正态分布与参数估计共30页文档

( B) A．95.45%
B．99.73%
C．4.55%
D．0.27%
【解析】由 X～N(－2，14)，知 μ＝－2，σ＝21，
∴P(－3.5<X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5<X≤－2＋3×0.5)
＝0.997 3.
3．已知正态分布总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率 和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值 为________． 【解析】区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线 x＝1 对称， 所以均值 μ 为 1. 【答案】1
课堂检测
1．下列函数可以作为正态分布密度函数的是 ( A )
A．f(x)＝
( x1)2
1e 2 2π
B．f(x)＝σ
1
( xu)2
e 2 2
2π
C．f(x)＝
1
e
(
x u )2 2 2
2πσ
D．f(x)＝21π
e
(
xu 2π
)2
2．若 X～N(－2，41)，则 X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是
归纳领悟 1．在正态分布 X～N(μ，σ2)中，μ 就是随机变量 X 的均值，σ2 就是随机变量 X 的方差，它们分别反映 X 取值的平均大小和 稳定程度． 2．正态密度曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
(3)曲线在
x＝μ
处达到峰值 σ
课堂小结 1.知识清单： (1)正态曲线及其特点. (2)正态分布. (3)正态分布的应用，3σ原则. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价.
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正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。

第三节
参数估计
参数估计就是用样本统计量来推算总体参 数，有点估计和区间估计两种方法。 一、参数估计的理论基础 按正态分布理论对参数进行估计。 正态分布的主要特征有： 1.以总体平均数为中心两侧呈对称分布，即 1.以总体平均数为中心两侧呈对称分布，即 样本平均数大于或小于总体平均数的概率完全相 等，就是说样本平均数的正离差与负离差出现的 可能性完全相等。
2.样本平均数越接近总体平均数，其出现的 2.样本平均数越接近总体平均数，其出现的 可能性越大；反之样本平均数越远离总体平均数， 其出现的可能性越小。这种可能性数学上称为概 率F(t),也就是可靠性。与概率对应的数值称为 ),也就是可靠性。与概率对应的数值称为 概率度，即抽样误差扩大的倍数，用字母t表示。 概率F(t)与概率度t 的对应函数关系如图4-2所 的对应函数关系如图4 示。
30
f x
25 20
( )
15
10
5
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-3t
x 3 x 2
-2t
x
-1t
0 68.27% 95.45% 99.73% F(t)
X
x + x + 2
1t
2t
x + 3
3t
图4 - 2
正态分布概率图
图4-2显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1μ的 显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1 概率为0.6827,不超过2 的概率为0.9545,不超过3 概率为0.6827,不超过2μ的概率为0.9545,不超过3μ的概率为 0.9973。即： 0.9973。即： 当t =1时，F(t) = 0.6827 =1时， 当t =2时，F(t) = 0.9545 =2时， 当t =3时，F(t) = 0.9973 =3时， 概率度t与概率F(t)的对应关系是：概率F(t)越大，则概率 度t值越大，估计的可靠性越高，样本统计量与总体参数之间正 负离差的变动范围也越大。对于t每取一个值，概率保证程度F(t) 有一个唯一确定的值与之对应。因此人们制定正态分布概率表 有一个唯一确定的值与之对应。因此人们制定正态分布概率表 （见书后附页）供大家查找。

或表达为
定X (2) X ,, X f x (2) 0 r 1 p 2





的条件下，
f x | x
(1)
(2)

f 2 x (2)
12
f x
4、独立性
设 X 1 , X 2 , , X p 是 p 个随机变量, Xi的分布函数记为 Fi(xi)
(i=1,2,…,p); F ( x1 , x2 ,, x p ) 是 ( X 1 , X 2 ,, X p ) ' 的联合分布
C OV X , Y X D X D D Y Y C OV Y , X
21
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随 机 向 量
三﹑ 协方差阵的性质 (1) 设X,Y为随机向量(矩阵） D(AX+b)=A· D(X)· A' COV(AX,BY)=A· COV(X,Y)· B'
17
2、协方差矩阵
协方差定义为
Cov X , Y E ( X E ( X ))(Y E (Y ))
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若Cov(X,Y)=0，则称X和Y不相关。 两个独立的随机变量必然不相关，但两个不相关的 随机变量未必独立。 当X=Y时，协方差即为方差，也就是
Cov X , X Var X D ( X ) 和Y Y ,Y ,,Y X X 1 , X 2 ,, X p 1 2 q 的协方差矩
19
X和Y的协方差矩阵与Y和X的协差阵互为转置关系，即有 若COV(X,Y)=0，则称X和Y不相关。 两个独立的随机向量必然不相关，但两个不相关的随机向量未必独 立。 X=Y时的协差阵COV(X,X)称为X的协差阵，记作D(X)，即

