《概率论与数理统计》(数学专业)试卷分析.docx

一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。

（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。

（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。

（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。

3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，Y X 与的协方差为: - 0.2 ，2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。

7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。

8、设2),(125===Y X Cov Y D X D，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。

《统计与概率》考试质量分析
《统计与概率》考试质量分析
一、试题分布情况:本学期数学教学内容分两部分:数据描述性分析，概率，其中数据描述性分析占40%,概率占60%.从题的难易程度分基础题占50%,基本技能占40%,提高题占10%.
二、试卷分析:此次考试学生对基础知识掌握的比较好,但在基本技能方面运用较差.通过试卷发现学生不会用学过的知识解决实际问题,不会用脑分析问题,随意性太大,这方面也说明学生平时习题做的很少,对知识掌握地不够熟练.我们要在今后加强.
三、学生学习情况的分析:
1、总的来看学生考试成绩比较好,70分以下的人数只占5%，绝大多数同学基础知识掌握地很好。

2、学生有良好的学习习惯,但掌握知识太死,灵活不够,题型稍加变动,个别同学就无从下手.学生对公式掌握不准确,对例题,习题分析不够透彻,课后没有做到巩固复习.
3、大多数学生数学基本功较差,以前学过知识联系不上.
4、个别学生解题习惯不好,步骤不详.
四、改进意见
1、要加大文化课学习的力度,任课教师对不同程度的学生进行课辅导,同时学校也要给学生充分的时间去复习巩固.
2、加强直观教学,调动学生学习的积极性.
3、加强课后辅导.
4、加强学生习题储备量，多做题，多独立做.。

