安徽财经大学微积分（下）期末总复习
练习卷（1）及参考答案
二、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知22
(,)y
f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.
2、已知π
=⎰∞
+∞--dx e x 2
,则=⎰∞+--dx e x x
0 21
___________.
3、函数
22
(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.
5、以x
e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是_________________. 二、选择题(每小题3分,共15分)
6 知dx e x p ⎰∞
+- 0 )1(与⎰-e p x
x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 二元函数⎪⎩
⎪⎨
⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222
22
2y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义
(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
8、若
2211
x y I +≤=
⎰⎰
,
22212
x y I ≤+≤=
⎰⎰
,
22324
x y I ≤+≤=
⎰⎰
, 则下列关系式成立的是( ).
(A) 123I I I >> (B) 213I I I
>>
(C) 123I I I << (D) 213I I I
<<
9、方程x
e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).
(A) b ax y += (B) x
e b ax y 3)(+=
(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x
e bx ax y 323)(+=
10、设∑∞
=12n n
a
收敛，则∑∞
=-1)1(n n
n a ( ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求由2
3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
12、求二重极限 11lim 222
20
-+++→→y x y x y x .
13、),(y x z z =由xy e z z
=+确定，求y x z
∂∂∂2.
14、用拉格朗日乘数法求
22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值.
15、计算⎰
⎰1 2
1
2dx
e dy y
y
y
x .
16、计算二重积分22()D
x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周
22
1x y +=所围成的在第一象限内的区域.
17、解微分方程x y y +'=''.
18、判别级数)
11(
133∑∞
=--+n n n 的敛散性.
19、将函数x -31
展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间. 20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=，
求最优广告策略.
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设11
33
ln()z x y =+，证明：
13z z x y x y ∂∂+=∂∂. 22、若∑∞
=12n n
u
与∑∞
=1
2n n
v
都收敛,则∑∞
=+1
2
)(n n n
v u
收敛.
练习卷（1）答案
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、2(1)1x y y -+. 2
3、)
32
,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)
6、(C ).
7、 (B).
8、(A ) .
9、(D). 10、(D). 三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求由2
3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：
32
y x =的反函数为23
,0x y y =>。且4=x 时，8=y 。于是
248
8
22
33
8
37
730
(4)16(80)33
128128(80)
775127V y dy y dy
y ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰ )6()
3(分分
12、求二重极限
1
1lim
222
20
-+++→→y x y x y x .
解：原式
11)11)((lim 2222220
0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)
2
)11(lim 220
=+++=→→y x y x (6分)
13、),(y x z z =由xy e z z
=+确定，求y x z
∂∂∂2.
解：设(,,)z
F x y z z e xy =+-，则
x F y
=-， y F x
=- ，1z
z F e =+
11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x x
y F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)
222
111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy y
x y y e e e e ∂+-⋅⋅
∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭ (6分)
