§1 数域[达标训练题]一 填空题1．数集{0}对 运算封闭.2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭.二 判断题1. 数域必含有无穷多个数.2. 所有无理数构成的集合是数域.三 证明1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数.2. 证明},2{3Q b a b a ∈+不是数域.3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域.§1 数域[达标训练题解答]一 填空题1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法.二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++,)()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +⋅+n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈.当011≠+n b a 时, n b a nb a 1122++)(2121212121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈⋅--+--=.故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域.2．证明 因为∈32},2{3Q b a b a ∈+,∉=⋅333422},2{3Q b a b a ∈+.即},2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以},2{3Q b a b a ∈+不是数域.3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而21P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故1,P ab b a ∈±,2,P ab b a ∈±;当0≠b 时,21,P b a P b a ∈∈, 所以21,,P P b a ab b a ∈±.即21P P 是数域.例如:取1P =},2{)2(Q b a b a Q ∈+=, =2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=, 容易验证21P P 不一定是数域; 取1P =Q ,=2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=,显然21P P =},3{Q b a b a ∈+是数域.§2 一元多项式[达标训练题]A 组一 填空题1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式 , 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 .2.下列形式表达式(i)2;(ii)x 1; (iii)0; (iv))3ln(132x x x +++;(v)1)1(23+--x i ix ;(vi) +++++n x n x x !1!31!2113; 其中 是多项式.3. 零多项式是 , 零次多项式是 .4. 设多项式∑∑====mi ii ni ii x b x g x a x f 11)(,)(, 则)()(x g x f 的k 次项系数是 .二 判断题1. 0是零次多项式.2. 若)()()()(x h x f x g x f =,则)()(x h x g =.3. 若)(),(),(x h x g x f 都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f +∂))((x f ∂≥或者))()((x g x f +∂))((x g ∂≥.三 解答题1. 设)2()1()2()(22+-+++-=x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i)零次多项式; (ii)零多项式; (iii)一次多项式5-x . 2. 若)(),(x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(22=+x g x f 则0)()(==x g x f .B 组1.设)(),(),(x h x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若),()()(222x xh x xg x f +=则0)()()(===x h x g x f .2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式.3. 次数定理中,式子 ))}(()),((max{))()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂何时等号成立?何时小于号成立?§2 一元多项式[达标训练题解答]A 组一 填空题1．1110n n n n a x a x a x a --++++，i i x a ，i a ， 0a ；2.（i ），（iii ）（v ） ；3. 0，非零常数 ；4.∑-=-11k i ik iba .二 判断题 1．(F)； 2. (F).; 3.(F). 三 解答题1．解 因为222()(2)(1)(2)()f x a x b x c x x a c x =-+++-+=++(2)a b c x +-)24(c b a +++.利用多项式相等的定义的:(i)⎪⎩⎪⎨⎧≠++=-+=+024020c b a c b a c a (ii) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+024020c b a c b a c a (iii) ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-+=+524120c b a c b a c a即(i)当0,3,≠=-=c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (ii)当0===c b a 时)(x f 为零多项式;(iii)6,17,6-=-==c b a 时)(x f 是一次多项式5-x .2．证明 设01)(a x a x a x f n n +++= ，01)(b x b x a x g m m +++= ，则)()(22x g x f +的第k 次项系数为)(0i k i ki ik ib b aa -=-+∑=0,当0=k 得000==b a ,当1=k 时得02121=+b a ,进而011==b a ,同样地,得到022==b a …….