考研高等数学中概率统计试题分析摘要：本文分析了概率论与数理统计的内容和题型，对其难度系数进行了打分；通过对难度系数的剖析，说明了概率论与数理统计部分的解答题（22分）常考的范围，便于考生复习时抓住重点，对于考研的同学有一定的指导作用.关键词：概率论与数理统计研究生考试高等数学在考研的高等数学中，满分是150分，概率论与数理统计的内容，34分，占大约22.7%，其中选择题8分（两小题），填空题4分（一小题），解答题22分（两大题）；本文对于概率论与数理统计的内容，根据公式（或概念）的难度，将其难度划分为若干等级，进行打分；对于题型，根据解题时所用的知识点的多少，也将其难度划分为若干等级，进行打分.最后，根据这两个等级，对难度系数进行综合打分.具体解释如下：对于公式，根据其难度，分为三个等级，其难度系数分布赋予1、1.5、2.比如，古典概型的公式，P（A）=，其中n为事件A的样本点数，n为样本点总数，该公式很简单，难度系数定义为1；再比如，全概率公式，比较复杂，难度系数定义为 1.5；至于连续型随机变量（简记为r.v）的条件密度公式f（y|某）=，其中f（某，y）是连续型随机变量（随机变量简记为r.v）（某，Y）的联合密度函数，f（某）为（某，Y）关于某的边缘密度函数，即使f（某，y）和f（某）都求出了，用条件密度公式f（y|某）=时，还需要考虑两者的公共定义域，因此难度系数规定为2.对于有关概念，也根据其难度，分为三个等级，其难度系数也分布赋予1、1.5、2.比如：独立性概念，比较简单，难度系数定义为1；再比如，t-分布的定义，涉及一个标准正态分布和一个？掊-分布，且还要求独立，涉及的内容较多，难度系数规定为1.5；至于极大似然估计的概念，比较难理解，且离散时和连续时，其似然函数还不一样，故难度系数规定为 2.对于题型，根据其解题时所用到的知识点的多少，对其难度进行打分.所用的知识点多，难度系数就高，比如：古典概型的计算；一般只用到排列与组合的知识，难度系数定义为1；再比如：涉及极大似然估计的题，解题时要用到求导数的知识，解方程的知识，故难度系数定义为2，有时还需验证无偏性，因此难度系数定义为≥2.对于所用的知识点，也根据知识的难易和运算量进行打分，比如：对于一般的积分，难度系数规定为1；对于积分且需要讨论的，难度系数规定为1.5；对于在一个题目中，多次用积分运算的，比如：对于连续型r.v方差的计算，其难度系数也定义为1.5.下面我们分析概率论与数理统计的主要内容和题型，对其综合难度系数进行如下分析.难度系数表近年来，研究生考试中，解答题22分（两大题），基本上是考查学生综合运用知识的能力，这类考题其综合难度系数一般，下面针对近年来的试题作具体分析：（下面的1—10题，见文献[1].11—12题，见文献[2]）.1.（2007年数学一、三（23），11分）设二维随机变量（某，Y）的概率密度为f（某，y）=2-某-y，0（1）求P{某>2Y}；（2）求Z=某+Y的概率密度f（z）.难度分析：求概率，用积分，难度系数为1；求二维随机变量的函数的密度函数，公式难度系数1.5；再用积分计算，且涉及讨论，难度系数为1.本大题的难度系数为3.5.2.（2007年数学一、三（24），11分）设总体的概率密度为f（某；θ），0其中参数θ（0（Ⅰ）求参数θ的矩估计量；（Ⅱ）判断4是否为θ的无偏估计量，并说明理由.难度分析：求矩估计量，难度系数为3.5，再验证无偏性，难度系数1，本大题综合难度系数为4.5.3.（2022年数学一、三（22），11分）设随机变量与相互独立，某概率分布为P{某=i}=（i=-1，0，1），Y的概率密度为f（y）=1，0≤y≤10，其他，记Z=某+Y（1）求P{Z≤|某=0}；（2）求Z的概率密度.难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求随机变量函数的分布，难度系数为3，综合难度系数为5..5.4.（2022年数学一、三（23），11分）某，某，...某是总体为N （μ，σ）的简单随机样本.记=某，S=（某-），T=-S，（1）证T是的无偏估计量；（2）当μ=0时σ=1时，求DT.难度分析：证明无偏性，需要求期望，难度系数为3，再求方差，难度系数为1，综合难度系数为4.5.（2022年数学三（22），11分）（22）（本题满分11分）设二维随机变量（某，Y）的概率密度为f（某，y）=e，0（I）求条件概率密度f（y|某）；（II）求条件概率P=[某≤|Y≤1].难度分析：求条件密度，难度系数为3；再求条件概率，用积分，难度系数为1，综合难度系数为4.6.（2022年数学一、三（23），11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以某，Y，Z分别表示两次取球的红、黑、白球的个数.（Ⅰ）求P{某=1|Z=0}；（Ⅱ）求二维随机变量（某，Y）的概率分布.难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求联合概率分布，难度系数为1，综合难度系数为3.5.7.（2022年数学一、三（22），11分）设二维随机变量的概率密度为f（某，y）=Ae，-∞求常数A及条件概率密度f（y|某）.难度分析：求常数，用积分，难度系数为1；再用积分求边缘密度，难度系数为0.5；最后求条件概率密度，难度系数为2.综合难度系数为3.5.8.（2022年数学三（23），11分）箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个.现从箱中随机地取出2个球，记某为取出的红球个数，Y为取出的白球个数.（1）求二维随机变量（某，Y）的概率分布；（2）求Cov（某，Y）.难度分析：求二维随机变量（某，Y）的概率分布，难度系数为2；求Cov（某，Y），公式难度系数为1.5；综合难度系数为3.5.9.（2022年数学一、三（22），11分）设与的概率分布分别为且P（某=Y）=1.求：（1）（某，Y）的分布；（2）Z=某Y的分布；（3）某与Y的相关系数ρ.难度分析：求（某，Y）联合分布律，难度系数为2；求随机变量函数的分布律，难度系数为2；求相关系数，难度系数为1.5；综合难度系数为5.5.10.（2022年数学三（23），11分）设在G上服从均匀分布，G由某-y=0，某+y=2与y=0围成.（1）求边缘密度f（某）；（2）求f（某|y）.难度分析：求连续型随机变量（某，Y）的条件概率密度，综合难度系数为4.11.（2022年数学三（22），11分）设（某，Y）是二维随机变量，某的边缘概率密度为f（某）=3某，0在给定某=某（0（1）求（某，Y）的概率密度f（某，y）；（2）求Y边缘概率密度f（y）；（3）求P（某>2Y）.难度分析：已知边缘密度f（某）和条件密度f（y|某），求（某，Y）的概率密度f（某，y），难度系数为1；求边缘概率密度，用积分且讨论，难度系数为1，5；求概率，难度系数为1.综合难度系数为3.5.12.（2022年数学三（23），11分）设总体某的概率密度为f（某，θ）=e，某>00，其他，其中θ为未知参数且大于零.某，...某为来自总体某的简单随机样本.（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的极大似然估计量.难度分析：求的矩估计量，难度系数为3.5；求的极大似然估计量，难度系数为3.5.综合难度系数为7.从上面的分析可见，解答题的试题都是出现在难度系数≥3.5的部分.因此，同学们在考研复习时，要重点复习难度系数表中综合难度系数≥3.5的内容.至于填空题和选择题，主要考查同学们对基本概念的理解及一定的综合运算能力，只要按照大纲给定的内容认真进行复习就可以了.。

