02-点的投影和坐标课件

平面的投影-平面内的点和直线
根据平面内点和直线的判 定，可以解决下面三类问题。
① 判别已知点、直线是否 属于已知平面。 ② 完成已知平面上的 点和直线的投影。 ③ 完成多边形的投影。
点在平面内的几何 条件：若点属于一直线， 直线属于一平面，则该 点必属于该平面
直线在平面内的几何条 件：若一直线通过平面 上的两点，或通过平面 内的一点，并且平行于 平面上的另一直线，则 此直线必在该平面内。
直线上的点-点在线上
点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线 的两线段长度之比等于其投影长度之比；反之亦然，此即为定比关系。
两直线的相对位置-平行
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。
（a）立体图
（b）投影图
两直线的相对位置-相交
其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律，如图所示。
点的投影-两点相对位置的识读
➢ 通过方位的判断，可以确定出两点在空间的相对位置。此外，由于 X轴、Y轴、Z轴的正方向表示空间点左、前、上方，因此也可直接 根据空间点的坐标来确定两点的相对位置。
空间点的六个方位
直线的投影
➢ 作直线投影图时，只需作出直线上任意两点的投影，并连接 该两点在同一投影面上的投影即可，如图所示
三面投影体系
三面投影图-三面投影图的形成与展开
➢ 将物体置于三面投影体系中，并使其主要表面与投影面 平行或垂直，然后按正投影法分别向V面、H面和W面进 行投影，即可得到该物体的三面投影，如图所示。
三面投影图-三面投影图的对应关系
三面投影图的投影对应关系
➢ 如图所示，三面投影图不仅反映了物体的长、宽、高，同时也 反映了物体的上、下、左、右、前、后六个方向的位置关系。

Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
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返回
a●
X
Z
az
O
●
a
V
Z
a
●
az
●
ax
ay
Y
X
ax
A O
●
a
W
a
●
Y
ay
a
●
ay
H
点的投影规律:
Y
aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
b
b
α γ
正平线
a b a b
侧平线
a 实长
β
α
b
β
a
γ
b
a
b
实长
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
投影面的平行线
规定 ：与H面的夹角为，与V面的夹角为，与W 面的夹角 为。、、均 90°
投影面的垂直线
V
W
b B A a
a'(b')
b"
a"
Z a'(b') b" a"
X
X
C H
D Y
O b
YW
a
YH
⑶ 一般位置直线
b
a a b
投影特性：
三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长 及与三个投影面夹角的实 大，且与三根投影轴都倾 斜。

且该两点均在 V面上。
1-5 已知点M、N、K、L的空间位置，作投影图。
解题步骤：
1.量取点N 的X坐标确定左右位置
2.量取点N 的Z坐标确定n’ 3.量取点N 的Y坐标确定n
4.同理画出其它投影点
1-6 判断各点位于哪个分角。
点K在第 4 分角 点L在第 3 分角 点M在第 1 分角 点N在第 2 分角
点的投影
在投影理论中，对于物体只研究其形状、大小、位 置，而它的物理性质、化学性质都不涉及，这种物 体称为形体。任何形体都是由点、线、面基本元素 构成的，点是构成形体的最基本的几何元素，点的 投影是研究直线、平面、形体的基础。 点在某一投影面上的投影，实质上是过该点向投影 面所作垂线的垂足。因此，点的投影仍然是点。
作图：过a’作线垂直于OZ， 过a作线垂直于OY和OY1，交点
即为a”
过b’作线垂直于OX，过b”作 线垂直于OY1和OY，交点即为b
过c’作线垂直于OZ，c”在 OZ上
1-3-2 已知各点的两面投影，画第三面投影。 分析：根据点的投影特性（投影连线垂直于坐标轴），画第
三面投影
作图：过d”作线垂直于，
一点
1-1 已知点T 的坐标为（20,15,20），点S 的坐标为(30,0,10），
作它们的三面投影图和直观图.
作图：
分别在X、Y、Z 坐标轴上量取点T 的坐标20、15、20 作坐标轴的平行线，交点即为点T的投影。
同理作点S。 画直观图。
1-2 已知点B 在点A 左方10 mm，下方15 mm，前方10 mm;点 C 在点A 的正前方15 mm；作点B 和点C 的三面投影。
作图：
1.在点A 左方量取10 mm，
作坐标轴的平行线