因此0)()(==x g x fB 组1．证明 若0)(≠x g (或0)(≠x h )显然得)()()(222x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(≠x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(222x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这也是不可能的.所以0)()()(===x h x g x f2．解 取1)(),1()(,2)(-=+==x x h x i x g ix x f ，则)()()(222x xh x xg x f +=. 3．解 当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.§3 整除的概念[达标训练题]A 组一 填空题1. )(),(),(x h x g x f 都是][x P 中的多项式,若)()()(x h x g x f =,则称 整除 ，称 为 的因式， 为 的倍式，记为 .2.若)(,0)(),()()()(≠≠+=x r x g x r x q x g x f 或))(())((x g x r ∂≤∂,那么除 的商式是 ,余式是 ,这里][)(),(),(x P x r x g x f ∈.二 判断题1. 零多项式能够整除任意多项式.2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除.3. 若)()(),()(x f x g x g x f , 则))(())((x g x f ∂=∂.4. 若0)(),()()()(≠+=x g x r x q x g x f ,则满足该式的多项式)(),(x r x q 有且只有一对.5.若))()(()(x h x g x f +,则)()()()(x h x f x g x f 或.三 解答题1． 设b ax x x x f ++-=232)(，2)(2--=x x x g ，)(x g 除)(x f 的余式12)(+=x x r ，求b a ,.2. 如果))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 则)()(,)()(21x f x g x f x g .2．如果x 不整除)(x f 与)(x g ，则x 不整除)(x f 与)(x g 的乘积.3. 证明pn m x x x x x p n m ,,,1231332++++++是非负整数.4. 证明 ①如果)()(x f x h , ()|()h x g x , 则()|(()())h x f x g x +; ②如果()|(),()|()h x f x h x g x ,则()|()()h x f x g x +不一定成立.B 组一 多项选择题1.)(x f 是任意多项式,c是非零常数,则下列结论成立的是 .(A))(0x f ;(B)0)(x f ;(C) 00; (D) c 0;(E) 0c ;(F) c x f )(;(G) )(x f c ;(H))()(x f x cf .2.若在][x P 中,)(x g 整除)(x f ，为强调数域，我们记)()(x f x g P .设][)(),(x Q x g x f ∈，下列结论 正确的有 .(A)若)()(x f x g Q,则)()(x f x g R ;(B) 若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥; (C)若)()(x f x g Q,则)()(x f x g R ;(D)若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥.3. 设)()(),()(x g x p x f x p ,则)(x p 整除于 .①)()(x g x f +;②)()(22x g x f +;③)()(x g x f ;④)()(33x g x f +.二 证明题1. 证明)(x f x k 的充分必要条件是)(x f x .2. 证明1136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .3. 证明1-d x 整除1-nx 的充要条件是n d .4. 证明, 若)()()(1424423x h x x xg x f x x x +++++,则1-x 同时整除)(),(),(x h x g x f .与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.5. 对照多项式的整除性理论，讨论整数的整除性理论.§3 整除的概念[达标训练题解答]A 组一 填空题1．)(),(x h x g ，)(x f ，)(),(x h x g ，)(x f ，)(x f ， )(),(x h x g ，)()(),()(x f x h x f x g ， )(x g ，)(x f ； 2.)(x q ，)(x r .二 判断题 1.(F)； 2. (T)； 3. (F); 4.(F); 5.(F)三 解答题1．解 利用带余除法得)2()1)(()(-++-=b ax x x g x f ，所以12)2(+=-+x b ax ，即3,2==b a .2．证明 ))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 利用整除性的性质，我们有))}()((21)))()(((21{)(2121x f x f x f x f x g +±-，即)()(,)()(21x f x g x f x g .3．证明 若)()(x g x f x ,x不整除)(x f 与)(x g 则存在常数0,021≠≠r r ,使2211)()(,)()(r x xq x g r x xq x f +=+=, 所以+=)()(()()(21x q x xq x x g x f 2112))(r r x q r +,由于)()(x g x f x , 所以21r r x ,得出矛盾.即x 不能整除)()(x g x f 证明 由于三次单位根21,ωω都是23133++++p n m x x x 的根，即12++x x 的根都是23133++++p n m x x x 的根.从而pn m x x x x x p n m ,,,1231332++++++.4. 