概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。

现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。

（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。

P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。

08，P（B｜ A2）＝0。

09，P（B｜ A3)＝0。

12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。

若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。

《概率论与数理统计》期末试卷一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是_______________。

2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P _____________。

3、设X 服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ___________。

4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___________。

5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ____。

二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本nX X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计 4、设nX X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（ ） A 、ini X ≤≤1min B 、μ-X C 、∑=ni iX 1σ D 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。

2022年4月高等教育自学考试（概率论与数理统计）〔经管类〕答案解析一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕1.甲，乙两人向同一目标射击，A表示“甲命中目标〞，B表示“乙命中目标〞，C表示“命中目标〞，则C=〔〕A.AB.BC.ABD.A∪B（答案）D（解析）“命中目标〞=“甲命中目标〞或“乙命中目标〞或“甲、乙同时命中目标〞，所以可表示为“A∪B〞，应选择D.（提示）注意事件运算的实际意义及性质：〔1〕事件的和：称事件“A，B至少有一个发生〞为事件A与B的和事件，也称为A 与B的并A∪B或A+B.性质：①,；②假设，则A∪B=B.〔2〕事件的积：称事件“A，B同时发生〞为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=A∩B或F=AB.性质：①，；② 假设，则AB=A.〔3〕事件的差：称事件“A发生而事件B不发生〞为事件A与B的差事件，记做A－B.性质：①；②假设，则；③.〔4〕事件运算的性质〔i〕交换律：A∪B=B∪A, AB=BA；〔ii〕结合律：〔A∪B〕∪C=A∪〔B∪C〕, 〔AB〕C=A〔BC〕；〔iii〕分配律：〔A∪B〕∩C=〔A∩C〕∪〔B∩C〕〔A∩B〕∪C=〔A∪C〕∩〔B∪C〕.〔iv〕摩根律〔对偶律〕,2.设A，B是随机事件，，P〔AB〕=0.2，则P〔A－B〕=〔〕A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4（答案）A（解析），，应选择A.（提示）见1题（提示）〔3〕.3.设随机变量X的分布函数为F〔X〕则〔〕A.F〔b－0〕－F〔a－0〕B.F〔b－0〕－F〔a〕C.F〔b〕－F〔a－0〕D.F〔b〕－F〔a〕（答案）D（解析）依据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见（提示）.（提示）1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数，为的分布函数.2.分布函数的性质：①0≤F〔x〕≤1；②对任意x1，x2〔x1< x2〕，都有；③F〔x〕是单调非减函数；④，；⑤F〔x〕右连续；⑥设x为f〔x〕的连续点，则f′〔x〕存在，且F′〔x〕=f〔x〕.3.已知X的分布函数F〔x〕，可以求出以下三个常用事件的概率：①；②，其中a<b；③.4.设二维随机变量〔X，Y〕的分布律为0 1 20 1 0 0.1 0.2 0.4 0.3 0则〔〕A.0B.0.1C.0.2D.0.3（答案）D（解析）因为事件，所以，= 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3应选择D（提示）1.此题考察二维离散型随机变量的边缘分布律的求法；2.要清楚此题的三个事件的概率为什么相加：因为三事件是互不相容事件，而互不相容事件的概率为各事件概率之和.5.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则〔〕A.0.25B.0.5C.0.75D.1（答案）A（解析）积分地域D：0＜X≤0.5，0＜Y≤1，所以应选择A.（提示）1.