2020年四川省内江市第十初级中学高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=（0，2），=（1，），则向量在上的投影为( )A．3B．C．﹣D．﹣3参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由两向量的坐标求出两向量夹角的余弦值，代入投影公式得答案．解答：解：由，）得cos＜，=∴向量在上的投影为．故选：A．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是基础题．2. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是() A．8 B．6C．10 D．8参考答案：C3. 下列命题正确的是（）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
参考答案：B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.4. 的方程的两根，且,则（）参考答案：A略5. 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定参考答案：B6. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则等于（）A．33 B．84 C．72 D．189参考答案：B略7. 已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧棱底面,且,则该四棱锥的体积是（）A、288B、96C、48D、144参考答案：B8. 已知集合A={x|ax2﹣5x+6=0}，若2∈A，则集合A的子集个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】把x=2代入关于x的方程ax2﹣5x+6=0，求得a的值，然后可以求得集合A，则其子集的个数是2n．【解答】解：依题意得：4a﹣10+6=0，解得a=1．则x2﹣5x+6=0，解得x1=2，x2=3，所以A={2，3}，所以集合A的子集个数为22=4．故选：A．9. 若数列、的通项公式分别是，，且，对任意恒成立，则常数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A10. 已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（）A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝参考答案：1略12. 已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；②若//，则平行于内的所有直线；③若，且⊥，则⊥；④若⊥，，则⊥；⑤若，且//，则//．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①、④略13. 函数在上不存在反函数，则实数的取值范围为___________．参考答案：因为函数在上不存在反函数，所以。
2020年四川省内江市高考数学一诊试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，，，2，3，则A. 0B. 3C. 4D. 3或4【答案】D【解析】解：2，，，2，3，，或，故选D．由两集合的并集为2，3，，可得出或，即可求出m的值．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．2.已知复数为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】解：，复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知向量、满足，，且，则与夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：向量a、b满足，且，设与的夹角为，则，【】，，故选C．本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，夹角、模长、数量积可做到知二求一，数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直4.割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，该正十二边形的面积为，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，故选：B．求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．考查几何概型求概率问题，基础题．5.函数的单调减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】解：，，令，解得：，故选：A．先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题．6.已知等比数列是递增数列，，，则数列的前5项和为A. 31B. 31或C.D. 或【答案】C【解析】解：等比数列是递增数列，且公比设为q，，，可得，，解得，或，舍去，则，数列的前5项和为．故选：C．等比数列是递增数列，且公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.函数的图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数满足，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除B、D，又当时，，所以C正确．故选：C．直接利用函数的奇偶性，以及特殊点，即可判断正确选项．本题考查函数的奇偶性，函数的图象经过的特殊点，考查分析判断能力．8.已知为锐角，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：为锐角，，则，，故选：C．由，结合已知及两角差的正弦公式即可求解．本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】解：当时，，，满足进行循环的条件，当时，，满足进行循环的条件，当时，，满足进行循环的条件，当时，，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为A. 193B. 192C. 174D. 173【答案】A【解析】解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、，则第n行的第一个数字为，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；故选：A．根据题意，分析可得第n行的第一个数字为，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，关键是分析每一行数字的变化规律，属于基础题．11.定义在R上的偶函数满足：对总有，则A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知，偶函数在上单调递减，故在上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，，，，，．故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12.已知曲线S：，则过点可向S引切线，其切线条数为A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】C【解析】解：由，得，设切点为，则，在切点处的切线方程为，代入，得，整理得：．解得或．过点可向S引3条切线．故选：C．求出原函数的导函数，设出切点坐标，求出在切点处的切线方程，代入P点坐标求解切点坐标，则答案可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分在点处与过点处的不同，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的零点是______．【答案】2【解析】解：令，则，解得：，故函数的零点是2，故答案为：2．令，解得答案．本题考查的知识点是函数的零点，对数方程的解法，难度中档．14.设函数--，则的值为_________【答案】【解析】【分析】本题考点是求函数的值，本题是一个分段复合型函数，此类题易出错，错因在解析式选用不当．规律是先内而外逐层求值，先求值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．【解答】解：由于，当时，，故故，当时，，故故答案为．15.已知各项均为正数的等比数列，，，则______．【答案】9【解析】解：依题意，，得，，得，．故答案为：9．根据等比中项的性质计算即可．本题考查了等比中项的性质，考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题．16.已知函数，若，且，则下列结论：，，，，其中正确的序号为______把你认为正确的结论都填上．【答案】【解析】解：作出函数的图象如图，则，故错误；由，得，，则，即，故正确；，由，得，则，，即，故正确；，，，即，故正确．正确命题的序号是．故答案为：．由题意画出图形，可得，，把与转化为含有一个变量的函数求解范围．本题考查命题的真假判断与应用，考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设．求A；当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状．【答案】解：根据题意，，由正弦定理可得：，变形可得：，则，又由，则；根据题意，若，则，变形可得：，则有，当且仅当时等号成立，此时为等边三角形．【解析】根据题意，由正弦定理可得，变形可得，由余弦定理可得，据此分析可得答案；根据题意，由余弦定理可得，结合基本不等式的性质分析可得，进而由三角形面积公式分析可得答案．本题考查正弦、余弦定理的应用，关键是掌握正弦、余弦定理的应用，属于基础题．18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”．由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？60分以下不含60分的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率．附：其中，【答案】解：根据茎叶图中数据，填写列联表如下；由表中数据，计算，所以能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“成绩优良与教学方式有关”；样本中成绩在60分以下不含60分的学生中甲班有4人，分别记为a、b、c、d，乙班有2人，分别记为E、F，从这6人中任意选取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15个；设事件A表示“这2人来自不同班级”，则A的所有可能情况为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为．【解析】根据茎叶图中数据填写列联表，计算，对照数表得出结论；利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求基本事件数和古典概型的概率问题，是基础题．19.设函数，已知和为的极值点．求a和b的值；讨论的单调性．【答案】解：显然的定义域为R．，分由和为的极值点，得分即分解得分由得分令，得，，分、随x的变化情况如下表：从上表可知：函数在和上是单调递增的，在和上是单调递减的．分【解析】根据极值点处的导函数值为零建立方程组，解之即可；求导数，在函数的定义域内解不等式和，列出、随x的变化情况，从而求出函数的单调性．本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．20.已知数列为等差数列，且，．求数列的通项公式；设，为数列的前n项和，若对任意，总有，求m的取值范围．【答案】解：数列为等差数列，设公差为d，，，可得，即，解得，则，即；，，对任意，总有，可得，解得，可得m的取值范围是．【解析】设数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得，进而得到所求通项公式；求得，运用等比数列的求和公式可得，再由不等式的性质和恒成立思想，解不等式可得m的范围．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查不等式恒成立问题解法，化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.已知函数．求函数的单调区间；证明：对一切，都有成立．【答案】解：函数的定义域为，，令，解得，令，解，函数的增区间为，减区间为；证明：等价于，即证，由知，，当时取等号，令，则，易知函数在递减，在递增，，当时取等号，对一切都成立，则对一切，都有成立．【解析】求导，令导大于0的解集即为增区间，令导小于0的解集即为减区间；原问题即证，而，令，求导可得，从而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．22.已知直线l经过点，倾斜角．写出直线l的参数方程；设l与圆相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【答案】解：因为直线l经过点，倾斜角所以直线l的参数方程为，即为参数将直线l的参数方程代入圆的方程得：，即，则，所以，即P到A，B两点的距离之积为2．【解析】根据题意，由直线过点P的坐标以及倾斜角，结合直线参数方程的定义可得答案；将直线l的参数方程代入圆的方程，可得关于t的方程，由根与系数的关系可得的值，结合t的实际意义即可得答案．本题考查直线的参数方程以及应用，关键是根据题意求出直线的参数方程．23.设函数．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ时，，故或或，解得：，故不等式的解集是；Ⅱ，故或，解得：或，故．【解析】Ⅰ代入a的值，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；Ⅱ根据绝对值不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．第11页，共11页。
