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量子力学 3-2-结合能

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2.3-结合力和结合能

2.3-结合力和结合能
第二章 晶体的结合 2.3 结合力和结合能
徐智谋
华中科技大学光电子科学与工程学院
1
结 合 力
对上述相互作用势(近似)表达式进行求在平衡位置处的一阶导 数和二阶导数的关系可以得到：m<n.
证明？
2
ห้องสมุดไป่ตู้
表明，随着距离的增大，排斥势要比吸引势更快的地减小，即 排斥作用是短程效应。
3
当两原子相距很远时，相互作用力为零； 当两原子逐渐靠近，原子间出现吸引力； 当r=rm时，吸引力达到最大；当距离再缩 小，排斥力起主导作用； 当r=r0时，排斥力与吸引力相等，互作用 力为零； 当r<r0时，排斥力迅速增大，相互作用主 要由排斥作用决定。 当r>rm时，两原子间的吸引作用随距离的 增大而逐渐减小，所以可以认为rm是两 原子分子开始解体的临界距离。 原子间的相互作用
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7
• 以上公式原子相互作用势能主要适用于分子晶体、 离子晶体，但不适用于共价相互作用。主要是由 于共价作用方向性很强，不仅与距离有关系，还 与夹角有关。 • 从以上公式可见，K的大小与A、B的值有关。下 面来学习不同类型结合时参数A、B的确定。
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4
结 合 能
不考虑温度效应
系数1/2的出现是为了消 系数1/2的出现是为了消 除一种相互作用两个表 示形式的问题。
假定一：晶体中两个最近邻原子间作用为主要部分 假定二：晶体表面原子数与总原子数相比可忽略。（晶体无限大） 上式简化为： 上式简化为：
N U = ∑u(rijj) α 2 j
(2.4)
5
α:对应晶体内一认定的任一原子， α ≠j
由式(2.4)式可知，原子相互作用势能的大小由 两个因素决定：一是原子数目，二是原子间距。这 两个因素合并成一个因素便是：原子相互作用势能 原子相互作用势能 是晶体体积的函数。 是晶体体积的函数 若已知原子相互作用势能的具体形式，我们可 以利用势能求出与体积相关的有关常数。最常用的 是晶体的压缩系数和体积模量 体积模量。（压缩系数和体积 体积模量 模量互为倒数关系）

第二章量子力学

第二章量子力学

原子的总角动量 总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如： 四个量子数的物理含义是什么？ 固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类 超导体 导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对 自由电子 电子、空穴 电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平 面 波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时： 轨道角动量与自旋角动量分别为反平行 和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能 固体中原子结合能一般可用下面 公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成 例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量 全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0； 未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况

量子力学填空解答题答案

量子力学填空解答题答案

原子物理复习题答案填空题1. 0.2122. 9383.12C ； 1/12。

4. 10.2 5. 密立根；电荷。

6、8/9，2/3；7、67.4,17.3,59.1,3,1076.410 A Am -⨯； 8、10-15m,10-10m,原子核是模型是正确的，核只占原子中很小部分； 9. 碱金属光谱的精细结构；斯特恩-盖拉赫实验.。

10. 2.86⨯10211. 0.66 12. 2/122/122/32/122P 2S P 2S →→n n 。

13. n 、l 、s 、m l 、m s ; 2（2l+1） 14. 主; 二 15. 0.013nm , 8.8⨯106m ⋅s -1 。

16. 4.44⨯10-6 提示：精细结构引起的能量移动为: -+-Rhc n j nα2311234(/) 电子动能与电子与核静电相互作用能之和为: -Rhc n 2其比为:α211234n j n +-⎛⎝⎫⎭⎪/ 17、s T 4，p T 4，p T 4，D T 4； 18、T 4s ；T 4D 19、 21≥∆∆x p x ； 20、 21≥∆∆t E ； 21.4πmc ev ∆~或hc v μB ∆~； 1.00。

