2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法高效测评新人教A版选修1-2资料

§2.2.1 综合法与分析法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

(二)、探究新知，揭示概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例如：已知a,b>0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为，所以。

因为，所以。

因此。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

要证，只需证，只需证，只需证由于显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

这种方法叫做分析法。

（三）、分析归纳，抽象概括用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

高中数学 第二章 推理与证明 综合法与分析法课堂探究 新人教B版选修2-2探究一 综合法的应用1．用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用．【典型例题1】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝3，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明．证明：因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝9，即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9.又因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，于是2(ab ＋bc ＋ca )≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9，故a 2＋b 2＋c 2≥3. 【典型例题2】 在△ABC 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C. 思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明．证明：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ， 所以左边＝a 2－b 2c 2＝c 2－2bc cos A c 2＝1－2b cos A c. 又由正弦定理知b c ＝sin B sin C，所以左边＝1－2·sin B sin Ccos A ＝sin C －2sin B cos A sin C ＝sin A ＋B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B ＋cos A sin B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A －B sin C＝右边， 故原等式成立．探究二 分析法的应用1．从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．2．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．【典型例题3】 已知函数f (x )＝x 2＋3，若a ＞b ＞0，求证：f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2. 思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证明f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2， 即证12[(a 2＋3)＋(b 2＋3)]＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3， 只需证a 2＋b 2＋6＞a ＋b 22＋6， 只需证a 2＋b 2＞a ＋b 22， 因此只需证2a 2＋2b 2＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2＋b 2＞2ab ，只需证(a －b )2＞0，由于a ＞b ＞0，所以(a －b )2＞0显然成立，故原不等式成立．【典型例题4】 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且4sin 2α－2sin 2β＝1.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明． 证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β， 只需证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β， 只需证cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝12·cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β， 只需证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)， 只需证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)， 即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于已知4sin 2α－2sin 2β＝1成立，所以原等式成立．探究三 综合法与分析法的综合应用1．有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．【典型例题5】 在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a ，b ，c 之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b， 即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b. 要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥b ＋1c ＋1，即证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，也就是证2a ≥b ＋c .因为2a ＝b 2c ＋c 2b， 则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可， 即b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )·bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0成立．上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．点评 本题前半部分先用综合法得到一个由已知条件推出的结论，然后再用分析法证明最终结论，其中用到了前面推出的结论，这种处理方法在推理证明中也是常用的．。

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2.1综合法和分析法明目标、知重点1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．3．分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．[情境导学］证明对我们来说并不陌生,我们在上一节学习的合情推理,所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证:a(b2＋c2）＋b（c2＋a2)≥4abc。

证明因为b2＋c2≥2bc,a>0,所以a（b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac,b〉0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a（b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc。

总结:此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A,B，C的对边分别为a,b,c，且A，B，C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证:△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②,得B＝错误!，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac,再由④,得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c)2＝0，从而a＝c,所以A＝C。

2.2.1 综合法和分析法第1课时 综合法A 级 基础巩固一、选择题1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定解析：∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a .又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x>1＋x ∴c >b >a ，最大的数为c .答案：C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b . 答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．(2014·四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d解析：法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c，所以选项A 错误，选项B 正确． 法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以ad <b c. 答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形． 答案：D二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC 中，A >B ⇔a >b由正弦定理a sin A ＝b sin B，从而sin A >sin B . 因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，为充要条件．答案：充要8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 答案：4三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0所以(b 2＋c 2)a ≥2abc又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________． 解析：∵sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－3. 答案：－33．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE .(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P ­ABCD 中，因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .因为AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .又因为AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .因为PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .又AB ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .。