[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷245.doc

[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷26一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设场A＝{x3＋2y，y3＋2z，z3＋2x}，曲面S：x2＋y2＋z2＝2z内侧，则场A穿过曲面指定侧的通量为( )．（A）32π（B）一32π（C）（D）2（A）｜r｜＜1（B）｜r｜＞1（C）｜r｜＝一1（D）r＝134 设幂级数在x＝6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为( )．（A）2（B）4（C）（D）无法确定5二、填空题67 ＝_________，其中L：(x2＋y2)2＝a2(x2一y2)(a＞0)．8 设向量场A＝2x3yzj—x2y2zj—x2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)沿方向l＝{2，2，一1}的方向导数＝__________．9 设L是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段y＝x(2一x)，则＝__________。

10 设f(u)连续可导，且，L为半圆周，起点为原点，终点为B(2，0)，则＝__________.11 ＝__________。

12 ＝__________。

1314 设级数条件收敛，则p的取值范围是_________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 设f(x，y，z)连续，∑为曲面2z＝x2＋y2位于z＝2与z＝8之间部分的上侧，计算[yf(x，y，z)＋x]dydz＋[xf(x，y，z)＋y]dzdx＋[2xyf(x，y，z)＋z]dzdy.16 设＋xcosydy＝t2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求f(x，y)．17 设L为曲线｜x｜＋｜y｜＝1的逆时针方向，计算18 位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为(其中常数k＞0，且r＝｜AM｜)，质点M沿曲线L：自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．19 在变力F＝{yz，xz，xy)的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大?求最大的功．20 质点P沿以AB为直径的半圆从点A(1，2)到点B(3，4)运动，受力F的作用，力的大小等于｜OP｜，方向垂直于线段OP且与y轴的夹角为锐角，求力F所做的功．21 设f(x)二阶连续可导，且曲线积分与路径无关，求f(x)．22 计算，其中S为圆柱x2＋y2＝a2(a＞0)位于z＝一a与z＝a之间的部分。

23设A，B为n阶矩阵．
(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵（C）正定矩阵Fra bibliotek（D）正交矩阵

考研数学一（高等数学）模拟试卷222(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→1时，f(x)=的极限为( )．A．2B．0C．∞D．不存在但不是∞正确答案：D解析：显然=+∞，而不存在但不是∞，选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0处可导，则( )．A．f(0)=0B．f’(0)=0C．f(0)=f’(0)D．f(0)=一f’(0)正确答案：A解析：F(0)=f(0)，F－’(0)==f’(0)一f(0)；F＋’(0)==f’(0)+f(0)，因为F(x)在x=0处可导，所以F－’(0)=F＋’(0)，于是f(0)=0，故应选(A)．知识模块：高等数学3．设平面区域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于( )．A．2π∫12rf(r)drB．2π[∫12rf(r)dr一∫01rf(r)dr]C．2π∫12rf(r2)drD．2π[∫02rf(r2)dr—∫01rf(r2)dr]正确答案：A解析：dxdy=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2πrf(r)dr，选(A)．知识模块：高等数学4．设k＞0，且级数( )．A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性与k的取值有关正确答案：C解析：因为都收敛，所以绝对收敛，正确答案为(C)．知识模块：高等数学填空题5．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学6．设函数y=y(x)由e2x＋y—cos(xy)=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为_________．正确答案：y=x＋1解析：当x=0时，y=1，e2x＋y一cos(xy)=e一1两边对x求导得e2x＋y(2+)＋sin(xy)(y+)=0，将x=0，y=1代入得=一2，故所求法线方程为y一1=(x一0)，即y=x+1．知识模块：高等数学7．∫0＋∞x7e－x2dx=_________．正确答案：3解析：∫0＋∞x7x－x2dx=∫0＋∞x6e－x2d(x2)=∫0＋∞t3e－tdt==3．知识模块：高等数学8．过点M0(1，一1，2)且与直线L1：x+2y—z一2=0与L2：x—y—z一4=0都平行的平面为_________．正确答案：π：x+z一3=0解析：所求平面的法向量为n=｛1，2，一1｝×｛1，一1，一1｝=｛一3，0，一3｝=一3｛1，0，1｝，所求的平面为π：(x一1)+0(y+1)+(z一2)=0，即π：x+z一3=0．知识模块：高等数学9．设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数，则=________．正确答案：解析：将代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，e2yz+x+y2+z=两边求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将x=，y=，z=0代入得．知识模块：高等数学10．设f(x，y，z)=x2一y2+2z2，则div(gradf)=_________．正确答案：4解析：gradf==｛2x，一2y，4z｝，则div(gradf)==4．知识模块：高等数学11．设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y’’一6y’+9y=e3x，则y(x)=________．正确答案：y(x)=2xe3x＋x2e3x解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’一6y’+9y=e3x的特征方程为λ2－6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y’’一6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代入得a=，故通解为y=(C1+C2x)e3x+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+x2e3x．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（高等数学）模拟试卷64(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)二阶连续可导，，则( )．A．f(2)是f(x)的极小值B．f(2)是f(x)的极大值C．(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D．f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：A解析：由＞0，即当x∈(2—δ，2)时，f’(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．知识模块：高等数学2．设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，则( )．A．x=0是f(x)的极大值点B．x=0是f(x)的极小值点C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt=一2x2一∫0xg(x—t)d(x—t)=一2x2+∫0xg(u)du，f”(x)=一4x+g(x)，f”(0)=0，f”‘(x)=一4+g’(x)，f”‘(0)=一4＜0，因为f”‘(0)==一4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，从而当x∈(一δ，0)时，f”(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f”‘(x)＜0，选(C)．知识模块：高等数学3．设f(x)二阶连续可导，且=1，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且＜0，即当x∈(一δ，0)时，f”(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f”(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．知识模块：高等数学4．设函数f(x)满足关系f”(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f”(0)=0，f”‘(x)=1—2f’(x)f”(x)，f”‘(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f”‘(x)＞0，再由f”(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．知识模块：高等数学5．下列说法正确的是( )．A．设f(x)在x二阶可导，则f”(x)在x=x0处连续B．f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C．f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点正确答案：D解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．知识模块：高等数学6．设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：B解析：因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k ＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．知识模块：高等数学7．设k＞0，则函数f(x)=lnx一+k的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．知识模块：高等数学8．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有( )．A．两个极大点，两个极小点，一个拐点B．两个极大点，两个极小点，两个拐点C．三个极大点，两个极小点，两个拐点D．两个极大点，三个极小点，两个拐点正确答案：C解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x ∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f”(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．知识模块：高等数学填空题9．设f(x)=在x=1处可微，则a=___________，b=___________．正确答案：a=2，b=一1解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=一1．知识模块：高等数学10．设F(x)= ∫0x (x2一t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)=___________．正确答案：解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f’(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，知识模块：高等数学11．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，[f(x)一f(x—1)]，则a=___________．正确答案：1解析：=e2a，由f(x)一f(x一1)=f’(ξ)，其中ξ介于x一1与x之间，令x →∞，由e2，即e2a=e2，所以a=1．知识模块：高等数学12．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=___________．正确答案：47解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[—1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)] =3+4×(3+8)=47．知识模块：高等数学13．曲线y=的斜渐近线为___________．正确答案：y=2x—4解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。