22. 氦；10S （或2s2s S 10）；3。

23. ±1；0，±1（0→0除外）。

24. 单（或三）; 三（或单）; 两; 仲（或正）; 正（或仲）。

25. （1s2s ）3S 1 （前面的组态可以不写）；∆S =0（或∆L =±1，或∑ii l =奇⇔∑ii l =偶）；亚稳。

26. 4；1；0,1,2； 27、11p ,21D ,31F 和0123p ,1233D ,2343F ；28. 2； 0.927⨯10-23J 或5.79⨯10-5eV 。

29. 原子的有效磁矩是原子的总磁矩在总角动量方向上的投影。

30. 在同一原子中不能有两个或两个以上的电子处于同一状态（或：在同一原子中不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的n l m m l s ,,,四个量子数）；费米; 玻色。

固体物理 第二章 结合能

固体物理 第二章 结合能
在两原子间的自旋反向电子对似乎产生吸引力，使两 原 子 键 和 ， 从 而 能 量 降 低 ， 称 为 成 键 态 （ bonding state）。 能量较高的-态则称反键态（antibonding state），电 子处在-态时，能量高于自由原子情形，不利于原子 间的键和。
固体物理第二章 23
固体物理第二章
17
固体物理第二章
18
3
典型的共价键是氢分子的共价键，两个氢原子 的价电子，围绕着两个氢原子核运动，形成 电子云。在两个氢核之间，为两个氢核所共 有。实际上，共价键的现代理论正是由氢分 子的量子理论开始的。 设想有原子A 和 B ，它们表示互为近邻的一对 原子。当它们是自由原子时，各有一个价电 子，归一化的波函数分别用 A 、 B 表示，即：
这一四体问题迄今还不能严格求解，需作近 似处理，常用的比较成功的做法是分子轨道 法 (Molecular Orbital Method) 。忽略电子 - 电 子间相互作用，且假定 ： (r1 , r2 ) 1 (r ) 2 (r )
固体物理第二章 20
2 2 2 2 1 2 VA1 VA 2 VB1 VB 2 V12 2m 2m

* H dr
* H aa * A H A dr B H B dr 0
* H ab * A H B dr B H A dr 0

* dr
2 2C ( H aa H ab )
+态波函数是对称的，可填充两个自旋相反的电子， +态的能量亦低于自由氢原子1s态的能量。较多出现
固体物理第二章 3
2-1 结合力的普遍性质与结合能
研究组成晶体的原子结构和它们之间的结合力与结 合力的性质，是固体物理中最基本、最重要的问题 之一。 不同的晶体具有不同的结合力类型，但它们的结合力 在定性上具有共同的普遍性质。 在晶体中，粒子的相互作用可分为吸引作用和排斥作 用两类。当粒子间距离较远时(大于几个A)，吸引作 用为主；当距离较近时 ( 小于平均粒子间距)，排斥 作用为主；当距离适当时，二者相等，相互抵消， 使晶体中的粒子处于平衡状态。 首先研究处于基态的两个相同的原子由相距无穷远处 移到一起时能量和结合能变化的情形。

