当前位置：文档之家 › 多元正态分布及参数估计

多元正态分布及参数估计

  • 格式：pptx
  • 大小：276.34 KB
  • 文档页数：36

下载文档原格式

  / 36

合集下载

第2章多元正态分布的参数估计

第2章多元正态分布的参数估计

第2章多元正态分布的参数估计多元正态分布是统计学中常用的一种概率分布模型，在实际应用中经常被用来描述多个变量之间的关系。

在参数估计的过程中，我们通常需要估计多元正态分布的均值向量和协方差矩阵。

本章将介绍多元正态分布的参数估计方法。

多元正态分布的均值向量和协方差矩阵分别用μ和Σ表示。

在参数估计的过程中，我们可以使用样本的均值向量和协方差矩阵来估计总体的均值向量和协方差矩阵。

首先，我们需要收集一个包含n个样本的数据集，其中每个样本有d 个变量。

我们将这个数据集表示为X=[x1, x2, ..., xn]，其中xi是一个d维向量。

均值向量的估计可以通过计算样本向量的平均值来得到。

均值向量的估计公式为：μ̂ = (1/n) * Σxi其中，μ̂是均值向量的估计值。

协方差矩阵的估计可以通过计算样本向量之间的协方差来得到。

协方差矩阵的估计公式为：Σ̂ = (1/n) * Σ(xi - μ̂)(xi - μ̂)T其中，Σ̂是协方差矩阵的估计值。

这里需要注意的是，协方差矩阵是一个对称正定矩阵，因此需要对估计值进行修正，以保证估计出的协方差矩阵是对称正定的。

修正的常用方法有Ledoit-Wolf修正和修正。

在进行参数估计之后，我们还可以计算估计值的标准误差（standard error），以衡量估计值的可靠性。

在多元正态分布的参数估计中，均值向量估计值的标准误差为：SE(μ̂) = (√((2/n)(d(d+1)/2))) * (√(Σi î))协方差矩阵估计值的标准误差为：SE(Σ̂) = (√((1/n)(d(d+1)/2))) * (√(Σi î(Σj ĵ -Σi ĵ^2)))其中，Σi î表示协方差矩阵估计值的第i个对角元素，Σi ĵ表示协方差矩阵估计值的第i行第j列元素。

参数估计的过程中，还需要考虑到样本量的大小。

当样本量较大时，参数估计的精度会提高；而当样本量较小时，参数估计的精度会降低。

第三讲多元正态分布

第三讲多元正态分布

二元正态分布的密度曲面图
2 2 下图是当 1 2 , 0.75 时二元正态分布的钟形密
度曲面图。
多元正态分布性质
（1）、若 X ( X1, X 2 , X p )T ~ N p (, )， 是对角阵， 则 X1, X 2 , X p 相互独立。 （2）、若 X ~ N p (, ) ， A 为 s p 阶常数阵，则
•有些现象服从多元正态分布
•许多多元统计分布的抽样分布是近似正态分布
23
多元正态分布
它是一元正态分布的推广
X ~ N p ,
设随机向量 X ( x1 , x2 ,, x p )' 服从P维正态分布，则有，
f ( X ) 2
p 2

1 2
1 1 exp x x 2

12
随机向量的数字特性
随机向量的均值
E ( X 1 ) 1 E( X 2 ) 2 E( X ) E( X ) p p
性质
E ( AX ) AE( X ) E ( AXB) AE( X ) B E ( AX BY ) AE( X ) BE(Y )
15
性质
1)若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yq)’不相关。则
cov(x1 , y1 ) cov(x1 , y2 ) cov(x1 , yq ) cov(x2 , y1 ) cov(x2 , y2 ) cov(x2 , yq ) 0 cov(x , y ) cov(x , y ) cov(x , y ) p 1 p 2 p q
(1) q

第二章多元正态分布的参数估计

第二章多元正态分布的参数估计

就是剔除了 X2 Xk1, , X p 得(线性)影响之后,Xi和
Xj之间得协方差。
给定X2时Xi 和Xj得偏相关系数(partial correlation
coefficient)定义为: ij k1, , p
ij k1, , p
,
ii k1, , p jj k1, , p
其中 Σ11 2 ij k1, , p 。
μ12
μ1
Σ12
Σ
1 22
x2 μ2
Σ112
Σ11
Σ12
Σ
1 22
Σ
21
μ1·2和Σ11·2分别就是条件数学期望和条件协方差矩
阵,Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。
这一性质表明,对于多元正态变量,其子向量得条件分布仍
就是(多元)正态得。
例5 设X~N3(μ, Σ),其中
1
16 4 2
μ
0 2
μ(1) μ(2)
11 Σ 21
31
12 22 32
13 23 33
Σ11
Σ
21
Σ12
22
则
X (1)
X1
X
2
~
N2 ( μ(1) ,
Σ11)
其中
μ (1)
1
2
Σ11
11 21
12
22
在此我们应该注意到，如果 X ( X1, X 2 , , X p ) 服从 p
aX
(0,1,
0)
X
2
X2
~
N (aμ, aΣa)
X3
1
aμ
(0,1,
0)
2
2
3
11 12 aΣa (0,1, 0) 21 22

