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运筹学 (单纯形法原理)课件

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运筹学单纯形法PPT课件

运筹学单纯形法PPT课件

由上式得 A 11
1 1
1 0
10 b 05
第30页/共95页
可能的基阵
A 11
1 1
1 0
10
1 1 B12 1 1
1 1 B13 1 0
1 0 B14 1 1
1 1
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
可令 y j x j l j 或者 y j l j x j
代入原问题
如果某个变量为自由变量，则可令
xxjj
xj , xj
0
xj
第12页/共95页
X1+X2 5 s.t -6 X1 10
X20
令 X1' = X1 +6 -6+6 X1+6 10+6 0 X1' 16
X1' +X2 11 s.t X1' 16
5
X 0 0 5 0T
为基本可行解，B13为可行基,为退化解
第32页/共95页
1 0 对于基阵 B14 1 1
则
x1 5
x1
x4
0
令 x2 0 x3 0
X 5 0 0 5T
1 1 对于基阵 B23 1 0 令 x1 0 x4 0
则
x2x2
x3 0
5
X 0 0 5 0T
s.t 3X1 +2X2 + X4 ＝ 60
2X2
+ X5 ＝ 24
X1 ,…, X5 0
第9页/共95页
当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi

运筹学第章单纯形法

运筹学第章单纯形法

C’ B X B
b
4
1
5
x1
x2
x3
0
x0 11/22 1/4
1
Zj Cj–Zj
5/2 5/4 5 3/2 -1/4 0
K
当前解为：X=(0, 0, 750, 5000，0)
LP
0
0
x4
x5
1
-1 5000
0
1/4 1500 L
0 5/4 0 -5/4
Z=3750
cj
8000 3000
x j 0, j 1,2,3,4,5
初始单纯形表：
cj
C’ B
XB
b
4
1
5
0
x1
x2
x3
x4
0
X4
8000
3
1
4
1
0
X5
3000
2
1
4
0
Zj
0
0
0
0
Cj–Zj
4
1
5
0
LP
0 x5 0 1 0 0
初始解为X=(0,0,0,8000,3000) Z=0
Z j m ciaij ？推导 i 1
x4
5000
x1
0
x3
750
1 2
x1
0
则：x1 min5000,750* 2 1500
当x1=1500时，x3=0即为非基变量，x4=3500
则：基变量为x1, x4; 非基变量为x2, x3 x5 ，变换标准型的约束条件：
32xx11
x4 8000 x2 4x3 3000 x2 4x3 x5
x c MaxZ 人工 ,即 人工 1 x c 或 MinS 人工,即 人工 1

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2

运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)

运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0

运筹学之单纯形法.ppt

运筹学之单纯形法.ppt
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0

第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)

第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)

✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi

运筹学课件 单纯形法的迭代原理

运筹学课件 单纯形法的迭代原理

因为p1,…,pm,是一个基，其他向量pj可以这个基 的线性组合表示：
pj
a
i 1
m
ij
pi
(pj
a
i 1
m
运筹学教程
ij
p i ) 0
pj
a
i 1
(0)
m
ij
p i 相减，然后乘上一个正数θ ,加上

i 1
m
pi xi
b
经过整理得到：
( p j a ij p i )
rL×(-al-1j) +rL-1
0 -(bL/aLj)+bL-1 L alj×(1/alj)=1
运筹学教程
所以，P1,P2,…,Pl-1,Pj,Pl+1,…,Pm,是一个基。
进行初等行变换，将第L行乘上1/alj,再分别乘以
-aij,(i=1,…,l-1,l+1,…,m)加到各行，增广矩阵
的左边变成一个单位矩阵，
cj
…
cn
CB
c1 c2 . cm cj-zj
基
x1 x2 . xm
b
b1 b2 . bm
x1
1 0 . 0
…
xm …
xj
a1j a2j . amj
…
xn
a1n a2n . amn
j c n c i a in
i 1 m
0
…
0
…
运筹学教程
第二步：最优性检验
计算检验数，检查：
所有检验数是否≤ 0？
运筹学教程
式中p1,„,pm 为基变量,同其所对应的 x1,x2,„..,xm为基变量；其它变量 xm+1,xm+2，„„,xn为非基变量。令所有的非基变量 等于零。

第五章 单纯形法ppt课件

第五章 单纯形法ppt课件

➢ x2+x5＝250
→ 0＝250？
➢ 显然不能得到相应的解。
编辑版pppt
9
一、问题的提出
➢ 为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ ➢ 因为其余三个变量的系数列向量为
110
201
000
➢ 该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。
编辑版pppt
10
编辑版pppt
24
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
编辑版pppt
25
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
❖ 我们首先将最优解缩小在一个有限的❖ 回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。
❖ 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。
❖ 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。
❖ 首先面临的问题： ❖ 如何通过代数方法找到第一个顶点？
存在3阶单位阵
编辑版pppt （初始可行基）
26
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 基本可行解为（0，0，300，400，250） ➢ 此可行基称为初始可行基。 ➢ 对应的解称为初始基本可行解。
➢ 初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。
编辑版pppt
27
二、单纯形法的基本思路和原理 ➢第二步：最优性检验
不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) (0,300,0,100,-50)

