2009年希望杯数学竞赛获奖通报(初一2试)_2

22
67
叶 欣
统计与数学学院
数学0801
舒 筱
章乃器学院
混合0804
胡晓丹
金融学院
金融082
32
109
黄磊磊
信息与电子工程学院
网络0801
吴佳佳
章乃器学院
混合0802
葛富婷
金融学院
金融0804
34
119
何 畅
金融学院
金融0803
冯倩倩
金融学院
金融0803
郑为斌
金融学院
金融0803
40
139
王艳艳
工商管理学院
工商0701
丁 灵
金融学院
金融0705
李嘉杰
工商管理学院
工商0701
41
140
金育婵
统计与数学学院
计算0702
蒋鑫莲
统计与数学学院
数学0701
孙晴霏
金融学院
金融0703
43
150
金雯轩
财务与会计学院
财务0801
赵桂娜
金融学院
金融0801
周吉文
统计与数学学院
统计0701
54
193
徐莹蓉
金融学院
金融0704
序号
参赛编号
姓名
学 院
班 级
4
43
宋泽金
金融学院
金融0804
张晓筱
计算机与信息工程学院
软件0701
俞 莹
金融学院
金融0804
8
96
高萍萍
统计与数学学院
数学0701
袁 羽
金融学院
金融0702
12

韩朝阳
市二等
三都中学
舒乙飞
张锡伦
市二等
三都中学
王余超
韩朝阳
县一等
三都中学
黄慧敏
韩朝阳
县二等
三都中学
张水生
韩建兵
县二等
三都中学
王嘉豪
韩朝阳
县二等
三都中学
黄水文
韩朝阳
县二等
三都中学
彭柳瑶
韩朝阳
县二等
三都中学
程 颖
张锡伦
县二等
三中
徐思梦
市一等
三中
张力群
张理菊
市二等
三中
杨 吉
市二等
三中
李 赞
王老师
县一等
三中
樊刚强
市二等
大椿中学
李登辉
樊刚强
县二等
大椿中学
徐 鹏
樊刚强
县二等
大椿中学
谭私敏
黄智勇
县二等
大椿中学
丁清清
李朝晖
县二等
大椿中学
李华元
黄智勇
县二等
大椿中学
李天豪
樊刚强
县二等
大椿中学
李阿文
李朝晖
县二等
大椿中学
胡江尧
黄智勇
县二等
大椿中学
卢旺宝
黄智勇
县二等
二中
胡玥
赵端荣
全国三等
二中
胡伊文
王炬民
全国三等
二中
钟 辽
陈 梁
卢 钢
县二等
一中
余 诚
付建平
县二等
一中
徐文博
车 璐
县二等
朱法根
县二等
何市中学

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17.希望杯第九届（1998 年）初中一年级第一试试题 ........................................... 113-129 18.希望杯第九届（1998 年）初中一年级第二试试题 ...........................................122-138 19.希望杯第十届（1999 年）初中一年级第二试试题 ...........................................129-147 20.希望杯第十届（1999 年）初中一年级第一试试题 ...........................................148-151 21.希望杯第十一届（2000 年）初中一年级第一试试题 .......................................142-161 22.希望杯第十一届（2000 年）初中一年级第二试试题 .......................................149-169 23.希望杯第十二届（2001 年）初中一年级第一试试题 .......................................153-174 24.希望杯第十二届（2001 年）初中一年级第二试试题 .......................................157-178 25.希望杯第十三届（2002 年）初中一年级第一试试题 .......................................163-184 26.希望杯第十三届（2001 年）初中一年级第二试试题 .......................................167-189 27.希望杯第十四届（2003 年）初中一年级第一试试题 .......................................174-196 28.希望杯第十四届（2003 年）初中一年级第二试试题 .......................................178-200 29.希望杯第十五届（2004 年）初中一年级第一试试题 .............................................. 182 30.希望杯第十五届（2004 年）初中一年级第二试试题 .............................................. 183 31.希望杯第十六届（2005 年）初中一年级第一试试题 .......................................213-218 32.希望杯第十六届（2005 年）初中一年级第二试试题 .............................................. 183 33.希望杯第十七届（2006 年）初中一年级第一试试题 .......................................228-233 34.希望杯第十七届（2006 年）初中一年级第二试试题 .......................................234-238 35.希望杯第十八届（2007 年）初中一年级第一试试题 .......................................242-246 26.希望杯第十八届（2007 年）初中一年级第二试试题 .......................................248-251 37.希望杯第十九届（2008 年）初中一年级第一试试题 .......................................252-256 38.希望杯第十九届（2008 年）初中一年级第二试试题 .......................................257-262 39.希望杯第二十届（2009 年）初中一年级第一试试题 .......................................263-266 20.希望杯第二十届（2009 年）初中一年级第二试试题 .......................................267-271 21.希望杯第二十一届（2010 年）初中一年级第一试试题 ...................................274-276 22.希望杯第二十二届（2011 年）初中一年级第二试试题 ...................................270-273 23.希望杯第二十三届（2012 年）初中一年级第二试试题 ...................................270-273 23.希望杯第二十四届（2013 年）初中一年级第二试试题 ...................................274-281 23.希望杯第二十四届（2013 年）初中一年级第二试试题 ...................................

