同余的基本概念和性质

2 同余同余是由大数学家高斯引入的一个概念．我们可以将它理解为“余同”，即余数相同．正如奇数与偶数是依能否被2整除而得到的关于整数的分类一样，考虑除以m （≥2）所得余数的不同，可以将整数分为m 类．两个属于同一类中的数相对于“参照物”m 而言，具有“余数相同”这个性质．这种为对比两个整数的性质，引入一个参照物的思想是同余理论的一个基本出发点．同余是初等数论中的一门语言，是一件艺术品．它为许多数论问题的表述赋予了统一的、方便的和本质的形式．2．1 同余的概念与基本性质定义 如果a 、b 除以m （≥1）所得的余数相同，那么称a 、b 对模m 同余，记作a ≡b （mod m ）．否则，称a 、b 对模m 不同余，记作a b ≡（mod m ）．性质1 a ≡b （mod m ）的充要条件是|m a b －．性质2 若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），则a ＋c ≡b ＋d （mod m ），a －c ≡b －d （mod m ），ac ≡bd （mod m ）． 证明 这些结论与等式的一些相关结论极其相似，它们都容易证明．我们只给出第3个式子的证明． 只需证明：|m ac bd －．因为ac －bd ＝ac －bc ＋bc －bd＝（a －b ）c ＋b （c －d ）由条件|m a b －，|m c d －，知|m ac bd －．说明 与同余有关的许多结论都要用到性质1，事实上，很多数论教材中利用性质1来引入同余的定义．性质3 若a ≡b （mod m ），n 为正整数，则()mod n n a b m ≡．性质4 若a ≡b （mod 1m ），a ≡b （mod 2m ），则a ≡b （mod ［1m ，2m ］）．性质5 若ab ≡ac （mod m ），则()mod m b c a m ⎛⎫≡ ⎪ ⎪⎝⎭，． 在同余式两边约去一个数时，应将该数与m 的最大公因数在“参照物”中同时约去．性质6 如果（a ，m ）＝1，那么存在整数b ，使得ab ≡1（mod m ）．这个b 称a 对模m 的数论倒数，记为()1mod a m －，在不会引起误解时常常简记为1a －．证明 利用贝祖定理，可知存在整数x 、y 使得ax ＋my ＝1．于是，|1m ax －，即()1mod ax m ≡，故存在符合条件的b ． 说明 由数论倒数的定义，易知当（a ，m ）＝1时，()()11mod aa m ≡－－．例1 求所有的素数p 、q 、r （p ≤q ≤r ），使得pq ＋r ，pq ＋2r ，qr ＋p ，qr ＋2p ，rp ＋q ，rp ＋2q 都是素数． 解：若p ＞2，则p 、q 、r 都是奇数，此时pq ＋r 是一个大于2的偶数，矛盾，故p ＝2．现在，数2q ＋r ，2q ＋2r ，qr ＋2，qr ＋4，2r ＋q ，2r ＋2q 都是素数．若q 、r 中有偶数，则qr ＋2为一个大于2的偶数，矛盾，故q 、r 都是奇素数．若q ＞3，则3qr ．此时，若()1mod3qr ≡，则()20mod3qr ≡＋，与qr ＋2为素数矛盾；若qr ≡2()mod3，则()40mod3qr ≡＋，与qr ＋4为素数矛盾，故q ＝3．这样，数6＋r ，6＋2r ，3r ＋2，3r ＋4，2r ＋3，2r ＋9都是素数．若r ≠5，则()0mod5r ≡，但分别当1r ≡，2，3，4（mod5）时，对应地，数3r ＋2，3r ＋4，2r ＋9，6＋r 为5的倍数，矛盾，故r ＝5．直接验证，可知它们满足条件，所求的素数为p ＝2，q ＝3，r ＝5．例2 设n 为大于1的正整数，且1！，2！，…，n ！中任意两个数除以n 所得的余数不同．证明：n 是一个素数．证明：注意到，()!0mod n n ≡，而n ＝4时，有2！()3mod4≡！．因此，如果能够证明：当n 为大于4的合数，都有()()1!0mod n n ≡－，就能依题中的条件导出矛盾，从而证出n 为素数．事实上，若n 为大于4的合数，则可对n 作分解，变为下述两种情形．情形一 可写n ＝pq ，2≤p ＜q ，p 、q 为正整数，这时1＜p ＜q ＜n －1，从而()|1!pq n －， 即()()1!0mod n n ≡－．