历年高考试题汇编 — 数列
1.（1994全国理，12）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260
答案：C
解法一：由题意得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+100
2
)12(22302)1(11d m m ma d m m ma 视m 为已知数，解得2
12)2(10,40m m a m d +== ∴210402)13(3)2(1032)13(332
2113=-++=-+
=m m m m m m d m ma ma S m
解法二：设前m 项的和为b 1，第m +1到2m 项之和为b 2，第2m +1到3m 项之和为b 3，则b 1，b 2，b 3也成等差数列.
于是b 1=30，b 2=100－30=70，公差d =70－30=40. ∴b 3=b 2+d =70+40=110
∴前3m 项之和S 3m =b 1+b 2+b 3=210.
解法三：取m =1，则a 1=S 1=30，a 2=S 2－S 1=70，从而d =a 2－a 1=40. 于是a 3=a 2+d =70+40=110.∴S 3=a 1+a 2+a 3=210.
评述：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m ，题给数列前3m 项的和是与m 无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影.
2.（1994全国理，15）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个
分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（）
A.511个
B.512个
C.1023个
D.1024个
答案：B 解析：由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列，所以a10＝a1q9=29=512.
评述：该题作为数学应用题，又是选择题，问题的实际背景虽然简单，考查的知识点也集中明确，但也有一定的深刻性.
解决本题，应搞清题意，应求的是a9的值，而不是求和.
从题型设计的角度，本题的立意、取材和构题都是不错的.
3.（1994上海，20）某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立
D.当n=4时该命题成立
答案：C 解析：因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C.
4.（1994全国文，25）设数列{a n}的前n项和为S n，若对于所有的正整数n，都有
S n =
2
)
(
1n
a
a
n
.证明：{a n}是等差数列.
解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明a n=a1+（n－1）d（n∈N*）
①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，
当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.
②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即a k=a1+（k－1）d
由题设，有2
)
)(1(,2)(1111++++=+=k k k k a a k S a a k S ， 又S k +1=S k +a k +1，所以
2
)
(2))(1(111k k a a k a a k +=++++a k +1
将a k =a 1+（k －1）d 代入上式，
得（k +1）（a 1+a k +1）=2ka 1+k （k －1）d +2a k +1 整理得（k －1）a k +1=（k －1）a 1+k （k －1）d ∵k ≥2，∴a k +1=a 1+［（k +1）－1］d . 即n =k +1时等式成立.
由①和②，等式对所有的自然数n 成立，从而{a n }是等差数列. 证法二：当n ≥2时，由题设，2
)
(,2))(1(1111n n n n a a n S a a n S +=+-=--
所以2
)
)(1(2)(11211--+--+=-=n n n n a a n a a n S S a 同理有2
)
(2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=
++
从而2
)
)(1()(2))(1(111111-+++-++-++=
-n n n n n a a n a a n a a n a a
整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列.
评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是a n =a 1+（n －1）d 这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.
5.（1994全国理，25）设｛a n ｝是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对所有
