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第1课时 随机变量及其概率分布（1）一、知识要点：1、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 通常用大写拉丁字母X,Y,Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值2、假定随机变量X 有n 个不同的值，它们分别是12,...n x x x ,(),1,2...,i i P X x p i n ===① 则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，也可以将其用表的形式来表示，我们称为随机变量X 的 ，它和①都叫做随机变量X 的3、随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布列称为 或 二、例题分析： 例1、（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一试验箱中装有标号1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随即变量Y 的可能取值有哪些？例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即10X ⎧=⎨⎩，当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率P （25X <<）三、练习：课本P48 1,2,3（做在课本上）1、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z2、设随机变量X 只能取5,6,7,…,16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求： （1）P （X>8）； （2）P （6<X ≤8）； （3）(10)P X ≥3、随机变量X 的分布列为(),1,2,3,4,515kP X k k ===，试求： (1)(3)P X <； 15(2)()22P X <<； （3）(24)P X ≤≤第1课时 随机变量及概率分布（1）作业感受·理解1、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么n=2、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为 _______ ___3、设随机变量X 的概率分布是kak X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a =_________ 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列4、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ，则文娱队的人数是5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则)0(=ξP 等于思考·运用6、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y ；（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z 。
第5章 概率与概率分布一、思考题、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。
在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
第5章 概率与概率分布一、思考题5.1、频率与概率有什么关系？5.2、独立性与互斥性有什么关系？5.3、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
5.4、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题5.1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
5.2、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
5.3、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
5.4、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 5.5、有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。
在两批种子中各随机取一粒，试求：（1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
5.6、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？5.7、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少？5.8、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少？5.9、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
第六章 概率与概率分布（一）第一节 概率论随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法第二节 概率的数学性质概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提第三节 概率分布、期望值与变异数概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。
所不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。
3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。
5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。
6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。
7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。
8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。
如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。
9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。
10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。
二、单项选择1．古典概率的特点应为（A ）A 、基本事件是有限个，并且是等可能的；B 、基本事件是无限个，并且是等可能的；C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 、基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。
2．随机试验所有可能出现的结果，称为（D ）A 、基本事件；B 、样本；C 、全部事件；D 、样本空间。
3、以等可能性为基础的概率是（A ）A 、古典概率；B 、经验概率；C 、试验概率；D 、主观概率。
4、任一随机事件出现的概率为（D ）A 、在–1与1之间；B 、小于0；C 、不小于1；D 、在0与1之间。
5、若P （A ）＝0.2，Ｐ（B ）＝0.6，P （A/B ）＝0.4，则)(B A P ＝（D ）A 、0.8B 、0.08C 、0.12D 、0.24。
6、若A 与B 是任意的两个事件，且P （AB ）＝P （A ）·P （B ），则可称事件A 与B （C ）A 、等价B 、互不相容C 、相互独立D 、相互对立。
7、若两个相互独立的随机变量X 和Y 的标准差分别为6与8，则（X ＋Y ）的标准差为（B ）A 、7B 、10C 、14D 、无法计算。
8、抽样调查中，无法消除的误差是（C ）A 登记性误差B 系统性误差C 随机误差D 责任心误差9． 对于变异数D (X )，下面数学表达错误的是（ ）。
