已知函数．求函数的单调区间；求函数的极值；求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】解：，，由，得或．由，得，函数的单调增区间为，，单调减区间为；由可得，函数在，上单调递增，在上单调递减单调递减．当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，又，，函数在上的最小值为，最大值为4．【解析】求出原函数的导函数，由导函数大于0求得x的范围可得原函数的增区间，由导函数小于0求得x的范围可得原函数的减区间；由可得原函数的单调性，从而得到极值点，进一步求得极值；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，然后求出极值与端点值，比较得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．21.已知函数．当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求a得取值范围．【答案】解：当时，；，由得，或，故所求的单调增区间为，；，在上是增函数，在上恒成立，即恒成立，当且仅当时取等号所以，当时，易知在上也是增函数，所以．【解析】求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；已知在区间上是增函数，即在区间上恒成立，然后用分离参数求最值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．22.已知函数，其中．Ⅰ设是的导函数，讨论的单调性；Ⅱ证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【答案】解：函数，其中可得：．，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．证明：由，解得，令，则，，存在，使得，令，其中，由，可得：函数在区间上单调递增．，即，当时，有，．再由可知：在区间上单调递增，当时，，；当时，，；又当，．故当时，恒成立．综上所述：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【解析】函数，其中可得：，可得，分别解出，，即可得出单调性．由，可得，代入可得：，利用函数零点存在定理可得：存在，使得，令，再利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。

天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科）选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集，集合，则为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】,选C.2. 设，则是的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】,,因为所以是的充分不必要条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3. 设，，，则（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】,,,所以，选C.4. 在下列区间中的零点所在区间为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】零点所在区间为，选C.5. 设函数,则是（）.A. 奇函数，且在上是增函数B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】因为是奇函数，因为，所以在上是增函数，选 A.6. 已知函数，若,则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】，即实数的取值范围是，选D.7. 若在上单调递减，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得在上恒成立，所以即，选C.点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.8. 已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由图可知选B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．填空题（每小题5分，共30分）9. 已知复数，则_________.【答案】【解析】10. 不等式的解集是_________.【答案】【解析】试题分析：由不等式可得化简得且，解得故答案为．考点：分式不等式的解法．11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_____.【答案】2【解析】12. 函数与函数的图象所谓封闭图形的面积是_________.【答案】【解析】点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．13. 函数在区间的最小值是_________.【答案】【解析】当时；当时；当时，因此最小值是14. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】当时，当时，综上，求并集得实数的取值范围为解答题（共80分）15. 在锐角△中，分别为角所对应的边，且确定角的大小；若，且△的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把已知条件转化为角的正弦，整理可求得，进而可求出的值；（2）利用三角形的面积求得的值，利用余弦定理求得的值，最后求出的值．试题解析：（1）由及正弦定理得，，∵，∴，∵是锐角三角形，∴．（2）解法1：∵，由面积公式得，即①由余弦定理得，即，②由②变形得，故解法2：前同解法1，联立①、②得，消去并整理得解得或所以或故．考点：正弦定理；余弦定理及三角形的面积公式．16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率；该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，根据计算即可；（Ⅱ）由题的可能值为1,2,3，然后分别计算对应的概率，根据期望公式计算即可． 试题解析：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，所以该同学被淘汰的概率为：． 6分（Ⅱ）的可能值为1,2,3，，，．所以的分布列为：数学期望为． 6分考点：概率统计17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件发生的概率. 设为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件发生的概率.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由题意得，得到随机变量的所有可能取值，求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，并计算其数学期望.试题解析：（1）由已知得.