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椭圆中焦点三角形的性质（含答案）鞍山三中高二文科数学主题1：椭圆中焦点三角形的性质和应用b2性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2ax2y2？？1、F1和F2是它们的焦点，以及？f1pf2？60?，例1如果P是椭圆10064求△f1pf2的面积.x2y2？？1上的点F1和F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，例2我们知道P是椭圆259证明：性质二：已知的椭圆方程是xy??1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形22ab22若pf1?pf2|pf1|?|pf2|?1，则△f1pf2的面积为（）2a.33b.23c.3d.在pf1f2中？f1pf2？？，那是什么？f1pf2？B2tan证书：2.33x2y2？？1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，点P位于椭圆示例3中的已知椭圆上169若p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p到x轴的距离为（）99797A。
b、 C.D.或54477x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形abx2y2例4.已知f1、f2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，椭圆上一点p使在abpf1f2中？f1pf2？？，那是因为？？1.2e2。
f1pf290，求椭圆离心率e的取值范围。
一鞍山三中高二文科数学y2x2??1上一点p与椭圆两个焦点f1、f2的连线互相垂直，1.椭圆则△f1pf2的4924主题2：偏心率的计算：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()2356a。
2b。
2c。
3d。
三2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()4321a.5b.5c.5d.53.如果椭圆的短轴长度为6，且焦点到长轴端点的最近距离为1，则椭圆的偏心率为___x2y24.已知a是椭圆A2+B2=1（a>b>0）上的移动点。
专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22证明：性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B. 779C. 49D. 49或779例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
练习题：1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35， 求椭圆的标准方程.专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.632．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.153．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r ca r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
焦点三角形的美妙性质四川省万源市第三中学紫静邮编：636350 一、定义：椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
二、性质：焦点三角形有以下一系列美妙性质：1．椭圆x2a2+y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2tan θ2，双曲线x2a2-y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2cot θ2，其中，θ = ∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1| + |PF2|= 2a，|F1F2 |= 2c，a2 = b2＋c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1| + |PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1 + cosθ) = 4a2－ 4c2 = 4(a2-c2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21+cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1+cosθ= b2tanθ2(∵sinθ1+cosθ= tanθ2)对双曲线，则有：|PF1|－|PF2| =±2a，|F1F2 |= 2c，a2＋b2= c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a)2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4c2－4a2= 4(c2－a2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21－cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1－cosθ= b2cotθ2(∵sinθ1+cosθ= cotθ2)2．对椭圆x2a2+y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x2a2-y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆。
双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .（1）设双曲线14422=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .3.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .4.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan2tanβα .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e .性质6：=e .（用BA ，AP 表示）Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
椭圆的焦点三角形一 知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。
性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。
所以周长为定值2a+2c性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：(cos 2212221r r r r =-+θ配方得:.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得:2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆性质三:已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222e a b -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1244242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.21121)2(22222212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =,即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。
学科纵横幸福生活指南223幸福生活指南椭圆焦点三角形的几个性质张春梅招远第一中学 山东 招远 265400椭圆的两个焦点与椭圆上任一点(非长轴端点)所构成的三角形，我们称之为椭圆的焦点三角形。
