真空中静电场的基本方程

电磁场理论基础习题集（说明：加重的符号和上标有箭头的符号都表示矢量）一、填空题1.矢量场的散度定理为(1)，斯托克斯定理为(2)。

【知识点】：1.2 【难易度】：C 【参考分】：3【答案】：（1）()∫∫⋅=⋅∇SS d A d A v v v ττ （2）()S d A l d A SCvv v v ⋅×∇=⋅∫∫2.矢量场A v满足(1)时，可用一个标量场的梯度表示。

【知识点】：1.4 【难易度】：C 【参考分】：1.5【答案】：(1) 0=×∇A v 3.真空中静电场的基本方程的积分形式为(1)，(2)，微分形式为(3),(4)。

【知识点】：3.2 【难易度】：B【参考分】：6【答案】：(1) 0=⋅∫c l d E v v (2) ∑∫=⋅q S d D Sv v 0(3) 0=×∇E v (4)()r D vv ρ=⋅∇04.电位移矢量D v 、极化强度P v 和电场强度E v满足关系(1)。

【知识点】：3.6 【难易度】：B【参考分】：1.5【答案】：(1) P E P D D vv v v v +=+=00ε 5.有面电流s 的不同介质分界面上，恒定磁场的边界条件为(1),(2)。

【知识点】：3.8 【难易度】：B【参考分】：3【答案】：(1) ()021=−⋅B B n v v v (2) ()s J H H n v v vv =−×21 6.焦耳定律的微分形式为(1)。

【知识点】：3.8 【难易度】：B 【参考分】：1.5【答案】：(1) 2E E J p γ=⋅=v v 7.磁场能量密度=m w (1)，区域V中的总磁场能量为=m W (2)。

【知识点】：5.9 【难易度】：B 【参考分】：3【答案】：(1) 221H μ (2) ∫Vd H τμ2218.理想导体中，时变电磁场的=(1)，=(2) 。

【知识点】：6.1 【难易度】：A 【参考分】：3【答案】：(1)0 (2)0 9.理想介质中，电磁波的传播速度由(1)决定，速度=v (2)。

电磁场与波模拟题一、填空题1．矢量分析中的散度定理(或高斯公式)是 ，斯托克斯定理（或斯托克斯公式）是 。

2．空间位场()+()()x y z R e x x e y y e z z '''=--+-，||R R =。

则R ∇= ，1R ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭，R ∇⨯= 。

3．真空中静电场的基本方程的微分形式为 ， ，静电场用静电位表示为 。

静电位满足的泊松微分方程为____________________。

4．导体中稳恒电流场的基本方程的微分形式为 ， ，稳恒电流场用静电位表示为 。

静电位满足的拉普拉斯微分方程为____________________。

5．真空中恒定磁场的基本方程的微分形式为 ， ，恒定磁场用矢量磁位表示为 。

若引入库伦规范条件___________，则矢量磁位满足的微分方程为__________。

6．在时变电磁场中，定义动态矢量位A 和标量位ϕ，则磁场B =__________，电场E =__________。

若引入洛仑兹规范条件___________，则动态位满足的微分方程为_____________、______________。

7．在理想介质分界面上磁场强度H 满足的关系是 ，磁感应矢量B 满足的关系 。

8．在理想介质分界面上电场强度E 满足的关系是 ，电位移矢量D 满足的关系 。

9．应用分离变量法在解矩形二维场的问题时，位函数所满足的拉普拉斯方程为_______，其第一步是令(,)x y ϕ=________，然后可将此偏微分方程分解为两个_____微分方程。

10．复数形式的麦克斯韦方程组是___________、______________、_____________、______________。

11．无源空间的电磁场波动方程为_____________、______________；时谐场的波动方程的复数形式即亥姆霍兹方程是_______________、________________。

七静电场一、基本概念和规律1．库仑定律(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比，作用力的方向在两点电荷的连线上。

(2)公式：F＝k Q1Q2r2，式中的k＝9×109 N·m2/C2，叫静电力常量。

(3)适用条件：点电荷且在真空中。

2．电场、电场强度(1)电场：电场是电荷周围存在的一种物质，电场对放入其中的电荷有力的作用。

静止电荷产生的电场称为静电场。

(2)电场强度①定义：放入电场中某点的电荷所受的电场力F与它的电荷量的比值。

②公式：E＝F q。

(3)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。

(4)叠加性：如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。

3．点电荷电场强度的计算式(1)设在场源点电荷Q形成的电场中，有一点P与Q相距r，则P点的电场强度E＝k Qr2。

(2)适用条件：真空中的点电荷形成的电场。

4．电场线的用法(1)利用电场线可以判断电场强度的大小电场线的疏密程度表示电场强度的大小。

同一电场中，电场线越密集处电场强度越大。

(2)利用电场线可以判定电场强度的方向电场线的切线方向表示电场强度的方向。

(3)利用电场线可以判定场源电荷的电性及电荷量多少电场线起始于带正电的电荷或无限远，终止于无限远或带负电的电荷。

场源电荷所带电荷量越多，发出或终止的电场线条数越多。

(4)利用电场线可以判定电势的高低沿电场线方向电势是逐渐降低的。

(5)利用电场线可以判定自由电荷在电场中受力情况、移动方向等先由电场线大致判定电场强度的大小与方向，再结合自由电荷的电性确定其所受电场力方向，再分析自由电荷移动方向、形成电流的方向等。

