静电场基本方程

“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2


总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)

对场中一个点电荷，受力 F QE 仍成立
已知 x ，原则上可求出 E x 。若不能
积分,可近似求解或数值积分。但是在许多实际情
况 x 不总是已知的。例如，空间存在导体介
质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现 束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不 为
三、静电场的环路定理与旋度方程
1. 环路定理

⑴ ⑵
L
E dl 0
静电场对任意闭合回路的环量为零。 说明在回路内无涡旋存在，静电场线是不闭合的。
2、旋度方程

L
E dl E dS 0
S


E 0
⑴ 又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。 ⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
§1. 电荷和电场
一、库仑定律和电场强度
1. 库仑定律
F
Q’
F
QQ ˆ r 2 40 r 1
r
Q
描述一个静 止点电荷对 另一静止点 电荷的作用 力
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对Q的作用 力为 F F ；⑶ 两种物理解释: 对静电情 超距作用：一个点电荷不需中间媒介 况两种观 直接施力与另一点电荷。 点等价 场传递：相互作用通过场来传递。
例题： 电荷 Q均匀分布于半径为 a的球体内，求各点场强 的散度和旋度。
§2
电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
J 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向 两者关系：
I dI J dS

图 1-3
图 1-4 （2）如图 1-5，也可以将区域内的积分公式用到边界点上，这时边界要从外部绕过场 点。半球面上边界的法线方向和源点到场点距离方向相反。
P =

e e 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R 40 R n 40 R P
1
电场的积分方程
1、 静电场强度的基本方程 静电场的基本物理量是电场强度。 产生电场的源是电荷。 电荷在电场中受到电场力的作 用。库仑定律描述了电荷之间的电场力。根据库仑定律，结合电场强度 E 的定义，可得出 自由空间（无限大真空空间）中电场强度的积分公式，如式 1-1。
E
1 4 0

V
e R dV R2
1-14
针对格林定理表达式右侧的第二项积分中的第一部分，设在 P 上
u 为有限值，当 n
R 0 ，有
R d R d lim lim (max ) lim R(max )0 2 2 R 0 R 0 4 R 0 4 n R n R n P P
1-22
因导体是等电位面，且为闭合面，场点在闭合面之外，最后一项积分中的第二部分
(0)
C
1-23
故可得积分方程
e e P 1 1 = d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d+ (0 )d 2 40 R 40 R n 40 R 40 R n P C
1-21
图 1-5
图 1-6 边界积分方程 1-19 和 1-21，实际上完全相同。
7、 导体表面积分方程 当区域内存在导体时，可将导体从区域内挖掉，导体表面成为区域边界的一部分。导体 表面的区域边界是闭合面，其法线方向指向导体内部，如图 1-7。 （1） 场点在导体表面以外的边界上 这时电位积分公式中增加一项导体表面的边界积分项。

0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2

s
V=4r3/3 dv=4r2dr
r0
r 0
r2
r4 a2
4
r 2 dr
4r0
r3 3
r5
5a2
D内
r0
r 3
r3 5a2
r=a时 (连续)
D内
D外
2 15
r0a
解法二： 微分形式解 • Dvr r r 球坐标
∵对称性,D外仅有er 分量：
evr ev 0 evr ev 0
在球外 r r 0
1 r2 r
r 2 D外
0
D外
C2 r2
当 r ∞ 时可看成点电荷：
D外
1
4
q r2
1
4
8
15
r
0
a
3
1 r2
C2
2 15
r0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r≤a):
1
r2
r
r 2D内
r0
1
r2 a2
r 2D内
2r 0
r0 1
r2 a2
r
2dr
q
4e 0 R
c
点
1
4e
0
1
rd c
R
sds c
4e
0
1
4e0
s l
R
rl dl
R
c
体 面 线
式子中： R r r为场与源的距离
电位——电场的表示式对比
f 1 rd c 3.7
4e 0 R
Er
1
4e
0
r r
1 R
d
2.6
可见f 的计算式简便得多 标量积分，

