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第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划：Min z=2x1+x2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-1058244212121xxxxxx解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。
A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。
A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。
A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。
A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。
A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。
A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。
A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。
A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。
A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。
A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形13第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形法复习思考题1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果?哪些结果反映建模时有错误?3. 什么是线性规划问题的标准形式?如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式?4. 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
5. 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解?6. 如果线性规划的标准型变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解?7. 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为(-M)的经济意义是什么?8. 什么是单纯形法计算的两阶段法?为什么要将计算分成两个阶段进行,如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需要继续进行?9. 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
10. 举例说明生产和生活中应用线性规划的可能案例，并对如何应用进行必要描述。
11. 判断下列说法是否正确:(a) 图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的;(b) 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大;(c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点;(d) 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点;(e) 对取值无约束的变量xj，通常令xj=x′j-x″j，其中x′j?0，x″j?0，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x′j,0，x″j,0;(f) 用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与σj,0对应的变量都可以被选作换入变量; (g) 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负;(h) 单纯形法计算中，选取最大正检验数σk对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长;(i) 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果;(j) 线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示; (k)若X1，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2可以为任意正的实数;(l) 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为minz=?ixai(xai为人工变量)，但也可写为min z=?ikixai,只要所有ki均为大于零的常数;(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为Cmn个; (n) 单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解; (o) 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解; (p) 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解;(q) 线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优;(r) 将线性规划约束条件的“?”号及“?”号变换成“=”号，将使问题的最优目标函数值得到改善;(s) 线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值;(t) 一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合;(u) 若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解; (v) 一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
运筹学基础及应用习题解答习题一P461.1该问题有无穷多最优解1，即满足4X1 6X2 =6且0乞X2乞;2的所有X1,X2，此时目标函数值z =3。
(b)X2用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解1.3(1)图解法最优解即为严1 +4x2 -9的解X =h，?丨最大值Zu35 0X1 +2X2 =8 I 2 丿 2 (2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z =10x i 亠5x2 亠0x3 亠0x4丄3为+4X2 +刈=9st.』+2x2+x4=8则f,P4组成一个基。
令x i =x2 =0x = 0,0,9,8c c .「21 8 3■ -2 0, min ,-訂4 2丿2新的单纯形表为C j T10 5 0 0X1 X2 X3 X4C B基 b3 5 35 x 2 —0 12 2 14 1410 X1 1 1 21 07 75 25C j _Z j 0 014 143 * 35 ；「1,；「2 ：：O 表明已找到冋题最优解X1 =1, X2 , X3 =0, X4 =0。
