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微积分综合练习题及参考答案

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综合练习题1 (函数、极限与连续部分)2 •单项选择题A .奇函数B .偶函数 C.非奇非偶函数 D •既奇又偶函数答案：B(2)下列函数中为奇函数是().x xA. xsin xBe eC l n (x 1 x 2)D . x x 2C. ln(x2答案：C(3)函数yx x 4 ln(x5)的定义域为( ).A. x 5 答案：DB .x4 C . x5 且 x 0D . x 5 且 x 4(4)设 f (x1)2x1则 f (x)()A. x(x 1) B . x 21填空题(1)函数 f (X )时)的定义域是答案：x 2且x 3.(2)函数 f(x)E 4 X 2的定义域是__________ •答案：(2, 1) ( 1,2](3) 函数f(x2)x 24x 7，则 f(x)答案: 2f(x) x 3(4) 若函数f (x).3xsi n x k, 1, 0处连续,(5) 函数 f(x 1)x 22x ，则 f(x)•答案:f(x)(6) 函数2x x 1 3的间断点是•答案:(7) (8).1 xsin xsin4x 右lim xsin kxlim x2，则k•答案：1•答案：k 2(1)设函数yxe，则该函数是().B . x 3A. x 1, x 2答案：3.计算题综合练习题2 （导数与微分部分）C. x(x 2) 答案：C D . (x 2)(x 1)A. 0B . 1C■2D .3答案:D当k时， 函数x 2 1, x 0(6) ()f(x)，在x 0处连续k,x 0 A. 0B . 1C2D .1答案:B(7) 函数 f(x)-x 2 3-的间断点是（ )(5)当 k (0处连续. 2x 3x 2$2 x ° 在 x k, x 0）时，函数f （x ） C. x 1,x 2,x •无间断点(1)解:(2) lim x 32x 3x 22x42x 3x 2 2 x 42x 9(x 2)(x1) lim^ x 2x 2解: limx 32x !2 小x 2xlim (x 3)(x 3) x 3(x 3)(x1)lim x 3x 1(3) lim 车空 x 4 x 5x 4 解: x 2 6x 8 lim — x 4 x 5x 4^4(X 4)(x2)(x 4)( x 1)x m2^2x 22x 3 lim x 2(x 2)(x2)1 •填空题(1)曲线f(x) 1在(1,2)点的切斜率是答案:12(2)曲线f(x) e在(0,1)点的切线方程是答案:y x 1(3)已知f(x) 3 x 3x，则f (3)=答案:f (x) 3x23x l n3f (3)=27( 1 ln3)(4)已知f(x) In x，则 f (x)答案:1 f(x) f (x) =1' 2x x(5)若f (x) xe x：，则f (0)答案: f (x) 2e xxe xf⑼22. 单项选择题(1)若f (x) e x cosx，贝y f (0)=( )•A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) (e x cosx) (e x) cosx e x(cosx)x x x .e cosx e sin x e (cosx sin x)所以f (0) 0 e (cos0 sin 0) 1答案：C(2)设y lg2x ，则dy ()•1 1 ln 10 1A. dx B . C •dx D .—dxdx2x xln 10 x x 答案：B(3)设y f(x)是可微函数，则df (cos2x) ( )•C . 2 f (cos2x)sin 2xdxD 答案：D(4)若 f (x)si nx a 3，其中 a 是常数，则f (x)().2A . cosx 3aB.sin x 6aC.sin xD.cosx答案：C3.计算题1e x ，求(1 )设 y x 2 y .111 ) £ 2)" x解：y 2xe x2 x /x e x ((2x 1)(2 )设 ysin 4x 3cos x , 求y •2解: y 4cos4x 3cos x( sin x)4cos4x 3sin xcos 2 x2(3)设 y e ，求 y .x解: ye^ 1 21 x 22"x(4) 设y x. x In cosx ，求 y •解: y 3 1x 21 3 - (sinx) x2 tanx 2cosx2综合练习题3 （导数应用部分）1 .填空题(1)函数 y 3(x1）2的单调增加区间是答案：（1,）（2）函数f （x ） ax 2 1在区间（0,）内单调增加，则a 应满足 __________答案：a 0 2•单项选择题（1）函数y （x 1）2在区间（2,2）是（ ）f (cos2x)sin 2xd2xC.先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程f(x) 0的点一定是函数y f(x)的( )A极值点B.最值点C .驻点D.间断点答案：C(3)下列结论中( )不正确.A . f(x)在x x0处连续，则一定在x0处可微•B . f (x)在x x0处不连续，则一定在x0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案：B(4)下列函数在指定区间(，)上单调增加的是( ).答案：B3. 应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m i的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m,高为h m,容器的表面积为y m l。

怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。

由已知x2h 108,h 啰x所以y 2 2 108 2 x24xh x24x r x2 x 432 x令y c 4322x 2x0，解得唯一驻点x 6。

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x 6是函数的极小值点也108是最小值点。

故当x 6m, h r 3m时用料最省.6(2)用钢板焊接一个容积为4m3底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/ m,焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？解：设水箱的底边长为x m,高为h m,表面积为S m2,且有h弓A . sinxB . e xC x2D . 3 xx2(4)所以S(x)2x 八216 4xh x x16S(x)2x2x令 S(x)0，得x 2.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当 X 2 m , h 1 m 时水箱的表面积最小.此时的费用为 S(2) 1040 160 (元)(3) 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法 用料最省？已知综合练习题4 (一元函数积分部分)1 •填空题(1 )若f (x)的一个原函数为lnx 2，则f(x).2答案：-x(2)若 f (x)dx sin2x c ，贝y f (x) ______________ . 答案：2cos2x(3 )若 cosxdx ________________答案：si nx cde x答案:解: 设底边的边长为x m,高为h m ， 所用材料(容器的表面积)为y m 。

由所以x 2h 32,h 32 h2 x 4xh x 2 4x32~~2x128 x128x令y因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一， 是最小值点。

故当x 4m, h 卑 2m 时用料最省.4请结合作业和复习指导中的题目进行复习。

2x 0，解得唯一驻点x 4 所以x 4是函数的极小值点也答案：-22 •单项选择题 (1)下列等式成立的是()•答案：D(3) xf (x)dx ()A. xf (x) f (x) cB. xf (x) c1 2C. x 2 f (x) cD.(x 1) f (x) c2答案：A(5)(sinx) dx答案: sinx c (6) 若 f (x)dx F(x) 则 f (2x 3)dx答案: -F(2x 3) 2 (7)f (x)dx F(x) 2则 xf(1 x )dx答案: (8) 1 2 -F(1 x 2) c 2 1 (sin xcos2x 1 x)dx答案:(9) 答案: 2 3 dx 0 e2Jn (x 2 1)dx(10)e 2x dx =A. d f (x)dx f (x)B. f (x)dx f (x)C. — f (x)dx f (x) dx答案：C(2)以下等式成立的是(A. In xdx d(-)xD..sin xdx df (x) f (x)d(cos x) dx.xd .x .3x dxd3x ln 3(4)下列定积分中积分值为0的是( )•31. x x 1 e e , dx 1 2 . x x 1 e e , dx1 2 (x 3 cosx)dx (x 2 sin x)dx 答案: (5)设 f (x)是连续的奇函数，则定积分 a f (x)dx ( ) -a A. 0 0 B ・f (x)dx -af(x)dx 0D. 2 f(x)dx -a 答案: (6)下列无穷积分收敛的是(). A. 0sinxdxB. 1 ——dx xc. 1 ^dx x D.e 2x dx答案：D 3.计算题 (1) (2x 1)10dx 解: (2x 1)10dx 1)10d(2x 1)—(2x 221)11(2).1 sin 君dx x 2解:.1 sine x )2dxsin-d 1 x x ln2e x(4e x ) 02dxln 2 e」^dx1 cos-x 2e x c(4 e x )2d(41X \ = 3(4 e )X\e )丄(2163ln 2 125)301e1解:e1 5ln x ,dxe(1 5lnx)d(1 5lnx)丄(1 1105l n x)2丄(36 1)-110 21 xe x dx解:1xe xdxxxe1 e x dx2X sin xdx解:2 xsin xdxxcosx 0 cos xdx si nx] 1综合练习题5 (积分应用部分) 1 •填空题 (1)已知曲线y 1f(x)在任意点x 处切线的斜率为 1 ，且曲线过(4,5)，则该曲线的 方程是 答案: (2)由定积分的几何意义知, a a 2 x 2dx = 0 ■ 答案: ⑶微分方程y y, y(0) 1的特解为 答案: (4)微分方程y 3y 0的通解为 答案：yce 3x(5)微分方程(y )3 4xy ⑷y 7 sin x 的阶数为答案：42.单项选择题 (1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中, 八2小A. y = x + 3通过点( 2 . x + 4 1,4 )的曲线为)•C. y x 2 2 x 2 1 答案：A (2)下列微分方程中,是线性微分方程• 2A • yx 2lny 2• yy xy xye y• y sin xxye答案：D (3)微分方程 0的通解为( )•Cx答案：C(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是( )A. -dy x y ；B.巴xy y ；dx dxC.巴xy sin x ；dyD. x(y x)dx dx 答案：B。