2020年四川省高考模拟试卷(一)数学（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDCDBCBDCDBB【解析】1.依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610=人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C.2.由2+=ii z，得|2|||||+=i i z ，||5=z ，故选D. 3.某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=，青年人为636060=n n ，2686060++=⇒+=n nm m ，代入选项计算，C 不符合，故选C.4.原不等式等价于|sin ||cos |≥x x ，即正弦线长度长于或等于余弦线长度，故选D.5.设{}n a 的公差为d ，由24836149++=+a a a a a ，10=≠a d ，1141419914()1415729()91032+⨯===+⨯a a S d a a S d ，故选B.6.由题意可知2cos sin -'=ax x a x y x ，故在点(,0)M π处的切线方程为1()-=-=-+a y x x b πππ，则11=⎧⎨=⎩a b ，故选C. 7.由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当04<<x π时，()0>f x ，故选B.8.已知1=AB ，2=BC ，60︒∠=ABC ，由余弦定理可得2222cos603︒=+-⋅=AC AB BC AB BC ，所以222+=AC AB BC ，即⊥AB AC ，①正确；由⊥PA 平面ABCD ，得⊥AB PA ，所以⊥AB 平面P AC ，②正确；⊥AB 平面P AC ，得⊥AB PC ，又⊥AE PC ，所以⊥PC 平面ABE ，③正确；由⊥PC 平面ABE ，得⊥PC BE ，④正确，故选D.9.由程序框图得0=z ，第一次运行011=+=a ，101=+=z ，011=+=n ；第二次运行0=+=b i i ，1=+z i ，112=+=n ；第三次运行， ，故(1111)()0=-++-+-+-=L L z i i i ，故选C.10.因为双曲线E 的一条渐近线方程为2=y x ，所以2=b a ，2215==+=c b e a a，由V OAF 的面积是25，得21252⋅=b a，所以24=b ，2=b ，所以1=a ，双曲线的实轴长为2，故选D.11.当0=x ，0=y 时，即220+≤x y 符合题意，此时0=m ，排除A ，D ，由题意可知，以(0,0)为圆心的圆在不等式2224⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩x y x y 所表示的区域内，半径最大的圆22+=x y m 应与直线相切，圆心到240--=x y 的距离为144455145===+d ，圆心到22+=x y 的距离为2|22|211==+d ，由于12<d d ，∴符合题意的最大的圆为22241655⎛⎫+== ⎪⎝⎭x y ，故选B.12.设点11(),E x y ，22(),F x y ，由三角函数的定义得111cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y αα，221cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ββ，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx b x y ，得2221(1)204+++-=k x kbx b ，由韦达定理得122212221141⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩kb x x k b x x k ，所以211221121212sin()sin cos cos sin 444()4()84()+=+=+=+++=++x y x y x kx b x kx b kx x b x x αβαβαβ22221882411⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-++k b kb k k k ，因此，当k 是常数时，sin()+αβ是常数，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 1314 1516答案8π582322195+=x y 【解析】13.由()3-=r r r a b a ，得3⋅-⋅=r r r r a b a a ，即4⋅=r r a b ，故1cos ,2||||⋅〈〉==⋅r r r r r ra b a b a b ，则向量r a 与rb 的夹角为3π. 14.由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1，1+d ，14+d 成等比数列，故2(1)14+=+d d ，即220-=d d ，解得0=d 或2=d ，若0=d ，1=n a ，=n S n ，与0≠A 矛盾，故2=d ，3125=+=a d . 15.正八面体上半部分的斜高为3，高为2，则其体积为22282233⨯⨯⨯=. 16.依题意，112||||2==PF F F c ，由椭圆的定义可得2||22=-PF a c ，所以22112||1112cos 1||224-⎛⎫∠===-= ⎪⎝⎭PF a c PF F F F c e ，从而2115sin 4∠=PF F ，因为离心率23=c a ，所以1222122111515sin ()224=⋅⋅∠=-=V PF F S PF F F PF F c a c c ，又1215=V PF F S ，解得24=c ，所以29=a ，25=b ，故椭圆C 的方程为22195+=x y . 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（1）由已知得(0.110.065)20.5++⨯=b ，故0.075=b . （3分） 法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)=-⨯++++a ，∴0.125=a . （6分） 法二：1()10.50.5-=-=P C ，∴2(0.050.075)0.5⨯++=a ，∴0.125=a . （6分） （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=， （10分）估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=（cm ）. （12分） 18.（本小题满分12分）解：（1）∵cos (2)cos 0+-=b C c a B ，∴cos cos 2cos +=b C c B a B ， （1分） 由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C A B ， （2分）sin()sin()sin 0+=-=≠B C πA A ， （3分）∴2cos 1=B ，1cos 2=B ， （5分） 又B 是V ABC 的内角，∴3=πB . （6分） （2）∵V ABC 为锐角三角形，3=πB ，1=a ，∴23+=A C π，62<<ππA ， （7分）由正弦定理得1sin sin sin ==b cA B C， ∴2sin sin sin sin 33sin sin sin sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+ππA B C b c A A A A（8分） 31cos sin 333cos 13(1cos )1222sin sin 2sin 2sin 22sin 2++=+=+⋅+=+A AA A A A A A A ， （9分） ∵62<<ππA ，∴+b c 关于A 为减函数， （10分） ∴31cos 31cos 112622sin 2sin 26⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+ππb c ππ2， （11分） ∴31322+<+<+b c ，即+b c 的取值范围是31,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. （12分） 19.