乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学（问卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|280A x x x =--<，{}2|90B x x =-≤，则集合A B =U （ ）A. (]2,3-B. (]4,3-C. [)3,2-D. [)3,4- 【答案】D【解析】【分析】求解一元二次不等式，解得集合,A B ，再求并集即可.【详解】对集合A ：2280x x --<，解得()2,4x ∈-；对集合B ：290x -≤，解得[]3,3x ∈-，故可得[)3,4A B ⋃=-.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2.已知复数z 满足(12)|34|z i i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i -- 【答案】A【解析】【分析】 先求34i +的模长，再利用复数除法运算求得复数z ，写出其共轭复数即可.【详解】因为345i +==， 故()()()512512121212i z i i i i -===-++-， 故其共轭复数z =12i +.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的求解，复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为线的实轴长为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果. 【详解】因两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为2c =结合222a b c +=，解得3,3,a b c ===，故实轴长26a =.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】B【解析】【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ，因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂；同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线，因为l γ⊥，故m γ⊥.故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误.故选：B .【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则4S =（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24 【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为2，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得4S .【详解】因为1a ，4a ，13a 成等比数列，故可得21134a a a ⋅=，即可得()()2111246a a a +=+，解得13a =.故4S 14324242a ⨯⨯=+=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和与通项公式基本量的计算，涉及等比中项，属综合基础题. 6.若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为r nMODm =，例如212 5MOD =.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：7,1n i ==开始，2,9i n ==，不满足13nMOD =，故4,13i n ==，满足13nMOD =，但不满足25nMOD =，故8,21i n ==，不满足13nMOD =，故16,37i n ==，满足13nMOD =，满足25nMOD =，输出16i =.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题. 7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[)0,0.5，…，[]4,4.5分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a .使85 %的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a 的是（ ）A. 2.5吨B. 3吨C. 3.5吨D. 4吨【答案】B【解析】【分析】 根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为0.85和0.15的数值，即为标准a .【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：()0.080.50.160.50.300.50.440.50.500.5 2.50.50.85a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=解得 2.72a =.故要满足85 %的居民用水量不超过a ，则a 比较合适的取值为3吨.故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++)A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得： ()211 1.25 2.5lgE lgE -=- 可得12110E lg E =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.9.已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于6x π=对称 B. ()f x 为奇函数C. ()f x 的值域为[]3,1-D. ()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】A【解析】【分析】 利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.【详解】2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22133x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 236x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为2sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭是该函数的最大值，故6x π=是函数的对称轴，故A 正确； 因为()()2sin 26f x x f x π⎛⎫-=--≠- ⎪⎝⎭，故该函数不是奇函数，故B 错误； 因为[]2sin 22,26x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,2-，故C 错误； 由x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，在此区间内，正弦函数不单调，故D 错误； 综上所述，正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题.10.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()cos sin b αα=，()sin cos c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. c b a << 【答案】A【解析】【分析】 因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得cos sin αα>，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得10cos sin αα>>>， 根据指数函数()(),0,1x y sin sin αα=∈是单调减函数，可得sin αcos sin sin ααα<，即可得b a <；根据幂函数(),0,1sin y x sin αα=∈是单调增函数，可得sin sin cos sin αααα>，即可得c a >综上所述：c a b >>.故选：A.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.11.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则||MD =（ ）A. 4B.C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)31y x =-，联立抛物线方程24y x =可得231030x x -+=，解得13x =或3x = 因为点M 在第一象限，故可得(3,23M . 又因为准线方程为1x =-，故可得(23N -. 则直线FN 的方程为)31y x =--，令0x =，解得3y =(3D . 故9323MD =+=故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.12.已知函数ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若αβ<且()()f f αβ=，则βα-的取值范围是（ ）A. []83ln3,6-B. )283ln3,1e ⎡--⎣C. []94ln3,6-D.)294ln 3,1e ⎡--⎣ 【答案】B【解析】【分析】根据()f x的函数图像，结合()()f fαβ=，求得β的取值范围以及,αβ之间的等量关系，将βα-表示为β的函数，求该函数在区间上的值域即可.【详解】因为ln1,1()1(2),13x xf xx x-≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，故其函数图像如下所示：令11lnx-=，解得2x e=；令11lnx-=-，解得1x=.数形结合可知，若要满足()()f fαβ=，且αβ<，则()21,eβ∈，且()1213lnαβ+=-，解得35lnαβ=-.故βα-35lnββ=-+，()21,eβ∈.