最新三角形有关专题复习讲义

三角形专题复习讲义一、基础知识及考点剖析——夯实基础考点1、轴对称图形(1)轴对称图形及对称轴定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

(2)有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。

(3)折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

考点2、轴对称(1)轴对称图形及对称轴定义：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称.(2)图形轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

考点3、轴对称与轴对称图形的区别轴对称图形轴对称图形区别(1)轴对称图形．．．．．是指(一个)具有特殊形状的图形，只对(一个)图形而言；(2)对称轴(不一定)只有一条(1)轴对称．．．是指(两个)图形的位置关系，必须涉及(两个)图；(2)只有(一条)对称轴联系若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。

若把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

考点4、线段的垂直平分线(1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点5、常考模型(1)图形的翻折模型：抓住翻折前后哪些量(边、角)不变。

(2)最短距离问题：在直线l上找一点P，使得P到A、B两点的距离和最短。

A、B两点在直线l的同侧A A 、B 两点在直线l 的异侧题型1：对称的性质1. 如图，点A 、B 的坐标分别为（0，3）、（4，6），点P 为x 轴上的一个动点，若点B 关于直线AP 的对称点B′恰好落在坐标轴上，则点B′的坐标为．第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么线段DE 的长为 ． 3. 如图：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直且垂足为E ，则∠A 的度数为 ． 4. 如图，△ABC 中，已知∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D ，BD=2，DC=3，求AD 的长。

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；(2)设AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．考点6、等腰三角形的定义(1)等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

(2)在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．(3)等腰三角形中边与角的分类谈论思想分类讨论三部曲：①分类讨论−→−②确认能否构成三角形−→−③确定答案 考点7、等腰三角形的性质(1)性质1：文字表达为：等腰三角形的两个底角相等（在同一三角形中．．．．．．，简写成“等边对等角”）几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（同一三角形中，等边对等角）(2)性质2：文字描述：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（简称“三线合一”）．几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，且点D为BC的中点，∴∠1=∠2，BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）(3)补充性质：①对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条或者三条对称轴。

②等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.考点8、等腰三角形的判定(1)判定1：文字描述：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(在同一三角形中．．．．．．，简写成“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC(同一三角形中，等角对等边)∴△ABC是等腰三角形(2)判定2：文字描述：有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形。

即三角形中有一边上的三线合一，那么这个三角形是等腰三角形。

(注意：只能运用于填空选择题，解答题需要证明)几何语言：在△ABC中，∵BD=DC，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形其实在判定三角形是否是等腰三角形时，只需要一边的三线中的任意两线合一就能证明出该三角形为等腰三角形。

如下表(3)其他判定方法：(注意：只能运用于填空选择题，解答题需要证明)①有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形。

②有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形。

③有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形。

④三角形中有一条或者三条对称轴的三角形是等腰三角形考点4、等腰三角形的性质5.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是。

6.若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为7..等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为8.如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于( )A．58°B．32°C．36°D．34°第8题图第9题图9.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA,则∠A的度数为.10.如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．11.如图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M.求证：∠EMB=12(∠ACB-∠B).考点9、特殊的等腰三角形——等边三角形(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．(2)等边三角形的性质：性质①：等边三角形的三边都相等。

性质②：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。

性质③：等边三角形的每边上的三线均合一，且都等于a 23.(a 为等边三角形的边长)。

性质④：等边三角形有3条对称轴。

性质⑤：等边三角形的面积为243a .(a 为等边三角形的边长) (注意：性质③④⑤只能运用于填空选择题，解答题需要证明) (3)等边三角形的判定方法判定①三条边都相等的三角形是等边三角形；判定②三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（该判定方法经常运用） 其他判定方法： ①每边上的三线均合一，且均相等，的三角形为等边三角形；②有三条对称轴的三角形为等边三角形； (注意：其他判定方法中的①②只能运用于填空选择题，解答题需要证明)考点10、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

几何表示：Rt △ABC ，∠C=Rt ∠=90°考点11、直角三角形的性质性质1、直角三角形的两个锐角互余。

几何表示：在Rt △ABC 中，∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°性质2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：在Rt △ABC 中，∵点D 为斜边AB 的中点 ∴CD=21AB 性质3、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：在Rt △ABC 中，∵∠B=30°，∴AC=21AB 性质4、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平分和等于斜边的平分。

几何表示：222c b a =+(其中a ，b 分别为直角三角形的两条直角边，c 为直角三角形的斜边)勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： ①勾股定理主要应用于计算直角三角形的边长。

②勾股数：满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数，如3，4，5； 5，12，13； 6，8，10；8，15，17； 7，24，25； 9, 40, 41 ③利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 性质5、常用关系式：由三角形面积公式可得：AB ∙h=AC ∙BC 考点12、直角三角形的判定判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形 判定2、有两个角互余的三角形是直角三角形判定3、勾股定理的逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即三角形的三边满足22c2+则它是一个直角三角形. (其中a，b分别为直角三角形的两条直角a=b边，c为直角三角形的斜边)注意：若三角形的三边满足一组勾股数的k倍，那么这个三角形也是直角三角形。

当题目中要判断三边长是否可以构成直角三角形时，边长比较大的时候我们可以化简缩小，就能很快判断。

判定4、补充：如果三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形。

考点13、特殊角的直角三角形边之间的关系题型2：含特殊角的三角形12.如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形？(3)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由.13.已知：等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求：腰上的高。

考点14、直角三角形全等的判定方法——HL两Rt △三角形一条斜边与一条直角边对应相等 则两三角形全等，简称HL 定理。

该定理只适用于直角三角形。

以前学习的SSS 、SAS 、ASA 、AAS 四种判断方法，对于直角三角形同样适用。

几何语言：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∵⎩⎨⎧==DFAC DEAB ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL)注意：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

考点15、角平分线的性质定理的逆定理在角的内部．．．．．，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升题型1：将军饮马模型 例1. (1)如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？(2)已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得| AM -BM|最小题型2：立体图形展开与勾股定理综合问题 例2. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A ．521B ．25C ．35D ．1055+例2题图 例3题图例3. 如图是一块长，宽，高分别是6，4和3的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）B．97C．85D．109A．3213题型3：如何寻找等腰三角形例4.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有( )A．1个B．4个C．7个D．10个例5.已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1，以A为中心顺时针旋转点M，以B 为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x，(1)求x的取值范围；(2)若△ABC为直角三角形，求x的值。