2.3-结合力和结合能

2.3-结合力和结合能

N U u (r a ijj) 2 j
(2.4)
5
a:对应晶体内一认定的任一原子， a ≠j
由式(2.4)式可知，原子相互作用势能的大小由 两个因素决定：一是原子数目，二是原子间距。这 两个因素合并成一个因素便是：原子相互作用势能
是晶体体积的函数。
若已知原子相互作用势能的具体形式，我们可
以利用势能求出与体积相关的有关常数。最常用的
当r<r0时，排斥力迅速增大，相互作用主 要由排斥作用决定。
当r>rm时，两原子间的吸引作用随距离的 增大而逐渐减小4
结 合 能
不考虑温度效应
系数1/2的出现是为了消 除一种相互作用两个表 示形式的问题。
假定一：晶体中两个最近邻原子间作用为主要部分 假定二：晶体表面原子数与总原子数相比可忽略。（晶体无限大） 上式简化为：
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第二章 晶体的结合
2.3 结合力和结合能
徐智谋
华中科技大学光电子科学与工程学院
1
结 合 力
对上述相互作用势(近似)表达式进行求在平衡位置处的一阶导 数和二阶导数的关系可以得到：m<n.
证明？
2
表明，随着距离的增大，排斥势要比吸引势更快的地减小，即 排斥作用是短程效应。
3
当两原子相距很远时，相互作用力为零； 当两原子逐渐靠近，原子间出现吸引力； 当r=rm时，吸引力达到最大；当距离再缩 小，排斥力起主导作用； 当r=r0时，排斥力与吸引力相等，互作用 力为零；
是晶体的压缩系数和体积模量。（压缩系数和体积
模量互为倒数关系）
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7
• 以上公式原子相互作用势能主要适用于分子晶体、 离子晶体，但不适用于共价相互作用。主要是由 于共价作用方向性很强，不仅与距离有关系，还 与夹角有关。 • 从以上公式可见，K的大小与A、B的值有关。下 面来学习不同类型结合时参数A、B的确定。

2-固体的结合力结合能与材料性能的关系

2-固体的结合力结合能与材料性能的关系


表2-17 几种氧化物的结合能(102kJ· mol-1)
晶格类型 氧化物 MgO CaO SrO BaO CdO FeO CoO NiO BeO ZnO ZrO2 ThO2 UO2 TiO2 SnO2 PbO SiO2 α-A12O3 Cr2O2 按玻恩-哈伯循 环 38.1 34.4 32.7 31.5 37.4 38.6 39.4 40.3 44.6 39.9 110 — — 120 122 112 129 152 150 156 154 按玻恩公式 39.2 34.8 32.8 31.0 36.5 39.7 39.8 40.5 45.2 41.1 — — — — 114 110 熔点/℃ 2 800 2 560 2 460 1 925 — — 1 805 1 960 2 570 1 260 2 690 3 300 2 800 1 830 1 800 — (1 723) 2 050 2 200

当相邻异号离子间的距离R为平衡距离R0时，体 系的互作用势能为最低，可求得晶体的互作用势 能:
这个公式又称为玻恩公式。

按晶体结合能的定义，结合能的值应该等于把 1mol的晶态化合物中的正负离子拆散为气态离 子时所需的能量。今以NaCl为例加以说明：E 是无法直接用实验方法测定的，但可以用下列 玻恩-哈伯循环来进行计算。
max K 2 E0 D
(2-101)
E0是稳定态时作用势，也称本征作用势， 在式(2-64)中， b/Rn R« R0时才起作用。 当 R=R0 时，此项可忽略不计，即 E0≈-a/R0m， 即E0∝1/Rn∝R-n。
NaCl型
六方ZnS型
CaF2型
金红石型
石英
刚玉型
2.3 结合能与离子晶体性能的关系

原 子 物 理

第一讲 原 子 物 理自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。

本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。

§1.1 原子1．1．1、原子的核式结构1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。

1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。

1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm 以下。

1、1．2、氢原子的玻尔理论1、核式结论模型的局限性通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。

电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。

由此可得两点结论：①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统；②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。