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应用统计方法
22
2、性质 1） 设为常数，则 E (a X )a(E X )； 2）设 A,B,C 分别为常数矩阵，则
E ( A C X ) A E ( X B ) B C
3）设 X 1,X 2, ,X n为 n个同阶矩阵，则
E ( X 1 X 2 X n ) E X 1 E X 2 E X n
对一切 x、y成立，则称 x和 y相互独立。
2、设 x和 y是两个连续随机向量， x和 y相互
独立，当且仅当
f(x|y)fx(x)或 F (x ,y ) F x(x )F y(y )
对一切
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x
、y
成立。 应用统计方法
19
3、设 x1,x2, ,xn是 n个随机向量，若
F ( x 1 , x 2 , , x m ) F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) F m ( x m ) mn
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应用统计方法
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二、协方差矩阵
1、定义：设 x (x 1 ,x2, ,xp)和 y (y 1 ,y2, ,y q)分 别为 p维和 q维随机向量，则其协方差矩阵为
Exx2 1 E E ((xx1 2))y1E(y1)
y2E(y2) yqE(yq)
降的右连续函数；
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应用统计方法
4
② 分布函数的取值范围为[0，1]，即
0F(a1,a2, ,ap)1
③ 分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，即
F(,, ,)1
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应用统计方法
5
二、两个常用的离散多元分布

双侧 P/2×100~P(1- /2) ×100 单侧 < P(1-)×100 或 > P×100 • 双侧95%参考值范围: P2.5~P97.5 • 单侧95%参考值范围：<P95 或 >P5
整理课件
23
3.对数正态分布法(适于对数正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 :lg-1(xlgx±uslgx) 单侧 :< lg-1(xlgx+uslgx)
整理课件
25
• 例2：某市1974年为了解该地居民发汞的 基础水平，调查了留住该市一年以上，
无汞作业接触史的健康居民238人的发汞 含量如下表，试估计该市居民发汞值的
95%参考值范围。
• 发汞值的分布为偏态分布，过高为不正
常，故求单侧95%的上限，用百分位数
法，即求P95
整理课件
26
某市238名健康人发汞含量
整理课件
11
如：区间(2.58，∞)的面积=(-2.58)=0.005 区间(- ∞，2.58)的面积= (2.58)=1- (-2.58) P(︱u︱>1.96)=2 (-1.96)=0.05 P(︱u︱﹤2.58)=(+2.58)- (-2.58)=0.99 P(u<-1.645 或 u>1.645)= (-1.645)=0.05 P(u<-1 或 u>1)= (-1)=0.1587
整理课件
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/2
/2
-u 0
u
+u
常用的u值 单侧
-u 0
双侧
u0.1
1.282
1.645
u0.05
1.645
1.96
u0.01
2.33

a
1-α
2
x
b
2
(n)
2
iii)
n
P{
i 1
( Xi )2
2
(
n)
2
n i 1
( Xi )2 2 (n)
} 1
1-
2
2
σ2 的置信度 为1α 置信区间为
n i 1
( Xi )2
2
(n)
2
n
，
i 1
( Xi )2
2 1-
(n)
2
(4)
例1 ：某厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 N( 2), 现
(U0.025 1.96, x 14.95, n 6; s 0.226, s2 0.051,
t0.025
(5)
2.5706,
2 0.025
(5)
12.833
,
2 0975
(5)
0.831)
1) 若 2 = 0.06, 求 的置信度为 95% 的置信区间
解
U n( X ) ~ N (0,1)
从某天的产品中随机抽取 6 件, 测得直径为 15.1, 14.8, 15.2, 14.9, 14.6,15.1, 求解以下问题：
1) 若 2 = 0.06, 求 的置信度为 95% 的置信区间;
2) 若 2 未知,求 的置信度为 95% 的置信区间;
3) 求方差 2的置信度为 95% 的置信区间.
解
2
(n 1)S 2
2
~ 2 (n 1)
(n 1)S 2
2
(n
1)2ຫໍສະໝຸດ ,(n 1)S 2
2 1
(n
1)
2

