习题分析与解答

习 题 解 答10-1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，是摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时.若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为（ ）(A) 2π （B ）π/2 (C)0 (D)θ解 由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。

利用旋转矢量图可知，初相相位是0.故选C10-2 如图所示，用余弦函数描述一简谐振动。

已知振幅为A ，周期为T ，初相3πϕ-=，则振动曲线为（ ）解 由已知条件可知初始时刻振动的位移是23cos AA y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π，速度是()A t A v ωϕωω23sin =+-=，方向是向y 轴正方向，则振动曲线上0=t 时刻的斜率是正值。

故选A10-3 已知某简谐振动的振动曲线和旋转矢量图如附图（a ）、（b ）所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为（ ） （A ）cm t x ⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ3232cos 2 （B ）cm t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ3232cos 2（C)cm t x ⎪⎭⎫⎝⎛-=ππ3234cos 2 （D ）cm t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ3234cos 2习题10-3图习题 10-2 图解 由振动图像可知，初始时刻质点的位移是2A-，且向y 轴负方向运动，附图（b ）是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是π32，振动曲线上给出了质点从2A -到A 的时间是s 1，其对应的相位从π32变化到π2，所以它的角速度1-s rad 32T 2⋅==ππω 简谐振动的振动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ3234cos 2t x故选D10-4 弹簧振子做简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J,当振子处于最大位移的一半时其动能为（ ）（A ）25J （B ）50J （C)75J （D)100J解 物体做简谐运动时，振子势能的表达式是221kx E P =，其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值221kA E P =，动能为零，但其总机械能却保持不变.当振子处于最大位移的一半时其势能为2281)2(21'kA A k E p ==,所以此时的动能是J J J kA kA kA E k 754310043218121222=⨯=⨯=-=故选C10-5 一质点作简谐振动，速度最大值Vm=0.05m/s ，振幅A=2cm.若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0，则振动表达式为 。

解 速度的最大值105.0-⋅==s m A v m ω,A =0.02m,所以)(5.202.005.01-⋅===s rad A v m ω 振动的一般表达式)cos(ϕω+=t A x ，现在只有初相位没确定，速度具有正最大值时位于原点处，由旋转矢量法可知2πϕ-=，振动的表达式为m t y )25.2cos(02.0π-=.10-6 已知一个谐振子的振动曲线如图(a)、对应的旋转矢量图（b ）所示,求:a 、b 、c 、d 、e 各点状态的相位分别为 。

解 结合旋转矢量图附图(b),振动曲线上的a,b,c,d,e对应旋转矢量图上的e d c b a '''''、、、、,所以其相位分别是3432230ππππ、、、、10-7 一简谐振动的旋转矢量如图所示，振幅矢量长2cm,则该简谐振动的初相为 ，振动方程为 。

解 振动方程的一般表达式是)cos(ϕω+=t A x ,ϕ是指t = 0时对应的相位,也是初相位,由图可知t=0时的角度是4π,所以该简谐振动的初相为4π.角速度是ππθω===tt t ,代入振动方程可得到)4cos(02.0ππ+=t x (m).10-8 质点的振动曲线如图所示。

试求： （1）振动表达式（2）点P 对应的相位（3）到达点P 对应位置所需时间。

解 （1）根据振动曲线对应的旋转振幅矢量可知，初相03πϕ=-，从t=0到t=1s 时间内相位差为5()236πππϕ∆=--=，所以角频率为56t ϕπω∆==∆ 可得振动表达式为50.06cos()63y t m ππ=-习题10-8图习题 10-6 图ω(2)P 点相对应的相位为0。

(3)到达P 点所需时间为0()'3'0.456t s πϕπω--∆∆=== 10-9 沿x 轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m ，速度的最大值10.06m v m s -=⋅。

若取速度为正的最大值时t=0。

试求：（1）振动频率；（2）加速度的最大值； （3）振动的表达式。

解 （1） 速度的最大值10.06m v A m s ω-==⋅，A=0.04m10.06 1.50.04m v rad s A ω-===⋅， 324Hz ωνππ==。

（2）加速度的最大值220.09m a A m s ω-==⋅。

（3）速度为正的最大值时t=0，由旋转矢量法可知：2πϕ=-振动的表达式为 30.04cos()22y t m π=-10-10 一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作谐振动，弹簧劲度系数为 25 N ・m －1，如果起始振动时具有势能和动能，求（1）振幅；（2）动能恰等于势能时的位移； （3）经过平衡位置时物体的速度。

解 物体做简谐振动时，振子势能的表达式是2p 12E kx =，动能表达式是2k 12E mv =。

其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值2p 12E kA =，动能为零，但其总机械能却保持不变为212E kA =。

