高中数学第一章导数及其应用1.1导数课堂探究新人教B选修2-2讲解

高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 导数课堂探究 新人教B 版选
修2-2
探究一 求函数的平均变化率
1．求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤是：
(1)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；
(2)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1；
(3)作商即得平均变化率：Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1
. 2．运动物体在t 0到t 1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s (t )在区间
[t 0，t 1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率．
【典型例题1】 (1)求函数f (x )＝
1x ＋2
在区间[－1,0]，[1,3]，[x 0，x 0＋1]上的平均变化率．
(2)若某一物体的运动方程为s ＝－2t 2，那么该物体在t ＝2到t ＝3时的平均速度为__________．
思路分析：(1)按照平均变化率的定义分三步求解；(2)实质就是求函数s (t )在区间[2,3]上的平均变化率．
(1)解：f (x )＝1x ＋2在区间[－1,0]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f 0 －f －1 0－ －1 ＝12－11＝－12
； f (x )＝1x ＋2
在区间[1,3]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f 3 －f 1 3－1＝15－132＝－115
； f (x )＝1x ＋2
在区间[x 0，x 0＋1]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f x 0＋1 －f x 0 x 0＋1 －x 0＝1x 0＋3－1x 0＋2＝－1 x 0＋2 x 0＋3
. (2)解析：平均速度为Δs Δt ＝－2×32－ －2×22
3－2
＝－10，故该物体在t ＝2到t ＝3时的平均速度为－10.
答案：－10
探究二 导数定义的应用
1．利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数．求导函数时，可按如下步骤进行：
(1)求函数的增量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )；
(2)求平均变化率Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx
； (3)取极限，得导数f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx
. 2．求函数f (x )在x ＝x 0处的导数时，可以有两种方法：一是直接利用导数的定义求得，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx
；二是先利用导数的定义求出f ′(x )，再计算f ′(x )在x ＝x 0的函数值．
【典型例题2】 (1)求函数f (x )＝x 3
＋x 在x ＝1处的导数；
(2)求函数f (x )＝2x 的导数．
思路分析：对于(1)可有两种方法：一是直接利用导数定义求解，二是先求出f ′(x )，再令x ＝1求得f ′(x )的函数值即得导数值；对于(2)可按照导函数的定义直接求导数．
解：(1)(导数定义法)
因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )－2＝(Δx )3＋3(Δx )2＋4Δx ，
所以Δy Δx
＝(Δx )2＋3Δx ＋4， 于是f (x )在x ＝1处的导数 f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx
＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋4]＝4. (导函数的函数值法)
因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－x 3－x ＝(Δx )3＋3·(Δx )2·x ＋3·Δx ·x 2＋Δx ，
所以Δy Δx
＝(Δx )2＋3·Δx ·x ＋3x 2＋1. 于是f (x )的导数f ′(x )＝lim Δx →0
Δy Δx
＝3x 2＋1. 从而f ′(1)＝3×12＋1＝4.
(2)因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，
所以Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝ 2x ＋Δx －2x x ＋Δx ＋x Δx x ＋Δx ＋x ＝2x ＋Δx ＋x ， 于是f (x )的导数f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02x ＋Δx ＋x ＝1x .
点评 利用导数定义求导数的关键在于取极限后，对Δy Δx
的变形与化简，使之能够约去分母中的Δx ，然后求得导数．
探究三 导数的几何意义及其应用
1．导数的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．
2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．
3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．
【典型例题3】 (1)已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝
⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )
A ．30° B．45° C．135° D．165°
(2)已知函数f (x )＝2x ＋1x
，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－3)处的切线方程是__________． (3)若直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求实数a 的值和切点的坐标． 思路分析：(1)先利用导数定义求出f (x )在x ＝1处的导数，即得切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角；(2)先利用导数定义求出切线斜率，再由直线方程的点斜式写出方程；(3)应先设出切点，再根据导数的几何意义建立关系式求解．
(1)解析：∵y ＝12
x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012 x ＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →012 Δx 2＋x ·Δx Δx
＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12Δx ＝x ， ∴y ′|x ＝1＝1，
∴过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫1，－32的切线的斜率为1， 则切线的倾斜角为45°，故选B.
答案：B
(2)解析：函数f (x )＝2x ＋1x 在点x ＝－1处的导数为f ′(－1)＝lim Δx →0
f －1＋Δx －f －1 Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋1－1＋Δx ＝1. 因此由导数几何意义知，曲线y ＝f (x )在点(－1，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(－1)＝1，
因此切线方程为y －(－3)＝x －(－1)，即y ＝x －2.
答案：y ＝x －2
(3)解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，
∵f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－2 x ＋Δx 2＋3－ x 3－2x 2
＋3 Δx
＝3x 2－4x . 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，
解得x 0＝－23或x 0＝2， ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝12127
； 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5.
∴所求a 的值为a ＝12127，切点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，4927； a ＝－5，切点为(2,3)．
点评 本例(3)中，切线方程已知，从而切线斜率已知，但切点未知，因此应设出切点坐标，才能与导数的几何意义联系起来．
探究四 易错辨析
易错点：不注意点是否在曲线上而出错
【典型例题4】 试求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3
＋1相切的直线方程．
错解：Δy Δx ＝ x ＋Δx 3＋1－x 3－1Δx ＝3x Δx 2＋3x 2Δx ＋ Δx 3Δx
＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2，lim Δx →0 Δy Δx
＝3x 2，因此y ′＝3x 2，所以切线在x ＝1处的斜率k ＝3.故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.
错因分析：本题错误在于没有注意到点M (1,1)根本不在曲线上，而直接把点M 当成曲线上的点，利用导数几何意义求切线方程，导致错误．避免错误的方法是先判断点是否在曲线上，再针对不同情况分别求解．
正确解答：y ′＝3x 2(解法同上)，设过M (1,1)点的切线与曲线y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，
x 3
0＋1)，根据导数的几何意义，函数在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 20 ，① 过M (1,1)点的切线的斜率k ＝x 3
0＋1－1x 0－1
，② 由①＝②得，3x 2
0＝x 30x 0－1，解之得x 0＝0或x 0＝32
，
所以k ＝0或k ＝274
， 因此曲线y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两条，分别为y －1＝274
(x －1)和y ＝1， 即27x －4y －23＝0和y ＝1.。