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疲劳与断裂第七章弹塑性断裂力学简介1

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弹塑性断裂理论简介

弹塑性断裂理论简介

弹塑性断裂理论简介线弹性断裂力学是建立在线弹性力学基础上的，传统断裂力学理论认为，它没能考虑裂纹尖端附近塑性性区的影响，因而只适用于高强度（钢）脆性材料，对于工程中大量使用的中、低强度钢等具有较好塑性的材料是不适用的。

为了将应力强度因子推广到裂纹尖端有小范围塑性区的情况，人们推出了应力强度因子塑性区的修正方法，但适用性并不理想。

为了研究塑性材料的断裂问题，又产生了断裂力学的另一个分支——弹塑性断裂力学。

1. COD 原理及其判据Wells 根据裂纹尖端附近产生大范围屈服时，在裂纹尖端出现钝化，裂纹侧面随着外载增加逐渐张开的现象，提出来是否可用裂纹尖端的张开位移作为控制裂纹失稳扩展的参量。

裂纹的张开位移定义为承受外载情况下裂纹体的裂纹尖端沿垂直于裂纹方向产生的位移，一般用δ表示。

在裂纹失稳扩展的临界状态下，临界的COD 用c δ表示。

c δ也是材料的断裂韧性，是通过实验测定的材料常数。

COD 原理的基本思想是:把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移δ作为一个参量，而把裂纹失稳扩展时的临界张开位移c δ作为材料的断裂韧性指标，用c δδ=这个判据来确定材料在发生大范围屈服断裂时构件工作应力和裂纹尺寸间的关系。

2. J 积分理论1968年，Rice 提出了J 积分理论。

对于二维问题，J 积分的定义如下:⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-Γ=ds x v T x u T Wdy J y x （2-1） Γ--积分回路;ds --Γ上的弧元素;W --应变能密度;y x T T ,--应力分量;v u ,--位移分量;其中，积分回路的起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面，为逆时针回路，如图2-1所示。

J 积分的单位为MPa* mm 。

图2-1 裂纹尖端J 积分路径J 积分是围绕裂纹尖端的闭合曲线积分，在线弹性情况下有:E2I I K G J == （平面应力） （2-2） )1(E22I I v K G J -== （平面应变） （2-3） J 积分断裂准则可表述为:c J J = （2-4）其中，Jc 为裂纹扩展达到临界状态时的J 积分临界值。

弹塑性断裂力学概述及COD理论

弹塑性断裂力学概述及COD理论
小组人员： 孙红 王佳美 秦秀奇 孙芳芳
指导老师： 王吉会教授
目录
弹塑性断裂力学的提出
弹塑性断裂力学的一种计算方法—— COD理论
对比COD和J积分理论
实际中弹塑性断裂力学的运用
第一章
弹塑性断裂力学的提出
线弹性 断裂力 学
小范围屈 服的金属 材料
脆性材料 高强度钢 大范围屈 服
弹塑性断 裂力学
全面屈服
COD理论与J积分对比
COD理论
计算简单，所得到的一些经 验公式能有效的解决工程实 际问题
在中、低强度钢焊接结构和 压力容器断裂分析中应用广 泛
第三章
J积分理论
计算复杂，但理论更严谨， 直接
已用于发电工业，特别是核 动力装置中材料的断裂准则
实际中的应用： 基于复合梁的钢桥面铺装断裂判 据及疲劳寿命的研究
研究方法
以复合梁为研究对象，从断裂力学的基本理论入手，
通过室内复合梁三点弯曲试验研究桥面铺装复合结构 的COD断裂参数，并建立COD断裂判据；（见论文中 第二章） 利用数值分析方法，选取三种不同复合梁尺寸研究桥 面铺装断裂参数的尺寸效应，并分析COD设计曲线在 铺装安全裕度评价中的应用；（见论文中第三章）
环氧青混凝土低温性能，
同时进行了SMA试件和AC改性沥青混合料试件的对比 试验，试验结果如图2.6
环氧沥青混凝土的塑性特征
根据环氧沥青混凝土的低温
性能可知，它不是一种完全 的弹性变形材料，其断裂特 性随着温度变化会有很大的 不同，并且以5℃为分界点。 因此文中采用弹塑性断裂力 学理论来研究钢桥面铺装的 断裂判据。
研究内容：
钢桥面铺装主要用于提高行车的舒适性和钢桥面 的耐久性，如何延长其使用寿命是钢桥面铺装设计的 重要内容。然而开裂却大大限制了其服役寿命。因此 钢桥面铺装层裂缝的萌生及扩展机理、铺装的剩余寿 命等断裂力学问题成为学术界和工程界关注的焦点。

