天津市南开中学2015届高三第一次月考数学(理)试题

天津市南开中学2015届高三第一次月考

数学试卷（理科） 考试时间：120分钟

Ⅰ卷

一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡，每小题5分，共60分）

1. 设集合{}

419,A x x x R =-≥∈，0,3x B x

x R x ⎧

⎫

=≥∈⎨⎬+⎩⎭

，则A

B =( ).

A., (3,2)--

B. 5

(3,2][0,]2

-- C. 5(,3][)2-∞-+∞， D . 5

(,3)[)2

-∞-+∞，

2. 函数2

()ln(1)f x x x

=+-的零点所在的一个区间是（ ）.

A., (0,1) B . (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

3. 设奇函数()f x 在+∞（0，）上为增函数，且(1)=0f ，则不等式

()()

0f x f x x

--<的解集

为（ ）.

A., (1,0)(1,)-+∞

B. (,1)(0,1)-∞-

C. (,1)

(1,)-∞-+∞ D . (1,0)(0,1)-

4. 下面不等式成立的是（ ）.

A ., 322log 2log 3log 5<< B. 322log 2log 5log 3<< C. 232log 3log 2log 5<< D. 223log 3log 5log 2<< 5. 已知实数,x y 满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.

A.,

22

1111

x y >++ B. 22ln(1)ln(1)x y +>+ C. sin sin x y > D. 33

x y > 6. 若函数()y f x =的值域是1[,3]2

，则函数1

()()()

F x f x f x =+

的点值域是（ ）. A., 1[,3]2 B. 10[2,

]3 C. 510[,]23 D. 10[3,]3

7. 函数212

log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）.

A., 5

(,)2+∞ B. (3,

)+∞ C. 5(-,)2

∞ D . (-,2)∞

8. 在R 上定义的函数()f x 是偶函数，满足()=(8)f x f x -，且对任意的12,[0,4]x x ∈，

1212

()()

0f x f x x x ->-，则（ ）.

A., (18)(35)(5f f

f -<< B. (35)(18)(5f f f <-< C. (35)(57)(18)f f f <<- D. (57)(18)(3f f f

<-<

9. 直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）. A.,

B.

C. 2

D. 4

10. 设32:()2p f x x x mx =++在内(1,)-+∞单调递增，:1q m ≥，则p 是q 的（ ）. A ., 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 设函数121()log ()2x f x x =-，212

1()log ()2

x f x x =-的零点分别为12,x x ，则（ ）.

A ., 1201x x << B. 12=1x x C. 1212x x << D. 122x x ≥ 12. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）. A.,

)+∞ B. [2,)+∞ C. (0,2] D.

[,1][2,3]

-

Ⅱ卷（讲答案写在答题纸上，在试卷上作答无效） 二、填空题：（每小题5分，共30分）

13. 曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________.210x y -+= 14. 不等式211x x --<的解集是__________.(0,2)

15. 函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -的值为__________.0 16. 方程22

3x

x -+=的实数解的个数为__________.2

17. 函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线

10mx ny ++=上，其中0mn >，则

12

m n

+的最小值为__________.8 18. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在

(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为

__________.(-,1]∞

三、 解答题（每小题15分，共60分）

19. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。现从该箱中任取3个球（无放回，且每球取到的机会均等），记随机变量X 为取出3球所得分数之和。

（Ⅰ） 求X 的分布列； （Ⅱ） 求X 的数学期望()E X 。

解：（Ⅰ）由题可知X 的取值为：3、4、5、6.

35395(3)42C P x C ∴===; 21543

920

(4)42C C P x C ===; 12543915(5)42C C P x C ===; 343

92

(6)42

C P x C ===

（Ⅱ）所求X 的数学期望()E X 为：()=3+4+5+6=422114213

E X ⨯⨯⨯⨯

20. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠。

（Ⅰ） 若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为8y =，求,a b 的值； （Ⅱ） 求函数()f x 的单调区间与极值。 解：（Ⅰ）

3()3(0)f x x ax b a =-+≠ ∴2()33f x x a '=-。曲线()y f x =在点

(2,(2))f 处与直线8y =相切。(2)03(4)04

(2)086824f a a f a b b '=-==⎧⎧⎧∴

⇒⇒⎨⎨⎨

=-+==⎩⎩⎩

（Ⅱ）

2

2

()333()(0)f x x a x a a '=-=-≠，

当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点。 当0a >时，令()0f x '=，解得=x x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：