证明 因为2121()(),x x x x εε++=--其中(1,2)i i ε=是三次单位虚根, 而331320m n p i i i εεε++++=,即33132(1,2)m n p i x x x x i ε++-++=,再利用12,x x εε--互素得到3313212()()m n p x x x x x εε++--++,即2331321m n p x x x x x ++++++5．证明 ①如果)()()(x g x f x h +,因为 )()(x f x h , 由整除性性质得:)()()(()(x f x g x f x h -+,即)()(x g x h ,与)()(x g x h ⊥矛盾, 所以)()()(x g x f x h +⊥.B 组一 多项选择题1．B,C,E,G,H ； 2.(A)(D);3.①②③④二、证明题1．证明 充分性显然,仅证必要性. 设r x xq x f +=)()(,则+=+=)())(()(x q x C r x xq x f k k o k k k r x q x C k k k )(111--k k k k k k r C r x xq C +++--11)( k r x xp +=)(因为)(x f x 且)(x xp x ，由整除性的性质得：)(x f x k .2．证明 利用带余除法, )1`)(1(12343457836912+---+-+-+-=++++x x x x x x x x x x x x x x所以1136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .3．证明 充分性显然,仅证必要性.设r dq n +=若d r r <≠,0,)1()1(11-+-=-=-+r r dq r dq n x x x x x ,而11--dq d x x ,因此11--r d x x ,得出矛盾.所以0=r ,即n d .4．证明 因为)3,2,1(4sin 4=+=k k i k conw k ππ是 123+++x x x 的根,显然)()()(4244x h x x xg x f w x k ++-,即)1()1()1(2=++h w g w f k k (3,2,1=k ),从而0)1()1()1(===h g f .一般地,我们有如下的结果:若)()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,则1,,2,1),(1-=-n i x f x i .事实上,设i i i r x q x x f +-=)()1()(,则i ni n n i r x q x x f +-=)()1()(,进一步有 )())()()()(1()()()(122112211221------+++++++-=+++n n n n n n n n n n n n n r x xr r x q x x xq x q x x f x x xf x f由于 )()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,)()()()1(1122121n n n n n n n n x q x x xq x q x x x x ----++-++++则1121211----+++++++n n n n r xxr r x xx.5．参见张禾瑞先生的《高等代数》（第三版）（高等教育出版社）教材，或者初等数论教材.§4 最大公因式[达标训练题]A 组一、填空1．对于任意两个多项式),(),(x g x f 它们总有公因式 ，我们称它为平凡公因式.2．两个零多项式的做大公因式是 .3．零多项式与任意多项式)(x f 的最大公因式是 .4．若),()(x f x g 则)(),(x f x g 的最大公因式是 .5．x x g x x f -=-=1)(,1)(2，则=))(),((x g x f ,取=)(x u ,)(x v = ,使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+6.若,1)()()()(=+x v x g x u x f 则)(x u 与)(x v .二、判断题1.若)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式，则)(x cd 也是)(),(x g x f 的最大公因式c (是常数）.2. 存在惟一一对多项式),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+ 3．若 ,1))(),((=x g x f 则存在惟一一对),(),(x v x u 使 .1)()()()(=+x v x g x u x f4．若)(),(x g x f 不全为零，则 .1)))(),(()(,))(),(()((=x g x f x g x g x f x f5．由于（16,8）=8,所以多项式8与16不互素. .)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式.三、解答题1. 判定32)(,1363)(223+-=++-=xd x x g x x x x f 是否互素,并求),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+2. 证明:)).()(),(())()(),(())(),((x g x f x f x g x f x f x g x f -=+=3. 证明:两个多项式)(),(x g x f 都与)(x h 互素的充要条件是它们乘积)()(x g x f 与)(x h 互素.4. 若,1))(),((=x g x f 则.1))(),((=x g x f mmB 组一、 选择题1. 若),()(),((x d x g x f =则 成立.(A));()()(),((x d x g x f x f =+ (B));()())()().()((x h x d x h x g x h x f +=++(C)).()())()(),()()(();())(),((,x h x d x h x g x h x f D x d x g x f nm mm==+2.若,0)(≠x f 且),()()()()(),())(,)((x d x v x g x u x f x d x g x f =+=则错误结是 .;1))()(,0()()(();()(),()((==x d x g x d x f B x d x g x f A n n n).())(),()()(();())(),()((x d x g x g x f D x d x v x u C =+=3.(多项选择)若),()()()(x r x q x g x f +=则 成立. ),(())(),()((x g x g x f A =();r x ()((),())((),())B f x g x f x r x = )).