A ．D (X )＝E (X 2)―μ2B ．D (X )＝E [(X ―μ)2]C ．D (X )＝E (X 2)―[E (X ) ] 2 D ．D (X )＝σ10．如果在事件A 和事件B 存在包含关系A ⊂B 的同时，又存在两事件的反向包含关系A ⊃B ，则称事件A 与事件B （ ）A ．相等B ．互斥C ．对立D ．互相独立三、多项选择1．数学期望的基本性质有( ACD )A ．E(c)＝cB ．E(cX)＝c 2E(X)C ．E (X +Y)＝E(X)+E(Y)D ．E(XY)＝E(X)·E(Y)2、概率密度曲线（AD ）A 、位于X 轴的上方B 、位于X 轴的下方C 、与X 轴之间的面积为0D 、与X 轴之间的面积为1E 、与X 轴之间的面积不定。
3、重复抽样的特点是（ACE ）A 每次抽选时，总体单位数始终不变；B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少；C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等；D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等；E 各次抽选相互独立。
4、对于抽样误差，下面正确的说法是（ABE）A抽样误差是随机变量；B 抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差；C 抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差；D 抽样误差是违反随机原则而产生的偏差；E 抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。
5．关于频率和概率，下面正确的说法是（）。
A．频率的大小在0与1之间；B．概率的大小在0与1之间；C．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的；D．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的；E．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。
6．随机试验必须符合以下几个条件（）。
A．它可以在相同条件下重复进行；B．每次试验只出现这些可能结果中的一个；C．预先要能断定出现哪个结果；D．试验的所有结果事先已知；E．预先要能知道哪个结果出现的概率。
四、名词解释1、数学期望：是反映随机变量X取值的集中趋势的理论均值（算术平均）。
2、对立事件：若事件A和事件B是互斥事件，且在一次试验（或观察中）必有其一发生，则称A和B是对立事件，或称逆事件。
3、随机事件：人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，也称事件。
4、事件和：事件A和事件B至少有一个发生所构成的事件C，称为A和B的事件和。
5、事件积：事件A和事件B同时发生所构成的事件C，称为A和B的事件积。
6、互斥事件：若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是互斥事件，或称互不相容事件。
7、互相独立事件：若A事件发生的概率等于在B事件发生后A事件发生的概率，或者B 事件发生的概率等于在A事件发生后B事件发生的概率，则称A和B是互相独立事件。
8、 先验概率：古典法以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性，来事先求得概率，古典法求出的概率被称为先验概率。
9、 经验概率：将试验次数n 充分大时的频率作为概率的近似值，这就是所谓的经验概率。
五、判断题1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。
（ √ ）2．把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可以称作概率分布。
（ × ）3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。
（ √ ）4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。
（ √ ）5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。
（ × ）6．样本均值是总体均值的一个无偏估计量。
（ √ ）7．样本方差是总体方差的一个无偏估计量。
（ × ）8．样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。
（ √ ）9．重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。
（ √ ）10．抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。
（ × ）11．当样本容量n 无限增大时，样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋于零。
（ × ）12．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。
（ √ ）六、计算题1．某系共有学生100名，其中来自广东省的有25名；来自广西省的有10名。
问任意抽取一名学生，来自两广的概率是多少？ 【0.35】2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而父母双方都具有大学文化程度的占10％。
问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？ 【0.40】3．根据统计结果，男婴出生的概率为4322；女婴出生的概率为4321。
某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？ 【0.2601】4． 根据统计，由出生活到60岁的概率为0.8，活到70岁的概率为0.4。
问现年60岁 的人活到70岁的概率是多少？ 【0.5】5．根据统计结果，男婴出生的概率为4322；女婴出生的概率为4321。
某单位有两名孕妇，求这两名孕妇生女婴数的概率分布。
【0.2601，0.4998，0.2401】6． 一家人寿保险公司在投保50万元的保单中，每千名每年由15个理赔，若每一保单 每年的运营成本与利润的期望值为200年，试求每一保单的保费。
【7700元】7． 某单位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订《人民日报》的有45％，订《扬子晚报》的有60％，两种报纸都订的有30％。
试求以下概率：1）只订《人民日报》的；2）至少订以上一种报纸的；3）只订以上一种报纸的；4）以上两种报纸都不订的。
【0.15，0.95，0.65，0.05】8．根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为0.07，静止不流动的概率为0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？ 【0.08】9． 消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为 0.219；出于异族文化的吸引占0.509；而两种动机兼而有之的占0.102。
问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？ 【0.626】10．根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为P ＝0.95；设某单位年龄为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？ 【0.315】【0.914】11．假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个4个社区的样本，试问其中恰好有一个大社区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的3个社区的样本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？ 【0.178】【0.046】12试求：1）)(X E 【2】；2）)(2X E 【5.2】；3）令Y ＝2)1( X ，求)(Y E 【2.2】；4）)(X D 【1.10】；5）)(2X D 【4.62】。
13、A 、B 、C 为三事件，指出以下事件哪些是对立事件：1）A 、B 、C 都发生；2）A 、B 、C 都不发生；3）A 、B 、C 至少有一个发生；4）A 、B 、C 最多有一个发生；5）A 、B 、C 至少有两个发生；6）A 、B 、C 最多有两个发生【2、3为对立事件 4、5为对立事件 1、6为对立事件】14、从户籍卡中任抽1名，设：A ＝“抽到的是妇女”B ＝“抽到的受过高等教育”C ＝“未婚”求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”；【ABC 】（2）用文字表达ABC ；【抽到是受过高等教育的未婚妇女】（3）什么条件下ABC ＝A 。