令()()235,1,g x x lnx x e=-+∈，则()31g xx'=-，令()0g x'=，解得3x=，故()g x在区间()1,3单调递减，在区间()23,e单调递增，则()()()2216,3833,1g g ln g e e==-=-，故())2833,1g x ln e⎡∈--⎣.即可得βα-)2833,1ln e⎡∈--⎣.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知单位向量a r ，b r 满足()22a a b ⋅+=r r r ，则向量a r与向量b r 的夹角的大小为__________．【答案】3π【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a r ，b r均是单位向量，故可得1,1a b ==r r ， 故可得()222,?2a a b a a b cos a b ⋅+=+=r r rr r r r r ， 即2?,?1cos a b =r r ，解得1,?2cos a b =r r ， 又因为向量夹角的范围为[]0,π，故,a b rr 的夹角为3π.故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14.已知点N 在圆224470x y x y +-++=上，点M 在直线3460x y -+=上，则MN 的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求. 【详解】因圆方程为224470x y x y +-++=，故圆心坐标为()2,2,1r -=，则圆心到直线的距离41d ==>，则直线与圆相离.故MN 的最小值为413d r -=-=. 故答案为：3.【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.15.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系为:x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为2624cm ，则这9张纸的面积之和等于______2cm . 【答案】19929 【解析】 【分析】根据题意，求出4A 纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前n 项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，0A 纸的面积为S ， 根据题意，纸张面积是首项为S ，公比为12的等比数列， 则容易知4A 纸张的面积为416242S ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故可得9984S =， 故纸张面积是一个首项为9984，公比为12的等比数列， 故9张纸的面积之和为911219929112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-. 故答案为：19929.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题. 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，有下列四个命题： ①1BC 与平面11BCD A 所成角为30°；②三棱锥1A A BD -与三棱锥11C A BD -的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，1AA 在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且仅有一个；④过1BD 作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为6. 上述四个命题中，正确命題的序号为______.【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】对①：连接1C D 交1D C 与H ，连接BH ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -是正方体，故可得BC ⊥平面11CC D D ， 又因为CH ⊂平面11CC D D ，故可得CH BC ⊥，又1CH D C ⊥， 故可得CH ⊥平面1//MN A C ，则1C BH ∠即为所求线面角. 在1Rt C BH n 中，1112,222CH C D C B ===故可得111 2CHsin C BHC B∠==，又线面角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故130C BH∠=︒，则1BC与平面11BCD A所成角为30°，故①正确；对②：因为正方体棱长为1，故可得11111111113326A A BD A ABD ABDV V S A A--==⨯=⨯⨯⨯⨯=n；而棱锥11C A BD-的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和1A A BDV-相等的三棱锥的体积，故1111463A A BDV-=-⨯=.故棱锥1A A BD-与三棱锥11C A BD-的体积比为1:2，故②正确；对③：若棱1,,AD AA AB在平面α的同侧，则α为过点A且与平面1A BD平行的平面；若棱1,,AD AA AB中有一条棱与另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面有3个；故满足题意的平面α有4个.故③错误；对④：根据题意，取11,AA C C中点为,M N,则过1BD作正方体的截面如下：则过1BD的所有截面中，当截面1D MBN为菱形时，面积最小，其面积为11162322S MN D B =⨯=⨯⨯=. 故④正确.总上所述，正确的有①②④.【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）证明EF ⊥平面PAE ； （2）若54PA AB =，求平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2)5 【解析】 【分析】（1）根据PA ⊥平面ABCD ，可得EF PN ⊥，再证EF AE ⊥，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故可得EF PA ⊥； 设底面正方形的边长为4，故可得2216425AE AD DE =++=22145EF FC CE =+=+=221695AF AB BF =++=，故在AFEn中，满足222AE EF AF+=，故可得AE EF⊥；又,PA AE⊂平面PAE，且PA AE A=I，则EF⊥平面PAE，即证.（2）因为PA⊥平面ABCD,,AB AD⊂平面ABCD，故可得,PA AB PA AD⊥⊥，又底面ABCD为正方形，故可得AB AD⊥，故以A为坐标原点，以,,AB AD AP所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系如下图所示：设4AB=，故可得()()()()()0,0,0,0,0,5,4,0,0,2,4,0,4,3,0A PB E F设平面PEF的法向量为(),,m x y zr=，则m EFm PE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vru u u vr，则202450x yx y z-=⎧⎨+-=⎩取2y=，则()1,2,2m=r.不妨取平面PAB的法向量()0,1,0n=r.则2,?391m ncos m nm n⋅===⨯r rr rr r.设平面PAB与平面PEF所成二面角的平面为θ，则251cos,sin m nθ=-=r r.即平面PAB与平面PEF所成二面角的正弦值为53.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.18.已知ABC ∆的面积为3，BC 边上的高是2，tan 3A =. （1）求ABC ∆外接圆的半径； （2）求AB 和AC 的长. 【答案】(1) 2；(2) AB AC ==AB AC ==【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，再利用同角三角函数关系，求得sinA ，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得AB 和AC 的方程组，解方程组即可. 【详解】设三角形的边长,,BC a AC b AB c ===. （1）由面积公式1232S a =⨯=，解得3a =. 因为3tanA =，()0,A π∈，故由同角三角函数关系，容易得,1010cosA sinA ==.由正弦定理可得22aR sinA===. 故ABC n外接圆的半径为2. （2）由面积公式可得132S bcsinA ==，结合（1）中所求，可得bc =由余弦定理可得2292b c cosA bc +-==，解得2213b c +=， 即()213213b c bc +=+=+=解得b c +=bc =可得b c ==b c ==故AB AC ==AB AC ==.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形外接圆半径的求解，属综合基础题.19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子. （1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)5%；(2)分布列见详解，数学期望为21400. 【解析】 【分析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为12，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知，X 服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.【详解】（1）从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率2246210715C C P C +==. 