总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
THANKS
感谢观看
实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。

第二章多元正态分布及参数的估计在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要的地位.这是因为许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态分布;当样本量很大时,许多统计量的极限分布往往和正态分布有关;此外,对多元正态分布,理论与实践都比较成熟,已有一整套行之有效的统计推断方法.基于这些理由,我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参数的估计问题.目录§2.1 随机向量§2.2 多元正态分布的定义与基本性质§2.3 条件分布和独立性§2.4 多元正态分布的参数估计§2.1 随机向量本课程所讨论的是多变量总体.把p个随机变量放在一起得X=(X1,X2,…,Xp)′为一个p维随机向量,如果同时对p维总体进行一次观测,得一个样品为p维数据.常把n个样品排成一个n×p矩阵,称为样本资料阵.⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()2()1(212222111211n np n n p p X X X x x x x x x x x x X def=(X 1,X 2,…,X p )其中 X(i)( i =1,…,n)是来自p 维总体的一个样品.在多元统计分析中涉及到的都是随机向量,或是多个随机向量放在一起组成的随机矩阵.本节有关随机向量的一些概念(联合分布,边缘分布,条件分布,独立性;X 的均值向量,X 的协差阵和相关阵,X 与Y 的协差阵)要求大家自已复习.三﹑ 均值向量和协方差阵的性质 (1) 设X ,Y 为随机向量,A ,B 为常数阵,则E(AX )=A·E(X )，E(AXB )=A·E(X )·BD(AX)=A·D(X)·A' COV(AX,BY)=A·COV(X,Y)·B'(2) 若X,Y 相互独立,则COV(X,Y)=O;反之不成立. 若COV(X,Y)=O,我们称X 与Y 不相关.故有: 两随机向量若相互独立,则必不相关;两随机向量若不相关,则未必相互独立.(3) 随机向量X=(X1,X2,…,Xp)′的协差阵D(X)=∑是对称非负定阵.即 ∑=∑´ , α´ ∑α≥0 (α为任给的p 维常量).(4) Σ=L 2 ,其中L 为非负定阵.由于Σ≥0(非负定),利用线性代数中实对称阵的对角化定理，存在正交阵Γ,使LL pp•=Γ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ•Γ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=∑'0'0011λλλλ.0,1≥'=Γ'⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=L L L OOL p故，其中λλ当矩阵Σ>0(正定)时，矩阵L 也称为Σ的平方根矩阵，记为21∑.当矩阵Σ>0(正定)时,必有p ×p 非退化矩阵A 使得 Σ=AA ′.1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=pOOA λλ其中若Σ≥0(非负定),必有p ×q矩阵1A 使得Σ=11A A ′).(111p q OOA q≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=λλ其中这里记Γ=(Γ1 | Γ2) , Γ1为p ×q 列正交阵(p ≥ q ).并设：.0,,0),,,1(01===>+p q i q i λλλ§2.2 多元正态分布的定义在一元统计中，若U ～N(0,1),则U 的任意线性变换X=σU +μ～N(μ,2σ)。