二维连续型随机变量的概率密度f〔x，y〕性质：①f〔x，y〕≥0；②；③假设f〔x，y〕在〔x，y〕处连续，则有，因而在f〔x，y〕的连续点〔x，y〕处，可由分布函数F〔x，y〕求出概率密度f〔x，y〕；④〔X，Y〕在平面地域D内取值的概率为.2.二重积分的计算：此题的二重积分的被积函数为常数，依据二重积分的几何意义可用简单方法计算：积分值=被积函数0.5×积分地域面积0.5.6.设随机变量X的分布律为X﹣2 0 2P 0.4 0.3 0.3则E〔X〕=〔〕A.﹣0.8B.﹣0.2C.0D.0.4（答案）B（解析）E〔X〕=〔﹣2〕×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2应选择B.（提示）1.离散型一维随机变量数学期望的定义：设随机变量的分布律为，1，2，….假设级数绝对收敛，则定义的数学期望为.2.数学期望的性质：①E〔c〕=c，c为常数；②E〔aX〕=aE〔x〕，a为常数；③E〔X+b〕=E〔X+b〕=E〔X〕+b，b为常数；④E〔aX+b〕=aE〔X〕+b，a，b为常数.7.设随机变量X的分布函数为，则E〔X〕=〔〕A. B. C. D.（答案）C（解析）依据连续型一维随机变量分布函数与概率密度的关系得，所以，=，应选择C.（提示）1.连续型一维随机变量概率密度的性质①;②;③;④；⑤设x为的连续点，则存在，且.2.一维连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量X的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则随机变量的数学期望为.8.设总体X服从区间,]上的均匀分布〔〕，x1，x2，…，x n为来自X的样本，为样本均值，则A. B. C. D.（答案）C（解析），，而均匀分布的期望为，应选择C.（提示）1.常用的六种分布〔1〕常用离散型随机变量的分布〔三种〕：X0 1概率q pA.两点分布①分布列②数学期望：E〔X〕=P③方差：D〔X〕=pq.B.二项分布：X～B〔n，p〕①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望： E〔X〕=nP③方差： D〔X〕=npq.C.泊松分布：X～①分布列：，0，1，2，…②数学期望：③方差：＝〔2〕常用连续型随机变量的分布〔三种〕：A.均匀分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｂ.指数分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｃ.正态分布〔A〕正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：③数学期望：＝,④方差：＝，⑤标准化代换：假设X～，，则～.〔B〕标准正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：，－∞＋∞③数学期望：E〔X〕＝0,④方差：D〔X〕＝1.2.注意：“样本〞指“简单随机样本〞，具有性质：“独立〞、“同分布〞.9.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，且，记，，，，则的无偏估量是〔〕A. B. C. D.（答案）A（解析）易知，，应选择A.（提示）点估量的评价标准：〔1〕相合性〔一致性〕：设为未知参数，是的一个估量量，是样本容量，假设对于任意，有，则称为的相合〔一致性〕估量.〔2〕无偏性：设是的一个估量，假设对任意，有则称为的无偏估量量；否则称为有偏估量.〔3〕有效性设，是未知参数的两个无偏估量量，假设对任意有样本方差，则称为比有效的估量量.假设的一切无偏估量量中，的方差最小，则称为的有效估量量.10.设总体～，参数未知，已知.来自总体的一个样本的容量为，其样本均值为，样本方差为，，则的置信度为的置信区间是〔〕A.，B.，C.，D.（答案）A（解析）查表得答案.（提示）关于“课本p162，表7-1：正态总体参数的区间估量表〞记忆的建议：①表格共5行，前3行是“单正态总体〞，后2行是“双正态总体〞；②对均值的估量，分“方差已知〞和“方差未知〞两种情况，对方差的估量“均值未知〞；③统计量顺序：, t, x2, t, F.二、填空题〔本大题共15小题，每题2分，共30分〕11.设A，B是随机事件，P 〔A〕=0.4，P 〔B〕=0.2，P 〔A∪B〕=0.5，则P 〔AB〕= _____.（答案）0.1（解析）由加法公式P 〔A∪B〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔AB〕，则P 〔AB〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔A∪B〕=0.1故填写0.1.12.从0，1，2，3，4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为________.（答案）（解析）设第三次取到0的概率为，则故填写.（提示）古典概型：〔1〕特点：①样本空间是有限的；②根本领件发生是等可能的；〔2〕计算公式.13.设随机事件A与B相互独立，且，则________.（答案）0.8（解析）因为随机事件A与B相互独立，所以P 〔AB〕=P 〔A〕P 〔B〕再由条件概率公式有=所以，故填写0.8.