几个精彩的数论问题
从同事那里借来了一本单墫教授主编的《初等数论》奥数书，看到很多精彩的问题，在这里做个笔记，与大家一同分享。不少问题和答案都有过重新叙述，个别问题有所改动。
问题：找出所有使得 2n - 1 能被 7 整除的正整数 n 。
答案：由于 2n的二进制表达为1000…00 （n 个 0），因此 2n - 1 的二进制表达为111…11 （n 个 1）。而 7 的二进制表达是 111 ，要想让它整除 n 个1 ，显然 n 必须是也只能是 3 的倍数。
问题：是否存在 100 个数，使得它们的和等于它们的最小公倍数？
答案：是的。考虑3, 2 × 3, 2 × 32, 2 × 33, …, 2 × 398, 399，它们的和为：
3 + 2 × 3 + 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399
= 3 × (1 + 2) + 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399
= 32+ 2 × 32+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399
= 32× (1 + 2) + 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399
= 33+ 2 × 33+ … + 2 × 398 + 399
= ... ...
= 399 + 399
= 2 × 399
而这 100 个数的最小公倍数正是 2 × 399。
问题：能否找出 100 个不同的正整数，使得其中任意 2 ≤ k ≤ 100 个数的算术平均数都恰为整数。
答案：能。这个问题非常唬人，它的答案异常简单： 1 · 100!, 2 · 100!, 3 · 100!, …, 100 · 100! 显然满足要求。
问题：求证，存在任意长的连续正整数，使得其中任何一个数都不是质数的幂（当然更不能是质数）。
答案。有一个经典的问题是，求证存在任意长的连续正整数，它里面不包含任何质数。换句话说，相邻质数的间隔可以达到任意大。构造的方法堪称经典。显然n! + 2 是 2 的倍数（因为我们可以提出一个 2 来）， n! + 3 是 3 的倍数，等等。因此，n! + 2, n! + 3, n! + 4, …, n! + n 就是 n - 1 个连续的正整数，其中任意一个数都不是质数。由于 n 可以任意大，因此这个数列可以任意长。
现在，我们要证明的是一个更强的结论。我们可以把刚才的构造方案简单地修改一下。只需要考虑 (n!)2 + 2, (n!)2 + 3, (n!)2+ 4, …, (n!)2 + n ，则其中每一个数都不是质数的幂。比如说 (n!)2 + 5 ，显然它是 5 的倍数，因为我们可以提出一个 5 来；然而提出一个 5 之后将会得到
5 · (12· 22· 32· 42· 5 · 62· … · n2 + 1) ，括号里的数显然不再是 5 的倍数，它除以 5 余 1 。
利用中国剩余定理，我们还能给出另一种非常巧妙的构造方案，它能找出 n 个不含质数幂的连续正整数数列，其中 n 可以任意大。我们只需要保证，每个数
都含有至少两个不同的质因数即可。取 2n 个不同的质数 p
1, p
2
, …, p
n
, q
1
,
q 2, …, q
n
，显然 p
1
· q
1
, p
2
· q
2
, …, p
n
· q
n
是两两互质的 n 个数。由
中国剩余定理，我们能找到一个正整数 M ，使得 M 除以 p
1· q
1
余 1 ，并且
M 除以 p
2· q
2
余 2 ，并且 M 除以 p
3
· q
3
余 3 ，一直到 M 除以 p
n
· q
n
余 n 。于是， M - 1, M - 2, M - 3, …, M - n 就是 n 个连续的正整数，其中每一个都含有两个不同的质因数。
问题：求证，对于任意大的 n ，我们都能够找出 n 个两两互质的数，使得任意2 ≤ k ≤ n 个数之和都不是质数
答案：如果只要求任意多个数之和都不是质数，这很好办：让所有数都是某个数的倍数即可。但是，如果这些数必须两两互质，同样的要求还能办到吗？可以的。考虑n! + 1, 2 · (n!) + 1, 3 · (n!) + 1, …, n · (n!) + 1 这 n 个数，显然任意 k 个数之和都是 k 的倍数，因而不是质数。下面说明这 n 个数两两互质。假设i · (n!) + 1 和j · (n!) + 1 有公共的质因数 p ，其中 1 ≤ i < j ≤ n ，那么它们的差 (j - i) · (n!) 也能被 p 整除，说明 p 只能是不超过 n 的质数。这与 p 能整除i · (n!) + 1 矛盾。
问题：证明，对于任意正整数 n ，方程 x2 + y2 = z n都有无穷多组正整数解。
答案：考虑 x + yi = (a + bi)n，其中 i 为虚数单位。对于每一个固定的 n ，只要 a 和 b 都是整数，那么展开后得到的 x 和 y 也都一定是整数。我们选取充分大的 a ，让 a + bi 的辐角非常小非常小（小于π/2 的 n 分之一），从而让 (a + bi)n不会与坐标轴重合，因而保证 x 和 y 都是非零整数。等式两边同时取模，便有 x2 + y2 = (a2 + b2)n
问题：我们把平面直角坐标系上所有横纵坐标互质的整格点（也就是和原点的连线不经过其他点的整格点）叫做“既约格点”。证明，对于任意大的正整数 n ，总存在一个整格点，它到任意既约格点的距离都大于 n （换句话说，既约格点集的“空洞”可以达到任意大）。
答案：列一张(2n + 1) × (2n + 1) 的表，每个格子里面填写一个不同的质数（由于质数无穷多，这是总可以办到的）。现在，找出这样的一个 a ，它除以第 i 行的质数总是余 i （其中 - n ≤ i ≤ n ）。找出这样的一个 b ，它除以第 j 列的质数总是余 j （其中 -n ≤ j ≤ n）。中国剩余定理保证了这样的 a 和 b 是存在的。下面说明，点 (a, b) 满足要求。
假如 (a, b) 到 (x, y) 的距离不超过 n ，则 (a - x)2 + (b - y)2≤ n2。因而， a - x 和 b - y 都必须在 - n 到 n 的范围内。把 a - x 的值记作 i ，把 b - y 的值记作 j ，那么 x 就等于 a - i ， y 就等于 b - j ，由 a 、 b 的构造可知， x 和 y 都是表格中第 i 行第 j 列的那个质数的倍数，故 (x, y) 不是既约格点。
问题：找出所有这样的正整数序列 (a
1, a
2
, …, a
n
) ，它们的和为 2n ，但我
们无法把它们分成和相等的两组。
答案：考虑 a
1, a
2
, a
1
+ a
2
, a
1
+ a
2
+ a
3
, …, a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
，除了
a 1和 a
2
以外，这些数除以 n 的余数不允许相等，否则它们的差就是 n 的倍数，
我们就找到了和为 n 的子集。然而，上面一共有 n + 1 个数，它们除以 n 的
余数必然有相等的，因而一定是 a
1和 a
2
除以 n 的余数相等。类似地， a
2
和
a 3除以 n 的余数也相等， a
3
和 a
4
除以 n 的余数也相等，因而事实上从 a
1
到
a
n
所有的数除以 n 的余数都是相等的。