图2.1电介质的极化
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We

1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。

S
ˆ qr D 4r 2
在 a<r<a+b
在r>a+b
D E

ˆ qr E 4r 2 ˆ qr E 4 0 r 2
a b qdr qdr q 1 r 1 (a) E dl ( ) 2 2 4r a b 4 0 r 4 a a b a a
D E
介质的结构方程
r
与坐标无关，是常数－－均匀介质 与坐标有关，是函数－－非均匀介质
(r )
与电场大小无关－－线性介质 与电场大小有关——非线性介质 ( E )
与方向无关——各向同性介质 与方向有关——各向异性介质
各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵
Dx 11 12 13 Ex D E y 21 22 23 y Dz 31 32 33 Ez
D(r ) dS q
S
积分形式
静电场高斯定理
E 0
D
微分形式
E dl 0
l
D E
E
电位方程
E
为常数时

2
图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
1 1 ' ( 1) D
r
r
无源区的均匀介质中
' 0
r
4.高斯定律的积分形式
D
V 散度定理
DdV

S
V
dV
D dS q
D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。

ˆ s
1 2
E2
ˆ n
1
2
E1
S 0
tˆ
Research Institute of Antennas & RF Techniques
10.5 介质分界面上电位边界条件
利用电位与电场的关系 E ，可得
South China University of Technology
ˆ S ( D1 D2 ) n
h 0
Research Institute of Antennas & RF Techniques
同时
Q
South China University of Technology

V
dv hS s S
h 0
ˆ 是由介质2指向介质1。 注意: n
0 x 2 U 0 0 d ˆx E a 2 0 d d 6 0
Research Institute of Antennas & RF Techniques
10.2 静电场的边界条件
已经得到静电场和电位满足的方程
South China University of Technology
解：根据题意，有泊松方程 0 x 2 0 xd 0d 且满足
0, x 0 U 0 , x d
因为 分布仅为x的函数，故 ( x)
Research Institute of Antennas & RF Techniques
故
1
2
介质交界面 金属边界
Research Institute of Antennas & RF Techniques

例 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。
解： 用高斯定理可以得到电场为
E E
qr 4 0 a q 4 0 r 3
3
(r<a)
(r<a)
所以
1 We 0 E 2 dV 2 V 1 q 0 4 2 0 3q 2 20 0a
–微分形式说明：
• 静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
旋度方程：
E 0
E dl 0
C
微分形式 积分形式
• 物理意义：
– 它们说明静电场是一种保守场。 – 积分形式说明：电场力做功的大小与路径无关。 – 微分形式说明：静电场没有旋度源；
高斯定理
积分形式 微分形式
内、外导体间的电压为
U E dr E1 dr E2 dr
a a r0
b
r0
b
l 2
1 b 1 r0 1n 1n r0 1 a 2
因此，单位长度的电容为
C
l
U

2
b 1 r0 1n 1n 2 r0 1 b
Q E dS
D dS q
s
S

E

D
利用物质特征方程
D E
1 4 0 9 109
1 0 8.85 1012 ( F / m) 4 9 109
例1 ：已知场求源，书例2.3（球坐标系） 解：真空中高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为
l E e (V / m) 2
则两导体间的电位差
a b U

答：（B）
14
3、 两 个 板 间 距 相 同 的 平 行 板 电 容 器， 如 图 所 示。 内 部 充 满 两 种 介 质， 介 电 常 数 如 图 中 所 标， 若 介 质 的 击 穿 场 强 都 一 样 时， 且 两 个 电 容 上 的U0都 以 同 一 比 例 逐 渐 增 大， 则 首 先 被击穿的介质是
A. 介 质 Ⅳ B. 介 质 Ⅰ C. 介 质 Ⅱ
答：（C ）
ⅠⅡ
r 4 r 2 dd
22
U0
Ⅲ r 4 Ⅳ r 2
d
U0
15
§1.4 静电场边值问题
唯一性定理
19
§1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：
E 0
• D
D E
0 （均匀电介质）
E = -
E2
E1n P
E1t E1
E2n
△l1
△l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
7
3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷
D2n – D1n = =0
E1t = E2t
D1 = 1 E1 D2 = 2 E2 1 E1cos 1= 2 E2cos 2
E1sin 1= E2sin 2
z
x )ey ( x
y
)ez
=0
可能为静电场。
4
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
r 3 Ar 2
Er
(a
5
Aa4 ) / r 2
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
解：
• D
0 •