所以事件发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2计算，，；所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望为.点睛：本题主要考查了概率的计算及随机变量的分布列、数学期望，此类问题的解答中主要认真审题，正确把握试验的条件，合理求解每个取值对应的概率是解答的关键，同时注意概率公式的应用和准确计算.18. 如图，在三棱柱中，底面,,,.证明;求异面直线和所成角的余弦值;求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由底面,得;再在三角形中解得,由线面垂直判定定理得,即得;（2）利用空间向量求线线角,首先根据条件建立直角坐标系,设立各点坐标,得异面直线和方向向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据向量夹角与线线角关系得结果(3) 利用空间向量求二面角,首先根据条件建立直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角关系得结果试题解析：解（1）在三棱柱中，∵，∴在中，，，，由正弦定理得，∴，即。

2021届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合}5,3,2,1{=A ，}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为（ ）.A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{， 2. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ，π21log =b ，2-=πc ，则（ ）.A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x的零点所在区间为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， D.⎪⎭⎫⎝⎛4321， 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是（ ）.A.奇函数，且在()10，上是增函数 B.奇函数，且在()10，上是减函数 C.偶函数，且在()10，上是增函数 D.偶函数，且在()10，上是减函数 6. 已知函数xx x f 2ln )(+=，若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是（ ）.A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(，⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）.A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（ ）.A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+，3二、填空题（每小题5分，共30分）9.10.11.12.13. 函数3()12f x xx 在区间3,314.)1,3-上不是单调函数，则实数a三、解答题（共80分）15.（1）确定角C 的大小；（216. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. （2）设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ,（1）证明C A AB 1⊥;（2）求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; （3）求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. （1）求a ；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b的取值范围.20.（1）当2,3==b a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2立，求实数a 的取值范围；（3),(11y x A ,),(22y x B ,求证：.2221e x x >AC1C 1A 1B B2021届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学（理）试题参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.15.解：（12sin c A 2sin sinA C A ，于是3sin C，由于是锐角三角形，故3C（2）22222cos 3c a b ab Ca bab ，23362sin 2737373725sin sin 32s ab C a bab CC，故5a b 。

天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[1，2]C．[1，4]D．[1，+∞）3．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值是（）A．26 B．40 C．57 D．无法确定4．（3分）已知函数f（x）=，则下列说法正确的是（）A．奇函数，在R上单调递减B．偶函数，在R上单调递增C．奇函数，在R上单调递增D．偶函数，在R上单调递减5．（3分）下列命题中的真命题是（）A．B．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1C．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx6．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定7．（3分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α8．（3分）已知函数，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按照从大到小的顺序排成一个数列{a n}，则该数列的通项公式为（）A．B．C．D．二、填空题（每空5分，共30分）9．（3分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70]的汽车大约有辆．10．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是11．（3分）若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．12．（3分）设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=．13．（3分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．14．（3分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为．