大学运筹学经典课件第五章——单纯形法

大学运筹学经典课件第五章——单纯形法

j 1, 2,, n
x j j m 1, m 2,, n
以下用 xi i 1,2,, m 表示基变量，用 表示非基变量。
管
理
运
筹
学
14
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai ,m1 xm1 ai ,m2 xm2 ai ,n xn
x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250.
在第二步中已经知道x2为入基变量，我们把各约束方程中x2的为正的系数除 对应的常量，得
b1 300 300, a12 1
b2 400 400, a22 1
管 理 运 筹 学
管
理
运
筹
学
2
§1 单纯形法的基本思路和原理
1 1 1 0 0 A ( p1 , p 2 , 它的系数矩阵p3 ,,p 4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的
第五章 单 纯 形 法
• §1 单纯形法的基本思路和原理 • §2 单纯形法的表格形式 • §3 求目标函数值最小的线性规划的问题的 单纯形表解法 • §4 几种特殊情况
管
理
运
筹
学
1
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优
解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此 点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的

运筹学单纯形法ppt课件

运筹学单纯形法ppt课件
• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120

x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa

运筹学课件1-3单纯形法原理

运筹学课件1-3单纯形法原理
§1.3 单纯形法原理

理论方法 算法步骤 单纯形表



算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX

单纯形法原理讲解ppt课件

单纯形法原理讲解ppt课件

第4步 基变换
换入基变量：
z 0 2 x 1 3 x 2 0 1 x 1 2 x 2
1,2 0, x1, x2 均可换入。
一般选取 max对1, (应2)的变量
（即选最大非负检验数对应的变量）
换入变量 x 2
换出变量
x3 使换入的变量越大越x好4 同时，新的解要可行。
x5
本节通过一个引例，可以了解利用 单纯形法求解线性规划问题的思路，并 将每一次的结果与图解法作一对比，其 几何意义更为清楚。
引例（上一章例）
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4x1
x4
16
4 x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x 2 min( 8 / 2 x 2 为换入变量，应换出 x 5变为量换。 出变量
因此，基由 B(P3 P4 P5) 变为 B(P 3 P 4 P 2)
转第2步：基变量用非基变量表示。
第3步：最优性判断
检验数
存在正，按第4步换基继续迭代
均非正，停止
（这时的解即是最优解）
x x
3
3
转
2
第x 4 x22 4步x 24
0 4 0 0 1
显然 ，P3, P4, P5 可构成初等可行基B 。
1 0 0
令： B(P3,
P4,P5)
0
1
0
x3, x4, x5 为基变量
0 0 1
第2步 求出基可行解
基变量用非基
x3
是否是 最优x4解？x5
8 x1 164x1 12
2变令x2量 非表 基示 变， 量并 为