(),(())(),()(());(),(()(),()(());(),(())(),()((x r x q x q x f E x q x g x r x f D x r x q x g x f C ===二、 解答题1. 确定k ,使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的.2.设)(),(x g x f 不全为零,则)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式;反之,)(x f 与)(x g 的最大公因式都是次数最高的公因式.3. 证明:若,1))(),((=x g x f 且,0))((,0))((>∂>∂x g x f 那么存在惟一第一对多项式)),(()(()),(())((),(),(x f x v x g x u x v x u ∂<∂∂<∂使 1)()(,0()(=x v x g x u x f4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论(定义,存在性,求法,互素).§4 最大公因式[达标训练题解答]A 组一、 填空题1． 零次多项式；2. 零多项式;3.多项式()cf x c 为零次多项式;4.)(x cg ,c 为零次多项式; 5.1,,1--x x ;6.互素. 二、判断题1． F ；2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.三、解答题 1.解:通过辗转相除法求得1))(),((=x g x f ,973697339718)(,9711976)(2++-=-=x x x v x x u .2.证明:设)())(),((x d x g x f =,容易证明)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的公因式;对)()(),(x g x f x f ±的任意公因式,容易证明它是)(),(x g x f 的公因式,从而它整除于)(),(x g x f 的最大公因式)(x d .即)()(),(x g x f x f ±的任意公因式整除于它的公因式)(x d ,所以)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的最大公因式.3.证明:1))(),((=x h x f ,1))(),((=x h x g ,则存在)(),(x v x u 与)(),(x q x p ,使1)()()()(=+x h x v x f x u ,1)()()()(=+x q x h x p x g ,以上两式相乘容易得到1)()()()()(=+x h x V x g x f x U ,故1))(),()((=x h x g x f .反过来若1))(),()((=x h x g x f ，则存在)(),(x v x u ，使1)()()()()(=+x v x h x u x g x f ，若令)()()(x p x u x g =，则有1)()()()(=+x v x h x p x f ，故1))(),((=x h x f ，同样的若令)()()(x q x u x f =，则有1)()()()(=+x v x h x q x g ，故1))(),((=x h x g .4． 证明：首先利用上题及归纳法容易证明，若1))(),((=x g x f ，1))(),((=x g x f m ，同样的利用归纳法证明1))(),((=x g x f n m .B 组一、 选择题 1．（A ）(D)；2.（C ）;3. (A,E) 二、 解答题1．解 利用辗转相除法容易得到:)224()()(+++=k x x g x f ,)1)(3(41)232)(224(41)(---++++=k k k x k x x g因此最大公因式是一次的条件是3=k 或者1=k .2.证明 设)(x d 是)(),(x g x f 的次数最高的公因式,)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,所以)()(0x d x d ,而0)(0≠x d 因此)(0x d 的次数等于)(x d 的次数,从而)()(0x cd x d =.故)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式式.反之,若)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,由于)(x d 是公因式,因此)()(0x d x d ,所以要么)(x d 是零多项式,要么)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.但0)(0≠x d ,所以)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.故)(0x d 是)(),(x g x f 的次数最大的多项式.3.证明: 由 互素的充分必要条件知存在)(),(x v x u 使1=+gv fu . 首先证明若g u ∂<∂,必有f v ∂<∂.由gv fu -=1gv fu ∂=∂,所以v g u f ∂+∂=∂+∂,因此若g u ∂<∂,必有f v ∂<∂.其次证明如果,可以重新选取11,v u ,使11,v u 符合要求.由带余除法定理知存在r q ,使g r r r gq u ∂<∂∨=+=0,,所以1)(=++gv r gq f .若0=r 上式为1)(=+v fq g ,可得到0=∂g 与已知矛盾.若g r ∂<∂,上式为1)(=++v fq g fr ,由(1)知f v fq ∂<+∂)(令11,v v fq u r =+=,则有111=+gv fu .最后证明唯一性.如果存在2211,;,v u v u ,2,1,,,1,12211=∂<∂∂<∂=+=+i f v g u gv fu gv fu i i 则)()(1221v v g u u f -=-,因为1),(=g f ,所以12v v f -,故21v v =,同样的21u u =. 4.(参照张禾瑞编高等代数)§5因式分解定理[达标训练题]一、填空题1.)(x p 是不可约多项式,],[)(x P x f ∈若 )(x p ⊥)(x f ,则 .2. )(x p 是不可约多项式, ],[)(x P x f ∈则)(x p 与)(x f 互素的充要条件是 .3.判定多项式2x +2在数域P 上的可约性.(i )P=Q 时 ;)(ii P=R时 ;)(iii P=C 时 .4.)