（本小题满分12分）解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，2==PD AD ，得⊥PD AD ，⊥PD AB ，⊥AD AB . （1分） 又⋂=PD AD D ，∴⊥AB 平面P AD ，∴⊥PA AB ，∴22=PA ，23=PB ， （2分） ∴22=V PAB S ，2=V PAD S ， （3分） 同理22=V PCB S ，2=V PCD S ，4=ABCD S ，∴428=+四棱锥表面积S . （4分）1833-=⋅=P ABCD ABCD V S PD . （6分）（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面P AB ，平面P AD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由------=++++，P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V 可得11111113333333⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅V V V V 正方形四棱锥表面积ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r ， （8分） ∴22⋅==-正方形四棱锥表面积ABCD S PDr S ， （10分）∴24(24162)==-内切球表面积S πr π. （12分） 20.（本小题满分12分）解：（1）1=-k ，2()(1)=---xf x x e x ，令()2(2)00'=--=-+=⇒=xxf x xe x x e x ， （2分） 故(,0)∈-∞x ，()0'>f x ；(0,)∈+∞x ，()0'<f x （3分）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞. （4分）（2）()2(2)'=-=-xxf x kxe x x ke ， 令2()0ln [0,ln 2]'=⇒=∈f x x k，其中[1,2]∈k . （5分） 令2()ln=-g x x x，[1,2]∈x ， 211()21102⎛⎫'=⋅--=--< ⎪⎝⎭x g x x x， （6分） 故()g x 在[1,2]上单调递减， 故2()(1)ln 210ln ≤=-<⇒<g x g k k， （7分） 故20,ln⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，()0'<f x ；2ln ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k k ，()0'>f x ，从而()f x 在20,ln⎛⎫ ⎪⎝⎭k 上单调递减；在2ln ,⎛⎫ ⎪⎝⎭k k 上单调递增， （8分） 故在[0,]k 上，函数max ()max{(0)=f x f ，()}max{=-f k k ，2(1)}--k k k e k ，[1,2]∈k . （9分）由于2()(0)(1)[(1)1]-=--+=--+k kf k f k k e k k k k e k ，令()(1)1=--+xh x x e x ，[1,2]∈x ， （10分）()10'=->x h x xe ，对于[1,2]∀∈x 恒成立，从而()(1)0≥=h x h ，即()(0)≥f k f ，当1=k 时等号成立， （11分）故2max ()()(1)==--k f x f k k k e k . （12分）21.（本小题满分12分）（1）证明：依题意有10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，直线1:4=+l y kx ， （1分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y kx 消去y ，化简得2104--=x kx ， （2分） 所以，12+=x x k ，1214=-x x . （3分） 又因为2'=y x ，所以直线1l 的斜率112=k x .同理，直线2l 的斜率222=k x ， （4分） 所以，121241==-k k x x ， （5分）所以，直线12⊥l l ，即90︒∠=ADB . （6分）（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设(,)P x y 是圆上的一点，则0⋅=u u u r u u u rPA PB ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ，（7分） 又因为12+=x x k ，1214=-x x ，21212111442+=+++=+y y kx kx k ，221212116==y y x x ， 所以，圆Γ的方程可化简为222130216⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭x y kx k y ， （8分）联立圆Γ与抛物线E 得2222130216⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩x y kx k y y x ， 消去y ，得422130216⎛⎫----= ⎪⎝⎭x k x kx ， 即22211042⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x kx ，即2213044⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x kx x kx ， （9分）若方程2104--=x kx 与2304++=x kx 方程有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩x kx kx x x kx ，矛盾， （10分） 所以，方程2104--=x kx 与方程2304++=x kx 没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030⎧+>⎪⎨->⎪⎩k k ，3⇔>k 或3<-k ， （11分）综上所述，3>k 或3<-k . （12分）22.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin =ρθ，得直角坐标方程为226+=x y y ， 即22(3)9+-=x y . （3分）（2）把直线l 的参数方程cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t θθ（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9+-=t t θθ，化简得22sin 80--=t t θ. （5分）设A ，B 两点对应的参数分别是1t ，2t ，则122sin +=t t θ，128=-t t ， （6分） 故22121212()44sin 3234=-=+-=+=|AB||t t |t t t t θ， （8分）得2sin 2=±θ， （9分） 得1=±k . （10分） 23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 证明：（1）由柯西不等式，得2 134********()633 22⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c a b ca b c a b c a b c，所以134633++≥+a b c. （5分）（2）由柯西不等式，得222222211()()222⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a b c a ba b c c a ba b c a b c，所以2222++≥c a ba b c. （10分）。