三、解答题（第15-18题每题13分，19、20题每题14分，解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知圆C：x2+y2﹣4y﹣12=0，点P（4，0），直线l经过点P（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值（2）当x∈（﹣，）时，求函数f（x）的值域．17．（13分）一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．（1）求四棱锥P一ABCD的体积：（2）求二面角C﹣PB﹣A大小；（3）M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CM⊥PA？18．（13分）已知函数．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．20．（14分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3 f（n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设bn=，T n=b1+b2+…+b n，若T n＜m（m∈Z）对n∈N*恒成立，求m的最小值．天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：在复平面内，复数==对应的点位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[1，2]C．[1，4]D．[1，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A（1，0）时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，此时z=1，无最大值，故z≥1故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．3．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值是（）A．26 B．40 C．57 D．无法确定考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1时，执行循环体后，T=2，S=2，i=2，不满足退出循环的条件，当i=2时，执行循环体后，T=5，S=7，i=3，不满足退出循环的条件，当i=3时，执行循环体后，T=8，S=15，i=4，不满足退出循环的条件，当i=4时，执行循环体后，T=11，S=26，i=5，不满足退出循环的条件，当i=5时，执行循环体后，T=14，S=40，i=6，不满足退出循环的条件，故输出的S值为40，故选：B点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．（3分）已知函数f（x）=，则下列说法正确的是（）A．奇函数，在R上单调递减B．偶函数，在R上单调递增C．奇函数，在R上单调递增D．偶函数，在R上单调递减考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性定义，进行判断即可．解答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．函数的定义域为R，∵y=e x是增函数，∴y=e﹣x是减函数，则y=﹣e﹣x是增函数，故f（x）=是增函数，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．5．（3分）下列命题中的真命题是（）A．B．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1C．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx考点：特称命题；全称命题．专题：计算题；综合题．分析：根据函数y=sinx+cosx的最大值为，可得A项为假命题；利用导数讨论函数的单调性，可得B项的不等式恒成立，故为真命题；根据指数函数的单调性，结合a x＞0的特性可证出2x＞3x对任意的x∈（﹣∞，0）都成立，故C是假命题；通过举出反例可以说明D 项是假命题．解答：解：对于A，因为，而，故不存在x使得成立，因此A是假命题；对于B，令f（x）=e x﹣x﹣1，得f'（x）=e x﹣1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（0）=0，即e x＞x+1，故B是真命题；对于C，因为∈（0，1），所以x∈（﹣∞，0）时，（）x＞（）0=1，即当x∈（﹣∞，0）时，＞1，得2x＞3x对任意的x∈（﹣∞，0）都成立，故C是假命题；对于D，当x=时，sinx=cosx，故D也是假命题．综上所述，可得只有B是真命题．故选B点评：本题以含有题词的命题真假的判断为载体，考查了三角函数的值域与最值、指数函数的单调性和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．6．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定考点：余弦定理；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b．解答：解：∵∠C=120°，c=a，∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=，∴a＞b故选A点评：本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．7．（3分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．8．（3分）已知函数，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按照从大到小的顺序排成一个数列{a n}，则该数列的通项公式为（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法；函数零点的判定定理．专题：等差数列与等比数列．分析：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，…，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，结合图象可得：函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．即可得出：该数列的通项公式a n=n ﹣1．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，∴该数列的通项公式a n=n﹣1．故选：A．点评：本题考查了数列的通项公式的求法、函数的交点与零点，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（每空5分，共30分）9．（3分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70]的汽车大约有80辆．