最大值z2 2(b)(1)图解法最优解即为6x1 2x2曲的解X = 7丄,最大值z上:X i +X2 =5 W2 丿 2(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z =2x1 x2 0x3 0x40疋st. 6x1 2x2 x4=24X i X2 X5 = 5则F3，F4，F5组成一个基。
令x i =X2 =0得基可行解x =[0,0,15,24,5 ，由此列出初始单纯形表Cj T 2 1 0 0 0\C B 基 b X1 X2 X3 X4 X5 \ \0 X 315 0 5 1 0 0X 4 24 ⑹ 2 0 1 00 X 55 1 1 0 0 1C j —Zj2 1 0 0 0日=min( 24 5^=4AO"2。
r 一-6 ‘1丿C j T210 0CB基bX 1X 2 X 3X 4X 5X 351151112X 4436■211X 51〔3」_6111C j 一Zj—33新的单纯形表为C j T21CB基b X 1X 2X 3X 4 X 515 015 15 0X 32 4 2711 2X 4 — 1—— 2 4 231 3 0X 51—■—— 24211 C j -Z j0 01 24二 min15訐,7 15二2 <0,表明已找到问题最优解X. =1 , X2 =2，冷巧，X“°, X. =0。
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b，决策变量满足非负性。
≥i如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件0AX，的解，称为可行解。
b≥=X基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表j c412i θB CB Xb 1x2x3x4x5x0 4x 2 [8] 3 1 1 0 2/8 05x86 1 1 0 1 8/6 j σ41 2 0 0 4 1x 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 (1/4)/(1/8) 05x13/26 －5/4 1/4 －3/4 1 (13/2)/(1/4)j σ－1/2 3/2 -1/2 0 2 3x 2 8 3 1 1 0 05x6－2－2－11故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤501x +2x ≥12x ≤4 1x ，2x ≥0（2）min z=1x +1.52x1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0（3）max z=21x +22x1x -2x ≥-1-0.51x +2x ≤21x ，2x ≥0（4）max z=1x +2x1x -2x ≥031x -2x ≤-31x ，2x ≥0解： （1）（图略）有唯一可行解，max z=14 （2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4 （3）（图略）无界解 （4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-21x +2x +33x -4x ≤14-21x +32x -3x +24x ≥21x ，2x ，3x ≥0，4x 无约束（2）max kkz s p =11nmk ik ik i k z a x ===∑∑11(1,...,)mikk xi n =-=-=∑ik x ≥0 (i=1…n; k=1,…,m)（1）解：设z=-z ',4x =5x -6x , 5x ,6x ≥0 标准型：Max z '=31x -42x +23x -5(5x -6x )+07x +08x -M 9x -M 10x s. t .-41x +2x -23x +5x -6x +10x =21x +2x +33x -5x +6x +7x =14-21x +32x -3x +25x -26x -8x +9x =21x ,2x ,3x ,5x ,6x ,7x ,8x ,9x ,10x ≥0(2)解：加入人工变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得： Max s=(1/k p )1ni =∑1mk =∑ik αik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t.11mi ik k x x =+=∑ (i=1,2,3…,n)ik x ≥0, i x ≥0, (i=1,2,3…n; k=1,2….,m)M 是任意正整数1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
一、选择填空1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、将下列问题化为标准型1.123412341231324237..2358,0,0,Max Z x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++≤⎧⎪-+=-⎨⎪≥≤⎩符号不限[解] 令'22x x =-，'445x x x =-，在约束1中引入非负的松弛变量6x ，约束2两边同乘以-1。
整理得：''12345''123456'123''12345623()()7..23()58,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++-⎧-++-+=⎪-+--=⎨⎪≥⎩即：12345123456123123456237..2358,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++--++-+=⎧⎪---=⎨⎪≥⎩2. Min Z=-x 1+5x 2-2x 3x 1 +x 2- x 3 ≤ 61 - x2 +3x3 ≥ 5x 1 + x 2 = 10x 1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x 3符号不限[x 3进行处理，令x 3 = x’3- x 4;再令x’2 = - x 2。
然后对目标函数和约束条件进行标准化。
Max Z=x 1+5x 2+2x 3-2x 4x 1- x 2- x 3+x 4+x 5 = 61 + x2 +3x3 - 3x4 -x 6 = 5x 1 - x 2 = 10 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6≥ 0四、用图解法求解下列线性规1.1+2x 2x 1- x 2 ≥ -2x 1 +2x 2 ≤ 6x 1, x 2 ≥ 0[解]根据上图，最优解为X *=（x 1, x 2）T =（6, 0）T ，最优值为-6。
1+2x 2x 1- x 2 ≥ -2x 1 +2x 2 ≤ 6x 1, x 2 ≥ 0 [根据上图，最优解为*1228(,)(,)33T T x x ==X ，最优值为143。
