高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件练习

第一章 集合与常用逻辑用 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件练习基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·山东卷)设m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”. 答案 D2.“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根为x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件. 答案 A3.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件. 答案 B4.(2017·安徽江南十校联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0.又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x＋a ＝0.因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件. 答案 C5.下列结论错误的是( )A.命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B.“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C.命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题.答案 C6.设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <3⇒1<x <2. 所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件. 答案 A7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件.故a ≥1. 答案 A8.(2017·台州模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立. 答案 B 二、填空题9.(2017·杭州调研)已知λ是实数，a 是向量，若λa ＝0，则λ＝________或a ＝________(使命题为真命题). 解析 ∵λa ＝0，∴λ＝0或a ＝0. 答案 0 010.(2017·丽水月考)命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________.解析 “若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆命题为“若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝0”；否命题为“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1”；逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.答案 若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝0 若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1 若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0 11.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件. 解析 cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0， 即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 答案 充分不必要12.已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}. ∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0，3) 13.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误.②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确. 答案 ②③能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若x >1且y >1，则x ＋y >2.所以p ⇒q ；反之x ＋y >2 ⇒x >1且y ＝1，例如x ＝3，y ＝0，所以qp .因此p 是q 的充分不必要条件. 答案 A15.(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x＋m －1＝0，得m ＝1－2x，则m <1. 由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m <1.因此“函数y ＝2x＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件. 答案 B16.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________.解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案 (2，＋∞)17.(2017·绍兴调研)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，则函数g (x )＝________(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形). 解析 ①∵点P (x 0，y 0)关于x 轴对称的点P ′(x 0，－y 0)，∴f (x )＝3＋log 2x 关于x 轴对称的函数解析式为g (x )＝－3－log 2x ；②点M (x 0，y 0)关于y 轴对称的点是M ′(－x 0，y 0)，故f (x )＝3＋log 2x 关于y 轴对称的函数解析式为g (x )＝3＋log 2(－x ).其他情形，类似可得.答案 (不唯一)如①x 轴 －3－log 2x ；②y 轴 3＋log 2(－x )；③原点 －3－log 2(－x )；④直线y ＝x 2x －3等18.已知a ＋b ≠0，证明a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1. 证明 先证充分性：若a ＋b ＝1，则b＝1－a，所以a2＋b2－a－b＋2ab＝a2＋(1－a)2－a－(1－a)＋2a(1－a)＝a2＋1－2a＋a2－a－1＋a＋2a－2a2＝0.即a2＋b2－a－b＋2ab＝0，充分性得证，再证必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，即(a＋b)2－(a＋b)＝0，(a＋b－1)(a＋b)＝0，因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，必要性得证，综上可得，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.。