考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：此类题的求解，一般是用频率模拟概率，可由图象求出时速在[60，70]的汽车的频率，再由样本总容量为200，按比例计算出时速在[60，70]之间的辆数解答：解：由图时速在[60，70]的汽车在样本中所占的频率为0.04×10=0.4又样本容量是200∴时速在[60，70]的汽车大约有200×0.4=80辆故答案为：80辆点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是由图形得出所研究的对象的频率，用此频率模拟概率进行计算，本题考查了识图的能力10．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是+考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆锥和四棱锥的组合体，分别计算出两个锥体的体积，相加可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆锥和四棱锥的组合体，半圆锥底面半径为1，高为，故体积为：××π×12×=，四棱锥底面为边长为2的正方形，高为，故体积为：×2×2×=，故该几何体的体积V=+，故答案为：+．点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．11．（3分）若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，即（+）•=+=0，求得cos ＜，＞=﹣，故＜，＞=．解答：解：由题意得（+）•=+=4+2×4 cos＜，＞=0，∴cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，故答案为．点评：本题考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，已知三角函数值求角的大小．12．（3分）设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=15．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．解答：解：对于，∴点评：本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式的应用．属基础题．13．（3分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a 的值．解答：解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．点评：本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用．14．（3分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为18．考点：基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：由已知得=bccos∠BAC=2 ⇒bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2 ）=18，故答案为：18．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．三、解答题（第15-18题每题13分，19、20题每题14分，解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知圆C：x2+y2﹣4y﹣12=0，点P（4，0），直线l经过点P（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．考点：圆的切线方程；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）若直线l与圆C相切，根据直线和圆相切的等价条件即可求直线l的方程（2）根据弦长公式即可求直线l的方程．解答：解：（1）圆的标准方程为x2+（y﹣2）2=16，圆心C（0，2），半径R=4，若直线l与圆C相切，当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，满足直线和圆相切，当直线斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，圆心到直线的距离d=，即|1+2k|=2，平方得1+4k+4k2=4+4k2，解得k=，此时直线方程为x﹣y﹣4×=0，即3x﹣4y﹣12=0，综上直线l的方程为3x﹣4y﹣12=0或x=4．（2）∵直线l被圆截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离d=，当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，满足直线和圆相切，不满足相交，故直线斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，圆心到直线的距离d==2，平方得1+4k+4k2=1+k2，即4k+3k2=0，解得k=0或k=﹣，即直线方程为y=0或4x﹣3y﹣16=0．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件以及直线和相交的弦长公式是解决本题的关键．16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值（2）当x∈（﹣，）时，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）化简可得f（x）=sin（2x+），由题意易得α=，代值计算可得；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+），由x∈（﹣，）结合三角函数值域计算可得．解答：解：（1）化简可得f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=（2sinxcosx+2cos2x﹣1）=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∵0＜α＜，且sinα=，∴sin（2α+）=1，∴α=，∴f（α）=sin（+）=，（2）由（1）知f（x）=sin（2x+），∵x∈（﹣，），∴2x+∈（﹣，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴f（x）=sin（2x+）∈（﹣，]，∴函数f（x）的值域为：（﹣，]，点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的值域，属基础题．17．（13分）一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．（1）求四棱锥P一ABCD的体积：（2）求二面角C﹣PB﹣A大小；（3）M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CM⊥PA？考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，这样就看出四棱锥的底面和高都可以知道，做出体积的值．（2）以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．