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静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)

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第2章静电场

第2章静电场

“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2


总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)

拉普拉斯(Laplace)方程

拉普拉斯(Laplace)方程

1
在静电学里我们知道，真空中的Gauss定律的微分形式是
div−→E
=
1 ε0
ρ(x,
y,
z),
(1.3)
其中−→E (x, y, z)是静电场的电场强度，ε0是真空中的介电常数，ρ(x, y, z)是电荷密度。注
意到静电场是无旋的，即
∇ × −→E = 0 (等价地，curl−→E = 0),
(1.4)
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情况下，就得到Laplace方程。
实例四：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
程(1.1)(或(1.2))， 在Ω上 连 续 ， 并 且 在Γ上 的 任 一 点 沿 着Γ的 单 位 外 法 向 量n的 方 向 导
数
∂u ∂n
存在，并且满足
∂u ∂n
Γ
=
g.
(1.17)
边界条件(1.17)通常称为第:::二::类:::边:::界::条:::件::，也称为:N::e:u:m:::a:n:n::边::界:::条:::件::。
可得三维空间中的:L:a:p::l:a:c:e:方:::程::
u = 0.
(1.7)
实例二：静态引力场的引力势
导 出Laplace方 程 的 另 一 个 著 名 实 例 来 自 牛 顿 的 万 有 引 力 理 论 。 由 牛 顿 的 万 有 引

静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程

静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程

0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2

EM第12讲泊松拉普方程

EM第12讲泊松拉普方程

显然，由于两极板面无限大，故某x面上场在
Research Institute of RF & Wireless Techniques
12.3 一维泊松方程的解
方向分布均匀，板面上的电荷密度
均为
常数。作一柱形闭合面，其上、下底面积为
South China University of Technology
代入上式得:
应用高斯通量定理的解法物理概念清晰，而一维泊松
方程的求解法则更简单。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
小结
静电场的基本方程
South China University of Technology
泊松方程与拉普拉斯方程 一维泊松方程的解

2
Research Institute of RF & Wireless Techniques
12.3 一维泊松方程的解
例12-1 已知导体球的电位为U(设无穷远处的电位为
South China University of Technology
0)，球的半径为a，求球外的电位函数。
静电场的基本方程
积分形式：
微分形式： E 0
D
或E
在线性、各向同性媒质中，本构关系为：
静电场是无旋有散场。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
12.2 泊松方程与拉普拉斯方程
解:
令球心为球坐标系原点，在
电位 因此电场具
函数满足拉普拉斯方程，且 有球对称性，电位

静电势的Laplace方程和Poisson方程(精)

静电势的Laplace方程和Poisson方程(精)

又如杆的纵振动问题,若一端与一个一端固定的弹簧相连,则相 应的边界条件为
u
cu
0.
5
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
u [ u ] (, t ) n
其中
u 是边界上的变点； n
表示物理量
u
沿边界外法线方向的方向导数；
,
为常数，它们不同时为零．
6
上述三类边界条件,当函数
f r,t 0
时,分别称为
第一、第二、第三类齐次边界条件。
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
10
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
(混合边界条件)
第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数
的线性组合在边界上的取值，即
其中 r 取边界上的点.
u cun |rB f r , t
u0
x l
如在杆的热传导问题中,若在某个端点自由冷却,则边界条件 为

NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程

NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程

φ1 φ 2 ε1 = ε2 n n
第二章 静 电 场
四、介质分界面上电场方向的关系
当两种介质分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则 边界条件:
D1n = D 2 n
E1t = E2t
改写:
ε 1 E1 cos θ1 = ε 2 E 2 cos θ 2
E1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2
ρv d 2φ 2 2 φ2 = = 2 ε0 dy
d 2φ3 2 φ3 = =0 2 dy
第二章 静 电 场 将上面三个方程分别分两次可得
φ1 = C1 y + C2 ρv 2 φ2 = y + C3 y + C 4 2ε 0 φ 3 = C5 y + C 6
由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们 只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。
圆柱坐标系中: 圆柱坐标系中 球坐标系中: 球坐标系中
第二章 静 电 场
四 . 一维泊松方程的求解
P.66 例2-9 例2-10
第二章 静 电 场 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为 ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的 函数。 ;
两式相除:
tgθ1 ε1 ε r1 = = tgθ 2 ε 2 ε r 2
------静电场的折射定理 静电场的折射定理
电场方向在 交界面上的曲折
第二章 静 电 场

1.1 拉普拉斯方程与泊松方程

泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。

广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。

简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。

1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。

1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。

文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。

==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。

在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。

在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。

边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。

有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。

边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。

除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。

NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程教学内容

第二章 静 电 场
静电场计算中的两类问题
——已知场空间分布，求源电荷分布
• 利用高斯定理的微分形式 D 0 D E
——已知源电荷分布，求空间场分布
•利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）
D
s
ds
q0
• 应用场强叠加原理
电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，
且其中的介质是均匀线性和各向同性的。
E 0
本构关系: D E 线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 D
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r
0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数:
A 0, D 0,C va3 , B va2
30
20
第二章 静 电 场 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的 厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界 面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。
dy
E1
vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2
v y 0
yˆ

