余数性质及同余定理(B级) 1

余数及同余
一、带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：
（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b 的商或完全商
（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商
二、同余的概念
两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个
整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.
同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.
由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整
数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一
类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.
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数论是研究整数的性质和结构的学科，它涉及了很多有趣而又重要的定理和原理。

在数论中，同余定理是一个非常基础而且重要的概念。

同余定理通过研究整数的除法运算与取余运算之间的关系，帮助我们理解整数的性质和规律。

下面我们将详细讨论同余定理的概念和其在数论中的应用。

首先，我们来了解一下同余的概念。

在数学中，同余是指整数之间满足某种特定关系的性质。

具体而言，如果两个整数除以同一个正整数所得的余数相等，则这两个整数被称为同余的。

用数学符号来表示，即对于整数a、b和正整数m，如果a与b除以m所得的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b (mod m)。

例如，5≡11 (mod 3)，表示5与11关于模3同余。

接下来，我们来介绍同余定理及其相关概念。

同余定理是数论中的一组基本定理，它揭示了整数之间同余关系的一些基本性质。

常见的同余定理有三类：欧拉定理、费马小定理和中国剩余定理。

欧拉定理是数论中最重要的定理之一。

它是基于欧拉函数的一个结论，表明对于任意正整数a和正整数m，如果a与m互质（即它们没有公共因子），则有a^φ(m)≡1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。

费马小定理是同余定理中的另一个重要定理。

它是费马定理的一个特殊情况，宣称对于任意正整数a和质数p，有a^p≡a (mod p)。

这个定理常常用于证明一些数论问题，尤其是在素数的应用中经常被使用。

中国剩余定理是一组定理的集合，用于解决一类同余方程组的问题。

对于给定的一组余数和模数，中国剩余定理可以找到一个与这组余数同余的最小非负整数。

这个定理在密码学和计算机科学中有着广泛的应用，被用于构建高效的算法和数据结构。

同余定理在数论中有着重要的应用。

首先，同余定理可以帮助我们简化复杂的计算。

由于同余关系的转换性，我们可以通过将整数转换为其对模m的余数，将复杂的运算转化为简单的模运算，从而简化了问题的求解过程。

此外，同余定理还能够帮助我们证明数论问题中的一些重要结论。

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数＝商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b 除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b 的差能被m 整除。

性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。

性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。

解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。

1.把题目转化为算式就是：□÷7＝□……□ 余数要比除数7 小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。

根据被除数＝商×除法＋余数，算得：0×7＋0＝0；1×7＋1＝8；2×7＋2＝16；3×7＋3＝24；4×7＋4＝32；5×7＋5＝40；6×7＋6＝48。

所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。

一个三位数被37 除余17，被36 除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。

这个凑，可不是漫无目的的凑。

而是有理有据才行。

1、找一个最小的自然数，满足除以37 余17，当然17 即可满足。

2、很显然，这个数除以36 并不余3，作适当调整。

3、为了不改变37 的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36 的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。

被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36 要余3，现在只是余17，即达到36 后再多出3，即余39 （注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22 个37. 6、结果是17+22×37 即为答案。

同余运算原理同余运算原理是数论中一个重要的概念，它描述了两个整数之间的一种等价关系。

在数学中，同余运算是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。

这个概念在密码学、计算机科学和其他领域中都有广泛的应用。

本文将从同余运算的定义、性质、应用以及相关定理等方面进行介绍。

同余运算的定义很简单，对于给定的整数a、b和正整数m，如果a和b除以m所得的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，则称a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。

其中mod是取模运算的符号，表示取余数的操作。

同余运算可以理解为将整数集合划分为若干个等价类，每个等价类中的整数与模m下的余数相等。

同余运算具有以下几个重要的性质：传递性、反射性、对称性和合并性。

传递性指如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)。

反射性指a ≡ a (mod m)，即任意整数与自身在模m下同余。

对称性指如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。

合并性指如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和a - c ≡ b - d (mod m)。

同余运算在密码学中有广泛的应用，特别是在公钥密码学中。

RSA 加密算法就是基于同余运算原理设计的一种非对称加密算法。

在该算法中，两个大质数的乘积被用作模数m，并选择一个与欧拉函数值互质的整数作为加密密钥e。

通过对明文进行加密运算得到密文，密文再通过解密运算得到原始的明文。

RSA算法的安全性基于大整数分解的困难性，即将大整数因式分解的难题。

除了密码学，同余运算还在计算机科学中起到重要的作用。

在计算机中，同余运算常常用于计算哈希函数的值。

哈希函数将任意长度的输入数据映射为固定长度的哈希值，而同余运算可以将哈希值映射到一个较小的范围内。

这在数据索引、数据校验和数据完整性验证等方面都具有重要的应用。

同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。

性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。

性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。

性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。

（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。

性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。

性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。

性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。

性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。

性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。

同余定理知识点总结同余定理通常被描述为以下形式：如果整数a和b对于模m同余，即a ≡ b (mod m)，那么a和b除以模m的余数是相等的。

同余定理可以改写为a mod m = b mod m。

同余定理有两个基本的性质。

首先，它是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

其次，同余定理具有乘法和加法性质。

首先，我们来讨论同余定理的基本性质。

同余关系是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。

自反性指的是对于任意的整数a，a ≡ a (mod m)。

这意味着任意整数都与自己对模m同余。

对称性指的是如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。

传递性指的是如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。

这三种性质构成了同余关系的一个等价关系，可以将整数划分为同余类，使得具有相同除模m余数的整数在同一个同余类中。

其次，同余定理具有乘法和加法性质。

对于任意的整数a、b、c和模m，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么有以下性质：a + c ≡ b + d (mod m)和a * c ≡ b * d (mod m)。

这两个性质表明了同余定理在乘法和加法下的保持性。

同余定理在数论和代数中有广泛的应用。

首先，同余定理常常被用来简化计算。

通过使用同余定理，我们可以将复杂的计算转化为求余数的简单计算，从而节省时间和精力。

其次，同余定理在代数方程的求解中有着广泛的应用。

例如，对于一个模线性方程a * x ≡ b (mod m)，我们可以通过同余定理将其转化为x的一元一次同余方程，从而求解出x的取值范围。

此外，同余定理在密码学领域也有着重要的应用。

加密算法中常常使用同余定理来进行模运算，从而实现数据的加密和解密。

在数论中，同余定理还有一些重要的推论。

首先，费马小定理和欧拉定理是同余定理的重要推论。

费马小定理描述了素数模意义下的幂运算规律，欧拉定理描述了任意模意义下的幂运算规律。

知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。

同余关系的概念与定理同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍同余关系的概念和相关定理。

一、同余关系的概念同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。

具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。

二、同余关系的性质同余关系具有以下三个性质：1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。

即任意整数与自身关于模m同余。

2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。

3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。

三、同余关系的定理1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。

即任意整数a可以表示为以m为模的除法形式。

2. 模运算性质：- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。

同余类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。

- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。

3. 唯一性定理：对于给定的整数a、b和正整数m，存在整数x，使得a≡b (mod m)的充分必要条件是a和b对m的余数相同。

即a和b关于模m同余的充分必要条件是它们对m的余数相同。

4. 同余定理：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡b (mod m)，则a^n≡b^n (mod m)，其中n是正整数。