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微积分综合练习题及参考答案

微积分综合练习题及参考答案

微积分综合练习题及参考答案Last updated on the afternoon of January 3, 20212综合练习题1 （函数、极限与连续部分）1・填空题⑴函数/（X ）= —i —的定义域是 ___________________ •答案：兀＞2且"3.ln （x _ 2）⑵ 函数=+的定义域是 _________ .答案：ln （x + 2）(-2-1)<J (-L2](3) 函数/(x + 2)=x 1 2 +4x + 7,贝lj f{x)=.答案:fM = x 2+3(4) 若函数/（力= xsin —+ h x < 0=1 x 在― [k 、 x > 0=0处连续，贝1«=.答案：k = \⑸函数/（x-1）：=X 2 - 2x,则 /(x) = -答案：f （x ）= -v 2 -1⑹v 2 -2x-3函数心Y+1 -的间断点是•答案：兀=一1(7) lim xsin 丄=•答案：1⑻ -..sin4x 若 lim ------ =go sin kx =2,则斤= 答案：k = 22 •单项选择题答案：c1 设函数〉心三匚，则该函数是（）•A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数答案：B2下列函数中为奇函数是（ ）•A . xsinxC . ln(x +Jl + / )(3)函数y = —- + ln(x + 5)的定义域为( )・x + 4A . x>-5B . C. X>-5且X HO D. X>-5且X H—答案：D⑷设f(x + Y) = x2则f(x)=()A . x(x + l)B . A 2C ・x(x - 2)D . (x + 2)(x-l)答案：C(5)当斤=()时，函数/(x) = f\+2' °在兀=0处连续.k、x = 0■A . 0B . 1C . 2D . 3答案：Dr2 + 1 X 工0(6)当“()时，函数/(A-)= J1,,在龙=0处连续.k、x = 0A . 0B . 1C . 2D . -1答案：B(7)函数/(A)=()Q - 3x + 2A. x = \,x = 2 B . x = 3答案:A3 •计算题C. x = \,x = 2,x = 3D•无间断点lim .—23x + 2 X2-4= lim (—2)(—1)=恤口—2(X _2)(X + 2) Z X + 2解：UmX 2-3X + 2X 2-4解：lim 一「「I . = nm + " = lim = - = 2XT3 牙・_2X_3 XT3 (牙_3)(牙 + 1) A->3 X +1 4 2解:1曲v'-6a + S = lim(H7 = lim 口 = ?JT — 5x + 4 XT4 (x _ 4)(X - 1) Yf 4 A -1 3综合练习题2 (导数与微分部分)(1)曲线/仗)=仮+ 1在(1,2)点的切斜率是⑵ 曲线/W = e在(0J)点的切线方程是答案：y = x + \(3)已知f(x) = x3+3\则广(3)二答案:f(x) = 3x2+3x]n3/73)=27 (l + hi3)⑷已知/(x) = lnx t贝IJ八x)二答案：广⑴4八g占(5)若/(x) = xe-\ 则厂(0)= 答案:0 = -2宀心2.单项选择题(1)若/Gv) = e'r cosx f则广(0)二()・A. 2B. 1C. -1D. -2因f\x) = (e"v cosxY = (e~v)z cosx + e~v (cos x)9所以广(0) =-e~°(cosO + sin0) = -1 答案：C⑵设y = lg2x,则dy=()・A . 丄 drB . ——!——dx 2xxlnlO 答案：B答案：D⑷若/(x)=sinx + «3,其中"是常数，则厂(劝=(答案：c(1) 设 y 求 ・丄 丄 1 丄解:y f = 2xe K +x 2e v (——)=e T (2x-l)(2)y = sin 4x + cos 3 x , 求解：y f = 4cos4x + 3cos 2 x(-sin x)(3) 设 y = e^+-.求X解：y = e^^=-4(4) 设 y = xy/x + In cosx,求 3丄 1 3丄解：y f = —x 2 + ------- (-sinx) = —x 2 -tanx2 cosx 2c.呱D ・-dx x⑶设y = fM 是可微函数则 df(cos2x)=(A . 2广(COS 2X )C L YB . /\cos2x)siii 2xd2xC . 2广(cos2x)sin2・TdrD . 一广(cos2x)sin2xd2x2A . cosx + 3"- C . -sinx D . cosx综合练习题3 (导数应用部分)1・填空题(1)函数y = 3(x-i)2的单调增加区间是____________________ .答案：(1,+s)(2)函数/(A)= ax2 + 1在区间(0,+8)内单调増加，贝IJd应满足答案：«>02・单项选择题(1)函数y = U+D2在区间(-2,2)是()A •单调増加B .单调减少c •先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程/V) = 0的点一定是函数y = /(x)的()•A .极值点B .最值点C.驻点D •间断点答案：C(3)下列结论中()不正确•A . /W在“勺处连续,则一定在％处可微.B . /W在x = x Q处不连续，则一定在巾处不可导.C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点一定发生在不可导点上.答案：B(4)下列函数在指定区间(p,p)上单调增加的是()•A . sinx答案：B3・应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为10创2的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为/?m,容器的表面积为ym2o怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微积分练习题带答案

微积分练习题带答案

微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。

在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。

在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。

通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。

微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。