当前位置：文档之家 › 管理运筹学 第5章 单纯形法[精]

管理运筹学 第5章 单纯形法[精]

  • 格式：ppt
  • 大小：733.00 KB
  • 文档页数：46

下载文档原格式

  / 46

合集下载

5第五章 单纯形法

5第五章 单纯形法

令其非基变量 x1=x2=0，得初始基本可行解：
x1=0，x2=0，s1=300，s2=400，s3=250
注：若找不到单位矩阵（各列可以乱序）的基作为初始可行基， 需要构造初始可行基。
§1
单纯形法的基本思路和原理
二、最优性检验
判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1．最优性检验的依据——检验数 σj 目标函数
目标函数为50x1+100x2，由于初始可行解中x1，x2 为 非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，无 需代换出基变量。各检验数为： σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0
§1
单纯形法的基本思路和原理
2．最优解判别定理 求最大目标函数的问题中，若某个基本可行解所有 检验数 σj ≤0，则该解是最优解。 通俗地解释最优解判别定理，设用非基变量表示的 目标函数如下所示：
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
x2 = 250.
求解得到新的基本可行解
x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。

运筹学课件 单纯形法的计算步骤

运筹学课件 单纯形法的计算步骤
第二阶段：以第一阶段的最优解(不含人工变量)为初 始解，以原目标函数为目标函数。
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.

4 x1 2 x1

x2

2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2

3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11

4 2
x1 x1

x2

2
x3 x3

05第五章 单纯形法 管理运筹学课件

05第五章 单纯形法 管理运筹学课件
–P1 , P2 , … , Pm 称为基向量
–与基向量对应的变量称为基变量，记为
XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称非基变量，记 为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xn ) T ，
故有 X = (XB ,XN )T
● 线性规划的基矩阵、基向量、基变量、非基变量
基、可行基、最优基
可行解、基解和基本可行解举例
标准型：
max f ( x) 6 x1 4 x2
2 x1 x2 10
s.t.

x1 x2 8 x2 7
x1 , x2 0
max f (x) 6x1 4x2
2x1 x2 x3 10
x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5, x6 0
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
Max Z = CX
（a）
s.t. AX=b
（ b）
X 0
（c）
a11 a12 …. a1n
C (c1, c2 , , cn );
X (x1, x2 , , xn )T
做为一个基 （可行基）
基变量 : x3 x4 x5 非基变量: x1 x2
可见，单位矩阵 作为初始可行基， 基变量在目标中 的系数为0
非基 变量
基变量
图中的点 解
x1, x2 x3 =10 x4 =8 x5 =7 O 基可行解
x1, x3 x2 =10 x4 =-2 x1, x4 x2 =8 x3 =2 x1, x5 x2 =7 x3 =3
x5 =-3 x5 =-1 x4 =1
F

运筹学5-单纯形法

运筹学5-单纯形法

保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。

运筹学教程 第五章 单纯形法(2表格形式)

运筹学教程 第五章 单纯形法(2表格形式)
0 5 1 0 0 6 2 0 1 0 1 1 0 0 1
r2 ÷ 6
b
15 24 5
x1 = 4 x2 = 0 x3 = 15 x4 = 0 x5 = 1
P P P P P 1 2 3 4 5
b
P 1
P2
P3
P4
P5
b
0 5 1 0 0 1 1/ 3 0 1 / 6 0 1 1 0 0 1
元数a 元数a21决定了从一个基可行解到相邻基可行解 的转移去向，取名主元 的转移去向，取名主元
§5.2单纯形法的表格形式
第3步:迭代。 步
1.确定入基变量 确定入基变量 2.确定出基变量 确定出基变量 3.用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 用入基变量替换出基变量， 用入基变量替换出基变量 得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。 并画出一个新的单纯形表。
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
zj σj= cj -zj
? 0
z = c 3 × b1 + c 4 × b2 + c 5 × b3 = 0 × 15 + 0 × 24 + 0 × 5 = 0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 0 2 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5

运筹学第五章 目标规划

运筹学第五章 目标规划

第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。

当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。

无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。

目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。

在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。

（2）模型特征。

目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。

1）正、负偏差变量,i i d d +-。

正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。

因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。

2）硬约束和软约束。

硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。

我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。

3）优先因子与权系数。

一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。

运筹学_单纯形法_的应用举例

运筹学_单纯形法_的应用举例

(x11+x21+x31)≤100
(x12+x22+x32)≤100
(x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
11
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
x21 x22 x23 x24 250000 产量约束为飞机汽油2的产量：
PV p j v j可得有关蒸汽压力的约束条件： 由物理中的分压定律，
n
2.85 x11 1.42 x12 4.27 x13 18.49 x14 0
同样可得有关辛烷数的约束条件16.5 x11 2.0 x12 4.0 x13 17.0 x14 0 为： 7.5x 7.0 x 13.0 x 8.0 x 0