原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。

如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。

为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。

2、玻尔理论的内容：一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。

原子能级与结合能的关系是

原子能级与结合能的关系是引言：原子能级与结合能是物理学中非常重要的概念。

原子能级描述了原子内部电子的能量状态，而结合能则是指原子核中的质子和中子结合在一起所释放出的能量。

本文将探讨原子能级与结合能之间的关系，从微观的角度解释这一现象。

一、原子能级的概念与性质原子能级是指原子内部电子的能量状态。

根据量子力学的理论，电子在原子中具有离散的能量值，这些能量值被称为能级。

原子能级是由原子核吸引住的电子所具有的能量，它决定了原子的化学性质和光谱特性。

原子能级的性质如下：1. 原子能级是离散的，即只能取特定的能量值。

这是由于量子力学的限制，电子只能处于特定的能态。

2. 原子能级可以分为不同的壳层，每个壳层又可以分为不同的亚壳层和轨道。

不同的壳层对应不同的能量范围。

3. 原子能级的能量是有序排列的，通常从低能量到高能量。

二、结合能的概念与计算方法结合能是指原子核中的质子和中子结合在一起所释放出的能量。

原子核中的质子和中子之间通过核力相互吸引，当它们结合在一起时会释放出能量。

结合能是核反应和核能源的重要参数，也是评价核稳定性和核聚变聚变性的指标。

结合能可以通过以下公式计算：结合能 = （质子的质量 + 中子的质量 - 原子核的质量）* c^2其中，c为光速。

三、原子能级与结合能的关系原子内部的电子和原子核之间通过电磁力相互作用。

当电子处于较低的能级时，它们与原子核的相互作用较弱，电子容易被外部电场或光照激发到更高的能级。

而当电子处于较高的能级时，它们与原子核的相互作用较强，电子的跃迁需要吸收或释放能量。

原子能级与结合能之间存在着紧密的联系。

原子能级的分布情况决定了电子的能量状态，而电子的能量状态又影响了原子核中的质子和中子的结合能。

当电子能级较低时，电子与原子核的相互作用较弱，原子核的结合能较小。

而当电子能级较高时，电子与原子核的相互作用较强，原子核的结合能较大。

四、实验验证与应用科学家通过实验验证了原子能级与结合能之间的关系。

结合能公式推导

结合能公式推导在物理学中，结合能是指核反应中，重核裂变为轻核或轻核聚变为重核时需要吸收或释放的能量。

结合能的大小对于核反应的稳定性和能量释放有着重要的影响。

本文将通过推导结合能公式，帮助读者更好地理解结合能的概念和计算方法。

结合能的定义结合能是核反应中释放或吸收的能量，通常用来描述核内核子间相互作用力的强度。

在核反应中，当重核裂变为轻核或轻核聚变为重核时，会有一定的质量差，这正是结合能的体现。

结合能的大小取决于核子间的相互作用力强度，不同的核子组合具有不同的结合能。

结合能公式推导假设一个核反应中，初始状态为重核A，裂变或聚变后得到核子数为Z和A-Z的两个轻核B和C。

设裂变或聚变反应产生的能量为Q。

根据质能守恒定律，反应前后的总质能应该保持不变。

即初始状态的质能等于最终状态的质能，即 \[M_Ac^2 = (ZM_B + (A-Z)M_C)c^2 + Q\]这里，\(M_A\)、\(M_B\)、\(M_C\)分别表示核A、B、C的质量，c为光速。

结合能\(BE\)可以定义为核反应中释放的能量，即内相关能和核子间引力的能量之和。

\[BE = c^2(M_A - ZM_B - (A-Z)M_C)\]根据质能守恒定律，结合能与反应释放的能量之间存在如下关系： \[Q = BE\] 将结合能公式代入质能守恒方程中，得到 \[M_Ac^2 = (ZM_B + (A-Z)M_C)c^2 + BE\]化简可得 \[BE = c^2(M_A - ZM_B - (A-Z)M_C)\]综上所述，结合能公式推导完成。

结合能是核反应中重要的概念，通过上述推导，我们可以更好地理解结合能的定义和计算方法，为核反应研究提供理论基础。

结语结合能是核物理学中的重要概念，对于核反应的研究具有重要意义。

通过推导结合能公式，我们可以更深入地了解结合能的计算原理，为核反应研究提供理论支持。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

第五章 晶体中电子能带理论讲解

的数量级，这是一个非常复杂多体问题，不做简
化处理根本不可能求解。
I.
Born － Oppenheimer （波恩 - 奥本海默）近似（绝热近
似）：离子实质量比电子大，运动慢，而电子对离子的
运动响应非常迅速，以至于认为离子固定在瞬时位置上 。所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上， 电 子围绕着原子核在其固有势场中做高速运动。在这种近 似模型下原子核的动能等于零，而势能则是一个固定的
ˆ, H ˆ ] 0 证明平移算符与哈密顿算符对易：[T
ˆ 两者具有相同的本征函数：T

