三角形的各个心总结与归纳资料讲解

内心、外心、重心、垂心1、内心(1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

(2)三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s= (r是内切圆半径)2④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 .⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/22、外心(1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。

(2)三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA⑥S A ABC二abc/4R 3、重心(1)三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

(2)三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。

③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心(1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

(2)三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上④厶ABC中,有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且AO- OD=BOOE=COOF⑤H A B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。

三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。

这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。

下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。

一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。

重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。

重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。

2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。

3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。

4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。

二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。

垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。

2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。

3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。

三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。

外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。

2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。

3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。

4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。

内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形的五个“心”一、重心：（又叫中心）1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S 三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S 四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）如图：△ABC 的中线AD 、BE 交于G （G 为重心），求证：AG=2GD证明：取C0的中点H ，取BO 中点G ，连接GH则GH=1/2BC 且GH//BC [中位线定理]又E 是AB 的中点，D 是AC 中点则ED=1/2BC 且ED//BC [中位线定理]则 GH=ED 且GH//ED则角EDO=角OGH又角DOE=GOH 且ED=HG所以△DEO 全等于△GHO所以DO=GO ---> DO=GO=BG --->BO:OD=2∶1 --->AG=2GD 二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。

三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。

内心、外心、重心、垂心定义及性质在三角形中，有四个非常重要的点，它们是：内心、外心、重心和垂心。

这些点的性质在几何学和三角学中都非常重要。

在本文中，我们将对这些点进行定义和它们的性质。

内心内心是一个三角形内部的点。

它是由三条角平分线所确定的点，也就是说，它到三角形三条边的距离相等。

性质1.内心是三角形的唯一的内接圆心。

2.内心到三角形三边的距离相等。

3.连接内心与三角形三个顶点的线段分别垂直于三边。

4.内心和三角形顶点的连线相交于三角形的垂心。

5.内心是三角形的重心、外心和垂心的欧拉线的交点之一。

外心外心是一个三角形外部的点，它是由三边中垂线的交点所确定的点。

外心是三角形外接圆的圆心。

性质1.外心是三角形的唯一的外接圆心。

2.连接外心与三角形三个顶点的线段分别垂直于相应的边。

3.外心到三角形三个顶点的距离相等。

4.三角形的角上的中垂线恰好交于外心。

5.外心到三角形三边的距离相等。

重心重心是由三条中线的交点所确定的点。

性质1.重心到三角形三个顶点的距离相等。

2.连接重心和三角形三个顶点的线段相等。

3.重心将每条中线分成两个部分，中心到三角形各边上的点的距离之和相等。

4.重心是三角形垂心和外心的中点。

5.连接重心与三个角平分线的交点构成的三角形是原三角形的等价三角形。

垂心垂心是由三边的垂线所交的点。

性质1.垂心到三角形三个顶点的线段中，最短的是对应于最大角的那一段。

2.垂心到三角形三个顶点的线段之和是定值，即为三角形的半周长。

3.三角形的顶点与对面边上的垂足之间的线段互相垂直。

4.三角形的三个垂直平分线相交于垂心。

5.垂心是三角形内心、外心和重心的欧拉线的交点之一。

内心、外心、重心和垂心是三角形中非常重要的点。

它们有许多有趣的性质，这些性质在解决各种几何问题时非常有用。

三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。

1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。

重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。

2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。

外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。

3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。

内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。

4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。

垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。

5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。

旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。

这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。

- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。

- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。

- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。

- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。

三角形的“五心”性质归纳总结（二）引言概述：在前文《三角形的“五心”性质归纳总结（一）》中我们介绍了三角形的“五心”性质，包括外心、内心、重心、垂心和旁心。

在本文中，我们将进一步讨论这五个心的性质，并归纳总结它们的重要特点。

正文：一、外心的性质1. 外心是可以通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点来求得的。

2. 外心到三角形的顶点的距离都相等，且等于外接圆的半径。

3. 外心是三条外角平分线的交点，也是三个外接圆的圆心。

4. 三角形的外心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

二、内心的性质1. 内心是可以通过三角形三个顶点的角平分线的交点来求得的。

2. 内心到三角形三边的距离都相等，且等于内切圆的半径。

3. 内心是三条角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。

4. 三角形的内心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

三、重心的性质1. 重心是可以通过三角形三个顶点和三边中点的连线交点来求得的。

2. 重心到三角形三边的距离相等，且等于重心到顶点的距离的三倍。

3. 重心是三条中线的交点，也是三个平行于边的中位线所围成的三角形的重心。

4. 三角形的重心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

四、垂心的性质1. 垂心是可以通过三角形三个顶点到对应高的垂线的交点来求得的。

2. 垂心的一个重要性质是垂心到三个顶点所形成的角度都是直角。

3. 垂心是三条高线的交点，也是三个高的垂线所围成的三角形的垂心。

4. 三角形的垂心不一定存在，只有当三边都有不大于90°的角时垂心才存在。

五、旁心的性质1. 旁心是可以通过三角形三个顶点的外角平分线的交点来求得的。

2. 旁心与对应边的距离相等，且等于旁接圆的半径。

3. 旁心是三条外角平分线的交点，也是三个旁接圆的圆心。

4. 三角形的旁心一般存在两个，只有当三个外角都小于120°时，三角形才存在两个旁心。

总结：通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们发现每个心都具有独特的性质和作用。

三角形五心相关结论与应用汇总三角形的五心分别是外心、内心、重心、旁心和垂心。

这五个点在三角形中各具特点，具有丰富的性质与应用。

1.外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等。

外心是三条中垂线的交点，同时也是三角形上各个边的垂直平分线的交点。

利用外心可以得到三角形的外接圆，进而可以确定三角形的形状。

2.内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形三条边的距离相等。

内心是三条角平分线的交点，同时也是三角形上各个边的角平分线的交点。

利用内心可以得到三角形的内切圆，进而可以确定三角形的形状。

3.重心是三角形三条中线（连接一个顶点和中点）的交点，重心离三角形三个顶点的距离都相等。

重心被认为是一个三角形的质心，可以将三角形视为一个平面上均匀分布的质点系统，重心就是该系统的质心。

在构造平衡结构等问题中，重心具有重要的作用。

4.旁心是指三角形的三个旁切圆的圆心，旁心到三角形对边的距离相等。

旁心到三角形两直角边的距离也相等。

旁心所在的直线与对边垂直，旁心是三角形上各个边的外角平分线的交点。

旁心在三角形的定位中有重要的用途，可以确定一些特殊的旁切圆。

5.垂心是指三角形三个顶点至对边的垂足所在的交点。

垂心到三角形各顶点的线段长度分别相等。

垂心所在的直线与对边垂直。

垂心具有一些特殊的性质，如垂心与外心、内心和重心共线等。

应用方面：1.构造外接圆和内切圆：利用外心和内心，可以分别构造三角形的外接圆和内切圆，确定三角形的形状。

2.求解三角形的位置：通过五心中的旁心，可以确定一些特殊的旁切圆和重心，用于求解三角形的位置。

3.确定三角形的特殊性质：通过五心可以确定一些特殊的线段和角度，进而推导出三角形的一些特殊性质。

4.建立平衡结构：利用重心作为质心，可以构建平衡结构，在建筑、工程等领域具有重要的应用。

5.解决几何问题：五心的性质可以应用于解决各种三角形相关的几何问题，如求解距离、角度、线段的长度等。

总之，三角形的五心具有丰富的性质和应用，可以用于解决三角形相关的几何问题，同时也可以应用于建筑、工程等领域。