整数整除的概念和性质

整除法则的原理及应用1. 原理介绍整除法则是数学中的一个重要概念，用于判断一个数能否整除另一个数，或者得到余数。

以下是整除法则的原理：1.余数概念：对于两个整数a和b，如果存在一个整数q使得a=q*b+r，其中r是小于b的非负整数，则称b能够整除a，a被b整除，q是商，r是余数。

2.整除符号：如果b能够整除a，则可以表示为b|a。

3.整除性质：–如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c；–如果a能够整除b，且b能够整除a，则a等于b或者a等于-b；–如果a能够整除b，且a能够整除c，则a能够整除b+c和b-c；–如果a能够整除b和c，则a能够整除b+c和b-c。

2. 应用案例整除法则在数学和实际生活中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用案例：2.1 判断能否整除整除法则可以用于判断一个数能否整除另一个数。

通过计算余数，我们可以判断两个数之间是否存在整除关系。

例如，我们可以使用整除法则来判断一个数是否是偶数或者奇数，因为偶数能够被2整除，而奇数不能。

2.2 素数判断素数是只能被1和自身整除的正整数。

整除法则可以用于判断一个数是否是素数。

如果一个数只能被1和自身整除，那么它一定是素数。

通过这个原理，我们可以编写一个程序来判断一个数是否是素数。

2.3 最大公约数和最小公倍数计算整除法则可以用于计算两个数的最大公约数和最小公倍数。

最大公约数是能够整除两个数的最大正整数，最小公倍数是能够被两个数整除的最小正整数。

通过应用整除法则，我们可以快速计算出最大公约数和最小公倍数。

2.4 分解质因数整除法则是分解质因数的基础原理之一。

分解质因数是将一个数表示为几个质数的乘积的过程。

通过多次使用整除法则，我们可以将一个数逐步分解为一组质因数的乘积。

2.5 约分和化简分数在分数运算中，整除法则可以用于约分和化简分数。

通过将分子和分母同时除以它们的最大公约数，我们可以将一个分数化简为最简形式。

这可以简化分数的计算和比较。

七年级整除知识点整除是小学数学中的一个基础概念，也是七年级数学学习中的一项重要知识点。

下面将通过几个方面来介绍七年级整除知识点。

一、整数的概念和分类整数是由零和自然数组成的数集。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零既不是正整数也不是负整数，但它是整数的一部分。

二、整除的定义对于两个正整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=bc，则称a能被b整除，b能除尽a，也可以说b是a的因数，a是b的倍数。

记作：b|a，读做“b整除a”。

三、判断整除的方法1. 用因数分解法来判断整除，即将被除数分解成若干个质因数的乘积，如果除数也能分解成一样的质因数，那么它就能整除被除数。

例如：90能否被3整除？90=2×3×3×5，3=3×1，因此3整除90。

2. 直接带入法。

如果除数b乘上某个数k等于被除数a，即a=kb，那么b就能整除a，k是除数b除以被除数a得出的商。

例如：24能否被3整除？24÷3=8，因为商8是整数，所以3整除24。

四、整除的性质1. 若a整除b，b整除c，则a整除c。

（除法传递律）2. 若a整除b，b整除a，则a=b或a=-b。

（除法反演、约数定义）五、最大公约数和最小公倍数1. 最大公约数两个数a和b的公约数是同时能够整除它们的数，最大公约数是指所有公约数中最大的那个数。

例如：20和30的公约数有1、2、5、10，其中最大的是10，因此20和30的最大公约数是10。

2. 最小公倍数两个数a和b的公倍数是它们的倍数，最小公倍数是指所有公倍数中最小的那个数。

例如：6和8的公倍数有24、48、72，其中最小的是24，因此6和8的最小公倍数是24。

在日常生活中，我们可以使用最大公约数和最小公倍数的知识来解决一些实际问题，例如求两个数的比例、化简分数等。

六、练习题1. 36能否被2整除？4能否被2整除？2. 求24和32的最大公约数和最小公倍数。

整除的概念函数整除是指一个数能被另一个数整除，即在除法运算中，被除数能够被除数整除并得到一个整数的运算关系。

这个概念在数学中具有重要的意义，应用广泛。

首先，我们来介绍一下整除的定义。

对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b ×c，那么我们就说a能够被b整除，也可以说b能够整除a。

在这个定义中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。

整除可以看作是倍数关系的一种特殊形式，即a是b的倍数。

整除运算具有以下几个重要的性质：1. 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，那么a一定能够被c整除。