检验问题
H 0：? ? ? 0，H 1：? ? ? 0
令F
?
n (n ? p
p)( X
?
? 0 )T S ?1 ( X
?
? 0 ),
则可以证
明当 H 0 成立时，即 ? ? ? 0时，F ～ F ( p, n ? p)
而当
H
不成立时，
0
F
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ? ，当
F
?
n (n ?
?
?
)T V
?1(X
?
?
)?? ?
则称随机向量 X 为 p维正态随机向量，其中 ?
称为均值向量，V 为协方差矩阵(协差阵)，且
V ? 0. 对于一般情形V ? 0, 仍可定义多维正
态随机向量， 记为X ～ N p(? ,V )。 当 V ? 0时，
X有前面的密度表示，而当 |V |? 0 时， X 的分 布是退化的正态分布。
且相互独立， 故 ? 2 ? 分布的定义知 Y TY ～ ? 2 ( p).
二、参数的估计
在此给出多元正态分布的参数 ? 和V的估
计。为简单计，仅考虑 V ? 0 的情形。 设 X 1, X 2 ,? , X n (n ? p) 是来自多元正态总
体 N p (? ,V )的简单样本，令
? X
?
1 n
Y ～N p ( A? ? b, AVA T ).
（4） X 为 p 维正态随机向量的充要条件为对任
一 p维向量c， cT X 是一维正态随机变量。
（5）
设X
?
(
X
T 1
,
X
T 2
)T
为多维正态随机向量，

F 1, , p 1
ap X p
第21页/共68页
二、偏相关系数
• 将X, Σ(>0)剖分如下：
X
X1
X
2
k p
, k
Σ
Σ11 Σ 21
Σ12 k
Σ22
p
k
k pk
称
Σ11
2
Σ11
Σ12
Σ 1 22
Σ21
为给定X2时X1的偏协
方差矩阵Σ11。2 记 ij k1, , p
而ρij∙k+1,⋯,p同时也度量了在Xk+1, ⋯,Xp值给定的条件 下Xi和Xj间相关关系的强弱。
第23页/共68页
§3.5X 和(n − 1)S2的抽样分布 • 一、X 的抽样分布 • 二、 (n − 1)S的抽样分布
第32页/共68页
一、X 的抽样分布
1.正态总体
设X~Np (μ, Σ), Σ>0 ，X1,X2, ⋯,Xn是从总体X中抽取 的一个样本，则
分布仍是（多元）正态的。
例5 设X~N3(μ, Σ)，其中
1
16 4 2
μ
0 2
,
Σ
4 2
4 1
41
试
求
给
定
X
1
+
2
X
3时
X
2
X1
X
3
的条件分布。
第18页/共68页
§2.3 复相关系数和偏相关系 数
• 一、复相关系数 • 二、偏相关系数
第19页/共68页
一、复相关系数
•相 关 系 数 度 量 了 一 个 随 机 变 量 x 1 与 另 一 个 随 机 变 量 x2之间线性关系的强弱。 •复 相 关 系 数 度 量 了 一 个 随 机 变 量 X 1 与 一 组 随 机 变 量 X2, ⋯,Xp之间线性关系的强弱。

正态分布N (μ,σ)参数区间估计允许μ为任意的实数,σ为任意的正实数。

基于Wolfram Mathematica ,给出了正态分布N (μ,σ)抽样定理,从而得到参数μ,σ2,σ的区间估计。

在σ已知和未知情形下,通过均值分布、中位值分布、卡方分布三种方法估计总体均值μ,区间长度均值分布最短,卡方分布次之,中位值分布最长,但当样本量n 较大时,区间长度趋于接近。