5．电场的叠加(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和。

(2)运算法则：平行四边形定则。

电磁场与电磁波复习第一部分知识点归纳第一章矢量分析1、三种常用的坐标系（1）直角坐标系微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →→→→++=面积元：⎪⎩⎪⎨⎧===dxdy dS dxdzdS dydzdS zyx ，体积元：dxdydzd =τ（2）柱坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===dz dl rd dl drdl z r ϕϕ，面积元⎪⎩⎪⎨⎧======rdrdzdl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z zz r z r ϕϕϕϕ，体积元：dzrdrd d ϕτ=（3）球坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθθϕθd r dl rd dl drdl r sin ，面积元：⎪⎩⎪⎨⎧======θϕθϕθθθϕϕθθϕrdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：ϕθθτd drd r d sin 2=2、三种坐标系的坐标变量之间的关系（1）直角坐标系与柱坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=⎪⎩⎪⎨⎧===z z x y yx r zz r y r x arctan,sin cos 22ϕϕϕ（2）直角坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧===z yz y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 222222ϕθθϕθϕθ（3）柱坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕθθϕϕθ22'22''arccos ,cos sin z r z zr r r z r r 3、梯度（1）直角坐标系中：za y a x a grad z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μμμμμ（2）柱坐标系中：za r a r a grad z r∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μϕμμμμϕ1（3）球坐标系中：ϕμθθμμμμϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→sin 11r a r a r a grad r 4.散度（1）直角坐标系中：zA y A x A A div zy X ∂∂+∂∂+∂∂=→（2）柱坐标系中：z A A r rA r r A div zr ∂∂+∂∂+∂∂=→ϕϕ1)(1（3）球坐标系中：ϕθθθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=→A r A r A r rr A div r sin 1)(sin sin 1)(1225、高斯散度定理：⎰⎰⎰→→→→=⋅∇=⋅ττττd A div d A S d A S，意义为：任意矢量场→A 的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场→A 在限定该体积的闭合面上的通量。

第3章静电场分析以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场(包括恒定电场) 的特性和求解方法。

建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程，以及电介质的特性方程，将静电场的求解归结为电位问题的求解。

导出泊松方程和拉普拉斯方程，确立电场的边界条件。

介绍电容的计算，电场能量及静电力的计算。

§1 真空中静电场的基本方程由静止电荷形成的电场称为静电场。

一、静电场分析的基本变量1、场源变量—电荷体密度ρ(r )是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场。

2、场变量（1）电场强度矢量E (r )表示电场对带电质点产生作用的能力。

（2）电位移矢量D (r )反映电介质内存在电场时，电介质内的束缚电荷在电场作用下出现的位移现象。

（3）电流密度矢量J (r )反映物质内存在电场时，构成物质的带电粒子在电场强度的作用下出现运动或移动。

3、本构关系D=εEJ=εE二、真空中静电场的基本方程1、电场的散度—高斯定理（1）定理内容在静电场中，电位移矢量D 0穿过任意闭合曲面S 的通量等于曲面S 所包围的总电荷。

D ?dS=积分形式?0S?ρd ττD=ρ微分形式0（2）物理意义静电场是有源场，是有散场。

（3）定理证明立体角概念一面积元对dS 对一点O 张的立体角dS ?e r R2d Ω==d S cos θR2闭合曲面对面内一点O 所张的立体角因为闭合曲面的外法线为正。

所以整个积分区域θπ2，即，cos θ>0，所以d S ?e r R2πΩ=?=?R122πR sin θd θ=4π2闭合曲面对面外一点O 所张的立体角此时在整个积分区域中有一半是θc o s θπ2，即c o s θ>0。

而另一半是θ>π2，即。

电磁场与电磁波期末考试复习资料11.圆柱坐标系中单位矢量 ， 。

2.对于矢量A ，若 ，则=+•y x a y x a x )(2 ，=⨯x z a y a x 2 。

3.给定两个矢量z y x a a a A 32-+=，z y a a B +-=4，则矢量A 的单位矢量为 ，矢量B A ⋅= 。

4.已知直角坐标系中点P 1(5,-2,1),P 2(3,1,2),则P1的位置矢量为 ,P1到P2的距离矢量为 。

5.已知球坐标系中单位矢量 。

6.在两半无限大导电平面组成的直角劈形中间放置一点电荷，此时点电荷的镜像电荷个数为 。

7.点电荷q 在自由空间任一点r 处电场强度为 。

8.静电场中导体内的电场为 ，电场强度与电位函数的关系为 。

9.高斯散度定理的积分式为 ，它广泛的用于将一个封闭面积分变成等价的体积分，或者将一个体积分变成等价的封闭面积分。

10.已知任意一个矢量场A ，则其旋度的散度为 。

11.真空中静电场的基本方程的微分形式为 、 、 。

12.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量为 ，它们之间的关系为 。

13.斯托克斯定理为 ，它表明矢量场A 的旋度沿曲面S 的方向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。

14.任意一个标量场u ，则其梯度的旋度为 。

15.对于某一矢量 ,它的散度定义式为 ，用哈密顿算子表示为 。

16.介质中静电场的基本方程的积分式为 ， ， 。

17.介质中恒定磁场的基本方程的微分形式为 、 、 。

18.介质中恒定磁场的基本方程的积分式为 ， ， 。

19.静电场中两种介质分界面的边界条件是 ， 。

20.在无限大的导体平面上方d 处放一点电荷q ，则其镜像电荷电量为 ，位置位于 ；如果一个点电荷置于两平行导体中间，则此点电荷有 镜像电荷。

21.矢量场223z a yz a y x a A z y x ++=在点P(1,1,0)的散度为 。

22.一个半径为a 的接地导体球，一点电荷q 位于距球心d 处，则其镜像电荷带电量为 ，位置位于 ；当点电荷q 向无限远处运动时，其镜像电荷向 运动。