（提示）二随机事件的关系〔1〕包含关系：如果事件A发生必定导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且；〔2〕相等关系：假设且，则事件A与B相等，记做A=B，且P 〔A〕=P 〔B〕；〔3〕互不相容关系：假设事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为＝，且P 〔AB〕=0；〔4〕对立事件：称事件“A不发生〞为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：①；②，.〔5〕二事件的相互独立性：假设, 则称事件A, B相互独立；性质1：四对事件A与B，与B，A与，与其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：假设A, B相互独立，且P 〔A〕＞0, 则.14.设随机变量服从参数为1的泊松分布，则________.（答案）（解析）参数为泊松分布的分布律为，0，1，2，3，…因为，所以，0，1，2，3，…，所以=，故填写.15.设随机变量X的概率密度为，用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则________.（答案）（解析）因为，则～，所以，故填写.（提示）注意审题，X判定概率分布的类型.16.设二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D： x2+ y2≤1上的均匀分布，为其概率密度，则=_________.（答案）（解析）因为二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D：上的均匀分布，则，所以故填写.（提示）课本介绍了两种重要的二维连续型随机变量的分布：〔1〕均匀分布：设D为平面上的有界地域，其面积为S且S>0，如果二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则称〔X，Y〕服从地域D上的均匀分布，记为〔X，Y〕～.〔2〕正态分布：假设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔，〕，其中，，，，都是常数，且，，，则称〔X，Y〕服从二维正态分布，记为〔X，Y〕～.17.设C为常数，则C的方差D 〔C〕=_________.（答案）0（解析）依据方差的性质，常数的方差为0.（提示）1.方差的性质①D 〔c〕=0，c为常数；②D 〔aX〕=a2D 〔X〕，a为常数；③D 〔X+b〕=D 〔X〕，b为常数；④D 〔aX+b〕= a2D 〔X〕，a，b为常数.2.方差的计算公式：D 〔X〕=E 〔X2〕－E2〔X〕.18.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E 〔e-2x〕= ________.（答案）（解析）因为随机变量X服从参数1的指数分布，则，则故填写.（提示）连续型随机变量函数的数学期望：设X为连续性随机变量，其概率密度为，又随机变量，则当收敛时，有19.设随机变量X～B 〔100，0.5〕，则由切比雪夫不等式估量概率________.（答案）（解析）由已知得，，所以.（提示）切比雪夫不等式：随机变量具有有限期望和，则对任意给定的，总有或.故填写.20.设总体X～N 〔0，4〕，且x1，x2，x3为来自总体X的样本，假设～，则常数C=________.（答案）1（解析）依据x2定义得C=1，故填写1.（提示）1.应用于“小样本〞的三种分布：①x2－分布：设随机变量X1，X2，…，X n相互独立，且均服从标准正态分布，则服从自由度为n的x2－分布，记为x2～x2〔n〕.②F－分布：设X，Y相互独立，分别服从自由度为m和n的x2分布，则服从自由度为m与n的F－分布，记为F～F〔m，n〕，其中称m为分子自由度，n为分母自由度.③t－分布：设X～N 〔0，1〕，Y～x2〔n〕，且X，Y相互独立，则服从自由度为n的t－分布，记为t～t 〔n〕.2.对于“大样本〞，课本p134,定理6-1：设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，为样本均值，〔1〕假设总体分布为，则的X分布为；〔2〕假设总体X的分布未知或非正态分布，但，，则的渐近分布为.21.设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，且，为样本均值，则________.（答案）（解析）课本P153，例7-14给出结论：，而，所以，故填写.（说明）此题是依据例7-14改编.因为的证明过程比拟复杂，在2022年课本改版时将证明过程删掉，即本次串讲所用课本〔也是学员朋友们使用的课本〕中没有这个结论的证明过程，只给出了结果.感兴趣的学员可查阅旧版课本（高等数学〔二〕第二分册概率统计）P164,例5.8.22.设总体x服从参数为的泊松分布，为未知参数，为样本均值，则的矩估量________.（答案）（解析）由矩估量方法，依据：在参数为的泊松分布中，，且的无偏估量为样本均值，所以填写.（提示）点估量的两种方法〔1〕矩法〔数字特征法〕估量：A.根本思想：①用样本矩作为总体矩的估量值；②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估量值.B.估量方法：同A.〔2〕极大似然估量法A.根本思想：把一次试验所出现的结果视为全部可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估量值.B.