在μ已知和未知情形下,通过卡方分布可以估计总体方差的置信区间,通过卡分布、卡方分布可以估计总体标准差的置信区间。

最后给出不同情形下不同方法的MMA 程序及运行结果。

◼抽样分布定理引理1：X Ν(μ,σ)⇔X -μσΝ 0,1 .转换分布TransformedDistributionX -μσ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]转换分布TransformedDistribution [μ+X σ,X 正态分布NormalDistribution [],假设Assumptions →σ>0]NormalDistribution [μ,σ]引理2:X χ(ν)⇔X 2 χ2(ν).转换分布TransformedDistribution X 2,X 卡分布ChiDistribution [ν]ChiSquareDistribution [ν]转换分布TransformedDistribution X ,X 卡方分布ChiSquareDistribution [ν]ChiDistribution [ν]引理3:X Ν 0,1 ,Y χ2(n )⇒Xt (n ).=转换分布TransformedDistributionX,{X 正态分布NormalDistribution [],Y 卡方分布ChiSquareDistribution [n ]} ;概率密度函数PDF [ ,x ]==⋯PDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],x ]//幂展开PowerExpand //完全简化FullSimplify [#,n >0&&x ≠0]&True定理1：X i Ν(μ,σ)⇒X -Νμ,σn⇔X --μσnΝ 0,1 .CharacteristicFunction NormalDistribution [μ,σ],t nn;特征函数CharacteristicFunction 正态分布NormalDistribution μ,σn,t ;%⩵%%//完全简化FullSimplify [#,n >0&&n ∈整数域Integers ]&True定理2：X i Ν(μ,σ)⇒ i =1nX i -μσ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )⇔σχ(n ).转换分布TransformedDistributionX [i ]-μσ,X [i ] 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]n =7;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }]ChiSquareDistribution [7]定理3:X i Ν(μ,σ)⇒(n -1)S 2σ2χ2 n -1⇔σχ n -1 .令Y i =X i -μσ,则(n -1)S 2σ2=i =1n2=i =1n-= i =1nY i -Y 2= i =1nY i 2-2Y Y i +Y 2= i =1nY i 2-2Y i =1nY i +n Y 2= i =1nY i 2-n Y 2χ2n -1 ⇒σχ n -1 .2 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbn =n0=35;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2-1ni =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }] ;Block {n =n0},显示Show 直方图Histogram 伪随机变数RandomVariate ,2×106 ,500,"概率密度函数PDF" ,绘图Plot [⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [n -1],x ],{x,5,65},绘图样式PlotStyle →粗Thick ]定理4:X i Ν(μ,σ)⇒X --μSnt n -1 .根据定理1,得X iΝ(μ,σ)⇒X --μσnΝ 0,1 ,根据定理3,得(n -1)S 2σ2χ2 n -1 ,根据引理3,X --μσn=X --μSnt n -1 .定理5：F Xn +12=正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n2,1+n 2,n =2k +1.次序分布OrderDistribution {正态分布NormalDistribution [μ,σ],n },n +12;累积分布函数CDF [%,x ]//完全简化FullSimplifyBetaRegularized 12Erfc ,1+n 2,1+n 2推论：μ=x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2.In[2]:=解方程Solve 正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n 2,1+n 2⩵q,μOut[2]=μ→x +2σInverseErfc 2InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2定理6：-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σχ2 2n .正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb3In[5]:=转换分布TransformedDistribution -2对数Log12补余误差函数Erfc-X +μ2σ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ] ;概率密度函数PDF [%,x ]⩵⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [2],x ]//完全简化FullSimplify [#,x >0]&Out[6]=True**参数区间估计**In[7]:=需要Needs ["HypothesisTesting`"]μ0=20;σ0=3;X =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ0,σ0],10001];n =长度Length [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];α=0.01;"参数的极大似然估计:"清除Clear [μ,σ]{μ1,σ1}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [X,正态分布NormalDistribution [μ,σ]]"一、总体均值μ的区间估计""(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知"σ=σ0;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];"1.计算法"Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ2,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m "(二)均值分布T =X -μSnt (n -1)——σ未知""1.计算法"Sw =S n ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 学生t 分布StudentTDistribution [n -1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }4 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"2.MeanCI"MeanCI [X,KnownVariance →无None,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"3.StudentTCI"StudentTCI [m ,Sw ,n -2,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(三)均值近似分布U =X --μσn~Ｎ[0,1]——σ未知""1.计算法"σ=σ1;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ12,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(四)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ已知""1.等尾区间："σ=σ0;x =中位数Median [X ];μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL "(五)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ未知""1.等尾区间："σ=σ1;x =中位数Median [X ];正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb5中位数μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(六)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——σ已知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(七)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ ]]~χ2(2n )——σ未知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"6 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbr =2L μU +μL"二、总体方差σ2的区间估计""(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )——μ已知"μ=μ0;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2χ2(n -1)——μ未知"T = n -1 S 2;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知"μ=μ1;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU"三、总体标准差σ的区间估计""(一)卡分布χ(n )——μ已知"μ=μ0;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb7QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(二)卡分布χ(n -1)——μ未知"T =n -1S;F =卡分布ChiDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(三)卡分布χχ(n )——μ未知"μ=μ1;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(四)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ已知"清除Clear [σ]μ=μ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }8 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU"(五)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ未知"清除Clear [σ]μ=μ1;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σUOut[11]=参数的极大似然估计:Out[13]={19.9803,3.00134}Out[14]=一、总体均值μ的区间估计Out[15]=(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知Out[17]=1.计算法Out[19]={19.9031,20.0576}Out[20]=2.MeanCIOut[21]={19.9031,20.0576}Out[22]=3.NormalCIOut[23]={19.9031,20.0576}Out[24]=区间长度：Out[25]=0.154542Out[26]=相对区间长度:Out[27]=0.00773471Out[28]=(二)均值分布T =X -μSn t (n -1)——σ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb9Out[29]= 1.计算法Out[32]={19.903,20.0577} Out[33]= 2.MeanCIOut[34]={19.903,20.0577} Out[35]= 3.StudentTCIOut[36]={19.903,20.0577} Out[37]=区间长度：Out[38]=0.154648Out[39]=相对区间长度:Out[40]=0.00774003Out[41]=(三)均值近似分布U=X--μσ n~Ｎ[0,1]——σ未知Out[42]= 1.计算法Out[45]={19.903,20.0576} Out[46]= 2.MeanCIOut[47]={19.903,20.0576} Out[48]= 3.NormalCIOut[49]={19.903,20.0576} Out[50]=区间长度：Out[51]=0.154611Out[52]=相对区间长度:Out[53]=0.00773817Out[54]=(四)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ已知Out[55]= 1.等尾区间：Out[59]={19.8529,20.0466} Out[60]=等尾区间长度：Out[61]=0.193686Out[62]=相对区间长度:Out[63]=0.00970872Out[64]=(五)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ未知Out[65]= 1.等尾区间：Out[69]={19.8529,20.0466}Out[70]=等尾区间长度：10正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[71]=0.193773Out[72]=相对区间长度:Out[73]=0.00971306Out[74]=(六)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ已知Out[78]={19.9015,20.0722}Out[79]=等尾区间长度：Out[80]=0.170753Out[81]=相对区间长度:Out[82]=0.00854324Out[83]=(七)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ未知Out[87]={19.9015,20.0722}Out[88]=等尾区间长度：Out[89]=0.170753Out[90]=相对区间长度:Out[91]=0.00854324Out[92]=二、总体方差σ2的区间估计Out[93]=(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2 χ2(n )——μ已知Out[95]= 1.等尾区间：Out[98]={8.68869,9.34535}Out[99]=等尾区间长度：Out[100]=0.656658Out[101]=相对区间长度:Out[102]=0.0728243Out[103]=(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2 χ2(n -1)——μ未知Out[105]= 1.等尾区间：Out[108]={8.68917,9.3459}Out[109]=等尾区间长度：Out[110]=0.656728Out[111]=相对区间长度:Out[112]=0.0728279Out[113]=(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 11Out[115]= 1.等尾区间：Out[118]={8.68832,9.34495}Out[119]=等尾区间长度：Out[120]=0.65663Out[121]=相对区间长度:Out[122]=0.0728243Out[123]=三、总体标准差σ的区间估计Out[124]=(一)卡分布χ(n )——μ已知Out[126]= 1.等尾区间：Out[129]={2.94766,3.05702}Out[130]=等尾区间长度：Out[131]=0.109358Out[132]=相对区间长度:Out[133]=0.0364242Out[134]=(二)卡分布χ(n -1)——μ未知Out[136]= 1.等尾区间：Out[139]={2.94774,3.05711}Out[140]=等尾区间长度：Out[141]=0.109366Out[142]=相对区间长度:Out[143]=0.0364261Out[144]=(三)卡分布χχ(n )——μ未知Out[146]= 1.等尾区间：Out[149]={2.9476,3.05695}Out[150]=等尾区间长度：Out[151]=0.109355Out[152]=相对区间长度:Out[153]=0.0364242Out[154]=(四)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ已知Out[158]={2.89486,3.15965}Out[159]=等尾区间长度：12 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[160]=0.264793Out[161]=相对区间长度:Out[162]=0.0874698Out[163]=(五)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ未知Out[167]={2.86679,3.12718}Out[168]=等尾区间长度：Out[169]=0.260386Out[170]=相对区间长度:Out[171]=0.0868828正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 13。

