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描述函数

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自控第七章(第40讲)

自控第七章(第40讲)

依自振条件 N ( A) G( j ) 1
ˆ 4M h 2 2.5 1 ( ) 1 A A j (1 j )(1 j 4 )
10 A2
A2 0.5 2 j (1 4 2 j 5 )
5 2 j (1 4 2 ) 0.5
A2 A 1 4K
2
(1) G3 ( s ) 1时，系统是否自振？
§7.3.3
2
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。 用描述函数法分析非线性系统（10）
2
A A 1 4K
(
2 4 ) A A2 1 0பைடு நூலகம்4K
8 A2 1 j 2 A 1 2 j A 1 j A 2 8 8 N ( A) 8 2K 2K 1 G ( j ) 1 j j j (1 j ) 1 2 8 8
2K 135 s( s 1)
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D( s ) 1 N ( A) G1 ( s ) G1 ( s ) 0 N ( A) G1 ( s ) [1 G1 ( s )]
G1 ( s ) N ( A) 1 1 G1 ( s ) G1 ( s ) 0.5( s 1) G * ( s) 2 1 G1 ( s ) s 0.5 s 0.5
(2) G3(s)= s 时 1 K s G1G2G3 s( s 1) s K G( s) 2 1 1 G1 s s1 1 s( s 1)
此时系统稳定
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（11）

描述函数法

描述函数法

系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。

扩展描述函数法

扩展描述函数法

扩展描述函数法
扩展描述函数法是一种用于描述数学对象或过程的方法，它可以将一个复杂的数学对象或过程分解成多个简单的部分，并用一组描述函数来描述每个部分。

这些描述函数可以是数学函数、数列、矩阵或其他数学工具。

通过扩展描述函数法，我们可以更加深入地理解数学对象或过程的本质，并且可以更加方便地进行计算和分析。

例如，在微积分中，我们可以用描述函数来描述一个函数的导数、高阶导数以及泰勒级数等重要的概念。

此外，在统计学中，我们也可以用描述函数来描述数据的分布、方差、标准差等统计指标，从而更好地进行数据分析和处理。

总之，扩展描述函数法是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，从而更加高效地解决各种数学问题。

- 1 -。

8-4描述函数法

8-4描述函数法
n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1




1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10

k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20

x2 x20 | x2 | x20 x2 x20

2

Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1


0
y (t ) sin t d t cos

自动控制7-1描述函数法.详解

自动控制7-1描述函数法.详解
当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x -1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
11
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
6
2
4

14
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
4
7.1.1 典型非线性特性的种类
1．饱和特性
-a
y
M k 0 -M a x
a为线性区宽度，k为线性区斜率。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及 执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。
5
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零
y k
-a
0
a
x
| x | a 0, y = k ( x - a ), x>a k ( x + a ), x < -a
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 12