两个平面的法向量都不用求出，只要证出就可以，这样根据两个向量的夹角做出二面角的值．（3）根据三点共线设出要求的向量，根据两条线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出所设的值，得到结果．解答：解：（1）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，∴；（2）如图，以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CP中点为E，则是平面PBC的法向量；设AP中点为F，同理可知是平面PAB的法向量．知是平面PAB的法向量．，设二面角，显然，所以二面角C﹣PB﹣A大小为；（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共线，∴可设，，∵•，∴∴∴PM的长为时，CM⊥PA点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，注意选择解题的方法，方法选择的好，可以降低题目的难度，本题可以作为2015届高考卷中的题目出现．18．（13分）已知函数．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）根据曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求出函数的字母系数，对函数求导，使得导函数大于0，在定义域中求出函数的单调区间．（2）现出函数的最大值，对函数求导求出函数的单调区间，看出函数的最大值，根据在自变量的定义域内函数大于0恒成立，根据函数的思想求出a的值．解答：解：（2）∵a＞0，f（x）＞0，对x∈（0，2e]恒成立，设a＞x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，2e]，g′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当1＜x＜2e，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴当x=1时，函数在（0，2e]上取得最大值，∴g（x）≤g（1）=1∴a的取值范围是（1，+∞）点评：本题考查函数的综合题目，解题的关键是根据函数的导函数的正负确定函数的单调区间，本题还要注意恒成立问题．19．（14分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；等差数列与等比数列；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P为双曲线的右支上的点，运用双曲线的定义和等差数列的性质，以及勾股定理，得到a，c的关系，再由离心率公式得到双曲线的离心率为5，进而得到椭圆的离心率，由条件可得a=，再由离心率公式，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．分当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时求出|AB|．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为可得=，化为m2=（k2+1），同时将直线方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出|AB|，再由基本不等式求得|AB|的最大值，运用三角形的面积公式，即可得到面积的最大值．解答：解：（1）设P为双曲线的右支上的点，|PF1|﹣|PF2|=2a，①又PF2，PF1，F1F2成等差数列，则有|PF2|+|F1F2|=2|PF1|，即2|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|=2c，②由①②解得，|PF1|=2（c﹣a），|PF2|=2（c﹣2a），由于∠F1PF2=90°，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则4（c﹣a）2+4（c﹣2a）2=4c2，化简得，c2﹣6ac+5a2=0，解得，c=5a，即有双曲线的离心率为5，则由双曲线与该椭圆离心率之积为，即有椭圆的离心率为，设椭圆的方程为=1（m＞n＞0），由于椭圆短轴的一个端点到其右焦点的距离为，即有m=，则=，解得，n=1，则有椭圆方程为+y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为，∴可取A（，y1），代入椭圆得+y12=1，解得y1=±．∴|AB|=；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化为m2=（k2+1）．把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣）2﹣4•]===3+．当k≠0时，|AB|2=3+≤3+=4，当且仅当k2=时取等号，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=．综上可知：|AB|max=2．△OAB的面积最大值为=×2×=．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长问题、三角形的面积、点到直线的距离公式、分类讨论的思想方法的方法等是解题的关键．20．（14分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3 f（n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设bn=，T n=b1+b2+…+b n，若T n＜m（m∈Z）对n∈N*恒成立，求m的最小值．考点：数列的求和；对数函数的单调性与特殊点；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，解方程可求a，b，根据所求求f（x）可求a n（2）由（1）可求，利用错位相减求和可求T n，结合其单调性可求T n的范围，然后由T n＜m（m∈Z）恒成立，可求满足题意的m的最小值解答：（本题满分14分）解：（1）由题意得，解得，…（3分）∴f（x）=log3（2x﹣1）∴…（6分）（2）由（1）得，∴①②两式相减可得=．∴，…（10分）设，则由得随n的增大而减小，T n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T n→3又T n＜m（m∈Z）恒成立，∴m min=3…（14分）点评：本题主要考查了利用已知函数解析式求解函数值及数列的错位相减求和方法的应用，数列的单调性在数列的取值范围求解中的应用．。

天津市南开中学2015届高三第三次月考试题（理）、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上, 每小题5分，共40分•） 某空间几何体的三视图如右图所示 A.180 B. 240 C. 276已知m, n 是两条不同直线是两个不同平面，给出四个命题：①若门：二 m,n 二：£, n _ m ,则： ②若，则〉// :③若 m 丨■■•、，n .l “,m _n,则-丨• ④若 m//「，n//： ,m//n ,贝// - 其中正确的命题是（）. A.②③B.①②C.②④D.①④3. 已知三棱柱ABC - AB 。