运筹学 单纯形法

运筹学 单纯形法

The Essence of the Simplex Method
• A positive rate of improvement in Z implies that the adjacent CPF solution is better than the current CPF solution (since we are assuming maximization), whereas a negative rate of improvement in Z implies that the adjacent CPF solution is worse. • Therefore, the optimality test consists simply of checking whether any of the edges give a positive rate of improvement in Z. If none do, the current CPF solution is optimal.
The Essence of the Simplex Method
• Iteration 1: Move to a better • Between the two edges of the adjacent CPF solution, (0,6), feasible region that emanate by performing the from (0,0), choose to move following three steps.
(0,9)
• Optimality Test: Conclude that (2,6) is an optimal solution, so stop. (None of the adjacent CPF solutions are better.)
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X （1） =（0，3，6，16，0） T
运筹学 (单纯形法原理)
其对应的目标函数值：
z1=2×0+3×3=9
（5）检验X （1） 是否为最优解
将约束方程组改为用非基变量x1 、 x5来表示基变量x2、 x3 、 x4的表达 式。可用高斯消去法得到：
2x1
+ x3
– 2 /5x5 = 6
4x1
+ x4
X （0） =（0，0，12，16，15） T
其对应的目标函数值 z0=2×0+3×0=0
（3）检验X（0）是否为最优解。由目标函数的表达式：
z =2x1 +3x2
可知，非基变量x1 和 x2 的系数为正，如果把非基变量x1 或x2转换
为解 运筹学 (单纯形法原理)
会使目标函数的值增加。可见X （1）不是最优解。
（6）第二次迭代
和第一次迭代同样的道理，应选取非基变量x1使它成为基变量，而且 让它取尽可能大的值，同时， x5仍作为非基变量取值为零。从原来的基 变量x2 、 x3 、 x4中选出一个作为非基变量。 x1的取值也按同样的方法确 定：
将x1 = θ ， x5 = 0代入：
x1
+ 1/2 x3
– 1/5x5 = 3
– 2 x3 + x4 + 4/5x5 = 4
x2
+ 1/5 x5 = 3
移项后得到：
x1 = 3 – 1/2 x3 + 1/5x5
x4 = 4 + 2 x3 – 4/5x5
x2 = 3
–1/5 x5
将上式代入目标函数，得目标函数用非基变量x3 、 x5表示的表达式
= 16
x2
+ 1 /5 x5 = 3
移项后得到：
x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5
x4 = 16 – 4x1
x2 = 3
–1/5 x5
运筹学 (单纯形法原理)
将上式代入目标函数，得目标函数用非基变量x1 、 x5表示的表达式
z =9+2x1 – 3/5x5
由于非基变量x1的系数是正数，如果把非基变量转换为基变量，则
2x1 +2x2 + x3
= 12
4x1
+ x4 = 16
5x2
+ x5 = 15
x3 = 12 –2x1 – 2x2
x4= 16 – 4x1
x5 = 15
– 5x2
运筹学 (单纯形法原理)
将x1 = 0， x2 = θ代入上面约束方程，为了让θ取尽可能大的值，同时 又要考虑到x3 、 x4 、 x5必须满足非负约束，从而θ的值应满足：
即：
x3 = 12 – 2 θ ≥0
x4 = 16
≥0
x5 = 15 – 5 θ ≥0
x2 = θ =min{12/2，~，15 /5}=3
相应地有：
x3 = 12 – 2 × 3=6 x4 = 16 x5 = 15 – 5 × 3=0
可见，从原来的基变量x3 、 x4 、 x5中选出x5作为非基变量，得第一次 迭代后的基本可行解：
x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5
x4 = 16 – 4x1
x2 = 3
–1/5 x5
x3 = 6 – 2 θ ≥0
x4 = 16 – 4 θ ≥0
x2 = 3
≥0
运筹学 (单纯形法原理)
即：
x1 = θ =min{6/2，16 /4 ，~}=3
相应地有：
x3 = 6 – 2 × 3 =0 x4 = 16 – 4 × 3=4 x2 = 3
（4）第一次迭代。 每一次迭代，得到一个新的基本可行解。因此，哪些变量作为
基变量，哪些非基变量，就要发生变化。
由于目标函数中x2的系数大于x1的系数，因此，可以选择x2使它 作为基变量，而且让它取尽可能大的值，同时， x1仍作为非基变量 取值为零。从原来的基变量x3 、 x4 、 x5中选出一个作为非基变量。 x2的取值不能任意地增加，它要受到约束方程的限制：
z =15 – x3 – 1/5x5
这时,目标函数中非基变量的系数都不大于零，可见目标函数的值不 可能再继续增大,目标函数已经取得最大值15 ，故为X （2）最优解。
max z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
4
x
1
16 5 x 2 15
x 1 0 、 x 2 0
运筹学 (单纯形法原理)
求解步骤
（1）化为标准型
m ax z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 x3
12
4
x1
x4 16
5 x2
x5 15
可见，从原来的基变量x2 、 x3 、 x4中选出x3作为非基变量，得第二次 迭代后的基本可行解：
X （2） =（3，3，0，4，0） T
其对应的目标函数值：
z1=2×3+3×3=15
（7）检验X （2） 是否为最优解
运筹学 (单纯形法原理)
将约束方程组改为用非基变量x3 、 x5来表示基变量x1、 x2 、 x4的表达 式。可用高斯消去法得到：
运筹学 (单纯形法原理)
单纯形法的计算步骤 • 单纯形法的思路
如何改善？ 如何判断没有有限最优解？
找出一个初始可行解
是否最优
是
循
环
否
转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值）
核心是：变量迭代
运筹学 (单纯形法原理)
最优解 结束
线性规划问题的代数运算形式
例：用单纯形法的代数运算形式求解下列线性规划问题
复习 由图解法得到的启示：
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一解；无穷多最优 解；无界解；无可行解。 2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一 （有无穷多最优解）一定是可行域的凸集的某个顶点。
4.解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标 函数值。比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值大， 如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否 则转到比这个点的目标函数值更大的另一顶点，重复上述过 程，一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止。
x j 0 j 1, 2 , ，5
（2）找一个初始基本可行解X（0）
2 2 1 0 0 A 4 0 0 1 0
0 5 0 0 1
1
P3
0
0
0
P4
1
0
0
P5
0
1
运筹学 (单纯形法原理)
1 0 0
B0 P3 P4 P50 1 0
0 0 1
x量可B2 为0x行为1 关=解一x于：2个=可0可。行行从基基而B，0有的xx非33、=基1x2变4，、量xx，45为=为1关6求，于初可x始5 =行基1基5本，B可0于的行是基解得变，到量令初，非始x基基1 、变本