情形二 当2n p ＝，p 为素数时，由n ＞4，知p ≥3，故11＜p ＜2q ＜（n －1），从而p · （2p ） ()|1!n －，于是，()()1!0mod n n ≡－．综上可知，n 只能是素数．说明 反过来，当n 为素数时，并不能保证1！，2！，…，n ！中任意两个数对模n 不同余．例如p ＝5时，()31mod5≡！！．例3 设整数x 、y 、z 满足()()()x y y z z x x y z －－－＝＋＋． ①证明：x ＋y ＋z 是27的倍数．证明：考虑x 、y 、z 除以3所得的余数，如果x 、y 、z 中任意两个对模3不同余，那么()0120mod3x y z ≡≡＋＋＋＋，但是()()()3x y y z z x －－－，这与①矛盾．现在x 、y 、z 中必有两个对模3同余，由对称性，不妨设()mod3x ≡，这时由①式知 3|x y z ＋＋，于是 ()()2mod3z x y x x ≡≡≡－＋－，这表明 ()mod3x y z ≡≡，从而由①式知 27|x y z ＋＋．例4 是否存在19个不同的正整数，使得在十进制表示下，它们的数码和相同，并且这19个数之和为1999？解：此题需要用到一个熟知的结论：在十进制表示下，每个正整数与它的数码和对模9同余．（这个结论只需利用()101mod9k ≡即可得证）若存在19个满足条件的不同正整数，则由它们的数码和相同（设这个相同的数码和为k ），可知()199919mod9k ≡，故()1mod9k ≡．又这19个数之和为1999，故其中必有一个数不大于199919，即有一个数≤105，所以k ≤18．结合()1mod9k ≡，知k ＝1或10． 若k ＝1，则这19个数为1，10，100，…，和不可能为1999，所以，k ＝10．而当k ＝10时，最小的数码和为10的20个正整数是19，28，37，…，91，109，118，127，…，190，208．前面19个数之和为1990，故符合要求的19个正整数中必有一个≥208，此时这19个数之和≥208＋（19＋28＋…＋91）＋（109＋118＋127＋…＋181）＝2198＞1999， 矛盾．所以不存在19个不同的整数满足条件．例5 设m 、n 、k 为正整数，n ≥m ＋2，k 为大于1的奇数，并且×21np k ＝＋为素数， 2|21m p ＋．证明：()121mod n k p ≡－．证明：由条件知()221mod mp ≡－，而n ≥m ＋2，故12m ＋是12n n •－的因数，所以， ()()122211mod n t n p •≡－－＝（这里22n m t n •－－＝）． 现在，由()21mod n k p •≡－，知()()111222211mod n n n n k p ••≡－－－－＝，结合上面的结论，即可得()121mod n k p ≡－．说明 本题的背景是讨论费马数（形如221m m F ＝＋的数为费马数）的素因数的性质．例6 设m 为正整数，证明：存在整数a 、b 、k ，使得a 、b 都是奇数，而k ≥0，并且2011201122m a b k •＝＋＋． ①证明：①式等价于（在左边不小于右边的情形下）()201120112mod 2m a b ＝＋． ② 我们先证明：满足②的奇数a 、b 是存在的．注意到，对任意奇数x 、y ，有()()111110910x y x y x x y y ⋯－＝－＋＋＋，上式右边10910x x y y ⋯＋＋＋是11个奇数之和，它应为奇数，因此，()111120110mod 2x y ≡－ ()2011mod 2x y ⇔≡．这表明：在2011mod 2的意义下，数20111，20113，…，20111121（－）是 数1，3，5，…，201121－的一个排列，从而，存在奇数0b ，使得()112011021mod 2b m ≡－．现在，取一个充分小的负奇数b ，使得 ()20110mod 2b b ≡，且1121m b －－≥0，则 ()11112011021210mod 2m b m b ≡≡－－－－，于是，令()1120112112m b a b k b ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－，，＝，，，则符合①．所以，满足条件的a 、b 、k 存在．。