运筹学 (单纯形法原理)

运筹学 (单纯形法原理)

x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5 x4 = 16 – 4x1 x2 = 3 –1/5 x5
x3 = 6 – 2 θ ≥0 x4 = 16 – 4 θ ≥0 x2 = 3 ≥0
即：
x1 = θ =min{6/2，16 /4 ，~}=3 相应地有：
x3 = 6 – 2 × 3 =0 x4 = 16 – 4 × 3=4 x2 = 3
xni bi aij x j
j 1
n
（i 1, 2,L , m）
3.代入目标消去基变量，得到非基变量xj的检验数 j
Z c j x j cni xni
j 1 i 1
n Z c j x j cni b a x i ij j j 1 i 1 j 1 n m
b1 M M M 0 .1L bi M M M 0 0L 1 bm
表格单纯形法
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn cn1 xn1 cnm xnm
标准型：

a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 , x 2 , , x n , x n 1 , , x n m 0
m
cni bi (c j cni aij ) x j
i 1 j 1 i 1
m
n
m
j cj zj
n j 1
Z Z 0 (c j z j ) x j Z 0 j x j

运筹学 线性规划 单纯形法

运筹学 线性规划 单纯形法
量，alk为主元素
1．xk替换xl 2．列出新的单纯形表
① 对主元素行（第l行）
bl bl / alk , alj alj / alk
②其它行i（i≠l）
bi bi aik bl / alk , aij aij aik alj / alk
唯一最优解
例1：某糖果厂用原材料A、B、C加工成三种不同牌号的糖 果甲、乙、丙。已知各种牌号的糖果中A、B、C含量，原 料成本，各种原料每月限制用量，三种牌号糖果的单位加 工费及售价如下表所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果 多少kg，使该厂获利最大。试建立该问题的LP的数学模型。
解：若用变量 xij 表示捷运公司在第 i(i 1,2,3,4)个月初签定的租借期为
j( j 1,2,3,4)个月的仓库面积的合同（单位为100 m）2 。因5月份起该公司不需 要租借仓库，x24 x33 x34 x42 x43 x44 均为零。该公司希望总的租借费用为最
小，故有如下的数学模型：
10 x1 2 1 0 1 1 1 1
8 x2 2 0 1 2 1 2 1
cjzj 0 0 1 2 6 M+2
答：最优解为 x1=2, x2=2, x3=0, OBJ=36
3.大M法的一些说明
（1）人工变量被迭代出去后一般就不会再成为基变量
（2）大M法实质上与原单纯形法一样，M 可看成一
个很大的常数 （3）当检验数都满足最优条件，但基变量中仍有人工
添加松弛变量、人工变 量 列出初始单纯形表
3.对目标函数求极大值标准型线性规 划问题，单纯形法计算步骤的框图
计算各列检验数бj
所有бj0
基变量中
是
有非零的 人工变量
否
某非基变

运筹学第五章

运筹学第五章

A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16

例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章

目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1

资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：

《管理运筹学》第四版第5章单纯形法课后习题解析

《管理运筹学》第四版第5章单纯形法课后习题解析

《管理运筹学》第四版第5章单纯形法课后习题解析《管理运筹学》第四版课后习题解析第5章单纯形法1．解：表中a 、c 、e 、f 是可⾏解，f 是基本解，f 是基本可⾏解。

2．解：（1）该线性规划的标准型如下。

max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝100.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0（2）⾄少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个⾮基变量，⾮基变量取零。

（3）（4，6，0，0，-2）T（4）（0，10，-2，0，-1）T（5）不是。

因为基本可⾏解要求基变量的值全部⾮负。

（6）略 3.解：令333x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第⼀个⽅程左右两边同时乘以-1，并在第⼆和第三个⽅程中分别引⼊松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型：j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表⾥⾯j x '、j x ''相应的列向量是相同的，只有符号想法⽽已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使选取的基矩阵各列线性相关，不满⾜条件。

4．解：（1）表5-10,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 654332163321543321433214321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：（2）线性规划模型如下。

max 6x 1＋30x 2＋25x 3 s.t. 3x 1＋x 2＋s 1=40 2x 2＋x 3＋s 2=50 2x 1＋x 2-x 3＋s 3＝20 x 1，x 2，x 3，s 1，s 2，s 3 ≥0（3）初始解的基为（s 1，s 2，s 3）T ，初始解为（0，0，0，40，50，20）T，对应的⽬标函数值为0。

