第六章 概率分布

例如：求Z=1～Z=2之间的面积。

首先，查出Z=0至每个Z 值间的面积， 即有Z=1, p=0.3413； Z=2 ，p=0.475
其次，求两个Z值之间的面积，
即有p（1<z<2）=0.475-0.3413=0，用减法求 p。
3）求某个 Z 值以下或以上的面积
解：这样掷硬币可能出现地情况有：HHH、HHT、HTH、THH、 TTH、THT、HTT、TTT共八种。 每种结果可能出现的概率，依概率乘法规则计算： 各为1/8。
1 1 1 1 2 2 2 8
设：P(A)—“HHH”，P(B)—“HHT”，P(C)—
“HTH”，P(D)—“THH”，故：

曲线以最高点向左右两侧缓慢下降，且无限延伸， 但永远不与基线相交。

标准正态曲线只有一条。
三、正态分布表的编制与使用
标准正态分布函数的数值表；将一般正态分布 化为标准正态分布，通过查表可解决正态分布的 概率计算问题。
（一）正态分布曲线的面积，高度与标准分数


在正态分布中，总次数N 的几何意义是曲线与轴间 所包含的总面积，用 p 表示，且 p 1 。以曲线 中线为界，每边为分布 50%的面积。垂线为曲线 的纵线高度，以 y 表示。 基线是Z分数。 本教材上的标准正态概率 表的编制方法是从 Z=0 开始，逐渐变化Z值，计 算从 Z=0 至某一定值之 间的概率。
1、基本随机变量分布
基本随机变量是一个与随机变量的函数相对应 的。随机变量的函数仍然是随机变量。
2、抽样分布 抽样分布是样本统计量的理论分布，又称随机变 量函数的分布。 抽样是从总体中随机地选取一个样本的过程，每 一个样本都可以计算平均数、方差、标准差、相 关系数等指标，这些指标的概率分布就是抽样分 布。
2 、 X~N(5,102) 求概率
(1) P(5<X<6.2)
(2) P(3.8<X<5)
(3) P(2.9<X<7.1)
(4) P(X>8) (5) P(7.1<X<8)
（三）正态分布中的几个常用值
在 1 ， 2 ， 3 及其 1.96 ， 2.58 范围 内的面积值。（p163） ± 1s：68.26% ± 2s：95.44% ± 3s：99.73% ±1.96s：95% ±2.58s：99%
概率的计算方法： （一）古典概率（先验概率） （二）统计概率（后验概率）
（一）古典概率（先验概率） 在只含有有限个基本事件的试验中，任意事件A 发生的概率定义为：
（二）统计概率（后验概率）
在相同条件下进行n次试验，事件A出现了m次， 如果试验次数n充分大，且事件A出现的频率稳定 在某一数值p附近，则称p为事件A的概率。由于p 也是一抽象的值，常常用n在充分大时的代替。即：

的近似值。
2）内插法——求精确的值，其公式为
3．已知p值求y值
查表法——求近似的y值
例如，求当p=0.30的y值。
查表得，与0.30接近的p值为0.29955，其值为0.28034，
所以y值为0.28034。
练习
1、求P(0<z<2.53)=? P(z>-1.14)=? P(-1.28<z<1.83)=? P(-2.54<z<-.42)=? X～N(100, 152), 求P(x < 115)=？

乙教师和丙教师的评定等级转换过程 以此类推
3）确定查表的p值
p p 值直接查正态曲线表，确定Z值。 Z值的正 4）由
负号以中点以下累积比例决定，若 Fp ＞0.5， Z 值为正；若 Fp ＜0.5，Z值为负。 5）学生学习能力的比较。用Z值比较三名学生社交 能力的高低，需根据各位教师评定等级的Z值及 教师人数（k）求其平均数，即 Z Z k ，结 果见表6-3。
,即 p Fp 0.5 。

表6-3 三位学生获得的等级评定结果
（二）确定测验题目的难易程度
1、计算各题目的通过率p
2、用0.5减去通过率p得到 p' ，根据 p'查正态表求
Z值
通过率大于50%，Z值计为负值，通过率小于50%，Z
值为正
3、将Z值加上5，便得到0～10分的难度分数值，进
③用图形来表示：
2、连续分布
定义：如果随机变量可以取连续的数值，则这种 随机变量取值的概率规律称为连续分布。连续分 布的表示方法一般采用概率密度函数来表示。 概率密度函数：当样本的容量及分组逐渐增加时， 次数分布图将趋近于一条稳定而连续的曲线。一 般记为f(x)。 特点：通常用概率密度函数描述随机变量在一段 区间上取值的P。
第六章 概率分布
李金德