真空中静电场的基本方程

q 4e R c 0 r d 1 4e R c 0 s ds 1 c 4e 0 s R rl dl 1 c 4e 0 l R 点 体 面 线
式子中： R r r 为场与源的距离
对带电物体产生力
导体电子运动 J 介质极化
移C/m2
D
电位
||||||||
+++++++++
q er 法拉第定律: D 2 4 r
均匀介质点电荷周围 1840’s
麦克斯韦本构关系
Dr e E
均匀—e常数
F
m
e为材料特性参数
e e0 er
e13 Dx Ex D D E Ey e 23 y D E z z e 33 E r 2.场 D r
对于均匀介质:
E r
Dr
e
e er e0
介质中电场
E r 减少
e r为相对介电系数 (一至几千)
§3.3 电位函数
静电场 E 0, 即电位函数f
E 可用一标量梯度表示，
0, 等效得 E
直角坐标 E＝－ex ey ez x y z 电场等于电位梯度的负值 电场沿任意方向l的变化： El l E在l 上的投影 d El dl E dl
直角坐标下：
ex e y ez ex e y ez y z x y z x 2 2 2 2 2 2 x y z

s

对任意面（体积）均成立 ，我们可得到高斯 定理的微分形式：

泊松方程和拉普拉斯方程

泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。

广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。

简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。

1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。

1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。

文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。

静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。

在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。

在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。

边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。

有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。

边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。

除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。

各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。

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边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x jFra bibliotek biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
f t ,则相应的边界条件为 Yux x, t
x l
f t .
第三类边界条件
(混合边界条件)
第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数
3. 4.
Lu1 f ; L u2 f L u1 u2 0
L u1 f1 ; L u2 f2 L c1u1 c2u2 c1 f1 c2 f2 .
只有初始条件,没有边界条件 初值(Cauchy)问题 只有边界条件,没有初始条件 边值问题 既有初始条件,又有边界条件 混合问题
定解问题的适定性
定解问题解的存在性、唯一性和稳定性，统称为 定解问题的适定性。 存在性：定解问题是否有解 唯一性：定解问题的解是否唯一 稳定性：定解问题的解是否稳定 只要对实际物理问题的抽象是合理的，初始条件 完全地、确定地描写了初始时刻体系内部和边界上的 状况；边界条件完全而确定地描写了边界上任意一点 的状况，那么这样构成的定解问题就一定是适定的， 也就是说，解一定是存在的、唯一的和稳定的。
u x, y, z, t |t 0 x, y, z
对于振动过程，所需初始条件则需要包含速度的信息：
u x, y , z , t |t 0 x, y, z ut x, y, z , t |t 0 x, y, z
边界条件
体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界 条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况. 常见的边界条件可以分为三类
u x, y, z, t |r B f r , t u |r B f r , t n u cun |rB f r , t
第一类边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
第一类边界条件
(Dirichlet条件)
第一类边界条件给出未知函数在边界上的取值，即
u x, y, z, t |r B f r , t
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中,若在一端的温度为 T0e ,则
t
u x, t |xl T0e
x0
t
又如在两端固定的弦的振动问题中,相应的边界条件为
u x, t
0, u x, t
xl
0.
第二类边界条件
(Neumann条件)
第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值，即
其中 r 取边界上的点.
u x, y, z, t |rB f r , t u n n u
n
如在杆的热传导问题中 ,若在一端流入的热流强度为 则该端点处的边界条件为:
的线性组合在边界上的取值，即
其中 r 取边界上的点.
u cun |rB f r , t
u0
x l
如在杆的热传导问题中,若在某个端点自由冷却,则边界条件 为
ku x
x l
c u
x
x l
又如杆的纵振动问题,若一端与一个一端固定的弹簧相连,则相 应的边界条件为
线性（偏微分）方程的性质
引入线性算符 L，则线性（偏微分）方程总可以表示为：
ˆ u f L
其中 u 是未知函数；f 是已知函数，称为方程的非齐次项。
1. L
c1u1 c2u2 c1L u1 c2L u2
2.
L u1 0; L u2 0 L c1u1 c2u2 0
u
cu
0.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
u [ u ] (, t ) n
其中
u 是边界上的变点； n
表示物理量
u
沿边界外法线方向的方向导数；
,
为常数，它们不同时为零．
当函数
, t 0
时, 上述三类边界条件分别称为
第一、第二、第三类齐次边界条件; 否则称为非齐次边界条件.
静电场的Laplace方程和Poisson方程
弦的微小横振动方程和杆的纵振动方程
扩散和热传导方程 Schrödinger方程 定解问题和定解条件
初始条件
初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象 是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地 描述该现象。（稳定问题不需要初始条件） 如对于传导或扩散过程，需要初始条件确定体系的初始状态：