(x f =)42(-x 23)33(+x )2(+x 的标准分解式是 .5.)(x f =2)2(+x 3)1()4(24++x x ,)(x g =4)3(+x )1(-x 2)2(+x 2,则()(x f ,)(x g )= .二、 判断题1. 任意数域上都有不可约多项式.2. 若)(x h )(x f )(x g ,则)()(x f x h 或).()(x g x h3. )(x p 是不可约多项式,)()(x f x p ⊥且)()(x g x p ⊥,则)()()(x g x f x p ⊥.三、 解答题1.分别在有理数、实数域、复数域上分解14+x 为不可约多项式的乘积.2.证明:若)(x p 不可约, )(x p ()(x f +)(x g ),)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x f ,且)(x p )(x g .若)(x p 可约,上述结论是否成立?为什么?3. )(x p 是次数大于零的多项式,若 )(x p 与任一多项式)(x f 的关系只有两种情况()(x p ,)(x f )=1, 或)(x p )(x f ,)(x p 是否是不可约的?并说明理由.4.若)(x f 是次数大于零的首项系数为1的多项式,证明)(x f 是不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式)(x g ,或者()(x f ,)(x g )=1,或者存在正整数m ,使)()(x g x f m.§5因式分解定理[达标训练题解答]一、 填空题 1.1))(),((=x f x p ; 2.)(x p 不整除于)(x f ； 3. 不可约, 不可约,可约; 4.32)1()2)(2(36+-+x x x ; 5. 1. 二、判断题 1.T; 2.F; 3.F . 三、 解答题1. 解 在有理数14+x 为不可约多项式, 因此在有理数14+x 的分解式为其本身.在实数域:4221(1)(1)x x x +=-++在复数域上:))()()(())((123232121224i x i x i x i x i x i x x +-+-=+-=+. 2. 证明:若)(x p 不可约, 由)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x f 或)(x p )(x g .若)(x p )(x f 成立, 又)(x p ()(x f +)(x g ),所以)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x g 成立;同样地若)(x p )(x g 成立利用)(x p ()(x f +)(x g )得到)(x p )(x f 成立.总之有)(x p )(x f 与)(x p )(x g 同时成立.若)(x p 可约,上述结论不成立.事实上取,)(,)(,)(22x x x g x x f x x p -===则)()()(x g x f x p 且)(x p ()(x f +)(x g ),但)(x p 即不整除0(x f 也不整除)(x g .3. )(x p 是不可约多项式. 证明如下:若)(x p 可约,则存在)2,1)(()(0),(=∂<∂<i x p x p x p i i ,使)()()(21x p x p x p =,利用题设可以得出()(x p ,)(x p i )=1或者)()(x p x p i ,而事实上,这两种结果都不能成立.因此)(x p 可约的假设不正确.4．证明:必要性.设)()(x p x f m=()(x p 为不可约多项式),显然对任意的)(x g ,若1))(),((=x g x p ,则1))(),(())(),((==x g x p x g x f m ,若)()(x g x p ,则)()(x g x p m m ,即存在正整数m ,使)()(x g x f m .充分性: 设)1))()((,0)()()(()()(1111=>∂=x f x p x f x p x f x p x f k不可约，,取)()(1x p x g =,则()(x f ,)(x g )=1不成立, 且对任意正整数m ,)()(x g x f m不成立.故)1))()((,0)()()(()()(1111=>∂=x f x p x f x p x f x p x f k 不可约，不成立.即)(x f 是不可约多项式的方幂.§6 重因式[达标训练题]一、 填空题1.设多项式)(x f =22)4-x 2)2(-x )2(+x )3(-x ,则)(x f 的单项式是 ,重因式是,它们的重数分别是 .2.若)(x p 是)(x f 的5重因式,则)(x p 是 的3重因式, 的单项式.3.)(2x f 的微商是 .4. 与)(x f 有相同的不可约因式,但无重因式.5, )(x p 是()(x f ,)(/x f )的)1(≥k k 重因式,则)(x p 是)(x f 的 重因式. 一、判断题1. )(x p 是)(x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(/x f 的1-k 重因式)1(≥k2., )(x p 是)(/x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(x f 的1+k 重因式. 2． 多项式的重因式不因数域的扩大改变. 四、解答题1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式.(i ))(x f =35423-+-x x x ;(i i ))(x f =3x 1-2. 将)(x f =x x x +-232单项式化,然后分解因式.3. 证明: )(x f =1+!!22n x x x n+++ 没有重因式. 4.a ,b 满足什么条件,b ax x ++33有重因式.§6 重因式[达标训练题解答]一、 填空题1.3-x , 2-x 与2+x , 4与3;2.)(x f '';3.)()(2x f x f ';4.))(),(()(x f x f x f '; 5.1+k . 二、 判断题 1.F; 2.T; 3.F. 三、解答题1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出1))(),((='x f x f ,所以)(x f =35423-+-x x x 无重因式.(2)同(1).2. 解：容易计算)1())(),((-='x x f x f ，所以1-x 是)(x f 的二重因式，又)1())(),(()(-='x x x f x f x f ，故)(x f =2)1(-x x x x x +-232. 3. 