五、用单纯形法求解下列线性规划 1. Max Z=3x 1+5x 2x 1 ≤42 ≤ 123x 1 +2x 2 ≤18x 1, x 2≥ 0[解] 首先，标准化后线性规划如下： （1）Max Z=3x 1+5x 2+0x 3+0x 4+0x 5x 1+ x 3 = 42 + x 4 = 123x 1 +2x 2 + x 5 = 18x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6≥ 0max2. Max Z=2x 1- x 2+x 33x 1+x 2+x 3 ≤ 60x 1-x 2+2x 3 ≤ 10x 1 +x 2-x 3 ≤ 20x 1, x 2, x 3 ≥ 0[ （1）Max Z=2x 1-x 2+x 33x 1+x 2+x 3+x 4 = 60 x 1-x 2+2x 3+x 5 = 10x 1 +x 2-x 3 +x 6 = 20x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6≥ 0 max六、表格单纯形法计算题1. （2）初始线性规划模型如下：Max Z=5x 1+20x 2+25x 32x 1+x 2≤ 402x 2+x 3 ≤ 303x 1 -1/2x 3 ≤ 15x 1, x 2, x 3 ≥ 0（3）用单纯形法求出最优解及相应的最优值。
七、用大M 法和两阶段法求解下列线性规划1+2x 2-x 1 +2x 2 ≥ 2x 1 ≤ 3x 1, x 2 ≥ 0[x 5后，线性规划模型如下：M ax Z’=-x 1-2x 2-Mx 5-x 1+2x 2 -x 3 +x 5 = 2x 1 +x 4 = 3x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0max 最优解X * =（0, 1, 0, 3）T ，最优值为Z min =2。
用两阶段法求解如下： 第一阶段：标准化并引入人工变量x 5，对人工变量进行优化线性规划模型如下：5-x 1+2x 2-x 3+x 5 = 2x 1 +x 4 = 3x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0 524 第二阶段：M ax Z’=-x 1-2x 2-1/2x 1+x 2 -1/2x 3 = 1 x 1 +x 4 = 3x 1, x 2, x 3, x 4≥ 0由于上表中所有非基变量的检验数小于等于0，因此，原问题已经达到最优解，即X * =（0, 1, 0, 3）T ，最优值为Z min =2。
2. Max Z=x 1+2x 2+3x 3-x 4x 1+2x 2+3x 3 = 15 2x 1+x 2+5x 3 = 20x 1 +2x 2+x 3+x 4 = 10x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0[解] 首先，标准化并引入人工变量x 5, x 6后,线性规划如下： （1）Max Z=x 1+2x 2+3x 3-x 4-Mx 5-Mx 6x 1+2x 2+3x 3+x 5 = 15 2x 1+x 2+5x 3+x 6 = 20x 1 +2x 2+x 3+x 4 = 10 x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0max1- x 2-x3x 1-2x 2+x 3 ≤ 11 -4x 1+x 2+2x 3 ≥ 3-2x 1 +x 3 = 1x 1, x 2, x 3 ≥ 0[解] 首先，标准化并引入人工变量x 6, x 7后,线性规划如下：1-x 2-x 3-Mx 6-Mx 7x 1-2x 2+x 3 +x 4 = 11 -4x 1+x 2+2x 3 -x 5+x 6 = 3-2x 1 +x 3+x 7 = 1x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7≥ 0 maxmin转入第二阶段求解如下：max八、线性规划建模1. 某商店制定一种商品的7～12月进货与销售计划。
由于商店仓库容量的限制，存货不能超过500件。
6月底已存货100件，以后每月1日进货一次。
假设各月份该种商品买进及销售单价如下表所示，问各月应进货、销售各多少，才能是总收入最多？试列出线性规划模型。
[解]设7-12月份进货量分别为x11, x21, x31, x41, x51, x61; 销售量分别为x12, x22, x32, x42, x52, x62。
则最大化目标函数可以表示为各个月的销售总收入与各个月进货总成本的差额。
而约束条件包括两方面：月初库存量、月末库存量约束，库存要求介于[0，500]区间，因此，模型构造如下：Max Z =（29x12+24x22+26x32+28x42+22x52+25x62）-（28x11+24x21+25x31+27x41+23x51+23x61）100+x11-x12 ≥ 0 (或者x12 ≤ 100+ x11)x21 ≤ 500-（100+x11-x12）100+x11-x12+x21-x22 ≥ 0x31 ≤ 500-（100+x11-x12+x21-x22）100+x11-x12+x21-x22+x31-x32 ≥ 0x41 ≤ 500-（100+x11-x12+x21-x22+x31-x32）100+x11-x12+x21-x22+x31-x32+x41-x42 ≥ 0x51 ≤ 500-（100+x11-x12+x21-x22+x31-x32+x41-x42）100+x11-x12+x21-x22+x31-x32+x41-x42+x51-x52 ≥ 0x61 ≤ 500-（100+x11-x12+x21-x22+x31-x32+x41-x42+x51-x52）100+x11-x12+x21-x22+x31-x32+x41-x42+x51-x52+x61-x62 ≥ 0x11, x21, x31, x41, x51, x61, x12, x22, x32, x42, x52, x62 ≥ 03. 某厂生产A、B、C 三种产品，每种产品都要经过甲、乙两道工序。
设该厂有两种规格的设备，甲1和甲2可以完成甲工序；有3种规格的设备乙1、乙2、乙3能完成乙工序。
每种设备完成每个产品的加工工时、每小时的费用以及每件产品的原料费用和销售价格如表1.12所示，其中空缺位置表示该设备不能加工解：（1）决策变量：设A 产品经过甲乙两道工序（5种规格）加工的产品数分别为1121314151,,,,x x x x x ； B 产品经过甲乙两道工序（5种规格）加工的产品数分别为1222324252,,,,x x x x x ； C 产品经过甲乙两道工序（5种规格）加工的产品数分别为1323334353,,,,x x x x x ；（2）目标函数：总利润＝收益－工时成本C1－材料成本C2收益＝A 产品数×单价＋B 产品数×单价＋C 产品数×单价＝11211222231.5() 2.5()4x x x x x ⨯++⨯++⨯C1＝11120.10(48)x x ⨯++2122230.05(379)x x x ⨯+++32330.08(62)x x ⨯++41430.12(55)x x ⨯++51520.07(63)x x ⨯+C2＝11211222230.3()0.5()0.8x x x x x ⨯++⨯++⨯(3)工时约束：111221222332334143515248500037911000623000556000634000x x x x x x x x x x x +≤++≤+≤+≤+≤（4）工序流程约束：甲工序加工的产品数＝乙工序加工的产品数（A 、B 、C ）1121415112223252233343x x x x x x x x x x x +=++=+=+则线性规划模型为：11122122233233414351521112212223323341435152112141511222325220.8 1.2 1.05 1.65 2.750.480.160.60.60.420.2148500037911000623000556000634000..Max Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =++++------+≤++≤+≤+≤+≤+=++=+333431121415112223252233343,,,,,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪≥⎩九、研究讨论题第1章 常见错误总结：（1）表格单纯形法简便易行，但却不习惯用。