平移
当立体表面沿某个方向移动时，其上的点也会相应地移动，导致投 影点的位置发生变化。
缩放
当立体表面按比例放大或缩小时，其上的点也会相应地放大或缩小 ，导致投影点的位置发生变化。
THANKS
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投影的平移
总结词
平移是移动投影中心到新的位置，但不改变投影平面的方向。
详细描述
在投影变换中，平移是指将投影中心移动到新的位置，但不改变投影平面的方向。通过平移，可以改 变投影中心的位置，使得立体表面上的点在投影平面上呈现不同的位置。平移操作不会改变点在立体 表面上的位置和方向，只是改变了投影中心的位置。
05
CATALOGUE
立体表面上的点与投影的关系
点与投影的对应关系
投影线与投影面
每个点在立体表面上有且仅有一 条投影线，该线与投影面相交于 一点，该点即为该点在投影面上 的投影。
唯一性
一个点在投影面上的投影位置唯 一确定，反之亦然，即每个投影 点都对应立体表面上的一个点。
点与投影的度量关系
距离关系
04
详细描述
投影与原点连线与曲面相切，并且投 影与原点之间的连线与曲面内的任意 一条线段都垂直。
06
详细描述
投影与原点连线长度保持不变，即投影与原点 之间的距离等于原点到曲面的垂直距离。
点在多个面上的投影
总结词
确定点在多个面上的投影位 置
详细描述
当一个点位于多个平面的交 线上时，其投影将位于这些 平面的交线上，并且与原点
具有相同的距离。
总结词
投影与原点连线垂直于所有平面
详细描述
投影与原点连线垂直于所有相关平面，并 且投影与原点之间的连线与所有平面内的 任意一条线段都垂直。

new
第二章 点的投影
1.点的单面投影
S
new
A
new
B
a(b)
§２－１
点的两面投影
new
一、两面投影体系
Ⅱ Ⅲ
Ⅰ
Ⅳ
第一角投影的二面Biblioteka 影板new正面投影Ｖ
ＯＺ轴 坐标圆点Ｏ
ＯＸ轴
ＯＹ轴
水平投影H
二面投影板的展开
new
二、点的两面投影
new
a′ A
ax
a
空间点Ａ
new
点的正面投影a′ a′
点的水平 投影a
aax = Aa′, axa′= Aa 。
§２－2 点的三面投影
一、三投影面体系 ⅥZ
Ⅱ ⅢX
O Ⅰ
Ⅳ
new
Ⅴ Ⅷ
Y
从三面投影面体系中取出我国所用 的第一角投影 。
new
三面投影板的展开（第一角投影）
new
展开后的投影板 Ｚ Ｖ
X
W
new
YW
Ｈ YH
二、点的三面投影
new
a
a
Ａ
a
点的三面投影
A
a
点的两面投影图 new a′
X
ax
O
a a′a投影连线垂直于ＯＸ轴
特殊位置点的两面投影
a′ 点Ｃ在V面上
new
c′≡C
b′ X
ax c
d ′ ≡d ≡D O
b ≡B
点Ｄ在投影轴ＯＸ上
a
点Ｂ在Ｈ面上
点的两面投影规律： new
(１）点的正面投影和水平投影的 连线垂直于OX轴；即:aa′⊥ox
(２)点的水平投影到OX轴的距离 等于空间点到Ｖ面的距离；点的正 面投影到ＯＸ轴的距离等于空间点 到Ｈ面的距离，即：