defa 上电场强度为常矢量 E1 。
分段积分可得
yE2 en +2xE2 et yE2 en yE1 en 2xE1 et yE1 en =0
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
8
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
消去相互抵消部分，得
2xE2 et 2xE1 et =0
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
工程电磁场
王泽忠
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
1
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
2.7 静电场的基本方程与分界面衔接条件
1．静电场基本方程的微分形式
电场强度的旋度和电位移矢量的散度满足的方程。
就是静电场基本方程的微分形式
E 0
D
在各向同性电介质中，辅助方程为
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
14
工程电磁场
长方体后侧面总面积 4xy ，
主讲人： 王泽忠
其中下半部分面积 2xy ，在第一种电介质中，
上半部分面积 2xy ，在第二种电介质中，
其法线方向与分界面切线方向 e 相反。 长方体前侧面总面积 4xy ，
其中下半部分面积 2xy ，在第一种电介质中，
l = 2 x 趋近于 0，但不等于 0，因此得
(E2 E1) et =0
由上图可知 et e en ，代入上式得
E2 E1 et = E2 E1 e en 0 再根据矢量恒等式 a b c b c a ，有
E2 E1 e en e en E2 E1 0
D E

2）解为球坐标系下的表达形式。
Q ( 4 r 2 er ) (r a) 0 (r a) 0 1 2 Qr E ( Qr e ) (r a) r 2 r (r 4 a3 ) (r a) r 0 3 4 a 0 0 E 3Q 4 a3 0 0
S

E (r ) dS
1

(r )dV
Q
球对称分布：
8
a
ρ0 O
9
轴对称分布
无限大平面电荷
例1 求电荷密度为 S 的无限大面电荷在空间中产生的 电场。 分析：电场方向垂直表面。在 S n 平行电荷面的面上大小相等。 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有
s S E1 (r ) ez S E2 (r ) (ez ) S 0 s ez ( z 0) s 2 0 E 2 0 E s ez ( z 0) 2 0 10
E (r )
1 4 0

V'
(r ')
R dV ' 3 R
(r ') R E 3 dV ' V ' 4 R 0
R 3 0 R
E 0 ——静电场是无旋场，或保守场。 5
2．静电场的环路定理 对静电场取任意闭合回路L作路径积分： 由Stokes定理得： E d l ( E ) d S 0
对高斯定理的讨论 物理意义：静电场 E 穿过闭合面S的通量只与闭合面内
所围电荷量有关
静电场是有源场，静电荷是其散度源。
4
二、真空中静电场的旋度
1．静电场的旋度：

rp??处体积元在点的电位的贡献处体积元在点的电位的贡献r?pvsovdzyxn?r?r??r?pv???303044rrprqlr??????????????cos??303044rrrrvrprrrpr????????????????????????????楠ewnsr?r??r?p做积分可以得到整个极化介质的电位做积分可以得到整个极化介质的电位????????????vvdvrrrrrprr3041??????????????????303044rrrrvrprrrpr????????????????????????????做变换可得???????vdvrrrpr?????1410??????楠ewns???????vdvrrrpr?????1410??????利用矢量变换性质可得?????????????vvdvrrrpdvrrrpr?????????004141??????????r?r??r?p面电荷电位形式体电荷电位形式nrp????面电荷密度rp?????体电荷密度??????????vsdvrrrpdsrrnrp?????????004141??????r???楠ewns极化介质产生的电位可以看做等效体电荷和等效面电荷在真空中共同产生的这些等效电荷也称为极化介质产生的电位可以看做等效体电荷和等效面电荷在真空中共同产生的这些等效电荷也称为极化电荷或者束缚电荷????????nrprrprspp?????????????上面的结果也适用于极化介质内部任意一点电位的计算有了电位表达式就能求出极化介质产生的电场
N
W楠 E
S
在外电场作用下，或者电介 质中的分子产生附加电矩，或者 固有偶极矩取得了外电场的取 向，这种现象就称为介质的极化
从微观角度看，电介质的极 化可以分为两种：非线性分子的 极化叫做位移极化，极性分子的 极化叫做取向极化。