故回答第一个问题的人数为730014015⨯=人，则回答第二个问题的人数为160人； 又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的，故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为1140702⨯=人， 则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为8人， 则中学生早恋人数的百分比为85%160=. （2）根据（1）中所求，可知1~2,?20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，且X 可取值为0,1,2， 故可得()020211902020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111211912020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22211922020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故X 的分布列如下所示：故()36119121012400400400400E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的特点，以及二项分布分布列的求解和数学期望的计算，属综合性中档题.20.已知函数2()ln f x ax x x x =--（a R ∈）. （1）当1a e=时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）若()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)y x =-；(2) ,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 分析】（1）对函数求导，解得函数在点()(),e f e 处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；（2）构造函数()22lnx g x x+=，利用导数求解其值域，再根据()f x '与()g x 之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围.【详解】（1）当1a e =时，()2x f x xlnx x e=--，故()22f x x lnx e '=--；故可得()()1,f e f e e -'==-，故切线方程为：()y e x e +=--，整理得y x =-. 故曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为y x =-.（2）因为()2ln f x ax x x x =--，故可得()22f x ax lnx '=--.若()f x 在定义域内为单调函数，则()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 构造函数()22lnx g x x +=，故可得()()‘212lnx g x x-+=， 令()’0g x =，解得1x e=， 故()g x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()12max eg x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭，且当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞. 故(),2e g x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 若要保证()0f x '≥在定义域内恒成立，即220ax lnx --≥恒成立， 即22lnx a x +≥在定义域内恒成立，则只需()2max ea g x ≥=； 若要保证()0f x '≤在定义域内恒成立，则220ax lnx --≤恒成立， 则22lnx a x+≤在定义域内恒成立，但()g x 没有最小值，故舍去. 综上所述，要保证()f x 在定义域内为单调函数，则,2e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及根据函数单调性，利用导数求参数的范围，属综合中档题.21.点(,)P x y 与定点(1,0)F -的距离和它到直线:3l x =-P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO OM λ=u u u r u u u u r（0λ>），求四边形ACBD 面积的取值范围.【答案】(1)22132x y +=；(2) 4,⎡⎣. 【解析】 【分析】（1）设出点P 的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程； （2）设出直线AB 的方程，利用弦长公式求得AB ，再利用OC OM λ=u u u r u u u u r，建立直线CD 与AB 之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可.【详解】（1）设动点(),P x y ，则P 到直线:3l x =-的距离3d x =+，由题可知：PFd ==，两边平方整理可得：22132x y +=故曲线E 的方程为：22132x y +=.（2）因(0)OC OM λλ=>u u u r u u u u r，故,O M 两点不可能重合，则直线AB 的斜率不可能为0， 故可设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程22132x y +=，可得()2223440m y my +--=，设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则可得12122244,2323m y y y y m m -+==++， 则()121226223x x m y y m +=+-=-+ 故可得2232,2323m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为(0)OC OM λλ=>u u u ru u u u r，故可得,,0,C M D 四点共线，故可得2222233323CDmm m k m +==--+. 不妨设直线CD 方程为y kx =，23m k =-， 联立直线y kx =与椭圆方程22132x y +=可得()22236kx+=，设()()3344,,,C x y D x y ，则33x y ==-C ⎛- ⎝则44x y ==D 则点,C D 到直线AB 的距离为：1d =2d =将23mk =-代入上式即可得：1d ==，2d =故212223m d d ++=又根据弦长公式可得：22123m AB m +==+ 故四边形面积()221222231112223m m S AB d d m ++=+=⨯+== 因为23322m +≥，则21120,?332m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，21221,1332m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭+3⎫⎪⎪⎣⎭故4,⎡⎣.故四边形ACBD 面积的取值范围为4,⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积的范围问题，计算量相对较大，属综合性困难题.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为2ρ=，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上. （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）若AC ，BD 相交于点()1,1P ，求||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅的值.【答案】(1)224x y +=；(2)4 【解析】（1）将2ρ=两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线,AC BD 的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得. 【详解】（1）将2ρ=两边平方，即可得24ρ=， 即可得224x y +=.（2）因为直线,AC BD 都经过点()1,1P ，故直线AC 的参数方程为：1(1x tcos y tsin ααα=+⎧⎨=+⎩为参数)； 直线BD 的参数方程为：1(1x tcos y tsin θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)； 联立直线AC 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t αα++-=，设,A C 两点对应的参数为12,t t ，故可得122t t =-； 同理联立直线BD 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t θθ++-=，设,B D 两点对应的参数为34,t t ，故可得342t t =-； 根据直线参数方程中t 的几何意义可知：||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅12344t t t t ==.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题. 23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得. 【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤， 解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立， 解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤， 解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立. 则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤， 解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