11-弹塑性断裂力学1

11-弹塑性断裂力学1
平面应力条件下，I型裂纹沿 y 方向的位移 V ：
4 KI 4 GI E s s
2
Dugdale 和Barrennlett 分别通过对中心裂纹薄板拉伸实验研究，提出了 裂纹尖端塑性区呈现尖劈带状特征的假设（简称D－ B模型）：
（1）裂纹尖端区域的塑性区沿裂纹线两边延伸呈尖劈带状； （2）塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区 所包围； （3）塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σ s.
1 n 1
( 6)
式中，I n 仅与n 有关；对I 型、 II 型、混合型、平面应力和 ~ ~、 ij ij ( , n) 、 平面应变情况下的HRR 场 I n 及角分布函数( , n)
~ ui ( , n)
的数据由Symington 给出。
Rice J 积分理论
HRR 场特点: (1) HRR 场中应力的奇异性为 r , 应变的奇 n 异性为 r n 1 。当n=1时，HRR 场退化为K 奇异场。
于是，原模型（见图a）可以用图（b）所示模型代替：它承受远场拉 应力σ作用，裂纹长度从2a延长到2c (其中塑性区尺寸R=c-a),在延伸裂 纹长度上作用有均匀拉应力σs。这是一个线弹性裂纹问题，其裂尖应 力为有限值(要求KI＝0)。在这里，原裂尖的张开位移就是COD.
利用无限大板中心裂纹应力强度因子公式： KI
Rice 的J 积分定义:
u J (Wdy T ds) x
式中： u 是位移矢量； y 是在垂直于裂纹面方向上的距离； s 积分路径的弧长； T 是应力矢量； w 是应变能密度； Γ 是包含裂纹尖端的、始点源于裂纹面下表面、终止于裂 纹面上表面的任一线积分路径。

弹塑性力学01ppt课件

弹塑性力学01ppt课件

第1章 绪论1-2
线性弹性力学的发展，出现了许多分支学科，
如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、 粘弹性力学、各向异性弹性力学等。
37
弹性力学解法也得到不断发展
数值解法 微分方程的差分解 [迈可斯(1932)] 有限单元法 [1946年]
第1章 绪论1-2
复变函数（20世纪30年代）萨文和穆斯赫利什维利 作了大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等 问题。
14
固体材料的弹塑性简单 说明（简单拉伸性能）
弹性极限（屈服 极限）
比例极限
弹性 阶段
塑性阶段（强化）
第1章 绪论
卸加载 （弹性）
弹性应变 塑性应变
低碳钢试件简单拉伸试 验应力—应变曲线图
弹性应变
15
第1章 绪论
• “完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力 和应变之间一一对应的关系。 这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
38
钱伟长
钱学森
胡海昌 徐芝伦
39
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
一、体力
分布在物体体积内的力（重力、惯性力） z
大小： 平均集度
体力
lim F f V 0 V
O
x
fz V
F f
fy
fx
P
y
图11a 40
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
方向 f的方向就是ΔF的极限方向
矢量f在坐标轴x、y、z上的投影fx、 f y、 fz ，称为
材料的应力和应变关系通常称为 本构关系
——物理关系或者物理方程
• 线性弹性体和非线性弹性体

弹塑性断裂力学

弹塑性断裂力学
3．J积分定义
1)回路积分定义，围绕裂尖周围区域的应力、 应变和位移场所组成的围线积分(场强度)。
2)形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对 试样所作的形变功率(实验测定)。
4 J积分
二、J积分回路定义及守恒性
1．J积分回路定义
J Γwdx2Ti u x1i ds
B
G：围绕裂尖一条任意逆时针回 A
2)Paris位移公式
在裂纹面需求张开位移点虚加一对力F1，则
limV
F10 F1 在恒载荷作用下(单位厚度板)
G I V a F V ( F ， F 1 ， ) V 0 ( F ， F 1 ) 0 G I d a
V0(F， F1)为无裂纹体应变能，为裂纹扩展长度
2 基本假定和应用范围
承认结构中含有宏观裂缝，而远离裂缝缝端的广大区域仍假定为均匀连续体。既 均匀性假设仍成立，但仅在缺陷处不连续。断裂力学应用的前提是结构发生低应力脆 断，故其应用范围是，材料本身的微观结构对脆断敏感，且有拉（剪、扭）应力在起 用的带宏观裂缝的缺陷体。可见，断裂力学只处理和裂缝有关的问题，不可代替传统 的强度设计和校核，只是在出现宏观裂缝的条件下对传统理论的补充和发展。
2 裂尖塑性区的形成
➢ 上述塑性区尺寸按Irwin弹性应力 场公式得到， y 0 曲线如右图虚 线ABC所示。实际上，由于材料
y A
塑性变形，导致塑性区内应力重 新分布，产生应力松弛。考虑静
ys D B E
力平衡，应力松弛必然引起塑性
区扩大。对于理想塑性材料
， ymax
ys
如图中实线所示
➢ 根据力平衡，曲线AB下的面积
ys x
塑性区尺寸
R c a a s2 π es c 1 a 2 2 π s 2 π 8 K s I 2