函数功能描述范文

函数功能描述范文

函数功能描述范文函数是计算机程序中一个重要的组成部分，它承担了完成特定任务的功能。

函数是一个独立的代码块，接受一些输入参数，进行一系列计算或操作，并返回一个结果。

在程序中，函数的使用可以提高代码的可读性、可维护性和可重用性。

通过将代码分解成多个小的、独立的功能块，可以使程序结构更加清晰，同时也能够减少代码的重复编写。

函数的功能描述是描述函数具体完成什么任务的文字描述。

它应该清晰地说明函数要解决的问题、入参和出参的含义，以及函数内部的具体实现细节。

函数的功能描述有助于程序员更好地理解函数的用途和具体实现方式。

它能够指导开发者正确的调用函数，并且在使用时能够更准确地预期函数的行为和结果。

在函数的功能描述中，除了要包含输入参数和返回值的描述，还应该包括函数的具体计算或操作步骤的描述。

这有助于其他开发人员更好地理解函数的实现细节，并能够正确地调用和使用该函数。

同时，如果函数的功能描述足够详细，它还可以作为函数使用文档的一部分，方便其他人了解该函数的具体用途和使用方法。

除了函数的功能描述，函数的命名也是非常重要的。

函数的命名应该能够准确地反映出函数的功能和用途。

好的函数命名能够在不需要查看函数具体实现的情况下，直观地了解到函数的作用和预期结果。

总之，函数是程序中的重要组成部分，通过合理地使用函数，可以提高代码的可读性和可维护性。

函数的功能描述是描述函数具体完成什么任务的文字描述，它有助于程序员更好地理解函数的用途和实现方式，并能够正确地调用和使用该函数。

同时，函数的命名也是非常重要的，好的函数命名能够直观地反映函数的功能和预期结果。

第7章_3_描述函数法介绍

第7章_3_描述函数法介绍
2
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
3
7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1

描述函数法

描述函数法
描述函数的定义对于很多非线性环节当输入信号为正弦函数出量xt一般都不是同频率的正弦波而是一个非正弦的周期函数其周期与输入信号的周期相同一般可以展开为傅里叶级数480481a481b设非线性特性是关于原点对称的则at0xt的基波分量为482sinsincos483a483b484atg1484b类似于线性系统理论中的频率特性的概念把非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比定义为该非线性环节的描述函数记为naj3
(4.82)
式中
2
A1

1 π
x(t) cosω td (ω t)
0
2
B1

1 π
x(t) sin ω td (ω t)
0
X1 A12 B12
（4.83a） （4.83b） (4.84a)
1=tg-1A/B
(4.84b)
类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性
环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之
解 因为是x(t)奇函数，所以A1=0。由式（4.83b）得

B1

1
2
x(t) sin ω td (ω t)

4
2 [ A sin ω t 2

A3 4
sin 3 ω t]sin ω td (ω t)
0
0

A 2 (2 sin 2 A2 sin 4 )d A 3 A3

其中， 1

sin 1 (
A
2a) A
，于是
0ωt
2
2
ωt

1
1 ωt
A1

2

x(t) cosω td (ω t)

第4.5 描述函数法

第4.5 描述函数法
1 , e(t ) 0 sign(e(t )) 1 , e(t ) 0
（4.86b）
式中 （4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形

其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频 率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值 分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也 会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波 特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在 这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用 来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的 基本思想。
1.描述函数的定义 对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输 出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函 数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0

42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2

函数复习课课件

函数复习课课件

复合函数
复合函数的定义
复合函数是指由两个或多个函 数的组合而成的函数。
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质 ，如复合函数的导数、连续性 等。
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则是指对复 合函数进行求导的方法和规则 。
复合函数的实际应用
复合函数在实际问题中有着广 泛的应用，如物理、工程、经
济等领域。
02
函数的分类
一次函数
总结词
线性关系，简单函数形式
详细描述
一次函数是函数的一种基本形式，其表达式为y=kx+b，其中k和b是常数，k≠0。它表示的是一种线 性关系，即函数的输出值y与输入值x成正比。当b=0时，一次函数退化为正比例函数。
二次函数
总结词
开口方向可变，有最小或最大值
详细描述
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。它的图像是一个 抛物线，根据a的正负性，抛物线可能向上开口或向下开口。二次函数可以有一个最小
函数与数列的联系
数列是一种特殊的函数，其定 义域是正整数集或其子集。
数列的通项公式可以看作是函 数的解析式，而数列的项则是 函数在各个离散点的取值。
利用函数的性质，如单调性、 周期性等，可以研究数列的性 质，如求和、求通项等。
THANKS
感谢您的观看
值或最大值，取决于a的正负。
幂函数
总结词
自变量在函数表达式中幂次不同
详细描述
幂函数的一般形式为y=x^n，其 中n是实数。它的图像根据n的正 负性而变化，当n为正时，图像在 第一象限和第三象限；当n为负时 ，图像在第二象限和第四象限。
指数函数和对数函数