焦点三角形是椭圆中的一个基本图形，在它当中很好的体现了椭圆中的一些基本量之间的关系，也很好的体现了解决椭圆问题常用到的方法，下面我们就通过几个例题来研究一下椭圆的焦点三角形的几条性质：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，Ｐ是椭圆上非长轴端点的任一点。
性质一：若椭圆的长轴为2a ，焦距为2c ，则△12F PF 的周长为2a+2c.证明：由椭圆的定义得到1||PF + 2||PF =2a ，又|F 1F 2|=2c ，进而得出焦点三角形的周长=1||PF +2||PF +|F 1F 2|=2a+2c性质二：当Ｐ点位在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大，且1||PF •2||PF 最大，最大值等于a 2证明：设1||PF ＝1r ，2||PF ＝2r ，则1r ＋2r ＝2a 。
在△12F PF 中，由余弦定理可得cos ∠12F PF =222121242r r c r r +−=22121212()422r r c r r r r +−−=2212124422a c r r r r −−=212412b r r −22221244112()2b b r r a ≥−=−+。
当且仅当1r =2r 时取得等号。
即1||PF =2||PF 时∠12F PF 最大，所以当Ｐ点在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大。
由椭圆定义得和式1||PF +2||PF =2a(定值)，结合基本不等式得到积式1||PF 2||PF 有最大值，当且仅当1||PF =2||PF 时取等号。
即P 位于短轴端点时，1||PF 2||PF 取得最大值a2。
点评：在该性质的证明过程中，用到了椭圆的定义和基本不等式的有关知识，要灵活应用。
抛物线曲线中焦点三角形和内切椭圆的解法技巧总结与赏析1. 引言本文将总结和赏析在抛物线曲线中的焦点三角形和内切椭圆的解法技巧。
焦点三角形是由抛物线上三点和其焦点构成的特殊三角形，而内切椭圆则是可以在抛物线的内部切一下的椭圆。
通过研究这两个问题，我们可以进一步理解抛物线曲线的性质和特点。
2. 解法技巧总结2.1 焦点三角形的解法技巧焦点三角形的解法可以按照以下步骤进行：- 根据给定的抛物线曲线方程，确定焦点的坐标；- 选择抛物线上的三个点，可以是顶点、坐标轴上的点或者其他特殊点；- 计算三个点到焦点的距离，以及这三个点之间的距离；- 利用距离关系和三角形性质，可以得到焦点三角形的特征和性质。
2.2 内切椭圆的解法技巧内切椭圆的解法可以按照以下步骤进行：- 根据给定的抛物线曲线方程，可以确定辅助圆的半径和圆心坐标；- 在抛物线上选择一个点作为切点；- 通过切点和辅助圆的半径，可以确定内切椭圆的半径；- 通过椭圆的半径和圆心坐标，可以得到内切椭圆的方程；- 可以进一步分析椭圆的性质和特点。
3. 赏析抛物线曲线中焦点三角形和内切椭圆的解法技巧不仅帮助我们理解抛物线曲线的性质，而且可以应用到更复杂的数学问题中。
通过研究和赏析这些问题的解法，我们可以培养创新思维和解决问题的能力。
4. 结论通过本文对抛物线曲线中焦点三角形和内切椭圆的解法技巧的总结与赏析，我们可以更全面地理解抛物线曲线及其相关概念。
这些技巧不仅能够帮助我们解决数学问题，还能培养我们的思维能力和解决问题的创新思维。
希望本文能为研究和研究抛物线曲线的人们提供一些帮助和启示。
参考文献:[1] 编辑部.数学面面观[M].人民教育出版社, 2019.[2] 马洪财.高等代数学与解析几何[M].中国人民大学出版社, 2018.。
课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。
得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 。
【答案】【解析】 由得a=4.c=从而b=8,为所求 【2008•浙江】已知F 1、F 2为椭圆1925x 22=+y 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|= ． 【答案】8【解析】椭圆1925x 22=+y =1的a=5， 由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ，则三角形ABF 2的周长为4a=20， 若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．【2006•全国2理】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x ，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 A.32 B.6C.34D.12【答案】C 【2007•湖北】过双曲线13-4x 22=y 左焦点F 的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|+|NF 2|﹣|MN|的值为 ．【答案】8【解析】根据双曲线定义有|MF 2|﹣|MF|=2a ，|NF 2|﹣|NF|=2a ， 221168x y ∴+=416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩221168x y ∴+=【2009•上海理】已知F 1、F 2是椭圆C ：1a x 2222=+by （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且21PF PF ⊥．若△PF 1F 2的面积为9，则b= ．【答案】3【解析】∵F 1、F 2是椭圆C ：1a x 2222=+by （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且21PF PF ⊥． ∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，=4c 2，，∴（|PF 1|+|PF 2|）2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4（a 2﹣c 2）=4b 2， ∴b=3．【2004湖北】已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 【答案】D 【解析】若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆97=∴h ，.779=h 【例1】若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.【答案】.3364【解析】解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 【例2】已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，212121=，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.33【答案】A 【解析】设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F【例3】 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24 【答案】D 【解析】24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .【例4】 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6 【答案】A 【解析】设θ=∠21PF F ， 12tan2tan 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF【例5】 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-【答案】D 【解析】3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ. 【例6】 已知椭圆122=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34 D ．32 【答案】C 【解析】︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 【例7】 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 【解析】设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 【例8】已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.