2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题1、=（）A．B．C．D．2、每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，…，8．卖家说：“1，2，3，4，…，8号饰物依次要收1，2，4，8，…，128元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了（）A．5元B．-5元C．6元D．-6元3、如图，直线MN∥PQ．点O在PQ上．射线OA⊥OB，分别交MN于点C和点D．∠BOQ=30°．若将射线OB绕点O逆时针旋转30°，则图中60°的角共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个4、如果有理数a，b使得，那么（）A．a+b是正数B．a-b是负数C．a-b2是正数D．a-b2是负数5、As in figure 2．In the circular ring of which center is point O．if AO⊥BO，and the area of the shadowy part is 25cm2，then the area of the circuiar ring equals to（）（π≈3.14）A．147cm2B．157cm2C．167cm2D．177cm26、已知多项式p1（x）=2x2-5x+1和p2（x）=3x-4，则p1（x）×p2（x）的最简结果为（）A．6x3-23x2+23x-4B．6x3+23x2-23x-4 C．6x3-23x2-23x+4D．6x3+23x2+23x+47、若三角形的三边长a，b，c满足a＜b＜c，且a2+bc=t12，b2+ca=t22，c2+ab=t32，则t12、t22、t32中（）A．t12最大B．t22最大C．t32最大D．t32最小8、如图，边长20m的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M、N、P、Q处各有一根铁桩，QP=PN=MN=4m，用长20m的绳子将一头牛拴在一根铁桩上，若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（）A．Q桩B．P桩C．N桩D．M桩9、电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（）A．20张B．15张C．10张D．5张10、将图中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的（）A．B．C．D．二、填空题11、据测算，11瓦节能灯的照明效果相当于80瓦的白炽灯．某教室原来装有100瓦的白炽灯一只．为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装__________瓦（取整数）的节能灯一只．12、将五个有理数，，，，每两个的乘积由小到大排列，则最小的是__________；最大的是__________．13、十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：19（10）=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（2），即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是__________．14、如图，点P在正方形ABCD外，PB=10，△APB的面积为60，△BPC的面积为30，则正方形ABCD的面积为__________．15、已知x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么pq的值等于__________．16、若abc≠0．则的最大值是__________；最小值是__________．17、已知F（x）表示关于x的运算规律：F（x）=x3，（例如F（2）=23=8，F（3）=33=27，…）．又规定△F（x）=F（x+1）-F（x），则△F（a+b）=__________．18、一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有__________人．19、If the product of a simple binomial x+mand a quadratic （x-1）2 is a cubic multinomial x3+ax+b，then a=__________，b=__________，m=__________．若（x+m）（x-1）2=x3+ax+b，则a=__________，b=__________，m=__________．20、方程x+…+=2009的解是x=__________．三、解答题21、如果两个整数x，y的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有几对？求x与y的和的最小值，及x与y的积的最大值．22、某林场安排了7天的植树工作．从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若这7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵树？植树最少的那天，有多少人在植树？23、5个有理数两两的乘积是如下的10个数：-12，0.168，0.2，80，-12.6，-15，-6000，0.21，84，100．请确定这5个有理数，并简述理由．2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可．试题解析：，=，=，=．故选A．2、答案：B试题分析：求出购买全部饰物所花的钱数，用每只玩具熊的售价减去购买全部饰物所花的钱数即可求解．试题解析：1+2+4+8+16+32+64+128=255元．250-255=-5元．则这只熊比原售价便宜了-5元．故选B．3、答案：D试题分析：可先作出简单的旋转后的图形，进而结合平行线的性质以及对顶角相等即可得出结论．试题解析：旋转后的图形如图，∵OA⊥OB，∠BOQ=30°，∴∠AOP=60°，∵MN∥PQ，∴∠OCD=∠AOP=60°，即∠ACM=∠OCD=60°，∵OA⊥OB，且OB逆时针旋转30°，∴∠AOB=60°，∠BOQ=60°，在△COD中，则∠ODC=60°，即∠BDN=60°．∴题中等于60°的角共有7个．故选D．4、答案：D试题分析：根据分式的值为0的条件列出不等式组，再根据a、b的取值范围进行解答即可．