证明:12)!1(1!211)(--++++='n x n x x x f ,1))!1(11,!1())(),()(())(),((1=-+++=''-='-n n x n x x n x f x f x f x f x f .故无重因式.4.解: 显然当0a b ==时，b ax x ++33有三重因式x ，当0,0a b =≠时b ax x ++33无重因式；当0a ≠时，当204b a a +=时，2((),())22bf x f x x x a a '=+=-，b ax x ++33有二重因式22x a -§7 多项式函数[达标训练题]A 组一、 填空题1.多项式 有无穷多个根.2,若)(x f =23432x x x -+,则)2(f = , )(x f 的根是 ,重根是,其重数是 . 3.α是多项式)(x f 微商的k 重根,则 α是)()3(x f 的 重根.这里k ≥5.4.若α是)(/x f 的k 重根,且满足 , α是)(x f 的1+k 重根.二、 判断题1. 若)(x f 没有重根,则)(x f 没有重因式.2. 若)(x f 没有根,则)(x f 不可约.3.)(x f 没有重根,()(x f ,)(/x f )=1 4. ()(x f ,)(/x f )=1,则)(x f 无重根.三、 解答题1. 求一个次数小于3的多因式,使f (2)=1,)1(-f =2-, f (3)=2.2. 证明多项式)(x f =!)1(21n x n n nx x n n n +-++--无重根.B 组1. 求一个满足下列条件的三次多项式:(i )3-x )(x f ;(i i )3+x 除)(x f 的余数是4; (i i i ))(x f 被2-x ,2+x 除的余数相等.2. 证明x sin 不能表示成x 的多项式.3. 多项式)(x f 满足)(x f =)(b x f +求证: )(x f 是常量,这里0≠b .4. 证明:如果)()()(1432424123x f x x xf x f x x x +++++则ιf (1)=0,τ=1,2,3. 5. 设)(x f 和)(x p 是有理系数多项式, )(x p 在Q 上不可约,若)(x f 与)(x p 有一个公共复根,则)()(x f x p .§7 多项式函数[达标训练题答案]A 组一、 填空题1．零多项式；2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4-k ; 4. α是)(x f 的根; 二、判断题1．F ；2.F; 3.F; 4.T. 三、解答题1．解 利用拉格朗日插枝公式13231))1(3)(23())1()(2(2)31)(21()3)(2(2)32))(1(2()3))(1((1)(2+-=------⨯+------⨯-+------⨯=x x x x x x x x x f 2.证明：)!1()2)(1()1()(221-++--+-+='---n x n n n x n n nx x f n n n ，所以 ='-'='))()(),(())(),((x f x f x f x f x f ),)!1()2)(1()1((321n n n n x n x n n n x n n nx -++--+-+--- =1.所以)!1()2)(1()1()(21-++--+-+=--n x n n n x n n nx x f n n n 无重根. B 组1． 解：设)()3()(x g x x f -=，c bx ax x g ++=2)(，则 c x b c x a b ax x f 3)3()3()(2--+-+=利用综合除法得到用3+x 除)(x f 得余数461854=-+-c b a ,用2,2+-x x 除)(x f 得到的余式分别是20510,42-----b a b a .由题设得到下列方程组⎩⎨⎧-+=---=-+-c b a c b a c b a 5102024461854由此解出一个解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=0458456c b a .2． 证明：若x sin 表示成一个n 次多项式，则它最多只能有n 个根因此它是0.事实上0sin ≠x .3． 证明 令)0)(()()(≠+-=b b x f x f x g ，则)(x g 若不是零多项式，则其常数项为0)(=-b f ，从而 ,2,b b 都是)(x f 根，这样0)(=x f .若)(x g 不是0多项式，而它有无穷多个根.4． 证明：考虑四次单位根42sin42cos ππεk i k k +=3,2,1=k ，显然)(143123ε-=+++∏=x x x x k ，则42sin 42cosππεk i k k +=是)()()(424221x f x x xf x f ++的根，即)3,2,1(0)1()1()1()1(3211==+++k f f f f k k k εεε进一步得0)1(=k f .5．证明 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在有理数域上不能整除于)(x f ，则无论在有理数域还是复数域均有1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在有理数域上整除于)(x f .§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题]A 组一、填空题1．复数域上不可约多项式是 ，实数域上不可约多项式是 .2. )(x f ][x R ∈是首项系数为1的7次多项式,且 )(x f 有2重根i 32-,单根0、1、-2，则)(x f 的标准分解式是 .3. )(x f =][3x R q px x ∈++,有一须根,bi a +则)(x f 的所有根是 .4.44-x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式是 .二、解答题1. 求有单根i 21-及2重根1懂得次数最低的受项系数为1的复系数多项式和实系数多项式.2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根.3. 设)(x p 是R 上不可约多项式,对于)(x f ][x R ∈,如果)(x p 与)(x f 在C 中有多项式α,证明)()(x f x p .B 组1.(选择填空)若多项式)(x f 的各项系数都同号,那么)(x f .(i)无实根;(ii)无复实根;(iii)无正实根;(iv)既有正根又有负根.2.在C 和R 上分解1-nx 为不可约因式之积.3.