（1）由于振动过程总机械能却保持不变，210.060.02252A +=⨯⨯，A=0.08m 。

（2）动能恰等于势能时，也就是此时势能是总机械能的一半，22p 111'222E kx kA ==⨯，20.057x A m =±=± （3）通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，此时210.060.022mv +=⨯， 10.8v m s -=⋅.10-11 一质点作简谐振动，其振动方程为26.010cos()()34x t SI ππ-=⨯-。

求： （1）当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半（2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少秒解 （1）系统的势能为总能量的一半时，有2226.010 4.24102x m m --=±⨯⨯=±⨯ （2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为60.7588T t s s ===10-12 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为21510cos(4)()3x t SI π-=⨯+22310sin(4)()6x t SI π-=⨯-求合振动的振动方程。

解 22222310sin(4)310cos(4)310cos(4)6623x t t t ππππ---=⨯-=⨯--=⨯-作两振动的旋转矢量图，如图所示。

由图得合振动的振幅和初相分别为 A ＝(5-3)cm=2cm ，3πϕ=合振动方程为2210cos(4)()3x t m π-=⨯+10-13 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接缝处即受到一次振动，从而使装在弹簧上面的车厢上下振动。

设每段铁轨长ｍ，弹簧平均负重×10４N ，而弹簧每受×103N 的力将压缩1.6mm 。

试问火车速度多大时，振动特别强解 由题意可得弹簧劲度系数316139.810 6.125101.610k N m N m ---⨯=⋅=⨯⋅⨯1133222--⋅=⋅⨯=⋅=s m s m u ππωπλ系统的振动角频率1133.34s rad s ω--==⋅=⋅ 火车的固有周期22 3.140.1833.34T s s πω⨯=== 因此，当火车在接轨处受到振动周期等于固有周期时，振动将最强，于是1112.569.40.18L v m s m s T --==⋅=⋅时，振动将特别强烈。

10-14 一平面简谐波的波动方程为0))(3cos(1.0=+-=t SI x t y πππ时的波形曲线如附图所示，则（ ）（A ）O 点的振幅为m 1.0-（B ）波长为（C ）b a 、两点间相位差为2/π（D ）波速为9m/s解 波动方程的一般表达式是 ，对比所给的波动方 程可知：各质点的振幅都是0.1m,波长λ=2m ，角频率-1s rad 3⋅=πω 所以波速a,b 两点间距离差是对应的相位差是 故选C10-15 某平面简谐波在s t 25.0=时波形图如图所示，则该波的波函数为（ ）（A) (B) (C) (D) m x t y ]2)8(4cos[5.0ππ--=mx t y ]2)8(4cos[5.0ππ++=m x t y ])(4cos[5.0ππ-+=m x t y ]2)8(4cos[5.0ππ+-=rad rad r 2422πλλπλπϕ=⨯=∆=∆4λ)2cos(ϕλπω+=x t A y μ.0图解 波动方程的一般表达式为 ，由图可知cm 5.0=A ，s m u /8=，所以x 前的系数取负值。

当s t 25.0=时，0,000〈=υy ，此时的相位是将已知条件带入方程可得 所以波函数为 故选A10-16 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量（ ）（A ）动能为零，势能最大 （B ）动能为零，势能为零 （C ）动能最大，势能最大 （D ）动能最大，势能为零解 介质中某质元的动能表达式 )2(sin 21222ϕλπωωρ+-=x t dVA dW k ，质元的弹性势能)2(sin 21222ϕλπωωρ+-=x t dVA dW p ，所以在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能均随t x ,作周期性的变化，且变化是同相位的. 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零. 故选B10-17 频率为Hz 100，传播速度为1300-⋅sm 的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π，则此两点相距（ )(A) m 5.1 (B) m 19.2 (C) m 5.0 (D) m 25.0解 相位差与波程差之间的关系是 ，本题中.故选A10-18 两列相干波沿同一直线反向传播形成驻波，则相邻波节间各质点的振动（ ）(A) 振幅相同，相位相同 (B)振幅不全相等，相位相同 (C) 振幅相同，相位不同 (D)振幅不全相等，相位不同解 驻波方程为，因此根据其特点，两波节间 2π2πϕ-=m x t y ]2)8(4cos[5.0ππ--=])(cos[ϕω+±A =uxt y r ∆=∆λπϕ2mm v u s m u Hz v 3100300,300,1001===⋅==-λm m r 5.1232=⨯=∆=∆ππϕπλt x x y ωπcos 2cos2A =各点运动振幅不同，但相位相同，故选B 。