试题解析：∵，∴，解得，A、当b＜-1时，a+b是负数，故A选项错误；B、因为b＜-1，所以a-b是正数，故B选项错误；C、因为b＜-1，a=1，所以b2＞1，a-b2是负数，故C选项错误；D、因为b＜-1，所以b2，＞1，a-b2是负数，故D选项正确．故选D．5、答案：B试题分析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，可得R2-r2=50，又知圆环的面积为两个圆的面积之差，据此即可解得答案．试题解析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，∵AO⊥BO，∴阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，∴R2-r2=50，∵圆环的面积为两个圆的面积之差，∴圆环的面积=π（R2-r2）=50π=157cm2．故选B．6、答案：A试题分析：先根据题意，得出p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），再根据多项式的乘法法则计算即可．试题解析：∵p1（x）=2x2-5x+1，p2（x）=3x-4，∴p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），=6x3-8x2-15x2+20x+3x-4，=6x3-23x2+23x-4．7、答案：C试题分析：作差法得出t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b），t32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b），t32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a），根据已知和三角形三边关系即可得出t12、t22、t32中最大的数．试题解析：∵t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b）＞0，t 32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b）＞0，t 32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a）＞0，∴t32＞t12＞t22．故选C．8、答案：C试题分析：可看出，绳子拴在M、P处时，牛的活动区域的面积相同，则分别计算绳子拴在N、P、Q处时的活动面积即可．试题解析：绳子拴在N处时的活动面积：π×202=300πm2；绳子拴在P处时的活动面积：π×202+π×42+π×162=268πm2；绳子拴在Q处时的活动面积：π×202+π×82+π×122=252πm2；∵300＞268＞252，∴应拴在N柱上．故选C．9、答案：C试题分析：设三种票分别买了x、y、z张．则根据题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，然后解z-x的值即可．试题解析：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得由②，得y=30-x-z，③将③代入②，得z-x=10，所以，20的比10块得多10张．10、答案：D试题分析：正方体的侧面展开图共11种，本题要掌握正方体侧面展开图中相邻的面和相对的面．试题解析：A、希应在左上角，不符合题意；B、汉字的位置不对，不符合题意；C、不是正方体的侧面展开图，不符合题意；D、符合题意．故选D．二、填空题11、答案：试题分析：根据题意，设改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．然后根据比例的性质列出关于x的一元一次方程，解方程即可．试题解析：设为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．则根据题意，得11：80=x：100，解得，x=，∵x是整数，∴x=≈14．故答案是：14．12、答案：试题分析：将乘积由小到大排列，由于有负数，故最小一定是负数，最大一定是正数，找出相乘得负数的与相乘得正数的比较即可．试题解析：∵＜＜＜＜，∴数与相乘的积最小，为，∴×=，（）×（）=，＞．故答案为：，．13、答案：试题分析：仿照例子，首先把413写成2的方幂的降幂的多项式的形式，然后确定二进制数．试题解析：413=256+128+16+8+4+1，=1×28+1×27+0×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20，=110011101．（2）故答案为：110011101．14、答案：试题分析：由两个三角形的面积可知：P到AB的距离是P到BC的距离的2倍．设P到BC的距离为x，利用勾股定理，求出BC，则可求出正方形的面积．试题解析：因为△APB的面积为60，△BPC的面积为30，P到AB的距离是P到BC的距离的2倍设P到BC的距离为x，则x2+（2x）2=102x=2，所以•BC•2=30，BC=6故BC2=180，即正方形ABCD的面积为180．故答案为180．15、答案：试题分析：先设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，把左边展开，并合并同类项，然后利用等式的对应相等性，可得到关于m、n、p、q的方程组，解即可求m、n、p、q，从而可求p+q的值．试题解析：设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，即有x4+（2+m）x3+（5+2m+n）x2+（5m+2n）x+5n=x4+px2+5q，∴，解得，∴pq=30．故答案为：30．16、答案：试题分析：由题意可知，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式的最小值为-4．试题解析：由题意知abc≠0，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式有最小值为-4，故答案为4，-4．17、答案：试题分析：先利用△F（x）=F（x+1）-F（x），对△F（a+b）展开，得△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），再利用F（x）=x3展开式子的右边，然后结合立方公式计算即可．试题解析：∵△F（x）=F（x+1）-F（x），∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），又∵F（x）=x3，∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），=（a+b+1）3-（a+b）3，=（a+b）3+3（a+b）2×1+3（a+b）×12+13-（a+b）3，=3（a+b）2+3（a+b）+1．