其投影特性取决于直线与三个投影 面间的相对位置
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b
B b
a
βγ
W
a
X
Ab
a
aH
a
投影特性
b Z b
a
O
Y
b
Y
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
二、直线与点的相对位置
a
a
三个投影都类似。
b
a
c
例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面 投影。
c
c
a
a
b ● 45°
b
a
c b
思考：此题有几个解？
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
位于平面上的直线应满足的条件：
若一直线过平面上 的两点，则此直线 必在该平面内。
度量性较差。
平行投影法
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影法
斜投影法
平行投影法

点投影在机械设计中的应用
在机械设计中，点投影被广泛应用于零件的建模和装配中。通过点投影 ，机械设计师可以将复杂的零件分解为简单的几何形状，并对其进行精 确的建模和尺寸测量。
点投影还可以帮助机械设计师在装配过程中进行准确的定位和调整，以 确保机械设备的性能和精度。
点投影在机械设计中还被用于进行有限元分析和优化设计，以提高机械 设备的强度、刚度和稳定性。
点在圆柱面投影体系中的投影
总结词
圆柱面投影体系中，点的投影呈现为直线段，与圆柱轴线平行。
详细描述
在圆柱面投影体系中，投影点位于与圆柱轴线平行的直线段上。这些直线段与圆柱面的展开平面相交，形成清晰 的投影图像。圆柱面投影常用于表现具有圆柱状特征的物体，如管道、柱子等。
点在圆锥面投影体系中的投影
总结词
点投影在水利工程中的应用
水利工程中，点投影被广泛应用于水工建筑物的设计和施工中。通过点投影，水利工程师可以更好地 了解水流对建筑物的冲击和压力，并优化建筑物的结构和布局。
点投影还可以帮助水利工程师在施工过程中进行精确的测量和定位，以确保施工的准确性和质量。
点投影在水利工程中还被用于进行水利工程的结构分析和优化设计，以提高水利工程的安全性和稳定性 。
工程制图点的投影课 件
目录
• 投影的基本概念 • 点在三面投影体系中的投影 • 点在其它投影体系中的投影 • 点投影的应用 • 点的投影与空间几何的关系 • 总结与展望
01 投影的基本概念
投影的定义
投影
根据平行投影或中心投影的原理，将 三维空间中的点、线、面按照一定的 规则投影到二维平面上。
投影法
03 点在其它投影体系中的投影
点在球面投影体系中的投影
总结词

点在三面体系中的位置有： 在各卦角间、在各投影面内和在 各投影轴上等情况，它们都遵守 相同的投影规律。
2、三投影面体系中点的投影
四、由点的两个投影求作第三投影
分析点A的三个投影a (xA,yA)、
a' (xA,zA)、a″(yA,zA)，可知，三个 投影中的任意两个，都包含有确定该
点空间位置所必须的x、y、z 三个坐
影轴的指向即坐标轴的正负向。
2、三投影面体系中点的投影
三、点的三面投影
把点A放在第Ⅰ卦角中进行 投射。在H、V 面上得到了a、 a′，又从左向右投射，在W 面 上得到点A的第三投影a″，称 为侧面投影或W 面投影。 它 反映了点A的前后及上下两个坐 标，即a″（yA，zA）。
2、三投影面体系中点的投影
在两面体系中建立空
间直角坐标系（OX 轴、OY轴、 OZ 轴）。空间点的位置用三
个坐标（x，y，z）表示。
1、两投影面体系中点的投影
四、四个分角
实际上投影面是可以无限扩
展的，若把H面向后、V面向下扩 展出H0 和V0 ，无限空间便被分成
了四部分，每一部分称为一个分
角，依次为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分
角。
1、两投影面体系中点的投影
在两面体系的基础上，包含OY 轴和 OZ 轴作出第三个投影面——侧立投影 面（简称侧面），又称W 面。W 面与H、 V 面相互垂直并一起构成三投影面体系， 简称三面体系。W 面能反映前后、上下
两个方向的尺度。
2、三投影面体系中点的投影
二、八个卦角
在扩展H、V 面的基础上，再扩 展W 面，得到V 面后的W 面的延 展部分W0，从而把空间分成八个 卦角（也称卦限）。W、W0面的左 方为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 卦角，右 方为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦角，投