小升初数学复习知识点：余数、同余与周期余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m 同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m），读作a同余于b模m。

二、同余的性质：①自身性：a≡a（mod m）；②对称性：若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③传递性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡ c（mod m）；④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a-c≡b-d（mod m）；⑤相乘性：若a≡ b（mod m），c≡d（mod m），则a×c≡ b×d （mod m）；⑥乘方性：若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）；⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整数c，则a×c≡ b×c（mod m×c）；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n （mod 9）或（mod 3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（mod p）。

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数论中的同余定理与模运算计算方法数论是数学的一个分支，研究整数及其性质和关系。

同余定理与模运算是数论中的重要概念和计算方法。

本文将介绍同余定理的基本概念，同余关系的性质，以及模运算的计算方法。

一、同余定理的基本概念同余定理是指两个整数在除以同一个正整数时，如果得到的余数相等，则这两个整数被称为同余。

用数学符号表示为：若a、b、n为整数且n>0，则当n|(a-b)时，称a与b模n同余，记作a≡b(mod n)。

同余关系是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

下面分别介绍同余关系的性质：1. 自反性：对于任意整数a和正整数n，a ≡ a (mod n)，即a与自身模n同余。

2. 对称性：如果a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)，即a与b模n同余，那么b与a也模n同余。

3. 传递性：如果a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则a ≡ c (mod n)，即若a与b模n同余，b与c模n同余，那么a与c也模n同余。