描述函数法

描述函数法

21
具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A） 为
N ( A) N ( A) e j1

A1
2


B1
2 e
jtg1 A1 B1
A A
N ( A) 2b
21
m
a
2

1
m 2
a
4

(m2

1)
a
2

A A
1
描述函数法将一个非线性装置或环节用一个可变增益的环 节来代替。这个可变增益是输入正弦振幅A和振荡频率的 函数。
求法：给非线性环节作用一个正弦输入，在非线性环节满 足一定条件下，其输出为一周期函数，且可展开成傅立叶 级数；取输出基波分量与输入正弦量的复数比，即可求得 该非线性环节的描述函数（或可变放大系数）；用这个可 变放大系数代替非线性环节，即可用线性系统中频率法分 析系统。
2. 死区特性
当输入 e(t) A时sin，死t 区特性输入输出波形如下：
x(t)
x(t)
k
a
a
e(t)

.

t

e(t)

t
图8-11 死区特性及输入输出波形
12
由图可知，当 e(t) A，sin且t 时，A死 区a 输出为
0,
0 t
x(t
)

A
A
(m 1) a
1 tg1
A 1 m2 a 2 1 a 2
A
A
22
推论：
当a＝0 时，求得理想继电特性的 描述函数为
N ( A) 4b

西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数

西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数

A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
1
arcsin
h A
,
2
arcsin mh , A
y(t) 为奇对称函数，但非奇函数，有 A0 0
因其在一个周期内对称：
A1
2
2 M costdt 2Mh (m 1)
1
A
2
B1
2
M
sintdt
2M
Hale Waihona Puke 11 mh2
A
1
h
2
A
五、典型非线性特性的描述函数
死区滞环继电非线性环节特性的描述函数
)2
1
五、典型非线性特性的描述函数
死区(不灵敏区)特性的描述函数
负倒特性
1 N ( A)
2K
2
sin1(
a ) A
a A
1
(
a A
)2
1
当 A a时

7-1描述函数法

7-1描述函数法
（3）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相
平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于12 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
1
第七章 非线性系统
内容提要 7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 相平面法 学习指导与小结
2
※7.1 典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环 节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是 非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
0
14
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳
态输出只含基波分量，即
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1)
式中
A1

1
x 2(1 x 2 )x x 0 >0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使x<1时，因为(1x2 )<0，系统具有负阻
尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；
当x>1时，因为(1x2 )>0，系统具有正阻尼，此
时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时， 系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表 明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振 荡。

单值函数的各种表示形式

单值函数的各种表示形式

单值函数的各种表示形式单值函数是指对于每一个自变量，其函数值都只有一个确定的结果。

在数学上，我们可以通过多种方式来表示和描述一个单值函数。

接下来就让我们一步步来探究这些表示形式。

1. 解析式表示法这是最常见的一种形式，通过代数式来描述函数。

例如，f(x) = 2x + 1就是一个单值函数的解析式表示形式。

这种表示方法对于较为简单的函数比较方便，但是对于复杂的函数，代数式可能变得非常冗长。

2. 图像表示法这种形式是通过将函数图像绘制在坐标系中来描述函数。

通过观察图像，我们可以了解函数的特性，例如导数、极值、单调性等。

这种表示方法对于直观地理解函数非常有帮助，但是对于精确描述函数，可能不是最佳选择。

3. 函数表格表示法这种表示方法通过将函数的自变量和函数值列举在表格中来进行描述，例如：|x | 1 | 2 | 3 ||----|----|----|----|| f(x) | 4 | 6 | 8 |这种方法能够精确记录函数的每一个取值，但是对于连续函数或者函数值较多的情况，表格会非常冗长。

4. 文字描述表示法这种方法通过用文字来进行描述，例如：f(x)表示x的两倍加1。

但是这种方法存在歧义和不精确的问题，容易产生误解。

5. 符号表示法这种方法是一种抽象的表示方法，通过符号来表示函数。

例如，f(x)可以表示为y。

这种方法常用于高等数学中，能够精确描述函数，但是对于初学者可能会存在难度。

综合来说，不同的表示形式在不同的场景下都有其独特的优劣和适用性。

学习函数时，我们需要熟练掌握这些表示方法，并根据需要选择最合适的方法来描述和求解函数问题。

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