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法

X2
Q4 3 2 1
0
x1+2x2 =8 4x1=16
Q3
4x2=12
Q2
Q1
X1
1
2
3
4
解: 首先:将该问题化成标准形
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3 8
s.t
.
4 4
x1 x2

x4 x5
16 12
xj 0, j 1, 2 ,, 5
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量； 与基向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经常写 成XN。
基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。
(xi0 aij )Pi Pj b
(5)
i 1
由(5)式可以找到满足约束方程的另一个点X(1),其中是点X(1)的第j 个坐标值
X (1) x10 - a1j xm0 - amj 0 0
j
要使X(1)是一个基本可行解,则要求 xi0 - aij 0
§3 单纯形法（Simplex Method）
线性规划问题的最优解，可以从基可行解中找到 图解法有局限性； 枚举法计算量大；
§3.1 单纯形法的引入
例子：求解线性规划问题
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8

运筹学课件1-3单纯形法原理

运筹学课件1-3单纯形法原理
§1.3 单纯形法原理

理论方法 算法步骤 单纯形表



算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX

5管理运筹学单纯形法

5管理运筹学单纯形法

– 保持原非基变量x1 =0， – x2变成基变量时应保证 x3 , x4,, x5非负，即有
x3 =8 ≥0 x4 =12- 2x2 ≥0 x5=36 -4 x2 ≥0
x2 ≤12/2 x2 ≤36/4
12 36 12 即x2 min{, , } 6 2 4 2
管 理 运 筹 学
管 理 运 筹 学
37
二、建立初始单形表
4、完善的单形表的说明
1）Zj 行的计算
CB 列中的元素与其在 A 阵中第 j 列元素两两对应相乘后再 全部相加
2）Cj －Zj 行的计算
等于将Xj 变为非基变量时，单位Xj 引起目标函数的净增加值。
3）o. f. 的计算 CB （当前基之系数）与 b 列系数两两相乘后相加所得。
管 理 运 筹 学
36
二、＋ 2）设立检验行 ＋ 3）反映出 o.f. 当前基 x1 x2 s1 s2 s3 C行 Basic CB 50 40 0 0 0 b s1 0 3 5 1 0 0 150 s2 0 0 1 0 1 0 20 s3 0 8 5 0 0 1 300 Zj 0 0 0 0 0 0 Cj － Zj 50 40 0 0 0 o.f. 检验行
管 理 运 筹 学
49
五、课堂练习
1、模型
Max 4x1 + 6x2 + 3x3 + x4 s.t. 3/2 x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 550 4 x1 + x2 + 2x3 + x4 700 2 x1 + 3x2 + x3 + 2x4 200 x1，x2，x3，x4 0
管 理 运 筹 学

运筹学05目标规划

运筹学05目标规划

录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
目
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
一、建立模型举例：例5.1
设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 8 元，豪华型为每件 12 元。 8 元，豪华型为每件 12 元。 公司经理提出如下优先次序的要求： 公司经理提出如下优先次序的要求： ．总利润最大（显然的） 1 1 ．总利润最大（显然的） ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） 2 2 ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 3 3 ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 致）。 1.5 倍，因此公 致）。 由于每件豪华型的利润是普通型的 由于每件豪华型的利润是普通型的 1.5 倍，因此公 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 件。 件。
2.目标约束 绝对目标约束（或硬约束）是指必须要严格满 足的等式或不等式约束，如线性规划问题的所有 约束条件，具有最高优先级。 目标约束（软约束）是把约束右端项看作是目 标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 在约束中加入正、负偏差变量。 可根据问题的需要将绝对目标约束变换为目标 约束，目标约束的形式为：f ( x) d d b

运筹学答案_第_5_章__单纯形法

运筹学答案_第_5_章__单纯形法
b、有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量 取零。
c、（4，6，0，0，－2） d、（0，10，－2，0，－1） e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
3、解：a、
迭代次数 基变量
cB x1
x2 x3
x4 x5
x6
b
6 30 25 0 0 0
s1
0 3 1 0 1 0 0 40
第 5 章 单纯形法
1、解：表中 a、c、e、f 是可行解，a、b、f 是基本解，a、f 是基本可行解。
2、解：a、该线性规划的标准型为： max 5 x1＋9 x2 s．t．0.5 x1＋x2＋s1＝8 x1＋x2－s2＝10 0.25 x1＋0.5 x2－s3＝6 x1，x2，s1，s2，s3 ≥0.
6、解：a、有无界解 b、最优解为（0.714，2.143，0），最优值为－2.144。
7、解：a、无可行解 b、最优解为（4，4），最优值为 28。 c、有无界解 d、最优解为（4，0，0），最优值为 8。
பைடு நூலகம்
0
s2
0 0 2 1 0 1 0 50
s3
0 2 [1] －1 0 0 1 20
xj cj－xj
0
0
00
0
6
30*
25
0
0
00 0
b、线性规划模型为： max 6 x1＋30 x2＋25 x3 s．t．3 x1＋x2＋s1 = 40 2 x1＋x3＋s2= 50 2 x1＋x2－x3＋s3＝20 x1，x2，x3，s1，s2，s3 ≥0
c、初始 解的基为（s1， s2， s3），初始解为（ 0，0，0，40，50，20）， 对应的目标函数值为 0。