第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率
试验、事件：在相同条件下，对某事物或现象所 进行的观察或实验叫试验，把观察或实验的结果 叫做事件。
试验 抛掷一枚硬币 对某一零件进行检验 试验结果（事件） 正面，反面 合格，不合格
二、概率的基本性质
1、概率的加法定理
两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事
件概率 之和， P（A+B）=P（A）+P（B） 2、概率的乘法定理 两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率 的乘积， P（AB）=P（A）×P（B）
例3-1：一枚硬币掷三次，或三枚硬币各掷一次， 问出现两次或两次以上H的概率是多少？
四、正态分布理论在测验中的应用
（一）化等级评定为连续数据
（二）确定测验题目的难易程度 （三）在能力分组或等级评定时确定人数 （四）T分数或次数分布的正态化
（一）化等级评定为连续数据
1、处理等级评价时面临的问题及其解决思路
问题：
①不同评价者由于各自的标准不同，在对同一个心理
量进行评定时可能给出不同的等级分数，如何综合

例6-2：甲、乙、丙三位教师对100名学生
的学习能力进行等级评定见表6-2。表6-3
是三名同学所获得的评定等级。

试比较三个学生学习能力的高低。
表6-2 3位教师对100名学生学习能力的评定
1）求各等级人数分布的比例值见上表。
2）求比例中点以下的累积比例，即将每一等级值除以2再加上其以下的所 有面积。
p2 0.5000 0.3849 0.1151
2．已知p值求Z值.
1）查表法——求近似的值
例如，求p=0.30时，Z的面积。

正态曲线表中并无p=0.30的Z面积，只有与其接近的两个 p 值， 1 0.29955 p2 0.30234 ， 前者与0.30相差0.00045，后者与0.30相差0.00234。可见， 0.29955与0.30更接近，其对应的值0.84，即为p=0.30时Z
例如:求 Z 0.85 以下和 Z 1.76 以上的面积。

首先，查出 Z 0 至每个 Z 值间的面积，
即有 Z 0.85 ， 0.3023 Z 1.76 ，p 0.4608 ， p

其次，用正态分布一半的面积（0.50）减去所查出的面积， 即有：
p1 0.5000 0.4918 0.0082
第二节 正态分布
一、正态分布
（一）正态分布定义
正态分布也称常态分布，是连续随机变量概率 分布的一种，中间量数次数分布多，两端量数次 数分布少，呈对称型的概率分布。
正态分布的概率密度函数:
x 2 1 2 f ( x) e 2 2 x 1
则称X服从正态分布,记作X~N(,2)
评价各评价者的结果。
②如何比较不同被评者的心理量的差异。
2、转化的前提条件
被评定的心理量是测量数据；
服从正态分布（凭常识），只是人为地在评定时
划分为等级。
3、转化方法——用各等级中点对应的Z分数 代表该等级分数
①根据各等级被评者的数目求出各等级的人数比率。 ②求各等级中点以下的累加比率。
③用累加比率查正态表求Z分数，用Z分数代表各等 级的测量值。 ④求各被评者所得评价等级的测量分数的算术平均 数，即为综合评定分数。

比如说对于一个容量为50的有限总体，其容量为 5的不同样本一共有： 505 = 312,500,000个（允许重复的合），这里的 每一个样本可以计算一个平均数。 故一共有312,500,000个平均数，这些平均数的 分布情况（或分布规律）就是从容量为50的有限

总体中抽取容量为5的样本平均数的抽样分布。
二、标准正态分布

所有正态分布都可以通过Z分数公式转换成标准 正态分布。 标准正态分布是标准差（）为1，平均数（ ）

为0的正态分布，其函数为：
Y 1 e 2
z2 2
标准正态分布的特征：

曲线以z=0为中心，双侧对称。 曲线在z=0处为最高点。
Y 当z=0时， 1 2 e 0=0.39894，这是y的最大值。
概率密度函数演示
（二）经验分布与理论分布
1、经验分布
定义：经验分布是根据观察或实验所获得的数据
而编制的次数分布或相对频率分布。
特点：反映的是一个样本的概率分布。
2、理论分布 定义：理论分布是指根据理论推演出来的随机变 量的概率分布模型。 特点：反映的是总体的概率分布。
（三）基本随机变量分布与抽样分布
投掷一颗骰子
进行一场足球比赛
1，2，3，4，5，6
获胜，失利，平局
基本事件：如果某一随机实验可以分成有限的n种 可能结果，这n种结果之间是互不交叉的，而且
这些结果出现的可能性相等，我们把这n种可能
结果称为基本事件。 概率（Probability）：事件在试验中出现的可能 性大小。事件A的概率用P(A)表示。