第七讲 弹塑性断裂,疲劳裂纹

第七讲 弹塑性断裂,疲劳裂纹

第七讲 弹塑性断裂力学简介，疲劳裂纹扩展上节回顾常见的复合型裂纹，I 、II 复合型和I 、III 复合型 复合型裂纹要解决的问题 复合型裂纹准则最大切向应力准则，应变能密度因子准则（S 准则），应变能释放率准则（G 准则） 复合型断裂的工程经验公式无限体内埋藏型裂纹的应力强度因子，Irwin 解 半无限大体表面半椭圆裂纹的应力强度因子 有限体中内埋藏型裂纹的应力强度因子 有限体中表面裂纹的应力强度因子1．线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广如裂纹尖端塑性区尺寸比裂纹长度小一个数量级以上，工程中一般仍采用线弹性断裂力学，以修正的应力强度因子计算。

等效模型法Irwin 假设I 型裂纹的弹性应 力场因塑性区的形成发生平移， 想像裂纹向前扩展r y ，使得按裂 纹长y r a a+=可计算线性解BC 部ζyx分，a 称为等效裂纹长度。

等效模型法：以等效裂纹长度代替裂纹原长对应力强度因子进行修正。

等效裂纹长度和应力强度因子令按等效裂纹长度y r a a +=计算的应力场在r = R -r y （B 点）的应力等于ζys ，则 )(2y Iys r R K -=πσ222ysIyK R r σπ-=K：应力松驰后的应力强度因子（等效应力强度因子）)(y I r a K +=πσζys ：y 方向屈服应力，ζys = ζs （平面应力），sysσυσ211-=（平面应变）。

代入上式并作第一次近似IIK K ≈，得平面应力： 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s I y K r σπ平面应变： 22)21(21υσπ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sIy K r 计算步骤 （1）按aY K Iπσ=计算K I 作为K I 0（2）以K I 0计算r y 作为r y 0 （3）)(01y I r a Y K +=πσ（4）以K I 1计算r y 作为r y 1 （5）反复计算至达到精度等效裂纹概念，线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广 2．Dugdale 模型（Dugdale ，1962）Dugdale 模型认为裂纹两端的塑性区为沿裂纹所在平面向两边延伸的带状，并设塑性区为理想塑性（带状模型）。

弹塑性断裂力学


思考题
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
线弹性的适用范围
测试工作的要求
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
实际材料的应力应变关系-低碳钢
应 力
塑性 应变
载荷增大
线弹性断裂力学的局限性
线弹性的适用范围
线弹性力学是建立在小范围屈服的基础上的
当裂纹尖端的塑性区尺寸比裂 纹尺寸或其它特征几何尺寸小 K主导区
E E 2 平面应变 1
c 8 s a c ln sec 2 E s
D-B模型塑性区宽度：

适用情况：
(1) 无限大板穿透裂纹体； (2) 材料被认为是理想弹塑性材料
R a(sec 1) 2 s
(3) =s, ,不适用于整体屈服 (4) (σ/σs)≤0.6的小范围到大范围屈服。
线弹性断裂力学的局限性
测试工作的要求
在测试材料的KIC时,为保证平面应变和小范围 屈服,要求试样厚度
B ≥ 2.5 K I s
如：中等强度钢 要求B=99mm
2
试样太大，浪费材料 一般试验机很难做到
线弹性断裂力学的局限性
弹塑性断裂力学的提出
对于塑性变形占很 大比重的弹塑性断 裂体的断裂问题 用小试样测试 KIC的问题
a
a*
2V