管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿

管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1

单纯形法的几种特殊情况

单纯形法的几种特殊情况

管理运筹学
17
50 150 250
12500
50/1 150/2 —
50 50 250
15000
— 50/1 250/1
8
§4 几种特殊情况
这样我们求得了最优解为x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,此线性规划的 最优值为15000.这个最优解是否是惟一的呢 由于在第2次迭代的检验数中
除了基变量的检验数 1,2,4等于零外,非基变量s3的检验数也等于零,
首先我们把松弛变量剩余变量、人工变量都用xj表示,一 般松弛变量剩余变量的下标号列在决策变量之后,人工变量的 下标号列在松弛变量剩余变量之后,在计算中,遵守以下两个 规则： 1在所有检验数大于零的非基变量中,选一个下标最小的作为 入基变量. 2在存在两个和两个以上最小比值时,选一个下标最小的基变 量为出基变量.
2x1 x2 s2 400, x2 s3 250, x1, x2 , s1, s2 , s3 0.
填入单纯形表计算得：
管理运筹学
7
迭 基变 CB x1 代量
次 数
50
s1 s2 0 s3
01 02 00
zj
0
cj-zj
50
s1 s2 1 x2
01 02 50 0
zj
0
cj-zj
50
x1 2 s2
管理运筹学
12
§4 几种特殊情况
迭基
CB x1
x2
x3
s1
s2
s3
b
比值
代变
次 数
量
2
0
3/2
0
0
0
x1 3 x3
s3
21 3/2 0 00
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。



A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的
基本概念。
基： 已知A是约束条件的m×n系数矩阵，其秩为m。若B是A中m×m阶非
管理运筹学
10
§1 单纯形法的基本思路和原理
2. 在确定了x2为入基变量之后，我们要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确
定一个出基变量，也就是确定哪一个基变量变成非基变量呢？ 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，因为非基变量x1=s3=0，
x2 +s1=300， x2+s2=400， x2=250， 求出基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。 条件，是基本可行解，故s3可以确定为出基变量。 能否在求出基本解以前来确定出基变量呢？ 以下就来看在找出了初始基本可行解和确定了入基变量之后，怎么样的 基变量可以确定为出基变量呢？或者说出基变量要具有什么条件呢？
zz0 jxj
jJ
由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的
都小
j
于等于零时，可知 j x j 是一个小于等于零的数，要使z
j J
的值最大，显然 j x j 只有为零。我们把这些xj取为非基 j J
变量(即令这些xj的值为零)，所求得的基本可行解就使目标 函数值最大为z0。
管理运筹学
11
§1 单纯形法的基本思路和原理
我们把确定出基变量的方法概括如下：把已确定的入基变量在各约束方 程中的正的系数除以其所在约束方程中的常数项的值，把其中最小比值所 在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵变 换中可以确保新得到的bj值都大于等于零。
奇异子矩阵（即可逆矩阵），：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。
非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量。
基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。
管理运筹学
3
§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
管理运筹学
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量
表示的目标函数为如下形式
第五章 单 纯 形 法
• §1 单纯形法的基本思路和原理 • §2 单纯形法的表格形式 • §3 求目标函数值最小的线性规划的问题的
单纯形表解法 • §4 几种特殊情况
管理运筹学
1
§1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优 解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此 点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的 解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
通过第二章例1的求解来介绍单纯形法:
目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1≤300，
2x1+x2+s2≤400， x2+s3≤250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
管理运筹学
2
§1 单纯形法的基本思路和原理
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
从最优解判别定理知道，当某个σ j＞0时，非基变量xj变为基变量不取 零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的σ j＞0，则为了使目标函数 增加得更大些，一般选其中的σ j最大者的非基变量为入基变量，在本例题 中σ 2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。
管理运筹学
5
管理运筹学
管理运筹学
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一
的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到了
1 1 0 为A的一个基，令这个基的


B3 1 0 0
1 0 1
非基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
管理运筹学
4
§1 单纯形法的基本思路和原理
**对于求目标函数最小值的情况，只需把 j ≤0改为 ≥j0
管理运筹学
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
x2+s1≤300， x2=400， x2+s3=250.
x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150 由于在这个基本解中s1=－100，s3=－150，不满足该线性规划s1≥0，
s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个基本解可以是 可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别在于其所有变量的解 是否满足非负的条件。我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行 解，并把这样的基叫做可行基。
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系
数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变
量xi的检验数记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知