这是因为根据整除的定义，存在整数m和n使得a = b ×m，b = c ×n，所以a = c ×(m ×n)，即a能够被c整除。

2. 相等关系：自然数中，除以自身的结果总是1。

即对于任何自然数n，n整除n的结果是1。

3. 0与任何整数的整除关系：对于任何整数n，0能够整除n，即0 ×n = 0。

这是因为任何数乘以0都等于0。

4. 整除与除法的关系：如果a能够被b整除，那么a除以b的结果一定是整数。

这是因为存在整数c使得a = b ×c，所以a÷b = c，是一个整数。

5. 整除与取模运算的关系：对于任意正整数a和正整数b，a除以b的余数等于a减去a能够被b整除的最大整数倍数后的剩余部分。

这可以用取模运算的形式表示为a mod b = a - b ×(a÷b)。

如果a能够被b整除，那么a mod b = 0。

整除除了有这些基本的性质外，还有其他一些重要的应用：1. 素数与除数：素数是只能被1和本身整除的正整数。

要判断一个数是不是素数，只需要将其除以小于等于其平方根的素数进行整除运算，如果能够整除，则不是素数。

这是因为如果一个数不是素数，那么它一定可以被某个素数整除。

2. 因数分解：因数分解是将一个数表示成若干个素数的乘积的过程。

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。

数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。

整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。

在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。

一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。

这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。

例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。

二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。

2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。

例如，5能够整除5。

3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。

例如，1能够整除8。

4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。

例如，任何数都能够整除0。

5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。

例如，任何数都能够被1整除。

6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。

例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。

7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。

例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。

三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。

最大公因数可以通过求解数的因数来得到。

例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。

最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。

2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。

3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。

四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。

质数和整除有着密切的关系。

1. 质数只能被1和自身整除。

2. 任何一个数都可以被质数整除。

整除定义：整除就是若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。

我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．注意a or b作除数的其一为0则不叫整除整除的性质：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a 能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；(3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．整除与除尽的区别与联系整除与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除有下列基本性质：①若a|b，a|c，则a|b±c。

（b>c）②若a|b，则对任意c（0除外），a|bc。

③对任意a，±1|a，±a|a。

④若a|b，b|a，则|a|=|b|。

对任意整数a，b，b>0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≢r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。

若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。

当d≣0时，d是a，b公因数中最大者。

若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。

累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。

又称欧几里得算法。

整除的规律：整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。

整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

数字的整除性质数字的整除性质是数学中的一个重要概念，它描述了一个数能否被另一个数整除。

在这篇文章中，我们将讨论整数除法的基本原理，并探讨一些与整除性质相关的重要概念和性质。

1. 整数除法的基本原理整数除法是指将一个整数（被除数）除以另一个整数（除数），得到的商也是整数的运算过程。

在整数除法中，如果被除数能够被除数整除，那么我们说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。

例如，当10除以2时，10能够被2整除，所以2是10的因数，10是2的倍数。

2. 整除与余数在整数除法中，有两个重要的概念，即整除和余数。

当一个整数能够被另一个整数整除时，我们称它们之间存在整除关系。

例如，12能够被3整除，所以3整除12。

而当一个整数不能被另一个整数整除时，我们说它们之间不存在整除关系。

例如，13不能被5整除，所以5不能整除13。

除了整除关系，整数除法还有一个关联的概念，即余数。

余数是指在整数除法中，被除数除以除数后所得到的剩余数。

例如，当17除以5时，17除以5的商是3余2，即17 = 3 * 5 + 2。

3. 整除性质与判定在实际问题中，我们常常需要判定一个数是否能被另一个数整除。

为了方便判定，我们可以利用一些整除性质。

以下是几个常见的整除性质：3.1. 偶数的整除性：如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定能被2整除。

3.2. 5的整除性：如果一个整数的个位数字是0或者5，那么它一定能被5整除。

3.3. 10的整除性：如果一个整数以0结尾，那么它一定能被10整除。

3.4. 除法性质：如果一个整数能被另一个整数整除，那么它也能被这个整数的约数整除。

例如，如果一个整数能被6整除，那么它一定也能被2和3整除。

4. 应用举例下面是一些应用整除性质的例子：4.1. 判断一个数能否被2整除：只需要判断该数的个位数字是否是0、2、4、6、8中的一个。

4.2. 判断一个数能否被3整除：只需要将该数的所有位上的数字相加，然后判断和是否能被3整除。

整数的整除性1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。

若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。

（2）性质1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am2）若a|b，b|a，则|a|=|b|;3）若b|a，c|b，则c|a4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c；5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。

证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1∴ 11｜(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明方法(1) 利用数的整除性特征（见第二讲）例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。

解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。

若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。

若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。

（2）利用连续整数之积的性质①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。

②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。

这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。

证明∵为连续二整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∵为整数,即原式为整数.又∵，2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3 a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整数的奇偶性下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：a·b·c·d-a=①a·b·c·d-b=②a·b·c·d-c=③a·b·c·d-d=④证明由①，a（bcd-1）=.∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a （bcd-1）必为偶数，与①式右端为奇数矛盾.所以命题得证.例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且试证n是4的倍数.证明设(i=1,2,…，n-1)，则y i不是+1就是-1，但y1+y2+…+y n=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.又y1y2y3…y n=1，即（-1）k=1，故k为偶数，∴n是4的倍数.其他方法：整数a整除整数b，即b含有因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路.例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1＜a ＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.解∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②k=＜＜＜＜∴k=1.若a≥3，此时1=-＜矛盾.已知a＞1. ∴只有a=2.当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即 1=＜∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5.说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.例9 （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数，都能被1987整除.证明∵×××（103n+），且能被1987整除，∴p能被1987整除.同样，q=（）且∴故、102（n+1）、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表示式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q能被1987整除.练习十六1．选择题（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n的因数的最小质数是（）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于（）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最小整数是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2．填空题（1）（1973年加拿大数学竞赛题）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.(2) 一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.(3) (1989年全国初中联赛题)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.3.求使为整数的最小自然数a的值.4.(1971年加拿大数学竞赛题)证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.5.(1984年韶关初二数学竞赛题)设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.(1954年苏联数学竞赛题)能否有正整数m、n满足方程m2+1954=n2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.9.(1986年上海初中数学竞赛题)100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.练习十六１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５·５５．（２）２７．３．由2000a为一整数平方可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第一项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１。