第二章 多元正态分布的参数估计
第一节 引言 第二节 基本概念 第三节 多元正态分布 第四节 多元正态分布的参数估计 第五节 多元正态分布参数估计的
实例与计算机实现
第一节 引言
多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一 起组成的随机矩阵。例如在研究公司的运营情况时，要考虑 公司的获利能力、资金周转能力、竞争能力以及偿债能力等 财务指标；又如在研究国家财政收入时，税收收入、企业收 入、债务收入、国家能源交通重点建设基金收入、基本建设 贷款归还收入、国家预算调节基金收入、其他收入等都是需 要同时考察的指标。
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变量 序号
1 2
表 2.1 数据
X1
X2
X 11
X 12
X 21
X 22
n
X n1
X n2
在这里横看表 2.1，记为
X ( ) ( X1, X 2 , , X p ) ， 1, 2, , n 表示第 个样品的观测值。竖看表 2.1，第 j 列
X j ( X1 j , X 2 j , , X nj ) ， j 1, 2, , p
k
型随机变量，称 P( X xk ) pk ，(k 1, 2, ) 为 X 的概率分 布。设 X ~ F(x) ，若存在一个非负函数 f (x) ，使得一切实数
x
x 有： F(x) f (t)dt ，则称 f (x) 为 X 的分布密度函数，