应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答学习资料

应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第二章部分习题解答学习资料

1 2 [y ( 1 7 )2 (y 2 4 )2]
g(y1,y2)
设函数 g(y1, y2) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
YYY12~N274,
I2
(4) 由于 XX X121011Y Y12CY
1 0 1 1 7 4 3 4 , 1 0 1 1 I2 1 0 1 1 1 1 2 1
e e d x e 2
2
1 2 (x 1 7 )2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
(22)(22)0
可得Σ的特征值 1 2 (1 )2 , 2 (1 ).
22
第二章 多元正态分布及参数的估计
λi (i=1,2)对应的特征向量为 1
1
l1
2 1 2
l1
2 1 2
由(1)可得椭圆方程为 2(1y 1 2)b22(1y 2 2)b21
其 b 2 中 2 la n ( 2 ) [ | |1 /2 ] 2 l2 n2 [ 1 2 a ]
解二:比较系数法 设 f(x 1,x2)2 1ex 1 2 p (2 x 1 2x2 2 2 x 1x2 2x 1 2 1x2 4 6) 5
2 1 2 11 2ex 2 p 1 2 2 2 1 (1 2)[2 2(x 1 1)2 2 1 2(x 1 1)x (2 2) 1 2(x2 2)2]

多元正态分布参数估计与检验

多元正态分布参数估计与检验

则称随机向量 为X维正p态随机向量，
其中
称为均值向量， V为协方差矩阵(协差阵)，且
V0. 对于一般情形 V0, 仍可定义多维正
态随机向量， 记为 X～ Np(,V 。) 当 V0时，
X有前面的密度表示，而当
布是退化的正态分布。
时|V，|0 X的分
多元正态分布的性质：
（1） p维正态分布由其均值向量和协方差阵唯
即
～
H0
成立时， 1
时，
2
D 0 6 n 1 n 20 7(X Y )T V 0 8 1 (X Y )0 9 2 (p )1 0
n n 而当 不 1有偏2 大的趋
因此，对
给定的显著
当
H 成立时， 0
势。
D
性水平 ，
D n n 11 n n 22(X Y )T V 1 (X Y )1 2 (p )
体 Np(,V)的简单样本， 令
X
1n nk1
Xk
——样本均值向量
n
S (XkX)X (kX)T —样本离差阵
k1
定理18.1
态总体
的简单样本，
设 X 1 ,X 2 , ,X n ( n 是p ) 来自多元正
态总体 Np(,的V简)单样本，
且 V，0 则 X是
的极大似然估计，
1 S 是 V的极大似然估计。
体 Np(,V的) 简单样本，
其中 V已知。 考虑假设
检验问题
H 0 ： 0 ， H 1 ： 0
令 D n (X 0)T V 1(X 0),则可以证明当
H 0 成立时，即 时，0 D～ 2(p)
H0
D
01
0 2
03
04

第二章 多元正态分布及参数的估计

第二章 多元正态分布及参数的估计

27
北大数学学院
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的定义与基本性质—简单例子
y BxB


0 0 1
1 0 0
100 110
1 2 0
003 100
0 0 1
1 0 0



1 0 1
2 0 1
003 100
2
北大数学学院
第二章 多元正态分布及参数的估计
目录
§2.1 随机向量 §2.2 多元正态分布的定义与
基本性质
§2.3 条件分布和独立性 §2.4 随机矩阵的正态分布 §2.5 多元正态分布的参数估计
3
北大数学学院
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随 机 向
本课程所讨论的是多变量总体.把 p个随机变量放在一起得
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布性质2的推论
例2.1.1
f (x1, x2
()X1,X212)的e联 12合( x12密 x22度) [1函数x为1 x2e

1 2
(
x12

x22
)
]
我们从后面将给出的正态随机向量的联合密
度函数的形式可知, (X1,X2)不是二元正态随机向 量.但通过计算边缘分布可得出:
本节有关随机向量的一些概念(联合分布, 边缘分布,条件分布,独立性;X的均值向量,X 的协差阵和相关阵,X与Y的协差阵)要求大家 自已复习.
三﹑ 均值向量和协方差阵的性质 (1) 设X,Y为随机向量,A,B为常数阵,则
E(AX)=A·E(X) E(AXB)=A·E(X)·B
6