设)(x f 表示把多项式)(x f 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证明:(i)若)()(x f x g ,则)()(x f x f ; (ii)( )(x f ,)(x f )=)(x d 是实系数多项式.§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题解答]A 组一、填空题1．一次多项式，一次与部分二次不可约多项式；2.22)74)(2)(1(+-+-x x x x x ； 3.2a 2-，bi a bi a -+,；4.)2)(2)(2)(2(i x i x x x -+-+，)2)(2)(2(2+-+x x x . 二、解答题1．解：在复数域上)21)(21()1()(2i x i x x x f --+--=, 在实数域上)32()1()(22+--=x x x x f . 2 .证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾.3． 证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在实数数域上不能整除于)(x f ，则无论在实数数域还是复数域均有1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在实数域上整除于)(x f .B 组1．（iii ）2．解：在实数域上，11(1)(1)n n x x x x --=-+++在复数域上011221()()(),cossin ,0,1,1n n k k k x x x x i k n n n ππεεεε--=---=+=-.3． 证明 (i)若)()(x f x g ,则存在(),()()()h x f x g x h x =，利用共轭复数的运算性质喝多项式乘法法则，有()()()f x g x h x =，故()()g x f x ;(ii)由于()()f x f x +是实系数多项式， ((),())((),()())f x f x f x f x f x =+,，故((),())()f x f x d x =是实系数多项式.§9 有理数域上多项式 [达标训练题]A 组一、填空题1.设)(x f 是数域P 上的不可约多项式,))((x f ∂=n ,若P=C,则n = .;若P=R,则n = ; 若P=Q,则n = .2.若整系数多项式)(x f 不存在素数p 满足艾氏判别法的条件,则)(x f 的Q 上 .3.1221334-+-x x x 所有可能的有理数根是. 二、 判断题1. 若不存在素数p 能整除整系数多项式)(x f 的所有系数,则)(x f 是本原的2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积.3. 若)(x f 是次数≥1的整系数多项式,则)(x f 在Q 上可约⇔)(x f 能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.4. )(x f ∈Q ][x 有无理根,则)(x f 在Q 上不可约. 三、 解答题1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积.)(i ;46223-+x x )(ii .271313-x x2. 证明下列多项式在Q 上不可约.)(i 13)(1)(;6423234234+-++++---x x iii x x x x ii x x x3. 用试根法求4323+-x x 的有理根. 4. 证明32是无理数.B 组1. 5次有理系数多项式)(x f 在Q 上可约,则下类断言正确的是 .(A))(x f 至少有一个有理根; (B))(x f 不一定有有理根;(C))(x f 恰有一个有理根; (D))(x f 含有一个2次不可约因式.2.证明)(x f =!!212p x x x p+++在有理数域Q 上不可约(p 是素数) .3.求3212252345--+--x x x x x 的有理根.4.设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n >1时,说明)(x f 是否有有理根与其可约性的关系;(ii) n =3时,上述关系如何? (iii)n =4时,给出一个无有理根,但)(x f 可约的例子.5.整系数多项式)(x f 对某一整数m 有)(m f 和)1(+m f 都是奇数,证明)(x f 无整数根.§9 有理数域上多项式 [达标训练题答案]A 组一、 填空题1．1，1或2，任意正整数；2.可能可约也可能不可约；3.31,1±±二、判断题1．T ；2.F （若是非零多项式正确）；3.T. 三、解答题1．解：)(i )23(24622323-+=-+x x x x ；)(ii )4237(21127131233-+=-+x x x x2．解：)(i 642234---x x x ，取2=p ，利用Eisenstien 判别法即得不可约；1)234++++x x x x ii ，令1+=x y ，则)(5101051234234y g y y y y x x x x =++++=++++，取5=p ，利用Eisenstien 判别法即得)(y g 不可约，从而1234++++x x x x 不可约；13)(3+-x x iii ，令1+=x y ，则)(63613233y h x y y x x =+++=+-，取3=p利用Eisenstien 判别法即得)(y h 不可约，从而133+-x x 不可约.3. 解：4323+-x x 的所有可能根是：4,2,1±±±，因为4323+-x x 的各项系数之和不等于0，奇次项系数之和等于0，所以-1是根，1不是根.容易利用综合除法验证4,2±±都不是根.4． 证明：因为2)(3-=x x f 无有理根，而32是2)(3-=x x f 的根，因此它不是有理数，从而是无理数.B 组1.（B ）2．证明：)(x f = )3)1(!!(!1!!21122p p p x px x p p x p p P p x x x +++-++=+++-对多项式)3)1(!!(12pp x px x p p x p p +++-++- 利用Eisenstien 判别法即得在有理数域Q 上不可约(p 是素数)..3. 解：)64522(2132122523452345--+--=--+--x x x x x x x x x x ，而645222345--+--x x x x x 的所有可能有理根为23,21,6,3,2,1±±±±±±，然后可用试根法得出全部有理根为：-1，2,21.4.. 解 设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n =2、n =3时, )(x f 有有理根是可约的充要条件.