简称为密度函数。
8
一个函数 f (x) 能作为某个随机变量 X 的分布密度函数的
显然，如果我们只研究一个指标或是将这些指标割裂开分别 研究，是不能从整体上把握研究问题的实质的，解决这些问 题就需要多元统计分析方法。为了更好的探讨这些问题，本 章我们首先论述有关随机向量的基本概念和性质。

50
1、条件分析：总体分布为正态，且总体方差已 知，用正态法进行估计。 2、计算标准误 3、确定置信水平为0.95，查表得
51
4、计算置信区间 D=0.95时 D=0.99时
52
解释：总体均数μ落在75.61-84.39之间的可 能性为95%，超出这一范围的可能只有5%。而 作出总体μ落在74.22-85.78之间结论时的正 确概率为99%，犯错误的可能性为1%。
38
( 二)、 分布法， 未知 1、前提条件： 总体正态分布， n不论大小，
2、使用 t分布统计量
D=0.95时 D=0.99时
39
例：总体正态， 未知，
，
，
，
，
平均数0.95的置信区间是多少？
，
，试问总体
40
解： 1、条件分析：总体正态， 未知，
小
于30，只能用 分布
2、计算标准误
3、计算自由度
9
一、点估计
(一)意义 含义：直接用样本统计量的值作为总体参数的估 计值 无偏估计量：恰好等于相应总体参数的统计量。
例8-1；假设某市六岁男童平均身高110.7cm,随机 抽取113人测得平均身高110.70cm.总体的平均数, 标准差是多少
10
(二)良好点估计的条件
无偏性： 一致性： 有效性： 无偏估计量的变异性问题。
47
1 、条件分析：总体分布为非正态， 未知， ＞30，只能用近似正态估计法。
2、计算标准误
3、确定置信水平为0.95，查表得
48
4、计算置信区间
5、结果解释：该校的平均成绩有95%的可能落 在50.2~54.0之间。
49
课堂练习
已知某总体为正态分布，其总体标准差为10。 现从这个总体中随机抽取n1=20的样本，其平 均数分别80。试问总体参数μ在0.95和0.99的 置信区间是多少。