的侧棱与底面垂直，体积为9 ,底面是边长为,3的4 正三角形•若P 为底面A 1B 1C 1的中心，贝U PA 与平面ABC 所成角的大小为().‘2x -y-2 色0,4. 在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组丿x+2y-1兰0,所表示的区域上3x y _8 乞0,动点，则直线OM 斜率的最小值为（）.A.2B.1C.2 25.已知F 1和F 2分别是双曲线仔-占=1（a 0, b 0）的两个焦点，A 和B 是以 a bO 为圆心，以|OF 1 |为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F 2AB 是等边1.2. A.| B. C. D.D.,则该几何体的表面积为D. 300三角形，则该双曲线的离心率为().2爲=1(a ■ 0,b 0)的离心率为2,若抛物线 a b的连线交C i 于第一象限的点M .若G 在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近2 2 B.£ —136 272 2 c.z —127182 2D. 1—11898. 线，则A.1!16(). B.已知椭圆 、38 C.2、. 33 D.4、、332E:笃•爲=1(3 b 0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆 a b于A,B 两点。

若AB 的中点坐标为(1-1)，则E 的方程为().9. II 卷(将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效•)二、 填空题：(每小题5分，共30分.)已知数列曲的前n 项和S n 满足S n=2a n ・1N *，且a^1，则通项公式 10. 圆心在直线x-2y ，7=0上的圆C 与x 轴交于两点A(-2,0)、B(-4,0),则圆C 11. 的方程为 __________ . 在边长为2的菱形ABCD 中，• BAD =60, E 为CD 的中点,则 AE BD -12. -q二已知 cos(x -…)二… ,贝U cosx ■ cos(x )=6 3 313. 已知函数y =x 3-3x * c 的图象与X 轴恰有三个公共点,则实数C 的取值范围B. 、、3一1C . 31D. 26. 2已知双曲线C 1:笃7. C 2：X 2=2py(p 0)的焦点到双曲线G 的渐近线的距离为 2,则抛物线的方程).A. x 23B. x 216 3y C.x 2=8y D.3已知抛物线G :x 2p 0的焦点与双曲线C 2 :2p2「宀1的右焦点是 __________ .2 2X y14•点F 是椭圆E :1的左焦点，过点F 且倾斜角是锐角的直线I 与椭25 9圆E 交于A 、B 两点，若H AOB 的面积为9，则直线I 的斜率是2三、解答题：(15 —18每小题13分，19— 20每小题14分，共80分.) 15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2, 3, 4,5的5个红球与编号为1,2, 3,4的4个白球,从中任意取出3个球.(I )求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； (n )记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.16. 在二ABC 中，A, B,C 的对边分别为a,b,c,且a cosC, b cos B, c cos A 成等差数列.(I )求B 的值;(n )求 2sin 2A cos(A-C)的范围.17. 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD -底面 ABCD ,且 PA 二 PD 2 AD , E 、2(I )求证：EF //平面PAD ； (n )求证:平面PAB _平面PDC ; (川)在线段AB 上是否存在点G,使得 1面角C -PD -G 的余弦值为-？3若存在，求AG 的长度；若不存在，说明理由118. 已知函数 f (x) x 2_aln x (a 0).2(I )若a =2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;F 分别为PC 、 BD 的中点.C(n )求f (x)在区间［1,e］上的最小值；(川)若f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.119. 已知数列〈和的前n项和S n»a n-(—)n「2 (n N ),数列2b ［满足 0 =2n a「(I) 求证：数列 g 是等差数列，并求数列a /的通项公式；(II) 设数列L」La n的前n项和为T n，证明：N ■■且n_3时，T n;I n J 2n+1 (川)设数列｛羅满足a n(C n-3n)=(-1)n% n ,(九为非零常数，n乏屮)，问是否存在整数■，使得对任意n N，都有G“ .G ?120. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为-，它的一个顶点2恰好是抛物线x2尔3y的焦点.(I)求椭圆C的标准方程；(I)若A，B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设点P -4,0，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；(川)设O为坐标原点，在(I)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求OS OT的取值范围.参考答案15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号空别対1, 2亠4,5的5个红球与编号为1 2T3,4 的4介白球，从中任意职出3尘球，（I ）求取出的3介球颜色相同且编号是三个连续雾逊的概率；存E ）记X 为取出的？个球中踣号的最大倍L £的分布列肖数学期望"解：（I ）设"■取出的3个球颜色益同冃期号是三个苣期整数叩为事件扎则(n) X 的取值为2,3, 4,5.P(X=2) =曲+3血=1 '21，1 2 2 1 ,C 2C 4 C 2 C 4 4 P(X=3)=C ： =21P (X=4)=C；C "3C；C6=3 57P(X 丸)/1、.」.C ； 3所以X 1 85 X 的数学期望EX =2'3 4 4 3 5 ' •212173 2116.在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,b cosB,ccos A成等差数列.(i)求B 的值；(n)求2sin2A • cos(A-C)的范围.解：(i),- a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列，. acosC ccosA = 2bcosB .由正弦定理，得sin AcosC sin C cos A = 2sin B cos B ,即：sin (A C) =si n2B , . sin B =si n2B .