以分界面上点P 作为观察点，作一 以分界面上点 作为观察点， 小扁圆柱高斯面（ ∆ L 根据
→ 0 ）。
△S
∫
r r D ⋅ dS = q
D D1 1
图2.5.2 在电介质分界面上应用高斯定律
则有 − D 1 n ∆ S + D 2 n ∆ S = σ ∆ S
D2 n − D1n = σ
r r r en ⋅ ( D2 - D1 ) = σ
ϕ1 −ϕ2 = lim∫1
1→2
2
r r d d E ⋅ dl = lim( E n + E2n ) =0 1 d →0 2 2
图2.5.4 电位的衔接条件
因此
ϕ1 = ϕ2
∂ϕ 2 ∂n
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。 表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
Q
所以
D1 n = ε 1 E 1 n = − ε 1
∂ϕ1 ∂n
,
D2n = ε 2 E 2n = −ε 2
∂ϕ1 ∂ϕ2 ε1 −ε2 =σ ∂n ∂n
D 2 n − D1 n = σ
表明: 电位的导数是不连续的。 表明: 一般情况下 (σ ≠ 0) ,电位的导数是不连续的况
当分界面为导体与电介质的交 界面时，分界面上的衔接条件为： 界面时，分界面上的衔接条件为：
静电场的旋度恒等于零的性质 解：根据静电场的旋度恒等于零的性质, 根据静电场的旋度恒等于零的性质,
r ex r ∂ ∇× A = ∂x Ax r ey ∂ ∂y Ay r ez ∂ ∂z Az
∂Ay ∂Ax r ∂A ∂A r ∂Az ∂Ay r − )ex + ( x − z )ey + ( − )ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

对点电荷电场的旋度方程积分形式书上有证对于多个电荷或者任意电荷分布所形成的电场根据电场叠加原理或者电场力做功叠加的原理不难证明旋度方程的积分形式
2.1 静电场的基本方程
散度方程 旋度方程 物质本征方程
电磁场与电磁波
1
☆ 先认识一下这些方程
积分形式 1. 真空中的高斯定理 散度方程 微分形式
D dS q
E ? D 0E ?
电磁场与电磁波
8
方法二：静电场的基本方程 1 2 (r ) 场点在球内 D 2 (r D) ＝ 场点在球外 r r 0 注意“边界条件”——微分方程定常数！
r＝a时，…… r＝∞时，…… 边界条件将在后文学到
电磁场与电磁波
微分形式说明：
静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
电磁场与电磁波
7
例1. 求电位移
已知:真空中半径为a的球形区域内,电荷分布的按照某 个体密度分布, (r ) 0 (1 r 2 / a 2 ) 求电通量密度. 分析：
“球体”——“对称性”——球座标！ 要分“球内”、“球外”分别计算！
方法一：Electrostatic Gauss’s Law
S S
E dS E R dS E R ( 4r )
S 2
r 2
1 E dS
0 V
dV
? 场点在球内 r a dV (r ) (4R )dR 0 ? 场点在球外 r a V
请注意：此处的 q 是指自由电荷qf ！！！ 详细证明过程从略。 详见书：P25－26 ?????
证明要点： 1. 仅一个电荷时，证明… 2. 多个电荷时，“叠加原理” 3. 任意曲面上求积分时，“立体角”

静电场定义由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。

静电场性质根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。

注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。

是实际带电体的理想化模型。

当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。

静电场的泊松方程由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。

电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。

上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。

这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。

如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则墷2φ=0称为拉普拉斯方程。

泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。

可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。

静电场知识点一、库仑定律①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e表示，大小为②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

表达式：，其中静电力常量二、电场①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。