O O’
ry
原裂尖点处的张开位移就是COD(或）
COD参量及其计算
平面应变 沿y方向的位移 o点的坐标为：
KI V E
2r

sin

2 1 cos 2 2
2

1 r ry 2
KI s

弹塑性力学讲义01

弹塑性力学
昆明理工大学材料科学与工程学院
绪 论
一、弹塑性力学的发展
1、弹塑性力学
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支学科， 是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的 影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一
门科学，是研究固体在承载过程中产生的弹性变形
和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响 应的一门科学。
阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框 架得以确立。
7 弹塑性力学的目的
应用弹塑性力学基础求解塑性加工成型问题。在应 力、应变分析的基础上求解塑性加工成形中的变形 力学方程和解析方法，从而确定力能参数和工艺变
形参数以及影响这些参数的主要因素。
二、金属的弹性和塑性
无论是何种材料，在载荷的作用下，都要产生一些 变化，我们管它叫变形。 弹性变形：能恢复的变形称之为弹性变形 塑性变形：变形不能恢复的变形称之为塑性变形 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考 虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑 .


1、金属塑性的影响因素
1） 化学成分的影响





纯金属具有较高塑性。 纯金属加入其它合金元素后成单相固溶体时也有较 好塑性. 合金的某元素与基体金属形成固溶体时，此二元合 金的塑性主要由基体元素的塑性决定，此情况也适 用于三元合金。 合金成分中不溶于固溶体或部分溶于固溶体中元素 将形成某种成分的过剩相存在于晶内或晶界，这些 过剩相对其塑性有非常大的影响。 若所含的元素形成化合物时，塑性降低。 面心立方>体心立方>六方晶格
(几何分析)
材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续的。 固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则材 料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满足的 条件是什么？（几何相容条件）

弹塑性断裂力学


A
A
x
R
2a R
2c
COD参量及其计算
利用弹性化理论分析方法证明：
原裂纹尖端的张开位移（COD）
8a s ln sec( )
E
2 s
裂纹开始扩展的临界张开位移：
E E 平面应力
E
1
E
2
平面应变
c
8 sa E
ln
s
ec
2
c s
D-B模型塑性区宽度：
R a(sec 1) 2 s
适用情况：
弹塑性断裂力学
COD方法
J积分方法
阻力曲线等方法
主要内容
线弹性断裂力学的局限性 COD参量及其计算 J积分原理及全塑性解 各断裂参量之间的关系 断裂分析在有限元软件中处理方法 思考题
COD参量及其计算
COD的定义和基本思想 小范围屈服条件下的COD D-B带状屈服模型的COD 全屈服条件下的COD判据
极好的量度。
•英国、日本焊接验收标准 •我国压力容器缺陷验收标准
y R
o
O
a 2 v
COD参量及其计算
COD的基本思想
把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移作为一个参量， 建立这个参量与外加应力（或应变e）和裂纹长度a的 关系，计算弹塑性加载时裂纹尖端的张开位移，然后 把材料起裂时的c值作为材料的弹塑性断裂韧性指标。 利用＝c作为判据判断是够是否发生破坏。
y R
o
O
a 2 v
是裂纹开始扩展的判据,不是 裂纹失稳扩展的断裂判据
应力松弛引起的裂纹体刚度下降与裂纹 长度增加的效果是一样的
COD参量及其计算
小范围屈服条件下的COD
等效裂纹长度 a*=a+ry