又在AABC 中，B=2B或B+2B=JT, - B =—3 '(n) 丁B 二一，32 兀2 2 nA C . . 2sin A cos(A-C) = 1 -cos2A cos(2A )3 3=1-cos2A「lcos2A 一sin 2A=1 3 sin 2A「一cos2A = 1 亠、3sin(2 A )2 2 2 2 32兀兀兀J一n/ 0 ■ A , 2A sin(2 A ) _1 .3 3 3 2 3.2sin2A cos(A-C)的范围是(-扌,1 、3].1工如團，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD^边长为2的正方刑，侧面丄底面磁込半血&隔加P昭的中曲(I)求证；丽7/平面(II)求证:干面PAB L平面PW *(III)在线段肋上是否存在点G.伫得」二面角C-PD-G的余弦值为£ ?若存在.求的的长度；若不荐在*说明理由.(I)证明;连结占由已知"为血7中总亠第召页共2页护E 为PC 中点.•••在CPA 中，EF // PA且PA 平面PAD , EF 二平面PAD /. EF //平面PAD(n )证明：因为平面PAD _平面ABCD ,平面PAD | j 面ABCD 二ADABCD 为正方形，CD _ AD , CD 二平面ABCD 所以CD _平面PAD . ••• CD _ PA又PA 卫冷AD ,所以沖AD 是等腰直角三角形，且.APD ^，即PA 丄 PD .CD "PD =D ,且CD 、PD 面 PDCPA _ 面 PDC又 PA 二面 PAB ，•面 PAB _ 面 PDC(川)如图，取AD 的中点0 ,连结OP , OF •/ PA = PD , • P0 _ AD .•••侧面PAD _底面ABCD ,平面PAD -平面ABCD 二AD ,• P0 _ 平面 ABCD , 而0,F 分别为AD,BD 的中点，• OF //AB ,又 ABCD 是正方形，故 OF _ AD .以O 为原点，直线OA,OF ,OP 分别为x, y,z 轴建立空间直角坐标系 则有 A(1,0,0), D(-1,0,0) , P(0,0,1).1若在AB 上存在点G,使得二面角C - PD -G 的余弦值为—，连结PG,DG.3设 G(1a,0)(0 "乞 2).T由(n )知平面PDC 的法向量为PA=(1,0,-1).PA —辽AD, PA_PD ,OP=OA22AB 上存在点G(lg,0),使得二面角C -PD -G 的余弦值为-，此时AG 二丄. 3 21 218.已知函数 f(x) = ^x -alnx(a 0).(I )若a =2,求f (x)在(1,f (1))处的切线方程； (n )求f(x)在区间［1,e ］上的最小值;(川)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围.1 2 21 解:(I) a=2,f(x) x -2 In x, f'(x) = x , f'(1) =—1, f (1),2 x 21f (x)在(1, f ⑴)处的切线方程为y 〜2 = i x-1，即2x ，2y-3 = 0.设平面PGD 的法向量为n 二(x, y, z).•/ DP = (1,O,1),GD = (-2,—a,0)•••由 n DP = 0, n GD = 0 可得x 0 y z =02,令 x =1 ,则 y 二上，z =「1,-2 x - a y 0 z = 0a故 n =(1,一2,一1)a得，a =「 所以在线段2cos ：： n,二=〕，解3③若、、a _e,即a_e 2,在(1,e)上, f '(x) ：：： 0, f(x)在［1,e ］上单调递减 因此,在f x 区间［1,e ］上的最小值为j—,0 < a 兰1,21 21 2 2 e -a, a _ e . 22(川)由(n )可知当0：：：a 乞1或a_e 时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数 ，不可能存在两个零点.当1 ：：： a ::: e 2时,要使f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点,则工a eI 1 2即 1 2 ,此时，e ：：： a e .所以，a 的取值范围为 a e 2221 2(e,^e ).19.已知数列GJ 的前n 项和S^ -a n -(-)nJ- 2( n • N ”)，数列 g 满足b = 2na ..2(I)求证澈列 是等差数列，并求数列 的通项公式；(n)设数列-_La n 的前n 项和为人，证明：n N "且 n_3时，T n5n; I n J2n+1(川)设数列｛Q J 满足a n G -3n ) =(-1)n r n ,(扎为非零常数，n 壬N ),问是否存在 整数，，使得对任意 n• N "，都有c n d >c n .1 1解(I )在 S ^-a ^(-)n J - 2 中，令 n=1，可得 S 厂-a n -1 • 2 p ，即 a^ -11当 n _2 时，S nd= _and_ (广二 2,an= S n- S n 」二一a nan 」(严,22-2a n =a n 」 (1)nJL，即2na^2nJ a nj ' 1.2:b n=2na n ，・b n=b n 「1,即当 n - 2时，b n-b n 「1.又b^2a^1,-数列fb,是首项和公差均为1的等差数列. 于是 b n =1(n -1) 1 二 n =2n a n ,・ a .综上，f (x)min a 1 — I n a ,1 ：： a1-a(1 —1 n a) <0, 2«f(1)=： A0,2 1 2f (e) =— e -a >0,2(II)由(l )得51an 十%)n ，所以n11 1 1T n =2 — 3 (―)24 (—)3K (n 1)(—)n2 2 2 21111 1 Tn =2 (亍23 (；)34 (亍4K (n 1)( )n 12 2 2 2 21 11 1 1由①-②得一T n =1 • (-)2(-)3- K (—)n_(n 1)(-)n12 2 2 2 2十心严]1=1 4 2-(n 1)(')n11—122(n 3)(2n-2n-1)2n(2 n 1)证明如下：证法1: (1)当n=3时，由上验算显示成立。

天津市南开中学2015届高三第五次月考试题（文）第І卷（选择题共40分）一、 选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．!) 1. 设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则U P =ð（ ）A [0,1)(1,)+∞ B (,1)-∞ C (,1)(1,)-∞+∞ D (1,)+∞2. 命题“2,R x x x ∀∈≠”的否定是( )A ．2,R x x x ∀∉≠ B ．2,R x x x ∀∈= C ．2,R x x x ∃∉≠ D ．2,R x x x ∃∈= 3. 函数)2sin(x y -=π的图象（ ）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线2π=x 对称4. 方程lg 3x x +=的解所在区间为（ ）A (0,1)B (1,2)C (2,3)D (3,4)5. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32S =，66S =，则131415a a a ++的值是（ ）A ．