多元正态分布的参数估计

多元正态分布的参数估计多元正态分布是一种常用的概率分布，描述多个随机变量之间的关系。

在实践中，我们经常需要从样本数据中估计多元正态分布的参数，以便进行进一步的分析和预测。

本文将介绍多元正态分布的参数估计方法，并讨论其理论基础和实际应用。

f(x) = (2π)^(-k/2) * ，Σ，^(-1/2) * exp(-0.5 * (x-μ)^T *Σ^(-1) * (x-μ))其中，x为k维向量，μ为k维均值向量，Σ为k×k维协方差矩阵，Σ，表示Σ的行列式。

1.基于矩估计基于矩估计是一种常用的参数估计方法，其思想是通过样本矩的估计值来估计分布的参数。

对于多元正态分布，可以使用样本均值和样本协方差矩阵作为分布的参数估计。

样本均值的估计值为：μ' = (1/n) * ∑xi样本协方差矩阵的估计值为：Σ' = (1/n) * ∑(xi-μ')(xi-μ')^T其中，n为样本容量。

基于矩估计的优点是计算简单且具有良好的渐进性质。

然而，它也存在一些缺点，例如对于小样本容量或存在异常值的情况，估计结果可能不准确。

2.基于极大似然估计基于极大似然估计是一种基于概率密度函数构造似然函数，通过最大化似然函数来估计分布参数。

对于多元正态分布，可以通过最大化样本观测值出现的联合概率密度函数的乘积来估计分布的参数。

似然函数为：L(μ, Σ) = ∏f(xi)对数似然函数为：l(μ, Σ) = logL(μ, Σ) = ∑logf(xi)通过对数似然函数l(μ,Σ)对μ和Σ分别求偏导，并令偏导数为0，可以得到极大似然估计的解析解。

基于极大似然估计的优点是可以利用样本数据中的所有信息来估计参数，因此具有较好的统计性能。

然而，由于求解复杂度较高，往往需要使用数值优化算法来获得参数估计的数值解。

总结起来，多元正态分布的参数估计可以通过基于矩估计或基于极大似然估计的方法进行。

基于矩估计适用于样本容量较大且符合正态分布的情况，计算简单但精度较低。

2多元正态分布及参数估计

或表达为
定X (2) X ,, X f x (2) 0 r 1 p 2





的条件下，
f x | x
(1)
(2)

f 2 x (2)
12
f x
4、独立性
设 X 1 , X 2 , , X p 是 p 个随机变量, Xi的分布函数记为 Fi(xi)
(i=1,2,…,p); F ( x1 , x2 ,, x p ) 是 ( X 1 , X 2 ,, X p ) ' 的联合分布
C OV X , Y X D X D D Y Y C OV Y , X
21
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随 机 向 量
三﹑ 协方差阵的性质 (1) 设X,Y为随机向量(矩阵） D(AX+b)=A· D(X)· A' COV(AX,BY)=A· COV(X,Y)· B'
17
2、协方差矩阵
协方差定义为
Cov X , Y E ( X E ( X ))(Y E (Y ))
ห้องสมุดไป่ตู้
若Cov(X,Y)=0，则称X和Y不相关。 两个独立的随机变量必然不相关，但两个不相关的 随机变量未必独立。 当X=Y时，协方差即为方差，也就是
Cov X , X Var X D ( X ) 和Y Y ,Y ,,Y X X 1 , X 2 ,, X p 1 2 q 的协方差矩
19
X和Y的协方差矩阵与Y和X的协差阵互为转置关系，即有 若COV(X,Y)=0，则称X和Y不相关。 两个独立的随机向量必然不相关，但两个不相关的随机向量未必独 立。 X=Y时的协差阵COV(X,X)称为X的协差阵，记作D(X)，即

多元正态分布的参数估计

多元正态分布的参数估计参数估计是根据观测到的随机样本，通过对概率模型的估计得到未知参数的估计值。

对于多元正态分布，参数估计的问题包括均值向量和协方差矩阵的估计。

对于多元正态分布的均值向量的估计，最简单的估计是样本均值向量，即将每个变量的样本观测值求平均。

记有n个样本观测，每个观测有p个变量，那么第j个变量的样本均值为：(1/n) * Σ(xij)，其中i=1到n，j=1到p其中xij表示第i个样本的第j个变量的观测值。