二、模运算的计算方法模运算是指用除法计算一个数除以另一个数的余数，常用符号为“mod”。

模运算的计算方法如下：1. 加法：若(a+b) mod n = c ，则(a mod n + b mod n ) mod n = c mod n。

2. 减法：若(a-b) mod n = c ，则(a mod n - b mod n ) mod n = c mod n。

3. 乘法：若(a*b) mod n = c ，则(a mod n * b mod n ) mod n = c mod n。

4. 除法：若(a/b) mod n = c ，则(a mod n / b mod n ) mod n = c mod n。

三、应用实例同余定理与模运算在实际应用中有广泛的应用。

以下列举两个具体的实例：1. 密码学中的应用：同余定理用于密码学中的RSA算法，其中大素数的选择和快速幂取模运算是该算法的核心步骤。

第三章 同余§1 同余的概念及其基本性质定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作()\mod a b m ≡.甲 ()mod .a a m ≡（甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.）乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡⇔-证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是，()12,|.a b m q q m a b -=--反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是，()()1221.r r m q q a b -=-+-故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡±证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-戊 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则()1212mod .a a bb m ≡ 证 因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122|,|.m a b m a b --又因()()()1212111212211122,a a bb a b b a bb a a b b a b -=-+-=-+-故()12121212|,mod .m a a bb a a bb m -≡ 定理2 若()()11mod ,mod ,1,2,,,kki i A B m x y m i k αααα≡≡=则()11111111,,,,mod .k k k kkkk k A xx B y y m αααααααααααα≡∑∑特别地，若()mod ,0,1,,i i a b m i n ≡=，则()111010mod .n n n n n n n n a x a x a b x b x b m ----+++≡+++证 因()mod ,1,2,,i i x y m i k ≡=故,1,2,,iii i x y i k αα≡=，从而()1111mod .k k k k x x y y m αααα≡又因()11mod kkA B m αααα≡，故()()111111111111111,,,,mod ,mod .k k kk k k kkkk k k k A xx B y y m A xx B y y m αααααααααααααααααααα≡≡∑∑己 若()()mod ,,1,ka kb m k m ≡=则()mod .a b m ≡证 因()mod ka kb m =，故()|.m ka kb k a b -=-又因(),1k m =，故()|,mod .m a b a b m -≡庚 （ⅰ）若()mod ,0,a b m k ≡>则()mod .ka kb km ≡ （ⅱ）若()mod ,|,|,|,0,a b m d a d b d m d ≡>则mod .a b m d d d ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭证 （ⅰ）因()mod ,0a b m k ≡>，故()()|,|,mod .m a b km k a b ka kb ka kb km --=-≡（ⅱ）因()mod ,a b m ≡故|,.m a b a b mq --=又因|,|,|,0d a d b d m d >111111,,,0,0,0a da b db m dm a b m ===>>>. 于是()111111111,,mod ,mod .a b m da db dm q a b m q a b m d d d ⎛⎫-=-=≡≡ ⎪⎝⎭辛 若()mod ,1,2,,i a b m i k ≡=，则[]()12mod ,,,.k a b m m m ≡证 因()mod ,1,2,,i a b m i k ≡=，故|,1,2,,.i m a b i k -=于是，[][]()1212,,,|,mod ,,,.k k m m m a b a b m m m -≡附记 最小公倍数的一个常用性质是，若12|,|,,|k m a m a m a ，则[]12,,,|.k m m m a证 由带余除法，设[][]1212,,,,0,,,k k a m m m q r r m m m =+≤<，则12|,|,,|k m a m a m a 及12|,|,,|k m a m a m a 得， |,1,2,,.i m r i k =但[]12,,,k m m m 是12,,,k m m m 的最小公倍数，故[]120,,,,|.k r m m m a =壬 若()mod ,|,0,a b m d m d ≡>则()mod .a b d ≡证 因()mod ,a b m ≡故|.m a b -又因|,0d m d >，故()|,mod .d a b a m d -≡ 癸 若()mod a b m ≡，则()(),,.a m b m =证 因()mod a b m ≡，故|.m a b -于是，存在整数t 使得.a b mt -=故.a mt b =+故()(),,.a m b m =例 一个整数0a >被9整除的充分必要条件是n 的各位数字（十进制）的和倍9整除.证 设1101010,010n n n n i a a a a a --=+++≤<.因()101mod9≡，故()()101mod9,10mod9,0,1,,.i i i i a a i n ≡≡=于是，()010mod 9.n nii i i i a a a ===≡∑∑故9|a 的充分必要条件是09|.ni i a =∑作业 P53:2,3,4,5.习题选解2.设正整数1101010,010,n n n n i a a a a a --=+++≤<证明11整除a 的充分必要条件是11整除()01.niii a =-∑证 因为()101mod11≡-，故()()()()101mod11,101mod11,0,1,,.i ii i i i a a i n ≡-≡-=.于是，()()0101mod11.n nii iii i a a a ===≡-∑∑由此可得，11|a 的充分必要条件是()0111.nii i a =-∑3.找出能被37,101整除的判别条件来.解 （ⅰ）因()10001mod37≡，故()()10001mod370.ii ≡≥设11010001000,01000.n n n n i a a a a a --=+++≤<则由()10001mod37i≡得()1000mod37,0,1,,ii i a a i n ≡=，故()01000mod 37.n nii i i i a a a ===≡∑∑由此可得，37|a 的充分必要条件是037.ni i a =∑（ⅱ）因()1001mod101≡-，故()()()1001mod1010.iii ≡-≥ 设110100100,0100,n n n n i a a a a a --=+++≤<则由()()1001mod101ii ≡-得()()1001mod101,0,1,,ii i i a a i n ≡-=，故()01001.n niii i i i a a a ===≡-∑∑由此可得，101|a 的充分必要条件是()01011.niii a =-∑4.证明52641|2 1.+ 证 因()()8163222256,265536154mod 641,2154237166401mod 641,==≡≡=≡≡-故52641|2 1.+5.若a 是任一奇数，则()()221mod 21.nn a n +≡≥证 对n 作数学归纳法.当1n =时，因a 为奇数，故可设121a a =+，则()()2221111112114441a a a a a a -=+-=+=+.而()111a a +是两个连续两个整数的积，一定是2的倍数，从而()122128|1,1mod 2,a a +-≡即1n =时结论正确.假设对()12n n -≥结论正确，即()12121mod 2.n n -+≡下面说明在此假设下，对n 结论正确.因()()()111222221111nn n n a aa a ----=-=-+，而由归纳假设得121n a--是12n +的倍数，又因a 为奇数，故121n a -+也为奇数，于是()()112211n n a a ---+是22n +的倍数，故()221mod 2.nn a +≡。

同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。

性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。

性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。

性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。

（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。

性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。

性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。

性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。

性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。

性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。

同余关系的概念与定理同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍同余关系的概念和相关定理。

一、同余关系的概念同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。

具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。

二、同余关系的性质同余关系具有以下三个性质：1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。

即任意整数与自身关于模m同余。

2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。

3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。

三、同余关系的定理1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。

即任意整数a可以表示为以m为模的除法形式。

2. 模运算性质：- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。

同余类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。

- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。

3. 唯一性定理：对于给定的整数a、b和正整数m，存在整数x，使得a≡b (mod m)的充分必要条件是a和b对m的余数相同。

即a和b关于模m同余的充分必要条件是它们对m的余数相同。

4. 同余定理：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡b (mod m)，则a^n≡b^n (mod m)，其中n是正整数。