定义：设总体的概率函数为，，其中为未知参数或未知参数向量，为可能取值的空间，x1，x2，…，x n是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；假设某统计量满足，则称为的极大似然估量.C.估量方法①利用偏导数求极大值i〕对似然函数求对数ii〕对求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii〕解方程或方程组得即为的极大似然估量.②对于似然方程〔组〕无解时，利用定义：见教材p150例7－10；〔3〕间接估量：①理论依据：假设是的极大似然估量，则即为的极大似然估量；②方法：用矩法或极大似然估量方法得到的估量，从而求出的估量值.23.设总体X服从参数为的指数分布，x1，x2，…，x n为来自该总体的样本.在对进行极大似然估量时，记…，x n〕为似然函数，则当x1，x2，…，x n都大于0时，…，x n=________.（答案）（解析）已知总体服从参数为的指数分布，所以，从而…，=，故填写.24.设x1，x2，…，x n为来自总体的样本，为样本方差.检验假设：，：，选取检验统计量，则H0成立时，x2～________.（答案）（解析）课本p176，8.3.1.25.在一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，n，且，，…，相互独立.令，则________.（答案）（解析）由一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，，且，，…，相互独立，得一元线性回归方程，所以，，则～由20题（提示）〔3〕得，故填写.（说明）课本p186，关于此题内容的局部讲述的不够清楚，请朋友们注意.三、计算题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕26.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求〔1〕甲取到黑球的概率；〔2〕乙取到的都是黑球的概率.（分析）此题考察“古典概型〞的概率.（解析）〔1〕设甲取到黑球的概率为p，则.〔2〕设乙取到的都是黑球的概率为p，则.27.某种零件直径X～〔单位：mm〕，未知.现用一种新工艺生产此种零件，随机取出16个零件、测其直径，算得样本均值，样本标准差s=0.8，问用新工艺生产的零件平均直径与以往有无显著差异？〔〕〔附：〕（分析）此题考察假设检验的操作过程，属于“单正态总体，方差未知，对均值的检验〞类型.（解析）设欲检验假设H0：，H1：，选择检验统计量，依据显著水平=0.05及n=16，查t分布表，得临界值t0.025〔15〕=2.1315，从而得到拒绝域，依据已知数据得统计量的观察值因为，拒绝，可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异.（提示）1.假设检验的根本步骤：〔1〕提出统计假设：依据理论或经验对所要检验的量作出原假设〔零假设〕H0和备择假设H1，要求只有其一为真.如对总体均值检验，原假设为H0：，备择假设为以下三种情况之一：：，其中i〕为双侧检验，ii〕，iii〕为单侧检验.〔2〕选择适当的检验统计量，满足：① 必须与假设检验中待检验的“量〞有关；② 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知.〔3〕求拒绝域：按问题的要求，依据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.〔4〕求统计量的样本值观察值并决策：依据样本值计算统计量的值，假设该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0.2.关于课本p181，表8-4的记忆的建议：与区间估量对比分类记忆.四、综合题〔本大题共2小题，每题12分，共24分〕28.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔1〕求〔X，Y〕关于X，Y的边缘概率密度；〔2〕记Z=2X+1，求Z的概率密度.（分析）此题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度.（解析）〔1〕由已知条件及边缘密度的定义得=，〔〕所以；同理可得.〔2〕使用“直接变换法〞求Z=2X+1的概率密度.记随机变量X、Z的分布函数为Fx〔x〕、Fz〔Z〕，则，由分布函数Fz〔Z〕与概率密度的关系有由〔1〕知，所以=.（提示）求随机变量函数的概率密度的“直接变换法〞根本步骤：问题：已知随机变量X的概率密度为，求Y=g〔X〕的概率密度解题步骤：1.；2..29.设随机变量X与Y相互独立，X～N〔0,3〕，Y～N〔1,4〕.记Z=2X+Y，求〔1〕E〔Z〕，D〔Z〕；〔2〕E〔XZ〕；〔3〕P XZ.（分析）此题考察随机变量的数字特征.（解析）〔1〕因为X～N〔0,3〕，Y～N〔1，4〕，Z=2X+Y，所以E〔Z〕=E〔2X+Y〕=2E〔X〕+E〔Y〕=1D〔Z〕=D〔2X+Y〕=4D〔X〕+D〔Y〕=16〔2〕而随机变量与相互独立，所以 E〔XZ〕=6.〔3〕因为，所以.五、应用题〔10分〕30.某次考试成绩X服从正态分布〔单位：分〕，〔1〕求此次考试的及格率和优秀率；〔2〕考试分数至少高于多少分能排名前50%？〔附：〕（分析）此题考察正态分布的概率问题.（解析）已知X～N〔75，152〕，设Z～N〔0，1〕，为其分布函数，〔1〕==即本次考试的及格率为84.13%，优秀率为15.87%.〔2〕设考试分数至少为x分可排名前50%，即，则=，所以，即，x=75，因此，考试分数至少75分可排名前50%.。