用样本均值向量估计多元正态分布的均值向量是一种无偏估计，即其期望等于真实均值向量。

对于多元正态分布的协方差矩阵的估计，可以使用样本协方差矩阵。

样本协方差矩阵是由各变量之间的样本协方差组成的矩阵。

第i行第j列的元素是第i个变量和第j个变量的样本协方差。

样本协方差的计算公式为：(1/(n-1)) * Σ((xi - μ)(xi - μ)T)其中xi表示第i个样本向量，μ表示均值向量，T表示转置。

样本协方差矩阵的估计是协方差矩阵的无偏估计。

然而，如果样本量较小的话，样本协方差矩阵可能不可逆，这会导致参数估计的困难。

为了克服这个问题，可以使用正则化方法，如Ledoit-Wolf估计方法或迹范数估计方法。

Ledoit-Wolf估计方法通过引入一个收缩系数对样本协方差矩阵进行正则化，并与单位矩阵进行加权平均。

这个收缩系数可以根据样本大小来选择，以平衡估计的方差和偏差。

迹范数估计方法通过对样本协方差矩阵的特征值进行调整，使其满足一定的迹范数条件。

迹范数是将矩阵的特征值求和得到的值，可以作为矩阵的一种度量。

除了样本均值向量和样本协方差矩阵，还有其他的参数估计方法，如极大似然估计、贝叶斯估计等。

这些方法可以根据不同的假设条件和观测数据来选择合适的参数估计方法。

在实际应用中，参数估计对于多元正态分布是非常重要的。

可以利用参数估计来推断各个变量之间的相关性和平均值，并进行统计推断、预测和建模分析。

因此，对参数估计的准确性和稳定性的研究是非常有价值的课题。

多元正态分布及其参数估计、假设检验

• 协方差阵已知时的均值向量的假设检验 • 协方差阵未知时的均值向量的假设检验
协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检 验
协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的 检验
协方差阵检验 多个协差阵相等的检验
可编辑ppt
16
均值向量和协方差阵的假设检 验时常用的统计分布
可编辑ppt
17
可编辑ppt
可编辑ppt
10
多元正态分布密度函数
可编辑ppt
11
多元正态分布的数字特征
可编辑ppt
12
多元正态分布的性质
可编辑ppt
13
多元正态分布的参数估计
可编辑ppt
14
可编辑ppt
15
多元正态总体均值向量和协方 差阵的假设检验
均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计 分布
均值向量的假设检验
多元变量的边缘密度独立性与条件分布多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布协方差阵不相等时两个正态总体均值向量的检验多个协差阵相等的检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布均值向量的假设检验协方差阵相等时两个正态总体均值向量的检验协方差阵不相等时两个正态总体均值向量的检验多个协差阵相等的检验
28
多个协差阵相等的检验
可编辑ppt
29
第三讲 多元正态分布及其参数估计、 假设检验
多元分布概述 多元正态分布
可编辑ppt
1
第一节 多元分布概述
多元变量--随机向量 多元分布函数 多元分布密度 多元变量的边缘密度、独立性与条件分
布 多元变量的数字特征
可编辑ppt
2
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多元正态分布主要内容包括：
§2.1 多元（概率）分布基本概念 §2.2 多元正态分布定义及其性质 §2.3 多元正态分布的参数估计
1
众所周知，一元统计分析是多元统计分析的 基础，尤其是一元正态分布自然是多元正态 分布的基础，它在统计学的理论和实际应用 方面都有着重要的地位。
在一元统计分布中，经常会用到随机变量X 的概念及其概率分布问题。
F (x1, x2 ,..., x p ) P( X1 x1,..., X p x p )
14
联合密度函数的定义
对于多元连续型随机向量来说，其概率分 布也可以用密度函数来描述。
若存在一个非负的p元函数f(·)，满足
x1 x p
F (x1,..., x p ) ... f (t1,...,t p )dt1...dt p
对于多元的随机向量，就对应地需要用联合分布函数 来刻画其概率分布。
11
二元随机向量的联合分布函数
定义: 设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x,y,二
元函数 F(x, y) P(X x,Y y)
称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.