曲线越‘瘦高’。
形态参数
F(X) 1
(X)2
X
e
d (22) X
2
① X 轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 或 100%；
② 区间 的面积为 68.27%；
f(X)
③ 区间 1.96 的面积为 95.00%；
④ 区间 2.58 的面积为 99.00%。
X
正态分布
-6
-5
-4
-3
-2
A、Z符合正态分布，且均数不变 B、Z符合正态分布，且标准差不变 C、Z符合正态分布，且均数和标准差都不变 D、Z符合正态分布，但均数和标准差都改变 E、Z不符合正态分布
某市250名10岁男孩体重有95%的人在18到 30kg范围内，由此可推知此250名男孩体重 的标准差大约为：
A、2kg
B、2.326kg
1.2410
1.2530
1.2650
1.2770
频数分布：中间频数多，两端越来越少，且左右大致对称
图 2-4 频 数 分 布 逐 渐 接 近 正 态 分 布 示 意
正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布
一、数学形式
f (X)
1
exp ,
(
X )2 2 2
X
2
＝3.14159，exp是以2.72818为底的自然对数
X uZ S （下限）
双侧95%正常值范围： X 1.96S 单侧95%正常值范围： X 1.64S (上限 )
X 1.64 S （下限）
适用于正态或近似分布资料
2. 百分位数法 适用于偏态分布资料
双侧：pα/2～p(1- α/2) 单侧上限：p(1- α) 单侧下限： pα 双侧95%正常值范围： P2.5～P97.5 单侧95%正常值范围： < P95（上限）

5.13 4.63 5.32 5.05 5.46 4.67 4.75 5.23 4.58 5.61 4.68 4.53 4.64
4.43 4.94 4.54 4.13 4.53 4.43 4.96 4.78 4.99 4.87 4.63 4.70 5.19
4.81 4.33 4.68 5.07 4.74 4.57 5.04 5.20 4.31 5.04 4.40 4.80
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023
……
……
……
……
……
-2.0 0.0028 0.0222 0.0217 0.0212
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268
……
……
……
……
……
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483
e 2 du
2
附表1（P322）
就是根据此公式
和图形制定的
F(X ) 1
(X )2
X
e
(2 2 )dX
2
曲线下面积 p225 附表1
附表 1 标准正态曲线下面积 （-u）
u
0.00
0.01
0.02
0.03
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012
x 1.96s 537.8 1.96 43.9 451.8
x 1.96s 537.8 1.96 43.9 623.8
本次课小结
掌握内容 1 正态分布的特征 2 正态分布曲线下面积分布规律 3 正态分布的标准化变换 4 参考值范围估计的概念及计算

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N（µ,σ2）
（µ,σ2）
n
n
x
N (µ x ,σ )
2 x
x
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中心极限定理 (Central Limit Theorem)
从正态总体N（µ,σ2）中，随机抽取例数为 n的样本，样本均数 也服从正态分布，即使 x 是从偏态总体中抽样，当n足够大时，样本 均数的分布仍然服从正态分布，样本均数的 µ 均数 µ x =，标准差为 σ x 。
正态曲线下的面积分布有一定的规律。
4
正态曲线下面积的分布规律
横轴上的一定区间的面积占总面积的百分数，用 以估计该区间的例数占总例数的百分数（频率分 布），或变量值落在该区间的概率（概率分布）。 正态曲线下区间的面积，可以通过对正态变量X的 累计分布函数F（X）的积分来求得，它反映了正 态曲线下，横轴尺度自-∞到X的面积，即下侧累 计面积。
( x − µ )2 − 2
−∞
e
dx
5
正态曲线下面积的分布规律
σ 当µ、σ和X已知时，须进行u转换 ， 然后 对标准正态变量u的累计分布函数Φ(u)的积分。 它反映了正态曲线下，横轴上自-∞到u的面积， 也是下侧累计面积。
u= x−µ
Φ (u ) =
1 2π
∫
ϕ (u ) =
1 e 2π
u2 − 2
标准正态分布可用N（0，1）表示。
3
正态分布的特征
正态曲线在横轴上方均数处最高。标准正 态分布在u=0时，ϕ（u）达到最大值。 正态分布以µ为中心，左右对称。 正态分布有两个参数，即µ和σ。
– µ是位置参数，当σ恒定后，µ 越大，则曲线 沿横轴越向右移动；µ 越小，则曲线沿横轴越 向左移动。 – σ是变异度参数，当µ 恒定时，σ越大，表示 数据越分散，曲线越扁平；σ越小，表示数据 越集中，曲线越陡峭。