考研数学概率统计试题的分析考研数学概率统计试题的分析考研初试已经落下帷幕，对考研数学真题的评点分析成为一项重要而迫切的工作。

店铺为大家精心准备了考研数学概率统计试题的剖析，欢迎大家前来阅读。

考研数学概率统计试题的解析从整体来看，今年的试题概率统计部分在数一、数三中的考试内容略有不同，7、14、22题是一致的，而数一的8、23较为新颖、计算量大，这完全符合考研大纲对数一、数三的不同要求。

今年的概率统计试题整体看来难度适中，数一部分的计算量较大。

实际上，概率统计部分重在计算，只有少数题目比较注重分析推理，这点我们万学教学海文考研的数学老师在授课的时候一直强调。

事实上，今年的概率统计命题人也是按这个思路命制考题的。

我们来看看概率统计的三个解答题，即是数一、数三的22、23题。

我们先看一下22题，这是一道与二维(混合型)随机变量有关的问题。

此题中是离散型随机变量，是与相关的连续型随机变量，要求的分布函数与期望。

我们先用全概率公式求出的分布函数(注意需要根据的的取值分成三段)，然后求出的概率密度，利用公式求出的期望。

数三的23题是一道与二维离散型随机办理有关的问题，此题较为简单，只要根据相关系数的公式认真计算即可。

数一的23题非常新颖，值得注意。

它的第一问是概率问题，求(连续型)总体的期望以及的期望，直接用公式计算即可。

这里需要注意的是，题目条件给出的是的分布函数而不是密度函数。

第二问考查的是最大似然估计，需要正确地写出似然函数并按程序解答。

第三问考查的估计量的一致性(相合性)，这个知识点大纲是有要求的，但以往的真题(以考查无偏性居多)很少涉及。

此问可以先用大数定律求出满足条件的，然后确认这个是可行的。

我们再来看看概率统计的几个选择、填空题。

数一、数三的7题考查事件的概率计算，其中用到独立性;数一的8题考查期望与方差的计算，并且需要较为细致的分析; 数三的8题考查统计量的分布;数一、数三的14题考查统计量的数字特征。

资料来源：中国教育在线 /资料来源：中国教育在线 / 2014年的考研初试已经落下帷幕，对考研数学真题的评点分析成为一项重要而迫切的工作。

考研数学三个科目(高等数学、线性代数、概率统计)都有各自的特点，概率统计这个科目的考查特点又是什么呢？下面就今年考研数学中概率统计部分的试题做一下分析。

从整体来看，今年的试题概率统计部分在数一、数三中的考试内容略有不同，7、14、22题是一致的，而数一的8、23较为新颖、计算量大，这完全符合考研大纲对数一、数三的不同要求。

今年的概率统计试题整体看来难度适中，数一部分的计算量较大。

实际上，概率统计部分重在计算，只有少数题目比较注重分析推理，这点我们万学教学海文考研的数学老师在授课的时候一直强调。

事实上，今年的概率统计命题人也是按这个思路命制考题的。

我们来看看概率统计的三个解答题，即是数一、数三的22、23题。

我们先看一下22题，这是一道与二维(混合型)随机变量有关的问题。

此题中是离散型随机变量，是与相关的连续型随机变量，要求的分布函数与期望。

我们先用全概率公式求出的分布函数(注意需要根据的的取值分成三段)，然后求出的概率密度，利用公式求出的期望。

数三的23题是一道与二维离散型随机办理有关的问题，此题较为简单，只要根据相关系数的公式认真计算即可。

数一的23题非常新颖，值得注意。

它的第一问是概率问题，求(连续型)总体的期望以及的期望，直接用公式计算即可。

这里需要注意的是，题目条件给出的是的分布函数而不是密度函数。

第二问考查的是最大似然估计，需要正确地写出似然函数并按程序解答。

第三问考查的估计量的一致性(相合性)，这个知识点大纲是有要求的，但以往的真题(以考查无偏性居多)很少涉及。

此问可以先用大数定律求出满足条件的，然后确认这个是可行的。

我们再来看看概率统计的几个选择、填空题。

数一、数三的7题考查事件的概率计算，其中用到独立性；数一的8题考查期望与方差的计算，并且需要较为细致的分析； 数三的8题考查统计量的分布；数一、数三的14题考查统计量的数字特征。

《统计与概率》试卷评讲情况分析《统计与概率》试卷评讲情况分析「篇一」二年级的试卷情况分析二年级数学试题较好体现了人教版《新课程标准》的新理念和目标体系。

一、具有如下特点:1、内容全面，覆盖广泛，各部分分值权重合理。

课程标准指出:人人获得必须的数学知识，不同的人得到不同的发展。

本卷注重考查了学生基础知识的掌握、基本能力的培养情况，也适当考查了学生学习过程。

试题内容全面，共计九个大题。

试题整体较好地体现了层次性，其中:基础题占85，稍难题占15。

2、数学试题设计富有趣味性。

题型上反映有:（1）直接写数，这一题主要是看学生的乘法口诀了是一道口算题（2）认真填填（3）比较大小填大于号，小于号等。

二、同学们出现的问题（1）口算题中计算错误率较高，但总的来说学生全对的还是大多数，只有个别学生有错。

因此在教学时应该加强乘法口决计算方法的指导，并进行强化训练，使学生能比较熟练的口算（2）看乘法口决写出两个乘法算式和两个除法算式，在教学中我们把乘法和除法书本实际相结合了，灵活应用。

