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任意角的三角函数三角函数是数学中一个非常重要的概念，它是用于描述三角形中角和边之间的关系的一种函数。
在传统的三角函数中，我们只考虑角的大小在0度到90度之间的情况，这被称为锐角三角函数。
但是，在现代数学中，我们也可以考虑角的大小在90度以上的情况，这就是任意角三角函数。
任意角三角函数是三角函数的推广，它可以应用于任意角度的三角形中，并且具有广泛的应用。
任意角三角函数通常使用弧度制来度量角度。
下面我们将介绍任意角三角函数中最常用的几种函数。
1. 正弦函数正弦函数是任意角三角函数中最简单和最基本的函数之一。
正弦函数的定义如下：sinθ = y/r其中，θ是角度，y是三角形中一个锐角顶点的垂直边长，r是这个锐角顶点到三角形外接圆心的距离。
正弦函数的值从-1到1，它刻画了一个角的正弦值与其对应的三角形中某一边长的比例关系。
如果一个角的正弦值为1，则这个角是90度；如果正弦值为0，则这个角是0度或180度。
2. 余弦函数余弦函数是另一个重要的任意角三角函数。
它的定义如下：cosθ = x/r其中，θ是角度，x是三角形中一个锐角顶点的水平边长，r是这个锐角顶点到三角形外接圆心的距离。
余弦函数的值也在-1到1之间。
它刻画了一个角的余弦值与其对应的三角形中某一边长的比例关系。
如果一个角的余弦值为1，则这个角是0度；如果余弦值为0，则这个角是90度或270度。
3. 正切函数正切函数是另一个常见的任意角三角函数。
它的定义如下：tanθ = y/x其中，θ是角度，y是三角形中一个锐角顶点的垂直边长，x是这个锐角顶点的水平边长。
正切函数的值可以是任意实数。
它刻画了一个角的正切值与其对应的三角形中垂直边长和水平边长的比例关系。
如果一个角的正切值为正无穷，则这个角是90度；如果正切值为负无穷，则这个角是270度。
4. 正割函数正割函数是余弦函数的倒数。
它的定义如下：secθ = 1/cosθ正割函数的值也可以是任意实数。
它刻画了一个角的正割值与其对应的三角形中水平边长与半径的比例关系。
第三课时： 任意角的三角函数（第3课时） 编写人：潘有金 审核人：张广泉 审批：苏自先 学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式；2.能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明。
预 习 案一、教材助读认真阅读课本P 18 -P 20 ,完成下列问题同角三角函数的基本关系式：———————————————；———————————————二、预习自测（牛刀小试）1.已知sin α=15,且α为锐角，则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 52. 已知sin α=15,则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 53.已知cos α=45-,求sin α、tan α的值4.化简下列各式：（1）cos θ·tan θ;(2)222cos 112sin αα--;5.求证：（1）sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 2α;(2) sin 4α+ sin 2α·cos 2α+cos 2α=1.三、我的疑惑在下面记下预习中的困惑在课上和同学讨论或向老师请教第三课时： 任意角的三角函数（第3课时）导 学 案一、学始于疑同学们首先认真独立思考如下问题 问题：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，我们能不能利用单位圆的性质，讨论同一个角的不同三角函数之间的关系？二、质疑探究小组内讨论上述问题，准备展示，将组内不能解决的问题用小纸 条交给老师探究 同角三角函数的基本关系式三、拓展提升例1. 已知sin α=35-,求cos α,tan α的值。
例2.已知tan α=125-,2παπ<<，求sin α，cos α的值。
例3.已知tan α=125-,求sin α，cos α的值。
例4.已知tan α=-2，求下列各式的值： ⑴sin 2cos 2sin 3cos αααα+-； ⑵2sin sin cos ααα+例5.证明：cos 1sin 1sin cos x x x x +=-例6.化简下列各式：⑴（1+tan 2α）·cos 2α;α在第三象限）四、课堂小结将本节课我们学习了如下知识和方法填入下表中五、课堂检测（见多媒体）第三课时： 任意角的三角函数（第3课时）固 学 案让我们独立完成如下问题，以巩固我们的所学1.已知sin α=45,α∈(2π,π),则tan α=( )A.43-B.43C.±43 D. ±342.已知sin α=45,α∈(0,π),则tan α=( )A.43- B.43 C.±43 D. ±343.已知tan α=34,α∈(π,32π),则cos α=( )A. ±45 B. 45 C. 45- D. 354.下列等式中，不成立．．．的是（ ）A.222tan sin 1tan ααα=+ B. 221cos 1tan αα=+C.4422sin cos sin cos αααα-=-D. sin α= 5. 已知tan α=34-,求sin α、cos α的值。
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（3）学习目的：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.课堂探究：一、复习引入：1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.2.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan53. .x 取什么值时,x xx tan cos sin +有意义?4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<06． 已知θ是第三象限角且02cos<ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 二、讲解新课：1、求下列函数的定义域：（1）y =（2）2lg(34sin )y x =- 2、已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)cos(sin θ)的符号；（2）若tan(cos θ)cot(sin θ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出2θ的取值范围. 4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ 证明：必要性：∵θ是第三象限角，∴⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ充分性：∵sin θ＜0，∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上∵tan θ＞0，∴θ是第一或第三象限角.∵sin θ＜0，tan θ＞0都成立.∴θ为第三象限角.5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．三、巩固与练习1 求函数cos sin tan |cot ||sin |cos tan cot xxxx y x x x x =+++的值域2 设α是第二象限的角，且|cos|cos ,222ααα=-求的范围.四、小 结： 五、课后作业：1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：(1) sin α<cos α; (2) |sin α|<|cos α| .2、0,sin tan .2x x x x π<<<<若求证：3、角α的终边上的点P 与A （a,b ）关于x 轴对称(0)ab ≠，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y=x 对称.求sin αesc β+tan αcot β+sec αcsc β的值.。
三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22yx r +=，正弦：r y =αsin 余弦：rx =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：xr =αsec余割：yr =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