断裂力学 弹塑性断裂力学


和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c

c arccos
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
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(平面应力) (7-3)
(平面应变)
式中，sys为材料的屈服应力，为泊松比。 对于金属材料，0.3，这表明平面应变情况下裂
尖塑性区比平面应力时小得多。
7
当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂 纹线上的塑性区尺寸如图。
虚线为弹性解，r0，sy。
sy H
由于sy>sys，裂尖处材料屈服，
塑性区尺寸为rp。
； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
=
1.32 502 1.21 5002 3.14
=
0.00347m
=
3.47mm
2) 断裂临界状态有： K1=1.1sQc p a = K1c
Q是sc Q 2= 1 + 1.47(0.1)1.64- 0.212( sc / 600 )2 的函数： =1.034- 0.212( sc / 600 )2
(7-5)
裂纹线上(=0)的应力sy为：
sy
H
s y = sys
r2rp；
sys A B C
r
D
sy=
K1
2p r’
= K1
r2rp；
r'
o o'
a rp rp
K x
2p (r -rp)
15
16
考虑塑性修正后有：
K1 =l K 1 ；
l
=[1+
1
2a
(ssys)2]1/2
l>1，故考虑塑性修正后应力强度因子增大。
b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order
o rp
x
to satisfy equilibrium.
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状
态，故由(7-4)式知：
rp=
4
1
2p
(sKy1s
)2
18
19
例7.2 某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力s 作用。材料的屈服应力为sys=600MPa, 断裂韧 性K1c=50MPam1/2，试估计：
1) s=500MPa时的临界裂纹深ac。 (设a/c=0.5) 2) a/c=0.1，a=5mm时的临界断裂应力sc；
R为：
R=
1 p
(
K1 s ys
)
2
=2rp
11
依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为：
R=2
rp
=
1 ap
(sKy1s
)2
a = 1 2 2
(平面应力) (平面应变)
(7-4)
上式指出：
裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/sys)成正比；
平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
第七章 弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端的小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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1
第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。
s而tra，in在s is极as限su情me况d t下o e，qu二al 维zer假o (设pla是ne正st确res的s a，nd
p或la者ne至str少ain提re供sp了ect一ive个ly)很. 好的近似。
In ge断ne裂ra力l, t学he中co的nd大it部ion分s 经ah典ead解o都f a将c问ra题ck减ar化e 为 n二ei维th的er。pl即an主e s应tre力ss或no主r应pla变n中e s至tra少in有, b一ut个ar被e 假设 t为hr零ee，-d分im别en为sio平na面l. 应Th力er或e a平re面, h应ow变ev。er, limiting cases where a two dimensional assumption is valid,
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而 在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故 裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金 属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
3
7.1 裂纹尖端的小范围屈服
1. 裂尖屈服区
无限大板中裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力
sx、sy和剪应力xy的线弹性解为：s
sx=s 2arcos2[1- sin2sin32] sy=s 2arcos2 [1+sin2sin32] (5-1)
学
xy=s
2axry，sin2
cos 2
co态s3 2
计 算 主 应 力
s
屈 服 准
裂 端纹 屈y 尖 服dsyy
xy sx
(5区-1)域2a的r
dx
x
纹线上屈服区域的大小。
在裂纹线上(=0)，注意到 K = s pa ，有；
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
E(k)
a
则：
s
2 c
=
1.034 K12c
1.21p a
=
1.034
1.21p
250 0.005
=13600
sc = 116.6 MPa
不考虑屈服，将给出偏危险的预测。
22
一般地说，只要裂尖塑性区尺寸rp与裂纹尺寸a相比 是很小的(a/rp=20-50)，即可认为满足小范围屈服条 件，线弹性断裂力学就可以得到有效的应用。
解： 1)无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的K最大， 考虑小范围屈服，在发生断裂的临界状态有：
K1=1.1sQp ac = K1c ；
a
c=
Q 2K12c
1.21s 2p
Q 2= 1 + 1.47(0.5)1.64- 0.212(500 / 600 )2 = 1.32
20
故得到：
ac=
Q2K12c 1.21s 2p
则裂纹尖端的线弹性解恰好就 o o'
x
是曲线CD。
a rp rp
a+rp称为有效裂纹长度，用a+ rp代替a，由原来的 线弹性断裂力学结果可直接给出考虑Irwin塑性修
正的解答。即有： K1=s p (a + rp)
(7-5)
14
考虑Irwin塑性修正后，裂尖应力强度因子K为：
K1=s p (a + rp)
y
sy xy
dy
sx
r
dx
2a
x
xy=s 2arsin2 cos2 cos32
s
当r0时，s ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
4
线s弹x=s 2裂arc尖os附2[1近- sin2一sin点32]
性断 裂sy力=s
2任 的arcs一oxs、点2 [s1处+ysin2的力sin应状32]
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
17
3. 小范围屈服时表面裂纹的K修正
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：
K1=
Mfs p
E(k)
a
前表面修正系数通常取为Mf=1.1； E(k)是第二类完全椭圆积分。
考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 1.1s 用a+ rp代替原裂纹尺寸a，故有： K1=
p(a + rp)
E(k)
K x
下的面积相等。
aR
由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下
的面积等于曲线HB下的面积即可。
10
于是得到：
sy
H
rp
R s ys
= 0
s
y (x)dx
sys
BC A
D
注意到式中：sy=K1 / 2p r ,
K
平面应力时：r p =
1
2p
(
K1 s ys
)2
o rp aR
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
将断裂判据式二边平方， 再将Q2代入，得： 1.21sc2 p a = K12c [1.034- 0.212( sc / sys )2]
21
即有：
sc2
=
1.21p
1.034 K12c a+0.212(K1c/sys)2
=12622.8
sc = 112.4 MPa
讨论：若不考虑屈服，有：
K1=