( Rn ) ei k R
n
利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值，给出电子波函数的形式式
1、平移对称算符 T ( Rn )
T ( Rn ) f ( r ) f ( r Rn )
能带论的三个基本（近似）假设：

假定在体积 V=L3 晶体中有N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应
地有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为:

哈密顿量中有5部分组成，前两项为电子的动能和电子之间 的相互作用能，三、四项为离子实动能和相互作用能 ,第五 项为电子与离子实之间的相互作用能。

由于晶体中离子和电子数密度通常在1029/ 平方米
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
ik Rn ( r Rn ) e ( r ),
其中 k 为电子波矢， Rn n1 a1 n2 a2 n3 a3 是格矢。
布洛赫定理的证明
步骤
引入平移算符：T ( Rn )
到的原子实和其余电子的相互作用势具有平移对称性。
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第三讲固体的结合
固体结合类型
元素和化合物晶体结合的规律性
固体结合能
1
结合能和内能函数
晶体形成的能量条件：晶体内能应低于组成粒子处于自由状态下的总能量。

晶体结合能E b：自由粒子（原子、分子或离子）结合成晶体所释放的能量。

量
用U表示晶体所有粒子相互作用能之总和，即内能。

晶体的内能即系统的总能量，即势能和动能之和。

显然，U是最相邻粒子距离r的函数，用的总能量即势能和动能之和显然的函数用U(r)表示；也可以表示为晶体体积V的函数，记做U(V)．
设最相邻粒子距离为r，晶体共包含N个粒子，则晶体体积V与r的关系为：
3
=
Vβ
r
N
β是与晶体结构有关的常数，比如NaCl结构，β=1。

2
计算晶体中所有粒子的相互作用能需要求解复杂的多粒子体系的定态薛定谔方程。

特别是对于共价晶体和金属晶体，系定态薛定谔特别是对于共价属
吸引能和排斥能都与电子云的分布密切相关（为什么？），理论计算是相当困难的。

近年来发展的局域密度泛函理论，对半导体和金属材料结合能和晶格常数的计算与实验符合很半导体材合常算实符合好，取得一定成就。

这些方法这里不予讨论。

但对于离子晶体和惰性气体晶体（范德瓦尔斯结合），由离或壳库引
于组成离子或原子具有满壳层结构，因此库仑吸引作用可以由简单的经典理论处理。

排斥作用与电子云的重叠有关，理论处理仍较为困难，但其为一个近程作用，简单的办法是采用一个经验公式去拟和，恰当与否由实验去检验。

个公式去拟当由实去
6
7
8 1Ry=2.17987x10-18J=13.6eV
•计算一个晶胞。

NaCl晶胞中有8个离子，正负离
子各半。

以晶胞中心的Na离子为参考离子j。

•最近邻有6个负离子，他们的a j,j’=1，s jj’=-1，但
每个离子只有/是属于本晶胞的
1/2是属于本晶胞的。

•次近邻有12个正离子，a j,j’=21/2，s jj’=1，每个离
子有1/4属于本晶胞。

•再次近邻有8个负离子，a’= 31/2，s jj’=-1，每个离子有1/8属于本晶胞。

于是:再邻负离j,j jj每离属
表2.3 典型离子晶体的晶格常数，体弹模量和结合能
•结合能E b为N/2 |u|，即|u|为每对离子结合能。

17
25
表2.5 几种情性元素晶体的r
0，E
b
和K
晶体
r
(Å)E
b
(eV)K
(Pa)
实验计算实验计算实验计算313299002002711181
Ne 3.13 2.990.020.027 1.1 1.81
Ar 3.75 3.710.080.089 2.7 3.18
K399398011012035346 Kr 3.99 3.980.110.120 3.5 3.46
Xe 4.33 4.340.170.172 3.6 3.81
范德瓦尔斯作用较弱，因此原子的零点振动能显得很重要。

误差可通过零点振动能的量子修正改进。

21。