故答案是：3（a+b）2+3（a+b）+1．18、答案：试题分析：前6站上车100人，包含前6站下车人数和第6站停车后仍然在车上人数，前7站下车80人包含6站下车人数和第6站没下车的人但在第7站下车的人数，由此列出等式，进一步解答即可．试题解析：前7站下车的人数，一定是在第一站到第六站上车的人数，前6站上车100人=前6站下车人数+第6站停车后仍然在车上人数①，前7站下车80人=前6站下车人数+第6站没下车的人但在第7站下车的人数②，①②两者相减为：第6站停车后仍然在车上人数-第6站没下车的人但在第7站下车=20人，这时候这些人都会在终点下车了．故答案为：20．19、答案：试题分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出a，b，m的值．试题解析：（x+m）（x-1）2=（x+m）（x2-2x+1）=x3-（2-m）x2+（1-2m）x+m=x3+ax+b，可得2-m=0，1-2m=a，m=b，解得：a=-3，b=2，m=2．故答案为：-3，2，2．20、答案：试题分析：本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答．试题解析：原方程可化为：=2009；即；提取公因式，得；化简得：2x（1-）=2009；解得：x=1005．三、解答题21、答案：试题分析：由题意得出关于x、y的不定方程，再根据x，y为整数可得出x+y，x-y，xy都是整数，再由它们与的和是整数100，也是整数，进行讨论即可．试题解析：由题意得，（y≠0），即，亦即，∵x，y为整数，∴x+y，x-y，xy都是整数，又∵它们与的和是整数100，∴也是整数，（1）=25，（y+1）2=22时，y+1=±2，则或；（2）=4，（y+1）2=52时，y+1=±5，则或；（3）=1，（y+1）2=102时，y+1=±10，则或；（4）=100，（y+1）2=12时，y+1=±1，则（舍去）或；由上可知，满足题意的整数x，y共7对；其中x+y的最小值为-200+（-2）=-202；xy的最大值为：（-200）×（-2）=400．故答案为：7对；-202；400．22、答案：试题分析：假设出第4天的植树棵数与植树人数，从而表示出其他6天的植树棵树与人数，从而得出有关总数9947的方程，得出mn=1521，进而分析得出m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521，其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a），可以得出植树最多与最少是哪一天．试题解析：设第4天有m人植树，每人植树n棵，则第4天共植树mn棵．于是第3天有（m-5）人植树，每人植树（n+5）棵，则第3天共植树（m-5）（n+5）棵．同理，第2天共植树（m-10）（n+10）棵；第1天共植树（m-15）（n+15）棵；第5天共植树（m+5）（n-5）棵；第6天共植树（m+10）（n-10）棵；第7天共植树（m+15）（n-15）棵．由7天共植树9947棵，知：（m-15）（n+15）+（m-10）（n+10）+（m-5）（n+5）+mn+（m+5）（n-5）+（m+10）（n-10）+（m+15）（n-15）=9947．化简得7mn-700=9947，即mn=1521因为1521=32×132，又每天都有人植树，所以m＞15，n＞15．故m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521．其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a）=392-a2=1521-a2＜1521，①（其中a=5或10或15）．所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵．由①知，当a=15时，392-a2的值最小．又当a=15时，植树人数为39+15=54或39-15=24，所以植树最少的那天有54人或24人植树．23、答案：试题分析：首先将将5个有理数两两的乘积由小到大排列，由5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．再分别从若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，可得x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x 5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），去分析求解即可求得答案．试题解析：将5个有理数两两的乘积由小到大排列：-6000＜-15＜-12.6＜-12＜0.168＜0.2＜0.21＜80＜84＜100．∵5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，∴这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．（1）若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，则x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x1x4=-15，x4x5=100，三式相乘，得（x1x4x5）2=9×106，又∵x1＜0，x4＞0，x5＞0，∴x1x4x5=-3000，则x1=-30，x4=0.5，x5=200．再由x1=-30，x1x2=-12，x1x3=-12.6，得x2=0.4，x3=0.42．经检验x1=-30，x2=0.4，x3=0.42，x4=0.5，x5=200满足题意．（2）若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x2x5=-15，x1x2=100，三式相乘，得（x1x2x5）2=9×106，又∵x1＜0，x2＜0，x5＞0，解得x1x2x5=3000，∴x1=-200，x2=-0.5，x5=30，再由x5=30，x3x5=-12.6，x4x5=-12，得x3=-0.42，x4=-0.4．经检验，x1=-200，x2=-0.5，x3=-0.42，x4=-0.4，x5=30满足题意．综上可得：这5个有理数分别是-30，0.4，0.42，0.5，200或-200，-0.5，-0.42，-0.4，30．。