高二数学课件 导数及其应用

略解：如图直线 y 2x 3与抛物线 y x 2
的交点坐标为（－1，1）
和（3，9），则
S＝
（ 3 2x＋3－x2 )dx
1
（x 2
3x
x3 3
) |31
32 3
2、求由抛物线 y x 2 4 x 3 及其在点
M的（图0形，的－面3）积和。N（3，0）处的两条y 切线所围成
略解： y / 2x 4
（3/2，3）
则在M、N点、 处的切线方程
分别为 y 4x 3 y 2x 6o
x
S＝
3
2 [(4x 3) (x2 4x 3)]dx
y=－x2+4x-3
0
3
3 [(2x
2
6)
(
x2
4x
3)]dx
9 4
x 3、在曲线y x2
一切线使之与曲线以及
(
x
轴 所0)围上成的的某面点积A为处作1
课题：定积分的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
(1)曲线 y f (x)(f (x) 0）与直线 x a, x b(a b)
以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S＝
b
f ( x)dx
(2)曲线
y
f (x)(f (x)
0）与直线
x
a,
a
x
b(a
b)
以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S＝ －
y f2(x)
a
y f1( x)
b
平面图形的面积
b
A a [ f2( x) f1( x)]dx
特别注意图形面积与定积分不一定相等,
如函数y sin x x ［０,2］的图像与 x
轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
1、求直线 y 2x 3与抛物线 y x 2
所围成的图形面积。
知 识 结 构
Ⅰ、导数的概念
Ⅱ、几种常见函数的导数公式
c 0 （c为常数） （xn） nxn1 （n Q） （sin x） cosx ，（cosx） sin x
（ln
x）
1 x
（ex） ex
，（log
a
x）
1 x
log a
e
， （ax） ax ln a
Ⅲ、求导法则
Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义
b
f ( x)dx
y
ya
a
b
y f (x)
x
b
a
bx
y f (x)
(3)两条曲线 y f ( x)，y g( x)(其中f ( x) g( x)）
与直线 x a, x b(a b)围成的曲边梯形的面积: y
y f (x)
y g(x)
a
b
S＝ b[f (x)－g(x)]dx a
x sin x
x sin x
(4)
y
x
1 2
1
log
3
e (x2
1)
2x log 3 e x2 1
例3、已知f (x) =2x2+3x f (1), f (0)=
解:由已知得: f (x)=4x+3 f (1), ∴ f (1)=4+3 f (1), ∴ f (1)=-2 ∴ f (0)= 4×0+3 f (1)=3×(-2)=-6
解得a=-3
小结： •导数的应用主要表现在：
1. 利用导数的几何意义求切线的斜率；
2. 求函数的单调区间，只要解不等式f(x) ＞0或f(x)＜ 0即可；
3. 求函数f(x)的极值，首先求f `(x),在求f `(x)=0的根， 然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；
4. 函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b） 内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中 最大的是最大值，最小的为最小值。
x0 2 )dx
x03 12
1 12
x0 1 所以切点坐标与切线方程分别为
A(1,1), y 2x 1
y
y=x2
(另解 :
S
x0 0
x 2dx
1 2
x0 2
x
2 0
x
3 0
1
)
A
12 12
OB C x
小结:求平面图形面积的方法与步骤：
（1）画图,并将图形分割为若干个 曲边梯形； （2）对每个曲边梯形确定其存在 的范围,从而确定积分的上、下限； （3）确定被积函数； （4）求出各曲边梯形的面积和,即 各积分的绝对值的和。
则所求图形的面积为
S＝ 【1 g(y) f (y)]dy 1(4 2 2y )dy
0
0
（4 y 2 2 y log 2 e) |10 4 2 log 2 e
bx
y
y f (x)
a
bx
y g(x)
4、求曲线 y log 2 x与曲线y log 2 (4 x)
x 以及 轴所围成的图形面积。
略解：如图由 y log 2 x 得
x f ( y) 2 y 由 y log 2 (4 x)
得 x g( y) 4 2 y 当 y (0,1) 时，g(y) f (y)
f
' (1)
0
a
1 3
,
b
1 2
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） 单间区间为（-1/3，1）
练习巩固： 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在 原点相切，若函数的极小值为-4 （1）求a、b、c的值 （2）求函数的单调区间
答案（1）a=-3,b=0,c=0 （2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)
b
a
f
(x)dx，即即b b aa
nn
ff((xx))ddxxlimlim f n0i1i1
b(xni)aDxfi。(xi
)
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数，
y
y f (x)
f(x)dx —叫做被积表达式，
.试求：切点A的坐标以及切线方程.
12
略解：
y
y=x2
设切点坐标为（x0 , x0 2 )
y / 2x 则切线方程为
A
O
(
x0B,0)
C(x0 , 0) x
2
y 2x0 x x02
切线与x轴的交点坐标为
( x0 ,0) 2
则由题可知有
S
x0
2 x2dx
0
x0 x0
(
x
2
2
2x0 x
（4）y= log 3 (x 2 1)
解(1)y′=
1
(x
1
2) 2
(3x
1)2
x 2 2 (3x 1) 3
2
(3x 1)2 6(3x 1) x 2 2 x2
(2) y 2e2x cos x e2x sin x
(3) y 1 (x sin x) 1 cosx
▪ 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0
∵ f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2
由由已f知(xf)=332xa2+ 2ax4=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
即 8 a3 4 a3 4 27 9
bx
平面图形的面积
b
A a f ( x)dx
平面图形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
a
b
y f (x)
平面图形的面积
b
A a f ( x)dx
y f2(x)
பைடு நூலகம்
a b
y f1( x)
平面图形的面积
b
b
A a f2( x)dx a f1( x)dx
b
a [ f2( x) f1( x)]dx
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， O a
bx
[a, b] —叫做积分区间。
积分上限
b
f ( x)dx
a
I
n
lim 0 i1
f (xi )Dxi
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(xi )
1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义、物理是什么？ 3、微积分基本定理是什么？
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2, xi1, xi , ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴 所围成的曲边梯形的面积为
b
S
f (x)dx；
a
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间
[a, b]内运动的距离s为
v