当3>n 时,)(x f 有有理根是可约充分条件,但不是必要条件.n =4时,例如22)1()(+=x x f 无有理根,但)(x f 可约. 5. 证明: 设α是多项式)(x f 的整数根,则 )()()(x g x x f α-=,)(x g 是整系数多项式.从而)()()(m g m m f α-=)()1()1(x g m m f α-+=+都是奇数.这是不可能的.§10 多元多项式[达标训练题]一、填空题1.多项式),,(4321x x x x f =2322141221232212x x x x x x x x x ++++是 元次多项式,首项是 , 是同类项.2.设g ),,(321x x x =23221x x x +221x x +21x +322x x -212x x ,按字典排列,),,(321x x x g = .按齐次成分),,(321x x x g 排列成 , 按2x 的降幂排列=),,(321x x x g = .3．设=),,(321x x x f 32221122x x x x x ++， =),,(321x x x g 32121x x x x x +则),,(321x x x f =),,(321x x x g ，),,(321x x x f ),,(321x x x g 的首项是 ，),,(321x x x f +=),,(321x x x g ，)0,1,1(-x f =-)0,1,1(g ，)0,1,1(-x f +=-)0,1,1(g . 二、解答题1．写出数域P 上三元三次多项式的一般形式.2．两个n 元多项式首项的和是不是首项？为什么？3．证明：若n 元数组),,,(),,(2121n n b b b a a a ≥，且),,,(),,(2121n n b b b a a a ≤，则),,2,1(n i b a i i ==.此时记),,,(),,(2121n n b b b a a a =.4.举反例说明，当2≥n 时，类似于一元多项式的带余除法定理不成立.§10 多元多项式[达标训练题答案]一、 填空题1.4，5，221x x ,无同类项；2.g ),,(321x x x =221x x +21x +23221x x x -212x x +322x x ，g ),,(321x x x =23221x x x +（221x x +322x x ）-212x x +21x ，g ),,(321x x x =23221x x x +322x x +221x x -212x x+21x . 3.332232213221332212213231x x x x x x x x x x x x x x x x +++++，3231x x x ，2322132122121x x x x x x x x x x ++++，-2，1.二、 解答题1． 解：数域P 上三元三次多项式的一般形式是：300123002201032011220201100311012111021200x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x a ++++++++.2． 解：两个n 元多项式首项的和不一定是首项 ：例如3212131,x x x g x x x f +=+=的首项分别是121,x x ，显然121x x +不是g f +的首项.3．证明是简单的从略例如：212131,x x g x x x f =+=显然对任意的q ，r qg f +=中r 中必包含单项式31x ，因此0,=∂<∂r g r 都不成立§11 对称多项式[达标训练题]一、填空题1.二元多形式的一般形式是 ，二元二次对称多项式的一般形式是，二元二次齐次多项式的一般形式是 ，二元二次齐次对称多项式的一般形式是 .2．4321,,,x x x x 的初等对称多项式是：=1σ ; =2σ ； =3σ ;=4σ . 若4321,,,x x x x 是4322314)(a x a x a x a x x f ++++=的四个根，则=1σ ; =2σ ；=3σ ;=4σ .3.三元对称多项式232221x x x ++可以由初等对称多项式 来表示.二、解答题1.将下列多项式初等化：（1）))()((133221x x x x x x +++; （2）322121),,,(x x x x x x f n ∑= . 2.设n a a a ,,21是数域P 上的多项式在复数域K 上的根，证明n a a a ,,21的每一个对称多项式都可以表示成P 上关于1a 的多项式.§11 对称多项式[达标训练题解答]一、填空题1．201220211021112120x a x a x a x x a x a ++++， )2,1,)((==∑j i a a x x aji ij ijj i ij，)()(21212221x x c x bx x x a ++++.2.4321x x x x +++,)323121x x x x x x ++，432431421321x x x x x x x x x x x x +++，4321x x x x ，4321,,,a a a a --；3.3213133σσσσ+-. 二、解答题 解：（1） 因为2312213213212211332212))()((x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=+++=232322x x x x ++，它的首项是221x x 对应的有序数组是（2，1，0），因此作多项式332103012121σσσσ-=-=---x x x f .所以3321σσσσ-=f .（2）由于2322132213221322121),,,(x x x x x x x x x x x x x x x f n ++==∑ ，其首项是3221x x x ，当3=n ，令0),,(313211=-=σσx x x f f ，所以，3121),,,(σσ=n x x x f .当3>n 时，根据首相为3221x x x ，则可设43121),,,(σσσa x x x f n -= ，令0,154321=======n x x x x x x 代入即得4-=a .2．证明：设),,,(21n a a a f 为关于n a a a ,,21的任意对称多形式，则由基本定律 知),,(),,,(1121-''=n n g a a a f σσ ，其中11,,-''n σσ 关于n a a a ,,21的全部初等对称多项式.显然n n n x x a σσσσσσσσ111122111,,,-=''-='-='- ，再由根与系数的关系 得出上式中的i σ'是关于1a 的多项式.。
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