如果把(x,y)看成是平面上随机点的坐标,则联合分布函数 F(x, y) 在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的 矩形区域 G {(X ,Y ) | X x, Y y}的概率.
因而多元随机向量可看作是一元随机变量的推广 而一个随机变量可看作是特殊的一元随机向量．
4
§2.1 多元（概率）分布基本概念
1.二元随机向量的例子
由于我们的研究对象涉及的是多个变量的总体，所 以要用若干个随机变量合在一起看作一个整体，共 同用这个整体来描述随机现象。
•比如，要考察一射击手向一平面靶子射击的水平， 那么，子弹在靶子上的着点位置是随机的，这个平 面上的随机点需要用两个随机变量（即横向的X与纵 向的Y）共同来描述，于是(X,Y)就构成了二元（维） 的随机向量。
2
（1）随机变量的定义：对于每一个随机结果都对 应着某个变量的一个数值，这种对应就是一个函数， 用随机变量来表示。
R.V.特点： a.取值的随机性，即事先不能确定其取哪一个值； b.取值的统计规律性，即完全可以确定x取某个值或
在某个区间内取值的概率。
3
有时候，仅仅用一个随机变量来描述随机现象就 不够了，需要用多个随机变量来共同描述的随机 现象和问题，而且这些随机变量间又有联系，所 以必须要将它们看做一个整体来研究（即不能一 个一个地单独研究多个一元随机变量），这就出 现了多元随机向量的问题和概念．
16
3.p元随机向量的数字特征
随机向量的数字特征主要有均值向量和协方差矩阵。 1.均值向量就是每一个分量的均值（或叫期望）所组成
的常数向量。用数学符号表示如下： 设p元随机向量为 X ( X1, X 2 ,..., X p ) ，且每个分量的
期望为 E( X i ) i , i 1,..., p ，则将新向量：
对任意的 (x1, x2 ,...,xp ) R p
都成立，则称p元函数f(·)为p元随机向量的 概率密度函数，并称随机向量为连续型的。
15
联合概率密度函数的基本性质
两条性质是：
f (x1 ,..., x p ) 0, 对任意 实数x1 ,..., x p都成立
... f (t1 ,..., t p )dt1...dt p 1
12
二元联合分布函数的几何意义演示图:
F（x,y）=
Y
P(X≤x,Y≤y)
y
(x,y)
{ X≤x , Y≤y } x
X
F(x,y)值为随 机点落入黄色 矩形区域内的 概率
13
对于p元的随机向量来说，就对应地需要用 联合分布函数来刻画其概率分布。
联合分布函数的定义： 设 X ( X 1, X 2 ,..., X p ) 是一随机向量，它的 联合分布函数定义为
8
P元ห้องสมุดไป่ตู้维）随机向量的定义
设 X 1 , X 2 ,..., X p 为p个随机变量， 将它们合在一起组成的一个整体的向量 X ( X 1, X 2 ,..., X p )
称作p元随机向量。 注意：X是列向量，所以横着写时需要转
置一下。
9
2.联合分布函数与密度函数
与一元随机变量一样，也可将随机向量分为离散性和 连续型两类，但是在表达其概率分布时，就非常不方 便了（因为当它是离散型时，需要用多维表格表示概 率分布，但超过两维时就不容易表示了），这时我们 就必须借助于分布函数来刻画它的概率分布。这就充 分体现出分布函数在表达联合概率分布时的优势。
5
射击后的子弹着落点的位置 是随机的
这个点的位置要用两个 随机变量X与Y共同描 述才能确定，即用（X， Y）数组的取值来确定 这个点的位置。
Y
X
·A
这就是二元随机向量。
6
P元（维）随机向量
在研究社会、经济现象和许多实际 问题时，经常遇到多指标的问题。
例如，评价学生在校表现时，要考 察他的政治思想（德）、学习情况 （智）、身体状况（体）等各个方 面的情况，仅学习情况就又涉及他 在各个年度的每门课程成绩，这里 面就有多项指标存在。
E( X ) (E( X1 ), E( X 2 ),..., E( X p ))
定义为该随机向量的期望，也叫均值向量． 而一元随机变量的第一个数字特征名称却称为均值或期 望．请注意一元与多元在对应概念上的称呼的区别．
17
P元随机向量的协方差阵
注意：一元随机变量与多元随机向量在第二个数字 特征方面的表示有很大不同，其原因是在多元情形 中还要体现出分量之间的相关关系。
7
再例如，研究公司的经营情况，就要考察资 金周转能力、偿债能力、获利能力、竞争力 等多个指标。显然不能将这些指标分割开来 进行单独研究，那样就不能从整体上综合把 握事物的实质。
一般地，假设我们研究的问题涉及p个指标， 对n个个体进行观察，就会得到n×p个数据， 我们的目的就是对观测对象进行分组、分类、 或分析考察这p个变量之间的相互关联程度， 或者找出内在规律性等等。
一元的称为方差，而多元的改称为协方差阵。
以二元的为例，就会出现两个分量之间的协方差的 概念。