【解析】设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21||||cos 2121θθPF PF .3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c .∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ； 当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x 【例9】如图：1F 、2F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为1的正三角形，求2b 的值．【分析】2∆PO F 224360sin 21c PO OF =⋅︒，求得.3342=c 所以点P 的坐标分别为2c ，c 23.由于点P 在椭圆上，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221434ac b b c a c 解此方程组就可得到2b 的值．但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．【解析】连接,1PF 则︒=∠9021PF F ， 有 21221PF F POF S S ∆∆=︒⋅⋅⋅=∴90sin 2121121PF PF .290sin 90cos 1241122=∴⋅+⋅=∴︒︒b b【2010全国1理9】已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ）【答案】B 【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a exc =--=+=，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为0||y = 【2010全国1文8】已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =（ ）A.2B.4C. 6D. 8【答案】B 【解析】.解法一：由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=所以12||||PF PF =4解法二：由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆===== 12||||PF PF =4【2007辽宁理11】设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A． B ．12C．D ．24【答案】B12F ，，点M 在双曲线上且21MF MF ∙=0，则点M 到x 轴的距离为（ ）【答案】C【例】（1） 若P 是双曲线左支上的一点，12F F ，是其焦点，且，求12PF F △的面积.（2）若P 是双曲线右支上的一点，12F F ，是其焦点，且，求12PF F △的面积.【解析】（1）解法一：在双曲线中，而记点P 在双曲线上，由双曲线定义得：在△中，由余弦定理得： 解得：解法二：在双曲线中，，而1366422=-y x ︒=∠6021F PF 1422=-y x ︒=∠6021F PF 1366422=-y x ,10,6,8===c b a .60︒=θ.||,||2211r PF r PF == ∴121216.162r r a r r +===-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)16(60cos 4040021121r r r +=︒-+13361=r .3131802320133621sin 2121121=⨯⨯⨯==∆θF F r S PF F 1366422=-y x ,10,6,8===c b a 362=b .60︒=θ31318060cos 10860sin 1036cos sin 221=︒+︒⨯⨯=+=∆θθc a c b S PF F（2）解法一：在双曲线中，而记点P 在双曲线上，由双曲线定义得：在△中，由余弦定理得：解得：解法二：在双曲线中，，而【2004年福建高考题】已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率.【分析】由2ABF ∆是正三角形可知122AF AF =，根据椭圆的第一定义可求得a AF 2322⋅=.再由22130cos AF F F =︒可求得离心率e.若用性质九解题，求解更简便． 【解析】根据已知条件有.30,902121︒︒=∠=∠A F F F AF （如图3）.3330cos 60cos 23090cos23090cos2cos 2cos ==-+=-+=∴︒︒︒︒︒︒βαβαe 1422=-y x ,5,2,1===c b a .60︒=θ.||,||2211r PF r PF == ∴2.221221-===-r r a r r 21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(60cos 542021121-=︒-+r r r )25(81+=r 1583202352)25(821sin 2121121+=⨯⨯+⨯==∆θF F r S PF F 1366422=-y x ,10,6,8===c b a 362=b .60︒=θ=-︒︒⨯⨯=-=∆160cos 560sin 54cos sin 221a c c b S PF F θθ158320+【例1】已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2．【解析】(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3∴椭圆的方程为3422y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅． 【例2】点P 是椭圆14522=+y x 上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．【解析】设P 点坐标为),(00y x ,则 cc S c b y PF F 12tan 2120==⋅=∆θ 122=-=b a c.1100±=∴=∴y y把10±=y 代入14522=+y x 得.2150±=x .1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点----∴P 【例3】如图4，P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 求椭圆的离心率．图4【解析】由性质5有e e ee +-=⋅=⋅∴+-=⋅11cos 2cos 2sin cos sin 2cos 2sin1122tan 2tan 22αααααααee +-=+-∴11cos cos cos 122ααα化简，得 .1cos 2-=αe【2005年福建】已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，求双曲线的离心率.21221 .13113)32(3230tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(15tan 1130cot 15tan .11260cot 230tan +=∴+-=⋅-∴-=+-=-=+-=⋅∴+-=⋅︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒e e e e e e e 【2002年上海】如图6，已知1F 、2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且︒=∠3021F PF .求双曲线的渐近线方程． 【分析】由于双曲线的渐近线方程为x ab y ±=，若能求出a ,b 的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我们不易求出a ,b 的值，我们将x a b y ±=作一下变形，2222222222)1(x e x a a c x a b y ⋅-=⋅-=⋅=，若能求出e 的值，则渐近线方程就求出．知道︒=∠3021F PF ，=∠12F PF【解析】330sin 60sin 2sin 2sin ==-+=︒︒αβαβe .2222x y x y ±=∴=∴【例】已知点1F （0,2-）、2F （0,2），动点P 满足212=-PF PF .当点P 的纵坐标是21时，若令θ=∠21PF F ，求2cot θ的值． 【解析】由双曲线的第一定义可知点P 的轨迹方程为).0(122<=-x y x 则2,122==c b .所以 222122121=⋅⋅=∆c S PF F .222cot 222cot2=∴=⋅∴θθb。