18B ．28C ．32D ．1446. 执行程序框图，如果输入的t ∈[﹣1，3]，则输出的s 属于（ ）A ． [﹣3，4]B ． [﹣5，2]C ． [﹣4，3]D ． [﹣2，5]7. 已知双曲线2214x y -=的左右焦点为12F F 、，点P 为左支上一点，且满足1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积为（ ）AB C ． D ． 8. 如图，偶函数()f x 的图象如字母M ，奇函数()g x 的图象如字母N ，若方程(())0f f x =，(())0f g x =，的实根个数分别为,m n ，则m n +=（ ）A ． 18B ． 16C ． 14D ． 12第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．!) 9. 复数22ii+-（i 为虚数单位）的虚部为 ． 10. 若实数x ，y 满足约束条件430260x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则1y x +的最大值为 ．11. 一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是 ．12. 如图：⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分弧BC ，DE=2cm ，则AC=_____ ．13. 已知0,0>>b a ，)(2log log log 16129b a b a +==，则=ab． 14. 已知ABC ∆是边长为32的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆o 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则⋅的最小值为 .三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. (本小题满分13分)已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.16. (本小题满分13分)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：A BC D EO已知网购金额不超过3万元与超过3万元的人数比恰为3：2 （1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）．（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？17. (本小题满分13分)如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE//BC ，DC ⊥BC ，DE=21BC=2，AC=CD=3.（I ）证明：EO//平面ACD ；（II ）证明：平面ACD ⊥平面BCDE ； （III ）求三棱锥E —ABD 的体积.18. (本小题满分13分)设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知,11=a 12432432=++S S S . （Ⅰ）求⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅲ）当2≥n 时，λλ≥++nn a a 1恒成立，求λ的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值．20. (本小题满分14分)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<++-=)1(,ln 23)1(,)(23x x c x bx ax x x f 的图像在点))1(,1(--f 处的切线方程为035=++y x .（Ⅰ）求实数b a ,的值（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]2,1[-上的最大值；（Ⅲ）曲线)(x f y =上存在两点M 、N ，使得MON ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围.参考答案一、 选择题：（9）45（10）4 （11）2616+ （12）6 （13）31+ （14）-3三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+= =)42sin(2πω+x∵π=T 且0ω>， 故1,22==ωπωπ则 由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为216.值）∴n b 的最小值为3282=b ,328≤∴λ.19. （Ⅰ）由已知得=a ，又=c∴2224=-=b a c∴椭圆Γ的方程为141222=+y x（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ①∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．=．又由AB =，得231294-+=m ，解之2m =± 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点． 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=， ①当2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-． ②当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-． 综上所述，0x 的值为3-或1-．综上可知，当43ln 2c ≥-时，()f x 在[1,2]-上的最大值为2； 当43ln 2c ≤-时，()f x 在[1,2]-上的最大值为()32ln 22f c =-.（Ⅲ）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<++-=)1(,ln 23)1(,)(23x x c x bx ax x x f ，根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，(0)t >.若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角得，0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=，即4210t t -+=.此时无解；若1t ≥，则()3ln 2f t c t =-. 由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=，所以N 不可能在x 轴上，即1t ≠. 同理有0OM ON ⋅=，即()2323l n 02t t t c t ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，()2131ln c t t=-+, 由于函数()()2131ln g t t t =-+(1)t >的值域是(),0-∞，实数c 的取值范围是(),0-∞.。