（3）在比较算式大小这题中，一部分学生由于粗心把两边得数算好却忘了比较大小，还有一部分学把乘号，加号看错。

因此在以后教学中应注意以下两点:1、培养学生良好的学习习惯，做完后应及时检查。

2、加强学生认真观察的能力让学生置身在一个充满趣味的数学活动中，激励学生用自己的智慧去解决问题，体现了浓浓的人文关怀。

3、取材比较贴近生活，评估了学生联系生活的能力。

《新课程标准》指出:学习素材应来源于自然、社会和生活。

本试卷题从学生熟悉的`现实情况和知识经验出发，选取源于孩子身边的事和物，让学生体会学习数学的价值。

例如:（1）妈妈每天工作8时。

小明从家到学校用了8分。

小刚跳了10下用了8秒。

还有第四题巧算时间；画出了钟表让写出时间并写出从第一个钟到第二个经过了几时几分以上题都是学生现实生活中熟悉的事和物，便于学生联系实际分析和解决问题。

也为培养学生思维能力、观察能力起到了导向作用4、体现了灵活性。

山东理工大学试卷分析报告
一、简要说明
1.试卷形成：《自动控制原理A》属于我院自动化专业和电气工程专业的重要技术基础课，也是历年的考研课。

本课程是学校的重点课程，试卷库己建立9年，并有多年的教学经验积累，本学期有两名教师授课及1名辅导教师，实行试卷库抽题、共同(流水)阅卷的方法。

2.题量：共6道题，其中第1题记16分；第2题记24分；第3、4、5题每题记16 分，共计48分；第6题记12分；卷面满分为100分。

3.覆盖面：考试内容的覆盖面较广，涵盖教学大纲要求的大部分教学知识点，符合教学大纲的要求。

4.试卷结构：基础题(52%),综合题(36%),提高题(12%),上述各类型题所占的比例符合教学要求。

难度程度适中，试题体现了课程的重点和难点。

二、成绩分析
1.考试成绩分布
2.考试成绩分布图
电气06—1成绩分布图
电气06—2成绩分布图
电气06级1、2班成绩分布图
口人数
从以上图表情况看，各个等级层的结构正常，服从正态分布。

3.成绩分析
电气06—1、2班的成绩服从正态分布，说明学生考试成绩的分布合理。

整套试卷内容充实，覆盖面广，难易适当，这也说明试卷科学合理。

三、其它需要说明的问题
本课程在记录总成绩时，考虑作业与出勒等占20%,实验占10%,考试卷而成绩占
70%。

2010–2011学年 秋冬 学期《 概率论与数理统计》试卷注：~(0,1),(){}:(1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.98X N x P X x Φ=≤Φ=Φ=Φ=Φ=212(),(),(,)t n n F n n αααχ分别表示服从具有相应自由度的t 分布，2χ分布和F 分布的上α分位点： 22220.9750.950.050.025(9) 2.70,(9) 3.32,(9)16.92,(9)19.02χχχχ====，==0.050.025(9) 1.83,(9) 2.26t t ，0.050.05(2,9) 4.26,(9,2)19.4F F ==。

一、填空题 (每小格3分，共42分，每个分布均要写出参数)1．设,A B 为两随机事件，已知()0.6,()0.5,()0.3P A P B P AB === ，则()P A B ⋃= ___，()P A A B ⋃=_ _。

2．一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2,800()0,800ax f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则a =_ _，随机取一件产品，其寿命大于1000小时的概率为_ ；若随机独立抽取6件产品，则至少有两件寿命大于1000小时的概率为_ _；若随机独立抽取100件产品，则多于76件产品的寿命大于1000小时的概率近似值为_ _。

3．设随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，已知~(0,1),~(1,4)X N Y N ，0.5ρ=-。

设123,74Z X Y Z X Y =-=+，则1Z 服从_ __分布,12Z Z 与的相关系数12Z Z ρ=__ ___，12Z Z 与独立吗？为什么？答： 。

4．设总体2~(,),,(0)X N μσμσ>是未知参数，110,,X X 为来自X 的简单随机样本，记2X S 与为样本均值和样本方差，则22X μ是的无偏估计吗？答：__ __；若22{}0.95P S b σ≤=，则b =_ _； 22{}P S σ==_ _；μ的置信度为95％的单侧置信下限为_ ；对于假设2201:1,:1H H σσ≥<的显著性水平为5％的拒绝域为_ _。