4.点的投影与坐标的关系 三面投影体系相当于以投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，o为坐标原点的 直角坐标系。点的空间位置可以用x，y，z三个坐标表示，点的一个投影可 以反映点的两个方向坐标，三面投影反映空间点的三个方向坐标。因此三 面投影图可以确定点的空间位置。点的一个坐标表示点到某一投影面的距 离。
a′
已知投影
X
已知投影
Z a〃
o
Yw
a
Yh
《点的投影及坐标关系》
（2）已知B（40、30、0）求作B点三面投影？
b′
40
Xห้องสมุดไป่ตู้
因bz为0
b
30
Z
o b〃
Yw
Yh
作图要点
1.在X、Y轴上量取B 点坐标
2.作点的投影的连线 各连线的交点为所 求
注意：B点的侧面投影b ′′应在Yw轴上，而不应画在Yh轴上
《点的投影及坐标关系》
W Y
《点的投影及坐标关系》
2.点的三面投影
将三投影面展开便得到A点三面投影图
a′
Z a〃
az
ax
o
X
ayw
Yw
ayh a
Yh
点的投影规律：点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影与侧面 投影的连线垂直于OZ轴；点的水平投影与侧面投影具有相同的Y坐标
《点的投影及坐标关系》
3.点的投影规律应用 （1）已知A点正面和侧面投影求补水平投影？
点的x坐标表示点到侧面的距离。 点的y坐标表示点到正面的距离。 点的z坐标表示点到水平面的距离。
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b点的侧面投影b应在yw轴上而不应画在yh轴上yh40因bz为0作图要点点的投影及坐标关系三面投影体系相当于以投影面为坐标面投影轴为坐标轴o为坐标原点的直角坐标系

工程测量中点的定位与计算
点的定位方法
在工程测量中，点的定位通常使用全站仪、GPS等测量设备来实现。通过测量 设备获取点的坐标数据，进而在图纸上进行标注。
点的计算方法
在测量过程中，可能需要对多个点进行数据处理和分析。常用的计算方法包括 坐标变换、距离和角度计算等，以满足工程需求。
工程案例分析
案例一
点的投影概念及重要性
概念
点的投影是指将空间中的一点通过某种方式映射到一个平面上，形成一个与该点对应的平面点。这种映射方式可 以是中心投影、平行投影等。
重要性
点的投影是空间几何的基础，对于理解空间形态、解决实际问题具有重要意义。例如，在建筑、机械、航空等领 域中，经常需要利用点的投影来绘制图纸、设计模型等。同时，点的投影也是学习更高级几何知识的基础，如线、 面的投影等。
案例三
建筑工程中的点测量与放线。在建筑工程中，点的测量和放线是施工过程中的重要环节。通过全站仪等 设备对建筑物角点、中心点等关键点进行测量和定位，可以确保建筑物的准确性和稳定性。
05
点的投影教学设计与实施
教学目标与要求
01
02
03
知识目标
掌握点的投影基本概念、 原理和公式；理解点的投 影性质和应用。
02
点的投影基本原理
投影面与投影线
投影面
在空间中，用于承接投影的平面 称为投影面。根据投影面的位置 和性质，可分为正投影面和斜投 影面。
投影线
连接物体上各点与投影面上对应 点的直线称为投影线。投影线可 以是实线也可以是虚线，具体取 决于投影方式和观察角度。
点的三面投影
主视图投影
点在主视图上的投影，即点在前 投影面上的投影。通过主视图可 以了解点的上下和左右位置关系。